三角函数典型例题
三角函数的图象和性质典型例题
三角函数的图象和性质·典型例题于P1，P2两点，过P1，P2分别作P1M1⊥x轴，P2M2⊥x轴，垂足分k∈Z}【说明】学会利用单位圆求解三角函数的一些问题，借助单位圆求解不等式的一般方法是：①用边界值定出角的终边位置；②根据不等式定出角的范围；③在[0，2π]中找出角的代表；④求交集，找单位圆中重叠的部分；⑤写出角的范围的表达式，注意加周期．【例3】求下列函数的定义域：解：(1)为使函数有意义，需满足2sin2x+cosx-1≥0【说明】求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成．【说明】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．【例4】求下列函数的值域：∴此函数的值域为{y|0≤y＜1}【说明】求三角函数的值域，除正确运用必要的变换外，还要注意函数的概念的指导作用，注意利用正、余弦函数的有界性．【例5】判断下列函数的奇偶性：【分析】先确定函数的定义域，然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性．∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)【例8】求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x的集合．∴使y取得最大值的x的集合为{x|x=(2kπ+1)π，k∈Z}∴使y取得最小值的x的集合为{x|x=2kπ，k∈Z}当cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)时，y取得最大值3．【说明】求三角函数的最值的类型与方法：1．形如y=asinx+b或y=acosx+b，可根据sinx，cosx的有界性来求最值；2．形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c看成是关于sinx或cosx的二次函数，变为y=a(sinx+m)2+k或y=a(cosx+m)2+k，但要注意它与二次函数求最值的区别，此时|sinx|≤1，|cosx|≤1【例9】求下列函数的单调区间：【分析】复杂三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出的．【说明】象本例这种解析式中含字母系数的函数研究其性质，常常要运用分类讨论的思想，其中为什么要分类，怎么分类和讨论是两个基本问题．【例11】函数f(x)=Asin(ωx+ )的图象如图2-15，试依图指出(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)＜0的x的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的x的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心．【分析】这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题，本身就是数形结合思想的体现，它根据f(x)=Asin(ωx+ )的图象与函数y=sinx的图象的关系得出．注：得出函数f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中研究，再延伸到整个定义域中．注：实际上f(x)图象的对称轴方程为x=x0，而其中x0使f(x0)=1或f(x0)=-1注：f(x)的图象的对称中心为(x0，0)，其中x0使f(x0)=0【说明】这种依图读性的问题是提高数形结合能力的重要训练题，其中有两点要注意反思：①周期性在研究中的化简作用，②三角函数的“多对一”性．A．sinθ＜cosθ＜ctgθB．cosθ＜sinθ＜ctgθC．sinθ＜ctgθ＜cosθD．cosθ＜ctgθ＜sinθ【说明】 y=Asin(ωx+ϕ)(A＞0，ω＞0)x∈R的图象可由y=sinx的图象经下列各种顺序变换得到的．(1)先平移，后伸缩：①把y=sinx的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0)沿x轴方向平移|ϕ|个单位；(相位变换)(周期变换)③把所有各点纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍，横坐标不变(振幅变换)(2)先伸缩，后平移①把y=sinx图象上各点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原(相位变换)③把所有各点纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍横坐标不变(振幅变换)再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的图象的解析式是 [ ]∴选A．【例18】设函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)=2，则f(5)=____ 解：∵f(x)是奇函数，且f(1)=2，∴f(-1)=-2又∵f(x)是周期为3的函数．∴f(3+x)=f(x)∴f(-1+3)=f(-1)=-2 即f(2)=-2f(2+3)=f(2)=-2 即f(5)=-2。
5.4.1正弦函数余弦函数的图象(五大题型)(原卷版)
5．4．1 正弦函数、余弦函数的图象【题型归纳目录】题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图题型二：含绝对值的三角函数题型三：解三角不等式问题题型四：与三角函数有关的零点问题题型五：识图问题【知识点梳理】知识点一：正弦函数图象的画法1、描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法．2、几何法利用三角函数线作出正弦函数在[0,2]π内的图象，再通过平移得到sin y x =的图象．3、五点法先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象．在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，起关键作用的五个点是3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22ππππ- 知识点诠释：（1）熟记正弦函数图象起关键作用的五点．（2）若x R ∈，可先作出正弦函数在[0,2]π上的图象，然后通过左、右平移可得到sin y x =的图象． 知识点二：正弦曲线（1）定义：正弦函数sin ()y x x R =∈的图象叫做正弦曲线．（2）图象知识点诠释：（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质．（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如[]0,2x π∈，方程lg sin x x =根的个数． 知识点三：用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在[]0,2π上的图象；2、写出适合不等式在区间[]0,2π上的解集；3、根据公式一写出不等式的解集．【典型例题】题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图例1．画出下列函数在区间[]0,2π上的图象：(1)2sin y x =+；(2)sin 2y x =-；(3)3sin y x =．例2．已知函数()ππ2sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数()f x 在[]0,6上的图像. 例3．已知函数()π2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ．在用“五点法”作函数()f x 的图象时，列表如下：完成上述表格，并在坐标系中画出函数()y f x =在区间[]0,π上的图象；变式1．用“五点法”画出下列函数的简图：(1)1sin y x =+，[]0,2πx ∈；(2)2cos y x =，[]0,2x π∈．变式2．已知函数()2cos 3f x x =-+．完成下面表格，并用“五点法”作函数()f x 在[0]2π，上的简图：变式3．已知函数2cos 1f x x =-.（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出()f x 在[]0,2π上的简图；.【方法技巧与总结】1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即sin y x =或cos y x =的图象在[]0,2π内的最高点、最低点和与x 轴的交点．2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换．题型二：含绝对值的三角函数例4．当[]2π,2πx ∈-时，作出下列函数的图象，把这些图象与sin y x =的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ (1)sin y x =； (2)sin y x =.例5．画出函数11sin sin 22y x x =+的简图． 例6．作出函数2sin sin y x x =+，[],x ππ∈-的大致图像．变式4．作函数3sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象. 【方法技巧与总结】分类讨论解决绝对值问题题型三：解三角不等式问题例7．不等式1sin ,2x <-[0,2]x π的解集是（ ） A ．711,66ππ（） B ．45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．57,66ππ（） D ．25,33ππ（） 例8．不等式12cos 0x +>的解集为（ ）A ．(2,2)()33k k k Z ππππ-++∈ B ．22(2,2)()33k k k Z ππππ-++∈ C ．(2,2)()66k k k Z ππππ-++∈ D ．2(2,2)()63k k k Z ππππ++∈ 【方法技巧与总结】用三角函数的图象解sin x a >（或cos x a >）的方法（1）作出直线y a =，作出sin y x =（或cos y x =）的图象．（2）确定sin x a =（或cos x a =）的x 值．（3）确定sin x a >（或cos x a >）的解集．题型四：与三角函数有关的零点问题例9．函数()sin f x x =，()cos g x x =的图象在区间[]2π,π-的交点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6例10．函数sin 2|sin |,[0,2π]y x x x =+∈的图象与直线12y =的交点共有 个. 例11．若函数()4sin 2,[0,]6f x x x ππ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是 .变式5．已知函数[]cos 2cos ,0,2y x x x π=+∈与函数y k =的图象有四个交点，则k ∈ .变式6．已知函数()12sin f x x =-.(1)用“五点法”做出函数()f x 在[]0,2x π∈上的简图；(2)若方程()f x a =在25,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个实根，求a 的取值范围. 变式7．方程sin 32m x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[0,]π上有两实根,求实数m 的取值范围及两个实根之和. 变式8．方程1cos 2a x -=在,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围． 【方法技巧与总结】方程的根（或函数零点）问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．题型五：识图问题例12．函数()()sin e e x x f x -=+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．例13．如图为函数()f x 的大致图象，其解析式可能为（ ）A ．()()11cos f x x x x =++-B ．()()11sin f x x x x =-++-C ．()()11cos 2f x x x x =++--D ．()()()11e e x x f x x x -=++-- 例14．函数()1sin e x x xf x -=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．变式9．函数()e e 3πsin 232x x f x x -+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭在4，4⎡⎤-⎣⎦上的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．变式10．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数cos ()2sin ||x x f x x =+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．变式11．函数π()412sin 2x x f x x -⎛⎫=-⋅⋅+ ⎪⎝⎭的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．变式12．函数()33cos 22x xf x x --=⋅的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【方法技巧与总结】利用排除法，从定义域、奇偶性、代数三个方面进行排除．【过关测试】一、单选题1．用“五点法”作y ＝2sin x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（ ）A ．π30,,π,π,2π22B ．ππ30,,,π,π424C ．0,π,2π,3π,4πD ．πππ3π0,,,,63222．如图所示，函数cos tan y x x =（3π02x <≤且π2x ≠）的图像是（ ）. A ． B ．C ．D ．3．方程sin x x =的实数解的个数为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．74．方程sin lg x x =，[]2π,2πx ∈-实根的个数为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．35．华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”所以研究函数时往往要作图，那么函数()sin cos2f x x x =+的部分图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6 ）A ．sin10cos10︒+︒B ．sin10cos10︒-︒C ．cos10sin10︒-︒D ．sin10cos10-︒-︒7．已知函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)a ⎡∈⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（ ）.A ．7π3π,124⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．函数11y x =-的图像与函数()2sin π24y x x =-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14二、多选题9．（多选）函数]sin 1,[0,2πy x x -∈=与y a =有一个交点，则a 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2- 10．若函数()14sin f x x t =+-在区间π,2π6⎛⎫ ⎪⎝⎭上有2个零点，则t 的可能取值为（ ） A ．2- B ．0 C ．3 D ．411．函数cos y x =，π4π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图像与直线y t =（t 为常数，R t ∈）的交点可能有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 12．（多选）若函数()2cos f x x =，[]0,2x π∈的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则（ ）A ．当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x < B ．()01f = C ．302f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ．所围图形的面积为2π三、填空题13．若函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在[0,]m 上恰好有一个点的纵坐标为1，则实数m 的值可以是 ． 14．函数22cos sin y x x =+的最小值是 ．15．如果方程sin x a =在π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，则实数a 的取值范围是 . 16．若()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,m 上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围是 ； 四、解答题17．函数()sin 2sin f x x x =+，用五点作图法画出函数()f x 在[]0,2π上的图象；（先列表，再画图）18．用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π上的大致图像. 19．已知函数()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (1)请用五点作图法画出函数()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象；（先列表，后画图）(2)设()()23,0,3m F x f x x π⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，当0m >时，试讨论函数()F x 零点情况. 20．在同一平面直角坐标系内画出正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =在区间[]0,2π上的图象，并回答下列问题．(1)写出满足sin cos x x =的x 的值；(2)写出满足sin cos x x >的x 的取值范围；(3)写出满足sin cos x x <的x 的取值范围；(4)当x ∈R 时，分别写出满足sin cos x x =，sin cos x x >，sin cos x x <的x 值的集合．214x k π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在0x π≤≤上有两个实数根12,x x ，求实数k 的取值范围，并求12x x +的值． 22．已知函数()[]1πsin 2,0,π26f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭(1)填写下表，并用“五点法”画出()f x 的图象.(2)若函数()f x 满足不等式()34f x ≤，求x 的范围.。
三角函数的概念(原卷版)
5．2．1 三角函数的概念【知识点梳理】 知识点一：三角函数定义设α是一个任意角，它的终边与半径是r 的圆交于点(,)P x y ，则22r x y +，那么： （1）y r 做α的正弦，记做sin α，即sin y r α=； （2） x r 叫做α的余弦，记做cos α，即cos x rα=； （3）y x叫做α的正切，记做tan α，即tan (0)yx x α=≠．知识点诠释：（1）三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离22r x y +，那么22sin x y α=+22cos x y α=+，tan yxα=． （2）三角函数符号是一个整体，离开α的sin 、cos 、tan 等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是sin 、cos 、tan 与α的积．知识点二：三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 知识点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．知识点三：诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： sin(2)sin k απα+= cos(2)cos k απα+=tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈注意：利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求02π～（或0360︒︒～）范围内角的三角函数值．知识点四、特殊角的三角函数值 0° 30°45°60°90°120°135°150°180°270°6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π sin α 0 12 22 3213222 12 0 1-cos α132 2212 012- 22- 32- 1- 0tan α0 331 33-1- 33- 0【题型归纳目录】 题型一：三角函数的定义 题型二：判断三角函数值的符号 题型三：确定角所在象限 题型四：诱导公式（一）的应用 题型五：圆上的动点与旋转点 【典型例题】题型一：三角函数的定义例1．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））设α是第二象限角，(),8P x 为其终边上的一点，且4sin 5α，则x =（ ） A ．3- B ．4-C ．6-D ．10-例2．（2022·北京市西城外国语学校高三阶段练习）角α的终边上有一点(2,2)P -，则sin α=（ ） A ．22B ．22-C ．2D ．1例3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知角α的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos αα+的值为（ ） A ．35 B ．25C ．1或25-D ．25或25-变式1．（2022·山西大附中高三阶段练习（文））已知角x 的终边上一点的坐标为55sin ,cos 66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则角x 的最小正值为（ ） A ．56πB ．53π C ．6π D ．3π变式2．（2022·江西·崇仁县第二中学高三阶段练习（文））已知点2π(cos ,1)3P 是角α终边上一点，则cos α=（ ）A 5B ．5C 25D ．3变式3．（2022·全国·高三专题练习）已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin cos 11tan ααα--+的值为（ ）A ．65-B ．1C ．2D ．3变式4．（2022·全国·高三专题练习）已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．52变式5．（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合的角α的终边上有一点()3,P m ，且()2sin 0m α=≠，求m 的值，并求cos α与tan α的值．变式6．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边在函数()102y x x =->的图像上，求sin α，cos α的值．【方法技巧与总结】利用三角函数的定义求值的策略（1）已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．方法二：在α的终边上任选一点(,)P x y ，P 到原点的距离为r （0r >）．则sin y rα=，cos xr α=．已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． （3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理． 题型二：判断三角函数值的符号例4．（2022·全国·高一课时练习）已知α为第二象限角，则（ ） A ．sin 0α< B ．tan 0α> C ．cos 0α< D ．sin cos 0αα>例5．（2022·湖北·高一阶段练习）下列各式的符号为正的是（ ） A ．cos3 B ．5ππsin cos 36⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin2cos2-D ．7πtan8例6．（2022·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习（文））sin 4tan7⋅的值（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不大于0变式7．（2022·江西省万载中学高一期中）设02πα≤<，如果sin 0α<且cos20α<，则α的取值范围是（ ） A ．π<α<3π2B ．3π2<α<2π C ．π4<α<34π D ．5π4<α<7π4【方法技巧与总结】三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负．题型三：确定角所在象限例7．（2022·全国·高一课时练习）点()cos2018,sin 2018P ︒︒所在的象限是（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四例8．（2022·福建·莆田二中高三阶段练习）设α角属于第二象限，且cos cos22αα=-，则2α角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限例9．（2022·陕西汉中·高一期中）若cos tan 0αα<，且sin cos 0αα<，则α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角变式8．（2022·全国·高三专题练习）若sin 0θ<且tan 0θ<，则角θ所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限变式9．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点(sin ,tan )P αα在第四象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限变式10．（2022·辽宁·高一期末）坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第（ ）象限. A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【方法技巧与总结】 确定角所在象限的步骤（1）判断该角的某些三角函数值的符号；（2）根据角的 三角函数值的符号，确定角所在象限． 题型四：诱导公式（一）的应用例10．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）17sin 4π=____________．例11．（2022·广西·桂林十八中高一开学考试）13sin 3π=_________.例12．（2022·湖南·高一课时练习） 17tan()3π-＝______.变式11．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））()cos 300-︒=______．变式12．（2022·湖南·()3tan330sin 60︒+︒+-︒．【方法技巧与总结】利用诱导公式一化简或求值的步骤（1）将已知角化为·360k α︒＋（k 为整数，0360α︒≤<︒）或2k πβ＋（k 为整数，02βπ≤<）的形式．（2）将原三角函数值化为角α的同名三角函数值．（3）借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的． 题型五：圆上的动点与旋转点例13．（2022·湖南益阳·高一期末）在直角坐标系xOy 中，一个质点在半径为2的圆O 上，以圆O 与x 正半轴的交点0P 为起点，沿逆时针方向匀速运动到P 点，每5s 转一圈，则2s 后0P P 的长为（ ） A ．42sin 5πB ．42cos 5πC ．24sin 5π D ．24cos5π例14．（2022·全国·高一专题练习）点P 从()1,0出发，沿单位圆按逆时针方向运动263π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（ ） A ．13,22B ．312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．13,2⎛- ⎝⎭D ．321⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭例15．（2022·江西师大附中高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，若点P 从()2,0出发，沿圆心在原点，半径为2的圆按逆时针方向运动43π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标是（ ） A ．(3- B ．(1,3--C ．(3D ．(1,3-变式13．（2022·江西·模拟预测（文））已知单位圆上第一象限一点P 沿圆周逆时针旋转3π到点Q ，若点Q 的横坐标为12-，则点P 的横坐标为（ ）A．13B．12C2D3变式14．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，滚珠P，Q同时从点(2,0)A出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠P按逆时针方向每秒钟转π3弧度，滚珠Q按顺时针方向每秒钟转6π弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．(1)求滚珠P，Q第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；(2)求从出发到第二次相遇滚珠P，Q各自滚动的路程．【方法技巧与总结】利用三角函数的定义求解【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知角α的终边与单位圆交于点132P⎛-⎝⎭，则sinα的值为（）A．3B．12-C3D．122．（2022·江西赣州·高一期末）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin9︒的近似值为（π取近似值3.14）（）A ．0.039B ．0.157C ．0.314D ．0.0793．（2022·四川省平昌中学高一阶段练习）如图，角α的终边与单位圆O 的交点34(,)55A -，则4cos 2sin 5cos 3sin αααα-=+（ ）A ．203B ．23C ．45D ．203-4．（2022·全国·高三专题练习）已知角α的终边与单位圆交于点1,3P m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A ．223B ．13C ．22D ．13±5．（2022·江西上饶·高一阶段练习）赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形较小的锐角为α，则sin αcos α的值为（ ）A ．15B ．25C 5D 256．（2022·北京市第五中学高一期末）在直角坐标系xOy 中，已知43sin ,cos 55αα=-=，那么角α的终边与单位圆O 坐标为（ ） A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭7．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知α是第二象限角，则（ ） A ．2α是第一象限角 B ．sin02α>C ．sin 20α<D ．2α是第三或第四象限角8．（2022·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy 中，P （x ，y ）（xy ≠0）是角α终边上一点，P 与原点O 之间距离为r ，比值rx叫做角α的正割，记作sec α；比值r y 叫做角α的余割，记作csc α；比值xy叫做角α的余切，记作cot α．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：5sec 4β=-；乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=-；丁：4cot 3β=．如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁二、多选题9．（2022·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是（ ） A ．sin20α>B ．cos20α>C ．cos02α> D ．tan02α>10．（2022·全国·高一单元测试）下列结论正确的是（ ） A ．76π-是第三象限角 B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为32πC ．若角α的终边上有一点()3,4P -，则3cos 5α=-D ．若角α为锐角，则角2α为钝角11．（2022·辽宁朝阳·高一阶段练习）已知角θ的终边经过点(2,3)--，且θ与α的终边关于x 轴对称，则（ ） A ．21sin 7θ=-B ．α为钝角C ．27cos α= D ．点(tan θ，tan α)在第四象限12．（2022·全国·高一）以原点为圆心的单位圆上一点P 从()1,0出发，沿逆时针方向运动133π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标不可能的是（ ）A ．312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．312⎫⎪⎪⎝⎭C ．132⎛ ⎝⎭D ．13,2⎛ ⎝⎭三、填空题13．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）角α的终边上有一点()()3,40P a a a ->，则sin α的值为______；14．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边在射线3(0)y x x =≥上，则角α的正弦值为______，余弦值为______．15．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边上有一点()3,P m -，且2sin 4α=，则m 的值为______．16．（2022·全国·高一课时练习）若角θ是第四象限角，则sin cos tan sin cos tan y θθθθθθ=++=______． 17．（2022·江苏盐城·高一期末）已知角α为第一象限角，其终边上一点(),P x y 满足()()222ln 2ln x y x y -=+，则2cos α-sin α=________．四、解答题18．（2022·江苏·高一专题练习）已知角α的终边经过点()()4,30P a a a -≠，求2sin cos αα+的值.19．（2022·江苏·高一专题练习）已知α角的终边经过点()3,P m ，且满足2sin 4m α=． (1)若α为第二象限角，求sin α值； (2)求cos tan αα+的值．20．（2022·全国·高一课时练习）已知11sin sin αα=-，且lg cos α有意义． (1)试判断角α是第几象限角；(2)若角α的终边上有一点3,5M m⎛⎫⎪⎝⎭，且1OM=（O为坐标原点），求实数m的值及sinα的值．21．（2022·全国·高一课前预习）计算下列各式的值：(1)tan405sin450cos750︒-︒+︒；(2)t 15s25ann3i4ππ⎛⎫-⎝+⎪⎭.。
初三锐角三角函数知识点与典型例题
初三锐⾓三⾓函数知识点与典型例题锐⾓三⾓函数：例1．如图所⽰，在Rt△ABC 中，∠C＝90°．第1 题图①( )sin A ＝______，斜边( )sin B ＝______；斜边②( )cos A ＝______，斜边( )cos B ＝______；斜边③( )tan A ＝______，A的邻边tanB的对边B ＝______．( )例2. 锐⾓三⾓函数求值：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．例3．已知：如图，Rt△TNM 中，∠TMN＝90°，MR⊥TN 于R 点，TN＝4，MN ＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR 、tan∠TMR．典型例题：类型⼀：直⾓三⾓形求值1．已知Rt△ABC 中， C 90 , tan A , BC 12, 求AC、AB 和cosB．42．已知：如图，⊙O 的半径OA＝16cm，OC⊥AB 于C 点，sin AOC 求：AB 及OC 的长．3 4 3．已知：⊙O 中，OC⊥AB 于C 点，AB＝16cm，sin AOC 3 5(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦⼼距O C；(2)求cos∠AOC 及tan∠AOC．4. 已知A是锐⾓，8sin A ，求cosA，tanA的值17对应训练：3．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若BC＝1，AB= 5 ，则t anA 的值为A．55B．2 55C．12D．25．在△ABC 中，∠C=90°，sinA= 35，那么tanA 的值等于（）.A．35B.45C.3D.43类型⼆.利⽤⾓度转化求值：1．已知：如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°．D 是AC 边上⼀点，DE⊥AB 于E 点．DE∶AE＝1∶2．求：sin B、cosB、tanB．2．如图，直径为10 的⊙ A 经过点C (0，5) 和点O (0，0) ，与x 轴的正半轴交于点D，B 是y 轴右侧圆弧上⼀点，则c os∠OBC 的值为（）A．12B．32C．35D．45yCAx O DB 第8题图5.如图，⾓的顶点为O，它的⼀边在x 轴的正半轴上，另⼀边OA 上有⼀点P（3，4），则sin ．6.如图，菱形ABCD 的边长为10cm，DE⊥AB，sin32．A ，则这个菱形的⾯积= cm57.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD 是⊙O的直径，若⊙O的半径为3，A C 2，则sin B 的值是（）A．23B．32C．34D．438. 如图4，沿AE 折叠矩形纸⽚ABCD，使点D 落在BC 边的点F 处．已知AB 8，BC 10，AB=8,则tan∠EFC 的值为( )A DEＡ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45BFC9. 如图6，在等腰直⾓三⾓形ABC 中， C 90 ，AC 6 ，D为AC 上⼀点，若tan1DBA AD ( )A ． 2B ．2C ．1D． 2 210. 如图 6，在 Rt △ABC 中，∠ C=90° ，AC =8，∠A 的平分线 AD=16 33 求∠B 的度数及边 BC 、AB 的长.AC BD图 6类型三 . 化斜三⾓形为直⾓三⾓形例 1 如图，在△ ABC 中，∠ A=30° ，∠B=45° ，AC=2 3 ，求 AB 的长．例 2．已知：如图，△ ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ， (1)求 AB 边上的⾼ CD ；sin A 1 3(2)求△ABC 的⾯积 S ； (3)求 tanB ．例 3．已知：如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝120° ，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ABC 的值．对应训练1．如图，在 Rt △ABC 中，∠BAC=90° ，点 D 在 BC 边上，且△ABD 是等边三⾓形．若 AB=2 ，求△ ABC 的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC 中，AB＝9，BC＝6，△ABC 的⾯积等于9，求sin B．11. ABC 中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC 的⾯积是2 B.43 cm2A.2 3 cm2 D.12 cm2C.6 3 cm类型四：利⽤⽹格构造直⾓三⾓形例1 如图所⽰，△ABC 的顶点是正⽅形⽹格的格点，则sinA 的值为（）A．1255C．1010D．2 55对应练习：1．如图，△ABC 的顶点都在⽅格纸的格点上，则sin A =_______.CA B2．如图，A、B、C 三点在正⽅形⽹络线的交点处，若将ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到AC'B'，则tan B' 的值为A. 14B.13C.12D. 13．正⽅形⽹格中，∠AOB 如图放置，则tan∠AOB的值是（）A ．55B.2 5512C.D. 2AO B 特殊⾓的三⾓函数值锐⾓30°45°60°sincostan当时，正弦和正切值随着⾓度的增⼤⽽余弦值随着⾓度的增⼤⽽例1．求下列各式的值．1）. 计算： 2 cos30 2 sin 45 tan 60 ．2 . 2）计算：tan 60 sin45 2 cos30－1 0－计算：3+(2 π－1) 33tan30 －°tan45 °4．计算：122 cos60 sin 4532tan 30 ．5．计算：t an 45 sin 301 cos 60；例2．求适合下列条件的锐⾓．(1)1cos (2)2tan33(3)2sin 2 (4) 6 cos( 16 ) 3 3 2（5）已知为锐⾓，且tan( 300) 3 ，求tan 的值1 22（）在ABC 中，若cos A (sin B ) 0，A， B 都是锐⾓，求 C 的度2 2数例3. 三⾓函数的增减性1．已知∠A 为锐⾓，且sin A < 12，那么∠A 的取值范围是A. 0 <°A < 30 °B. 30 <°A ＜60°C. 60 <°A < 90 °D. 30 <°A < 90 °12. 已知 A 为锐⾓，且0cos A sin 30 ，则（）A. 0 <°A < 60 °B. 30 <°A < 60 °C. 60 <°A < 90 °D. 30 <°A < 90 °例4. 三⾓函数在⼏何中的应⽤1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E，BE＝16cm，sin A 求此菱形的周长．12132．已知：如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC BC 3 ，作∠DAC＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD 和tan∠BAD．13. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD＝90°，∠CAD 、tan∠CAD．1tan B ，求：sin∠CAD、cos314. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，3sin B ，点D 在BC 边上，DC= 5AC = 6 ，求tan ∠BAD 的值．AB D C15.如图，△ABC 中，∠A=30°，tan AB 的长. 3B ，AC 4 3 ．求2 CAB解直⾓三⾓形：1．在解直⾓三⾓形的过程中，⼀般要⽤的主要关系如下(如图所⽰)：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，①三边之间的等量关系：________________________________ ．②两锐⾓之间的关系：__________________________________ ．③边与⾓之间的关系：sin A cosB ______；cos A sin B _______；1 1tan A _____；tan Btan B tan A______．④直⾓三⾓形中成⽐例的线段(如图所⽰)．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于D．CD22＝_________；AC＝_________；BC2＝_________；AC·BC＝_________．类型⼀例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．(1)已知：a＝35，c352，求∠A、∠B，b；(2)已知：a23，b2，求∠A、∠B，c；(3)已知：2sin A，c6，求a、b；33(4)已知：tan B,b9,求a、c；2(5)已知：∠A＝60°，△ABC的⾯积S123,求a、b、c及∠B．例2．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．例3．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．例4．已知：如图，△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB 及BC 的长．类型⼆：解直⾓三⾓形的实际应⽤仰⾓与俯⾓：例1．（2012?福州）如图，从热⽓球 C 处测得地⾯A、B 两点的俯⾓分别是30°、45°，如果此时热⽓球 C 处的⾼度CD 为100 ⽶，点A 、D、B 在同⼀直线上，则AB 两点的距离是（）A ．200 ⽶B．200 ⽶C．220 ⽶D．100（）⽶例2．已知：如图，在两⾯墙之间有⼀个底端在 A 点的梯⼦，当它靠在⼀侧墙上时，梯⼦的顶端在 B 点；当它靠在另⼀侧墙上时，梯⼦的顶端在 D 点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点 D 到地⾯的垂直距离DE 3 2m ，求点 B 到地⾯的垂直距离BC．例3如图，⼀风⼒发电装置竖⽴在⼩⼭顶上，⼩⼭的⾼BD =30m．从⽔平⾯上⼀点 C 测得风⼒发电装置的顶端 A 的仰⾓∠DCA =60°，测得⼭顶 B 的仰⾓∠DCB =30°，求风⼒发电装置的⾼AB 的长．例4.如图，⼩聪⽤⼀块有⼀个锐⾓为30 的直⾓三⾓板测量树C⾼，已知⼩聪和树都与地⾯垂直，且相距 3 3 ⽶，⼩聪⾝⾼ABAD为1.7 ⽶，求这棵树的⾼度.B E例5．已知：如图，河旁有⼀座⼩⼭，从⼭顶A处测得河对岸点 C 的俯⾓为30°，测得岸C D 为50m．现需从⼭顶A到河对岸点 C 拉⼀条笔直的缆边点 D 的俯⾓为45°，⼜知河宽)．绳A C，求⼭的⾼度及缆绳AC 的长(答案可带根号例5．（2012?泰安）如图，为测量某物体AB 的⾼度，在 D 点测得 A 点的仰⾓为30°，朝物20 ⽶，到达点C，再次测得点 A 的仰⾓为60°，则物体AB 的⾼度为（）体AB ⽅向前进A ．10 ⽶B．10 ⽶C．20 ⽶D．⽶学尝例6．（2012?益阳）超速⾏驶是引发交通事故的主要原因之⼀．上周末，⼩明和三位同在 A 处，离益阳⼤道的距离（AC ）为30 试⽤⾃⼰所学的知识检测车速．如图，观测点设⽶．这时，⼀辆⼩轿车由西向东匀速⾏驶，测得此车从 B 处⾏驶到 C 处所⽤的时间为8 秒，∠BAC=75°．（1）求B、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳⼤道60 千⽶/⼩时的限制速度？到 1 ⽶，参考数据：sin75 °≈0.96，59cos75°≈0.258，8 tan75°≈ 3.73，2 （计算时距离精确3 ≈ 1.73，260 千⽶/⼩时≈16.7⽶/秒）.坡度与坡⾓类型四⽔坡AB 的坡⽐是1： 3 ，堤坝⾼BC=50m ，则应⽔坡⾯例．如图，某⽔库堤坝横断⾯迎AB 的长度是（）A．100m B．100 3 m C．150m D．50 3 m类型五. ⽅位⾓1．已知：如图，⼀艘货轮向正北⽅向航⾏，在点 A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每⼩时20 海⾥的速度航⾏， 1 ⼩时后到达 B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航⾏时，与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1 海⾥， 3 1.732 )2．新闻链接，据[侨报⽹讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退2012 年5 ⽉18 ⽇，某国 3 艘炮艇追袭 5 条中国渔船．刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船⼈船未歇⽴即追往北纬11 度22 分、东经110 度45 分附近海域护渔，保护100 多名中国渔民免受财产损失和⼈⾝伤害．某国炮艇发现中国⽬前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，⽴即掉头离去．（见图1）解决问题如图2，已知“中国渔政310”船（A ）接到陆地指挥中⼼（B）命令时，渔船（C）位于陆地指挥中⼼正南⽅向，位于“中国渔政310”船西南⽅向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中⼼南偏东60°⽅向，AB= 海⾥，“中国渔政310”船最⼤航速20 海⾥/时．根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间．综合题：三⾓函数与四边形：1．如图，四边形ABCD 中，∠BAD= 135°，∠BCD= 90°，AB=BC= 2，tan∠BDC=6 ．3(1) 求BD 的长；(2) 求AD 的长．2．如图，在平⾏四边形ABCD中，过点 A 分别作AE⊥BC 于点E，AF⊥CD 于点F．（1）求证：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF =245 ，sin3BAE ，求CF 的长．5三⾓函数与圆：1．如图，直径为10 的⊙A 经过点C (0，5) 和点O (0，0) ，与x 轴的正半轴交于点D，B 是y 轴右侧圆弧上⼀点，则cos∠OBC 的值为（）A．12B．32C．35D．45 yCAx O DB 第8题图16. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D,C (1) 求证：∠AOD= 2∠CDBAO(2) 若 AD=8，tanC=4 3，求⊙ O 的半径。
【精品】高中数学 必修4_三角函数的诱导公式_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)提高
三角函数的诱导公式【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(απαπ±±,2的正弦、余弦、正切)；2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式. 【要点梳理】 要点一：诱导公式 诱导公式一：sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二：sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式三：sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈诱导公式四：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ο90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.要点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为k ·90°+α（|α|<45°）的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”： “奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±o(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值. ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式. 【典型例题】类型一：利用诱导公式求值【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例2】例1．求下列各三角函数的值： （1）252525sincos tan()634πππ++-； （2）()()cos 585tan 300---o o（3）2222132131sin cos 6tan 10cot 243ππππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解． 【答案】（1）0（2）2-（3）16【解析】（1）原式=sin(4)cos(8)tan(6)634ππππππ+++-+sincostan634111022πππ=+-=+-=（2）原式=cos(18045)tan(36060)++-o o o o =cos 45tan 60--o o= （3）原式=2222sin (6)cos (5)6tan 10cot (10)243πππππππ+-++-+=2222sin cos 6tan 0cot 243πππ-+-=111023-+-=16【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具． 举一反三：【变式】（1）10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．【答案】（1）2（2）2-（3）1 【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭sin sin sin 3332ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）3177coscos 4cos 666ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos cos 662πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭． （3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1． 例2．已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．【解析】 (2009)sin(2009)cos(2009)f a b παπβ=+++sin(2008)cos(2008)a b ππαππβ=+++++sin()cos()sin cos (sin cos )a b a b a b παπβαβαβ=+++=--=-+．∵f （2009）=－1 ∴sin cos 1a b αβ+=． ∴(2010)sin(2010)cos(2010)f a b παπβ=+++sin cos 1a b αβ=+=．【总结升华】 求得式子sin cos 1a b αβ+=，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．举一反三：【变式1】 已知1cos(75)3α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°―α)+sin(α―105°)的值．【答案】13【解析】 ∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=13-,sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)， ∵α为第三象限角，∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．又cos(75°+α)=13＞0，∴75°+α为第四象限，∴sin(75)3α︒+===-．∴11cos(105)sin(105)333αα︒-+-︒=-+=．【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+α=180°－(105°－α)或105°－α=180°－(75°+α)等．【变式2】已知3sin()2παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭))απβ-=+，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．【解析】由已知得sin αβ=αβ=． 两式平方相加，消去β，得22sin 3cos 2αα+=， ∴21cos 2α=，而0απ<<，∴cos 2α=±，∴4πα=或34πα=．当4πα=时，cos 2β=，又0βπ<<，∴6πβ=；当34πα=时，cos 2β=-，又0βπ<<，∴56βπ=．故4πα=，6πβ=或34πα=，56βπ=． 类型二：利用诱导公式化简 例3．化简(1)sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o ；(2)sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-.【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.【答案】（1）-1（2）略 【解析】(1)原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-；(2)①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-.②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+.【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了； (2)关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.举一反三： 【变式1】化简 （1）()()()()cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ；（2）()sin2n n Z π∈； （3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）sin()cos[(1)]sin[(1)]cos(]k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．【解析】（1）原式=[]cos()cot()tan(2)sin(2)παπαπαπα----+=cos cot (tan )(sin )αααα-⋅-=3cot α（2）1,(41)sin1,(43)20,(2)n k n n k n k π=+⎧⎪=-=+⎨⎪=⎩ （3）原式=22cot cot αα-=0（4）由(k π+α)+(k π―α)=2k π，[(k ―1)π―α]+[(k+1)π+α]=2k π，得cos[(1)]cos[(1)]cos()k k k παπαπα--=++=-+，sin[(1)]sin()k k παπα++=-+．故原式sin()[cos()]1sin()cos()k k k k παπαπαπα-+-+==--++．【总结升华】 常见的一些关于参数k 的结论： （1）sin()(1)sin ()k k k Z παα+=-∈； （2）cos()(1)cos ()k k k Z παα+=-∈； （3）1sin()(1)sin ()k k k z παα+-=-∈； （4）cos()(1)cos ()k k k Z παα-=-∈． 类型三：利用诱导公式进行证明例4．设8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77m m ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简”，从左边到右边的方法．【证明】 证法一：左边88sin 3cos 37788sin 4cos 277πππααπππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦888sin 3cos tan 3777888sin cos tan 1777πππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31m m +=+=右边． ∴等式成立．证法二：由8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴左边sin 23cos 277sin 2cos 277πππαπαππππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααπππαπα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 3371tan 17m m παπα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭=右边， ∴等式成立． 举一反三：【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例4 】 【变式1】设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证： （1）()sin sin A B C +=；（2）sincos22A B C+=； （3）tan cot 22A B C+=【解析】（1）左边=sin()sin()sin A B c C π+=-==右边，等式得证． （2）左边=sin2A =()sin cos cos 2222B C B C B C ππ-+++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=右边，等式得证． （3）左边=tantan cot 2222A B C C π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=右边，等式得证． 【变式2】求证：232sin cos 1tan(9)12212sin ()tan()1ππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-++-． 证明：∵左边2232sin sin 12sin (sin )12212sin 12sin πππθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+----⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 22222sin sin 12cos sin 1212sin cos sin 2sin πθθθθθθθθ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭==-+-222(sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ++==--，右边tan(9)1tan 1sin cos tan()1tan 1sin cos πθθθθπθθθθ++++===+---，∴左边=右边，故原式得证． 类型四：诱导公式的综合应用例5．已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f παππαααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值． （3）若313πα=-，求()f α的值． 【解析】 （1）(sin )cos (cos )()cos (cos )sin f ααααααα-⋅⋅-==--．（2）∵3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴1sin 5α=-，∴cos α==()f α=． （3）31315cos cos 62333f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51cos cos 332ππ=-=-=-． 【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．举一反三： 【变式1】已知α、β均为锐角，cos()sin()αβαβ+=-，若()sin cos 44f ππααα⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【解析】由cos()sin()αβαβ+=-得cos()cos ()2παβαβ⎡⎤+=--⎢⎥⎣⎦，又α、β均为锐角．则()2παβαβ+=--，即4πα=．于是，sin cos 0222f ππα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭．【巩固练习】1．sin585°的值为（ ）A．2-B．2 C．2- D．2A ．13 B ． 13- C． D3．已知(cos )cos3f x x =，则(sin 30)f ︒的值等于（ ）A ．―1B ．1C ．12D ．0）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25．若sin cos 2sin cos αααα+=-，则3sin(5)sin 2παπα⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭等于（ ） A ．34 B ．310 C ．310± D ．310-6．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知3sin()cos(2)tan 2()cos()f ππαπαααπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=--，则313f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12 B ．12- C．2 D．2-8．已知cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）A ．23+B ．23+-C ．23- D．23-+9．计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝ ．10．若()θ+ο75cos 31=，θ为第三象限角，则()()θθ++--οο435sin 255cos 的值是 ． 11．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=__________. 12．（1）cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°的值为________；（2）cos 21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289°的值为________。
三角函数 导学案
直角三角形边角关系导学案一、定义二、典型例题例1、如图，在Rt△ABC中，若tan A＝，AB＝10，则△ABC的面积为（）1题2题1、如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，cosα＝，则点P的坐标2、如图，D为平面直角坐标系内一点，OD与x轴构成∠1，那么tan∠1＝（）3、如图，在平面直角坐标系xOy中，AB＝2，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2＝BC•AC，tanα＝3，则点C的坐标为（）3题4题5题4、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若∠BCD＝30°，则sin∠A＝．5、如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AD＝4，求BC的长．6、如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，求点A的坐标．6题7题7、已知△ABC中，∠C=90°，tan A=12，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则cos∠CDB的值为（）8、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝，则AC的长为（）A．B．3C．D．23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，则AC的长是（）A．B．3C．D．例2、△ABC中∠C＝90°，若AB＝2，∠A＝α，则AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．D．1、．Rt△ABC的边长都扩大2倍，则sin A的值（）A．不变B．变大C．变小D．无法判断18．如果将Rt△ABC各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠A的正切值（）A．扩大到原来的2倍B．扩大到原来的4倍C．没有变化D．缩小到原来的一半19．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．无法确定20．将Rt△ABC的各边长都缩小到原来的，则锐角A的正切值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的2倍D．缩小为原来的5．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝α．那么AC的长是（）A．α•tanαB．α•tanαα•cotαC．D．例3、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为（）1、如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝4，则AC的长为．1题2题2、如图，在△ABC中，∠A＝45°，tan B＝，BC＝10，则AB的长为．3、在△ABC中，∠B＝120°，AB＝4，BC＝2，求AC的长．3题例3、如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（）42题2、如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（）1．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan B的值为（）A．B．C．D．11题4题7题4．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan∠ABC的值为（）A．B．1C．D．7．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（）A．B．C．D．8．如图，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）B．C．D．A．8题9题10题9．如图，点A，B，C在正方形网格的格点处，sin∠ABC等于（）A．B．C．D．10．如图，在网格图形中，点A、O、B均在格点上，则tan∠AOB的值为（）A．B．2C．D．11．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则sin∠BOD的值是（）B．C．D．A．11题12题14题15题12．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A．B．C．D．14．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos A的值是（）A．B．C．D．15．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值为（）A．B．C．2D．216．如图，点A、B、C均在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为（）B．1C．D．A．B．16题17题22题17．如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠BAC等于（）A．B．C．D．22．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为（）A．B．C．D．23．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则tan∠BOD的值是（）B．C．D．A．B．22题23题25题24．如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，则sin∠ABC的值为（）A．B．2C．D．25．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则∠A 正切值是（）27．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（）A．B．C．D．128．如图在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是（）A．B．C．D．529．如图，点A、B、C都在边长为1的正方形格点上，连接AB、BC，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．1特殊角三角函数导学案一、推导30O 45O60OSinCostan二、典型例题例1、．在△ABC中，若sin A＝，cos B＝，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（）1、已知α为锐角，且2cos（α+10°）＝，则α等于2、王明同学遇到了这样一道题，，则锐角α的度数为3、已知，α+45°为锐角，则α＝．4、△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若cos A＝，tan B＝1，则∠C＝．5、若sin（x﹣20°）＝，则x＝．例2、在△ABC中，若|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，且∠A、∠B为锐角，则∠C的度数是．7．在△ABC中，若，则∠C＝．8．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|sin A﹣|+（﹣3tan B）2＝0，则∠C＝度．9．若（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，则以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是．10、在△ABC中，若，则∠C的度数为．例3、计算：2cos45°+2sin60°﹣tan60°．2sin30°﹣tan45°+cos230°．sin30°﹣tan30°•tan60°+cos245°．2cos60°+2sin30°+3tan45°．sin30°+|sin60°﹣1|﹣（﹣1）2021 2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1 （﹣1）0+（）﹣2+|﹣2|+tan60°|1﹣|+（2022﹣π）0+（﹣）﹣2﹣tan60°﹣4sin30°+|﹣2| |﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0（）﹣1﹣+3tan30°+|﹣2|2cos60°﹣（﹣）﹣2+|2﹣|﹣（π﹣2020）0．﹣（2021﹣π）0+|5﹣|﹣tan60°．2cos30°﹣（﹣3）﹣2+（π﹣）0﹣tan60°．sin45°﹣|2﹣|+（π﹣1）0+（﹣）﹣1．（﹣2）﹣2+3tan30°﹣|﹣2|+（π﹣2022）0．。
任意角的三角函数] · [培优] · [知识点+典型例题]
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任意角的三角函数知识讲解一、角的概念1.定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．其中顶点，始边，终边称为角的三要素．掌握角的概念应注意角的三要素：顶点，始边，终边．角可以是任意大小的．2.范围：R3.正角、负角、零角①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．4.终边相同的角:设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{}360,Z S k k ββα==+⋅︒∈．集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0k =时，对应元素为α．5.象限角:能用集合的形式表示终边落在四个象限以及坐标轴上的角，如：终边落在第一象限的角：或终边落在轴上的角：或．6.角的运算:掌握基本的角的运算如“”等．二、弧度制1.定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．|22,2k k k Z παπαπ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭{|36090360,}k k k Z αα︒<<︒+︒∈y |,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭{|90180,}k k Z αα=︒+︒∈,2,,2,22παπαπααα±±±2.弧度与角度的换算:，10.01745180radπ︒=≈︒，． 3.弧长与扇形面积公式:①弧长公式：②扇形面积公式：三、三角函数的概念1.定义:在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y，它与原点的距离为(0)r r >，那1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin yr α=； 2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； 3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y xα=； 4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 2.符号:1）正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； 2）余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）； 3）正切值yx对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）．可以用右图表示：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值．3.特殊角的三角函数：对于一些常见的、特殊角的三角函数值需要熟练记忆，如180radπ︒=18015730=5718'rad π︒⎛⎫=≈︒︒ ⎪⎝⎭．l r α=21122S lr r α==4.三角函数线1）单位圆：半径等于单位长的圆叫做单位圆．设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴交点分别为(1,0)A，(1,0)A'-，而与y轴的交点分别为(0,1)B，(0,1)B'-．由三角函数的定义可知，点P的坐标为(cos,sin)αα，即(c o s,s i n)Pαα．其中cos OMα=，sin ONα=．这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T（或T'），则tan ATα=（或AT'）．2）有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向．具有方向的线段叫做有向线段．规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负．3）三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(,)x y，α)过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T ．我们就分别称有向线段MP ，OM ，AT 为正弦线、余弦线、正切线．5.同角三角函数基本关系式平方关系：22sin cos 1x x +=，22sec tan 1x x -=，22csc cot 1x x -= 商数关系：sin tan cos x x x =，cos cot sin xx x= 倒数关系：111sec ,csc ,tan cos cos cot x x x x x x===典型例题一．选择题（共2小题）1．（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A． B． C．D．2．（2017春•莲湖区校级期中）若0＜x＜，则2x与3sin x的大小关系（）A．2x＞3sin x B．2x＜3sin xC．2x=3sin x D．与x的取值有关二．填空题（共3小题）3．（2017•咸阳二模）已知tanα=2，则=．4．（2017春•林芝地区期末）已知，则=．5．（2017春•长安区校级期中）已知tanα=﹣2，则2sinαcosα﹣cos2α的值是．三．解答题（共8小题）6．（2016春•台中市校级期中）已知角θ的终边经过点P（，m）（m≠0）且sinθ=试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．7．（2012秋•延川县校级月考）角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合．（1）若角α终边经过点（3，﹣4）．求角α的正弦函数值、余弦函数值．（2）若角α的终边经过点（4，y），且，求y的值．8．（2017秋•黄陵县校级期末）已知tanα=﹣，求的值．9．（2017春•长安区校级月考）已知，求y=sinβ﹣cos2α的最值．10．（2016春•咸阳校级期中）f（x）=2cos2x﹣2acosx﹣1﹣2a的最小值为g（a），a∈R（1）求g（a）；（2）若g（a）=，求a及此时f（x）的最大值．。
三角函数实际应用题 答案解析版本
三角函数的实际应用知识：直角三角形中其他重要概念⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l =，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． ⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度.如图⑶．图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线2. 解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：⑴ 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；⑵ 找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）； ⑶ 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形； ⑷ 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位 3. 0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)典型例题类型一.所求线段由两段和差组成。
例题1.（2018成都） 由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛C 位于它的北偏东70︒方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛C 位于它的北偏东37︒方向.如果航母继续航行至小岛C 的正南方向的D 处，求还需航行的距离BD 的长.（参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan70 2.75︒≈，sin370.6︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）.解：由题知：70ACD ∠=︒，37BCD ∠=︒，80AC =.在Rt ACD ∆中，cos CD ACD AC ∠=，0.3480CD=∴，27.2CD =∴（海里）. 在Rt BCD ∆中，tan BD BCD CD ∠=，0.7527.2BD=∴，20.4BD =∴（海里）.答：还需要航行的距离BD 的长为20.4海里.变式1.为了减轻二环高架上汽车的噪音污染，成都市政府计划在高架上的一些路段的护栏上方增加隔音屏．如图，工程人员在高架上的车道 M 处测得某居民楼顶的仰角∠ABC 的度数是 20°，仪器 BM 的高是 0.8m ，点M 到护栏的距离 MD 的长为 11m ，求需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离 ED 的长（结果保留到 0.1m ，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）解：由题意：CD ＝BM ＝0.8m ，BC ＝MD ＝11m ， 在Rt △ECB 中，EC ＝BC •tan20°＝11×0.36≈3.96（m ）， ∴ED ＝CD +EC ＝3.96+0.8≈4.8（m ），答：需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离 ED 的长4.8m2.如图，登山缆车从点A 出发，途径点B 后到达终点C 。
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三角函数典型例题
三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学中广泛应用，也是解决各种数学问题的基础。
下面我将列举几个典型的三角函数例题，并提供相关参考内容供大家参考。
例题1：“已知一角的正弦值为0.6，求这个角的余弦值。
”
解析：首先，根据三角函数的定义，正弦值是指在直角三角形中，斜边与对应的角的比值。
即sin(θ) = 对边/斜边。
所以，已知sin(θ) = 0.6，可以设斜边为x，对边为0.6x。
根据勾股定理，可以得到斜边的长度。
然后，根据余弦值的定义，余弦值是指在直角三角形中，邻边与斜边的比值。
即cos(θ) = 邻边/斜边。
所以，余弦值为cos(θ) = 邻边/x = 邻边/(根号(x^2 - (0.6x)^2))。
根据已知条件sin(θ) = 0.6和cos(θ) = 邻边/(根号(x^2 -
(0.6x)^2))，可以解方程得到余弦值。
参考内容：
公式1：三角函数正弦定义——在直角三角形中，某一锐角的
正弦值是指斜边与对边的比值。
即sin(θ) = 对边/斜边。
公式2：勾股定理——在直角三角形中，直角边的平方之和等
于斜边的平方。
即a^2 + b^2 = c^2。
公式3：三角函数余弦定义——在直角三角形中，某一锐角的
余弦值是指斜边与邻边的比值。
即cos(θ) = 邻边/斜边。
例题2：“已知一角的正切值为1.2，求这个角的正弦和余弦值。
”
解析：正切值是指在直角三角形中，对边与邻边的比值。
即
tan(θ) = 对边/邻边。
所以，已知tan(θ) = 1.2，可以设对边为
1.2x，邻边为x。
根据勾股定理，可以得到斜边的长度。
然后，根据正弦值和余弦值的定义，正弦值是指在直角三角形中，对边与斜边的比值；余弦值是指在直角三角形中，邻边与斜边的比值。
即sin(θ) = 对边/斜边 = 1.2x/根号(x^2 + (1.2x)^2)；cos(θ) = 邻边/斜边 = x/根号(x^2 + (1.2x)^2)。
根据已知条件tan(θ) = 1.2和sin(θ) = 1.2x/根号(x^2 + (1.2x)^2)及cos(θ) = x/根号(x^2 + (1.2x)^2)，可以解方程得到正弦值和余弦值。
参考内容：
公式4：三角函数正切定义——在直角三角形中，某一锐角的
正切值是指对边与邻边的比值。
即tan(θ) = 对边/邻边。
例题3：“已知一角的余弦值为0.8，求这个角的正弦和正切值。
”
解析：已知cos(θ) = 0.8，根据余弦定义，cos(θ) = 邻边/斜边。
设邻边为0.8x，斜边为x。
根据勾股定理，可以得到对边的长度。
然后，根据正弦值和正切值的定义，正弦值是指对边与斜边的比值；正切值是指对边与邻边的比值。
即sin(θ) = 对边/斜边 = 对边/x = 对边/(根号(x^2 - (0.8x)^2))；tan(θ) = 对边/邻边 = 对边/(0.8x)。
根据已知条件cos(θ) = 0.8和sin(θ) = 对边/(根号(x^2 - (0.8x)^2))及tan(θ) = 对边/(0.8x)，可以解方程得到正弦
值和正切值。
参考内容：
公式5：三角函数余弦定义——在直角三角形中，某一锐角的
余弦值是指邻边与斜边的比值。
即cos(θ) = 邻边/斜边。