定积分及其应用(精讲精练)

第5章 定积分与其应用学习目标理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质. 掌握变上限定积分的导数的计算方法.熟练应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法. 了解定积分在经济管理中的应用，会利用定积分计算平面图形的面积.定积分和不定积分是积分学中密切相关的两个基本概念,定积分在自然科学和实际问题中有着广泛的应用.本章将从实例出发介绍定积分的概念、性质和微积分基本定理,最后讨论定积分在几何、物理上的一些简单应用.5.1 定积分的概念与性质定积分无论在理论上还是实际应用上，都有着十分重要的意义，它是整个高等数学最重要的内容之一.5.1.1实例分析1.曲边梯形的面积在初等数学中,我们已经学会计算多边形和圆的面积,至于任意曲边所围成的平面图形的面积,只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决.所谓曲边梯形,就是在直角坐标系中,由直线0,,===y b x a x 与曲线)(x f y =所围成的图形，如图5.1(a),(b),(c)都是曲边梯形.现在求0)(≥x f 时，在连续区间],[b a 上围成的曲边梯形的面积A （如图5.1(a),(b)所(a)示），用以往的知识没有办法解决.为了求得它的面积，我们按下述步骤来计算：(1)分割——将曲边梯形分割成小曲边梯形在区间],[b a 内任意插入1-n 个分点：b x x x x x a n n =<<⋅⋅⋅<<<=-1210，把区间],[b a 分成n 个小区间：],[,],[],,[],,[1,12110n n i i x x x x x x x x -- ，第i 个小区间的长度为),,1(1n i x x x i i i ⋅⋅⋅=-=∆-，过每个分点作垂直于x 轴的直线段，它们把曲边梯形分成n 个小曲边梯形（图5.2），小曲边梯形的面积记为),2,1(n i A i ⋅⋅⋅=∆.(2)近似——用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积在小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(n i i ⋅⋅⋅=ξ，作以],[1i i x x -为底，)(i f ξ为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，则),,2,1()(n i x f A i i i ⋅⋅⋅=∆≈∆ξ.(3)求和——求n 个小矩形面积之和n 个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和A ，即n A A A A ∆+⋅⋅⋅+∆+∆=21n n x f x f x f ∆+⋅⋅⋅+∆+∆≈)()()(2211ξξξi ni i x f ∆=∑=)(1ξ.(4)取极限令{}i ni x ∆=≤≤1max λ，当分点n 无限增多且0→λ时，和式ini ix f ∆∑=)(1ξ的极限便是曲边梯形的面积A ，即i ni i x f A ∆=∑=→)(lim 1ξλ.2．变速直线运动的路程设一物体作变速直线运动，其速度是时间t 的连续函数)(t v v =，求物体在时刻1T t =到2T t =间所经过的路程S.图5.2我们知道，匀速直线运动的路程公式是：vt S =，现设物体运动的速度v 是随时间的变化而连续变化的，不能直接用此公式计算路程，而采用以下方法计算：(1)分割——把整个运动时间分成n 个时间段在时间间隔],[21T T 内任意插入1-n 个分点：21101T t t t t T n n =<<⋅⋅⋅<<=-，把],[21T T 分成n 个小区间：],[,],[],,[],,[1,12110n n i i t t t t t t t t --⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第i 个小区间的长度为),,2,1(1n i t t t i i i ⋅⋅⋅=-=∆-第i 个时间段内对应的路程记作),2,1(n i S i ⋅⋅⋅=∆.(2)近似——在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程 在小区间],[1i i t t -上任取一点),2,1(n i i ⋅⋅⋅=ξ,用速度)(i v ξ近似代替物体在时间],[1i i t t -上各个时刻的速度，则有),,2,1()(n i t v S i i i ⋅⋅⋅=∆≈∆ξ.(3)求和——求n 个小时间段路程之和将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即n S S S S ∆+⋅⋅⋅+∆+∆=21n i t v t v t v ∆+⋅⋅⋅+∆+∆≈)()()(2211ξξξi ni i t v ∆=∑=)(1ξ.(4)取极限令{}i ni t ∆=≤≤1max λ，当分点的个数n 无限增多且0→λ时，和式ini it v ∆∑=)(1ξ的极限便是所求的路程S .即i ni i t v S ∆=∑=→)(lim 1ξλ从上面两个实例可以看出，虽然二者的实际意义不同，但是解决问题的方法却是一样的，即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法，最后都归结为同一种结构的和式极限问题.类似这样的实际问题还有很多，我们抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质特征，从数学的结构加以研究，就引出了定积分的概念.5.1.2定积分的概念定义5.1 设函数)(x f 在区间],[b a 上有定义，任取分点b x x x x x a n n =<<⋅⋅⋅<<<=-1210 把区间],[b a 任意分割成n 个小区间],[1i i x x -，第i 个小区间的长度为),,1(1n i x x x i i i ⋅⋅⋅=-=∆-，记{}i ni x ∆=≤≤1max λ.在每个小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(n i i ⋅⋅⋅=ξ作和式ini ix f ∆∑=)(1ξ，当0→λ时，若极限ini ix f ∆∑=→)(lim1ξλ存在（这个极限值与区间],[b a 的分法与点iξ的取法无关），则称函数)(x f 在],[b a 上可积，并称这个极限为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作⎰b adx x f )(，即⎰b adx x f )(i ni i x f ∆=∑=→)(lim 1ξλ .其中，“)(x f ”称为被积函数，“dx x f )(”称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，],[b a 称为积分区间.根据定积分的定义，前面所讨论的两个实例可分别叙述为： ①曲边梯形的面积A 是曲线)(x f y =在区间],[b a 上的定积分.⎰=badx x f A )((0)(≥x f ).②变速直线运动的物体所走过的路程S 等于速度函数)(t v v =在时间间隔],[21T T 上的定积分.⎰=21)(T T dt t v S .关于定积分的定义作以下几点说明：⑴闭区间上的连续函数是可积的；闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的. ⑵定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数)(x f 和积分区间],[b a ，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有⎰⎰=bab adt t f dx x f )()(.⑶在定积分的定义中，有b a <，为了今后计算方便，我们规定：⎰⎰-=baa bdx x f dx x f )()(.容易得到0)(=⎰a adx x f .5.1.3定积分的几何意义设)(x f 是[]b a ,上的连续函数，由曲线)(x f y =与直线0,,===y b x a x 所围成的 曲边梯形的面积记为A .由定积分的定义与5.1.1实例1，容易知道定积分有如下几何意义：（1）当0)(≥x f 时，A dx x f b a=⎰)(（2）当0)(≤x f 时，A dx x f b a-=⎰)(（3）如果)(x f 在[]b a ,上有时取正值，有时取负值时，那么以[]b a ,为底边，以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于x 轴的上方或下方.这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3所示，有321)(A A A dx x f b a+-=⎰其中321,,A A A 分别是图5.3中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.例5.1.1利用定积分的几何意义，证明21112π=-⎰-dx x .证 令]1,1[,12-∈-=x x y ，显然0≥y ， 则由21x y -=和直线1,1=-=x x ，0=y 所围成的曲边梯形是单位圆位于x 轴上方的半圆. 如图5.4所示.因为单位圆的面积π=A ，所以 半圆的面积为2π. 由定积分的几何意义知：21112π=-⎰-dx x .5.1.4定积分的性质由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比较复杂，但易推证定积分具有下述性质，其中所涉与的函数在讨论的区间上都是可积的.性质5.1.1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即⎰⎰=bab adx x f k dx x kf )()(.性质5.1.2 两个函数代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即[]⎰⎰⎰±=±bab ab adx x g dx x f dx x g x f )()()()(.这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情形. 性质5.1.3（积分的可加性）对任意的点c ，有⎰⎰⎰+=bcc ab adx x f dx x f dx x f )()()(.注意 c 的任意性意味着不论c 是在],[b a 之内，还是c 在],[b a 之外，这一性质均成立. 性质5.1.4如果被积函数c c x f (,)(=为常数),则⎰-=b aa b c cdx )(.特别地,当1=c 时,有⎰-=b aa b dx .性质5.1.5（积分的保序性）如果在区间],[b a 上,恒有)()(x g x f ≥，则⎰⎰≥b abadx x g dx x f )()(.性质5.1.6（积分估值定理）如果函数)(x f 在区间],[b a 上有最大值M 和最小值m ,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质5.1.7 (积分中值定理) 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则在),(b a 内至少有一点ξ,使得⎰-=b aa b f dx x f ))(()(ξ),(b a ∈ξ.证因)(x f 在],[b a 内连续，所以)(x f 在],[b a 内有最大值M 和最小值m ， 由性质5.1.6知： ).()()(a b M dx x f a b m b a-≤≤-⎰从而有 .)(1M dx x f ab m b a ≤-≤⎰ 这就说：⎰-b a dx x f ab )(1是介于m 与M 之间的一个实数. 由连续函数的介值定理1.10知：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()(1ξf dx x f a b b a=-⎰.即⎰-=b aa b f dx x f ))(()(ξ),(b a ∈ξ.注 性质5.1.7的几何意义是:由曲线)(x f y =,直线b x a x ==,和x 轴所围成曲边梯形的面积等于区间],[b a 上某个矩形的面积,这个矩形的底是区间],[b a ,矩形的高为区间],[b a 内某一点ξ处的函数值)(ξf ， 如图5.5所示.显然，由性质5.1.7可得⎰-=b a dx x f ab f )(1)(ξ，)(ξf 称为函数)(x f 在区间],[b a 上的平均值.这是求有限个数的平均值的拓广.性质5.1.8(对称区间上奇偶函数的积分性质) 设)(x f 在对称区间],[a a -上连续,则有 ①如果)(x f 为奇函数,则⎰-=a a dx x f 0)(； ②如果)(x f 为偶函数,则⎰⎰-=a aadx x f dx x f 0)(2)(.例5.1.2估计定积分dx e x ⎰--112的值.解 设2)(x e x f -=,22)('x xe x f --=，令0)('=x f ,得驻点0=x ，比较0=x 与区间端点1±=x 的函数值,有1)0(0==e f ,ee f 1)1(1==±-. 显然2)(x e x f -=在区间]1,1[-上连续,则)(x f 在]1,1[-上的最小值为em 1=,最大值为1=M ，由定积分的估值性质,得22112≤≤⎰--dx e ex . 例5.1.3 比较定积分dx x ⎰102与dx x ⎰13的大小.解 因为在区间]1,0[上,有32x x ≥,由定积分保序性质,得dx x ⎰12dx x ⎰≥13.定积分定积分的原始思想可以追溯到古希腊．古希腊人在丈量形状不规则的土地的面积时，先尽可能地用规则图形(例如矩形和三角形)把要丈量的土地分割成若干小块，并且忽略那些边边角角的不规则的小块．计算出每一小块规则图形的面积，然后将它们相加，就得到土地面积的近似值．后来看来，古希腊人丈量土地面积的方法就是面积思想的萌芽．在十七世纪之前，数学家们没有重视古希腊人的伟大思想，当时流行的方法是不可分量法．这种方法认为面积和体积可以看作是由不可分量的运动产生出来的．这种方法没有包含极限概念，也没有采用代数与算数的方法．因此，不可分量的思想没有取得成功．虽然积分概念未能很好得建立起来，然而，到牛顿那个年代，数学家们已经能够计算许多简单的函数的积分．虽然十三世纪就出现了利用分割区间作和式并计算面积的朦胧思想(奥雷姆，法国数学家)．但是建立黎曼积分(即定积分)的严格定义的努力基本上由柯西开始．他比较早地用函数值的和式的极限定义积分(他还定义了广义积分)．但是柯西对于积分的定义仅限于连续函数．1854年，黎曼指出了积分的函数不一定是连续的或者分段连续的，从而把柯西建立的积分进行了推广．他把可积函数类从连续函数扩大到在有限区间中具有无穷多个间断点的函数．黎曼给出关于黎曼可积的两个充分必要条件．其中一个是考察函数)(x f 的振幅；另一个充分必要条件就是对于区间],[b a 的每一个划分b x x x a n =≤≤≤= 10，构造积分上和与积分下和:S=i ni ix M∆⋅∑=1s=i ni i x m ∆⋅∑=1其中M i 和m i 分别是函数)(x f 在每个子区间上的最大值和最小值.)(x f 在],[b a 黎曼可积的充分必要条件就是0)(lim 0max =-→∆s S x至今，这个定理仍然经常出现在微积分和数学分析的教科书中．达布(法国数学家)对于黎曼的积分的定义作了推广．他严格地证明了不连续函数，甚至有无穷多个间断点的函数，只要间断点可以被包含在长度可以任意小的有限个区间之内就是可积分的．在牛顿和莱布尼兹之前，微分和积分作为两种数学运算、两种数学问题，是分别加以研究的．虽然有不少数学家已经开始考虑微分和积分之间的联系，然而只有莱布尼兹和牛顿(各自独立地)将微分和积分真正沟通起来，明确地找到了两者之间内在的直接的联系，指出微分和积分是互逆的两种运算．而这正是建立微积分的关键所在．牛顿在1666年发表的著作《流数简论》中，从确定面积率的变化入手，通过反微分计算面积，把面积计算看作是求切线的逆．从而得到了微积分基本定理．在1675年，莱布尼兹就认识到，作为求和过程的积分是微分的逆．他于1675—1676年给出了微积分基本定理)()(a f b f dx dx dfba-=⎰ 并于1693年给出了这个定理的证明．简单直观并且便于应用，是黎曼积分的优点.黎曼积分的缺点主要是理论方面的．一方面,黎曼积分的可积函数类太小．基本上是“分段连续函数”构成的函数类．另一方面，黎曼积分在处理诸如函数级数的逐项积分、重积分的交换积分顺序以与函数空间的完备性这样一些重要的理论问题时，存在许多不可克服的障碍于．是在上一世纪末到本世纪初，一种新的积分理论—勒贝格积分应运而生．它是黎曼积分的推广，勒贝格积分的建立是积分学领域的重大发展．它在很大程度上克服了黎曼积分在理论上遇到的上述困难．勒贝格积分是近代分析数学发展的重要动力和基础．习题5.11.用定积分表示由曲线322+-=x x y 与直线4,1==x x 与x 轴所围成的曲边梯形的面积.2.利用定积分的几何意义,作图证明： (1)⎰=1012xdx (2)20224R x R R π=-⎰3.不计算定积分,比较下列各组积分值的大小. (1)dx x ⎰10,dx x ⎰12 (2)dx e x ⎰1,dx e x ⎰-12(3)⎰43ln xdx ,xdx ⎰432ln (4)⎰40cos πxdx ,⎰40sin πxdx4.利用定积分估值性质,估计下列积分值所在的X 围. (1)dx e x ⎰10 (2)⎰-2)2(dx x x(3)dx x x⎰+2121 (4)dx x x ⎰--202955.试用积分中值定理证明0sin lim 1=⎰++∞→dx xxn n n .5.2 定积分的基本公式定积分就是一种特定形式的极限，直接利用定义计算定积分是十分繁杂的，有时甚至无法计算.本节将介绍定积分计算的有力工具——牛顿—莱布尼兹公式.5.2.1变上限定积分定义5.2 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，对于任意],[b a x ∈，)(x f 在区间],[x a 上也连续，所以函数)(x f 在],[x a 上也可积.显然对于],[b a 上的每一个x 的取值，都有唯一对应的定积分⎰x adt t f )(和x 对应，因此⎰xadt t f )(是定义在],[b a 上的函数.记为⎰=Φxadt t f x )()(，],[b a x ∈.称)(x Φ叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.变上限积分函数的几何意义是： 如果0)(>x f ，对][b a ,上任意x ，都 对应唯一一个曲边梯形的面积)(x Φ， 如图5.6中的阴影部分.因此变上限 积分函数有时又称为面积函数.函数)(x Φ具有如下重要性质.定理5.1 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则⎰=Φx adt t f x )()(在],[b a 上可导，且)()()()(b x a x f dt t f dx d x xa≤≤==Φ'⎰.证给定函数)(x Φ的自变量x 的改变量x ∆，函数)(x Φ有相应的改变量∆Φ.则⎰⎰⎰∆+∆+=-=Φ-∆+Φ=∆Φx x xx ax x adt t f dt t f dt t f x x x )()()()()(.由定积分的中值定理，存在),(),(x x x x x x ∆+∆+∈或ξ，使x f dt t f x x x∆=⎰∆+)()(ξ成立.所以)()(lim )(lim )(lim lim)()(000x f f f xxf x x x f x x x x 连续ξξξξ→→∆→∆→∆==∆∆=∆∆Φ=Φ'.由定理5.1可知，如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则函数⎰=Φx adt t f x )()(就是)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数.由定理5.1我们有下面的结论.定理5.2（原函数存在定理） 如果)(x f 在区间],[b a 上连续，则它的原函数一定存在，且其中的一个原函数为⎰=Φxadt t f x )()(.注 这个定理一方面肯定了闭区间],[b a 上连续函数)(x f 的一定有原函数（解决了第四章第一节留下的原函数存在问题），另一方面初步地揭示积分学中的定积分与原函数之间的联系.为下一步研究微积分基本公式奠定基础.例5.2.1 计算tdt e dx d x tsin 0⎰-.解tdt e dxd x t sin 0⎰-=]sin [0'⎰-tdte x t=x e x sin -. 例5.2.2 求⎰+→xx dt t x020)1ln(1lim .解 当0→x 时，此极限为0型不定式，两次利用洛必塔法则有⎰+→x x dt t x20)1ln(1lim =2)1ln(limx dt t x x ⎰+→ =xx x 2)1ln(lim0+→=211lim 0x x +→=21例5.2.3求dt t dx d x )1(212+⎰. 解 注意，此处的变上限积分的上限是2x ，若记2x u =，则函数dt t x )1(212+⎰可以看成是由dt t y u)1(12+=⎰与2x u =复合而成，根据复合函数的求导法则得dt t dx d x )1(212+⎰=dxdu dt t du d u ])1([12+⎰=x u 2)1(2+ =x x 2)1(4+=x x 225+.一般地有，如果)(x g 可导，则)()]([])([])([)()(x g x g f dt t f dt t f dxd x x g a x g a '='=⎰⎰. 上式可作为公式直接使用.例5.2.4求极限402sin limxtdt x x ⎰→.解 因为0lim 4=→x x ，⎰⎰==→20000sin sin lim x x tdt tdt ，所以这个极限是0型的未定式，利用洛必塔法则得42sin limx tdt x x ⎰→=32042sin lim xx x x ⋅→=2202sin lim x x x → =220sin lim 21x x x → =21.5.2.2微积分基本公式定理5.3 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且)(x F 是)(x f 的任意一个原函数，那么⎰-=b aa Fb F dx x f )()()(.证 由定理5.2知，⎰=Φx adt t f x )()(是)(x f 在区间],[b a 的一个原函数，则)(x Φ与)(x F 相差一个常数C ，即C x F dt t f x a+=⎰)()(.又因为C a F dt t f a a+==⎰)()(0，所以)(a F C -=.于是有)()()(a F x F dt t f x a -=⎰. 所以⎰-=b aa Fb F dx x f )()()(成立.为方便起见，通常把)()(a F b F -简记为ba x F )(或ba x F )]([，所以公式可改写为)()()()(a F b F x F dx x f b a b a-==⎰上述公式称为牛顿—莱布尼兹（Newton-Leibniz ）公式，又称为微积分基本公式.定理5.3揭示了定积分与被积函数的原函数之间的内在联系，它把求定积分的问题转化为求原函数的问题.确切地说，要求连续函数)(x f 在],[b a 上的定积分，只需要求出)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数)(x F ，然后计算)()(a F b F -就可以了.例5.2.5 计算dx x ⎰102.解 因为C x dx x +=⎰3231，所以 dx x ⎰12=10331x =33031131⨯-⨯=31. 例5.2.6求dx e e xx⎰-+111. 解 dx e e xx ⎰-+111=⎰-++111)1(x xe e d =11)1ln(-+x e =)1ln()1ln(1-+-+e e =1.例5.2.7求dx x ⎰--312.解 根据定积分性质5.1.3，得dx x ⎰--312=⎰⎰⎰⎰---+-=-+-21322132)2()2(|2||2|dx x dx x dx x dx x=322212)221()212(x x x x -+--=2129+=5.例5.2.8求极限.)321(lim 4333nn n ++++∞→ 解 根据定积分定义,得.4141)(1lim )321(lim 14110334333====++++∑⎰=∞→∞→x dx x ni n n n n i n n牛顿与莱布尼兹牛顿（Newton ，Isaac ，1643～1727）英国物理学家，数学家，天文学家.经典物理学理论体系的建立者.莱布尼兹（Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716）是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才.他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献.微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论.实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿.莱布尼兹在1684年10月发表的《教师学报》上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献.牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家G 、W 莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以与类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法.他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外.”（但在第三版与以后再版时，这段话被删掉了.）因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的.牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹.莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不与的.莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一.因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx 表示x 的微分，∫表示积分，等等.这些符号进一步促进了微积分学的发展.1713年，莱布尼兹发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性.你知道为什么称为牛顿---莱布尼兹公式了吧！习题5.21. 求下列函数的导数： (1)dt t x F x ⎰+=021)( (2)dt ttx F x a⎰=2sin )( (3)dt e t x F xt⎰-=12)( (4)tdt x F x x⎰-=22cos )(2.求下列函数的极限： (1)xtdt x x ⎰→02cos lim(2)211)1()1(lim--⎰→x dtt t x x(3)2arctan limx tdt x x ⎰→ (4)2)11(limx dtt t x x ⎰--+→3.求函数⎰-=x dt t t x F 0)2()(在区间]3,1[-上的最大值和最小值.4.求由曲线x x y 22+-=与直线2,0==x x 与x 轴所围成的曲边梯形的面积. 5.求下列定积分的值： (1)dx x x )1(212-+⎰(2)dx x x )2(21+⎰(3)dx x x⎰+2021 (4)dx x ⎰211 (5)dx x ⎰πcos (6)dx e x⎰225.3 定积分的积分法在第四章我们学习了用换元积分法和分部积分法求已知函数的原函数.把它们稍微改动就是定积分的换元积分法和分部积分法.但最终的计算总是离不开牛顿-莱布尼兹公式.5.3.1定积分的换元积分法定理5.4 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，并且满足下列条件： （1）)(t x ϕ=，且)(αϕ=a ，)(βϕ=b ；（2）)(t ϕ在区间],[βα上单调且有连续的导数)(t ϕ'； （3）当t 从α变到β时，)(t ϕ从a 单调地变到b . 则有⎰⎰'=b adt t t f dx x f βαϕϕ)()]([)(上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点： ①从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法.计算时，用)(t x ϕ=把原积分变量x 换成新变量)(t ϕ，积分限也必须由原来的积分限a 和b 相应地换为新变量t 的积分限α和β，而不必代回原来的变量x ，这与不定积分的第二换元法是完全不同的.②从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法（即凑微分法）.一般不用设出新的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿—莱布尼兹公式求出定积分的值.例5.3.1求dx xx ⎰+301.解 令t x =+1，则12-=t x ，tdt dx 2=，当0=x 时，1=t ，当3=x 时，2=t ，于是dx xx ⎰+301=tdt t t 21212⋅-⎰=dt t ⎰-212)1(2=213]31[2t t -=38 例5.3.2 求xdx x sin cos 203⎰π.解法一设x t cos =，则xdx dt sin -=，当0=x 时，1=t ；当2π=x 时，0=t ，于是xdx x sin cos 203⎰π=)(013dt t -⋅⎰=dt t ⎰103=104]41[t =41. 解法二xdx x sin cos 203⎰π=x xd cos cos 203⎰-π=204]cos 41[πx -=41. 解法一是变量替换法，上下限要改变；解法二是凑微分法，上下限不改变. 例5.3.3 求dx e x ⎰-2ln 01.解 令t e x =-1，则)1ln(2t x +=，dt ttdx 212+=，当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t ，于是dx e x⎰-2ln 01=dt t t t ⎰+⋅10212=dt t t ⎰+102212=dt t)111(2102⎰+- =10]arctan [2t t -=22π-.例5.3.4设)(x f 在区间],[a a -上连续，证明： （1）如果)(x f 为奇函数，则⎰-=a a dx x f 0)(； （2）如果)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=a aadx x f dx x f 0)(2)(.这结论是定积分的性质5.1.8，下面我们给出严格的证明.证由定积分的可加性知x d x f x d x f x d x f aaaa⎰⎰⎰+=--00)()()(，对于定积分⎰-0)(adx x f ，作代换t x -=，得⎰-0)(a dx x f =⎰--0)(adt t f =⎰-a dt t f 0)(=⎰-a dx x f 0)(，所以⎰⎰⎰-+-=aaa adx x f dx x f dx x f 0)()()(=⎰-+adx x f x f 0)]()([（1）如果)(x f 为奇函数，即)()(x f x f -=-，则0)()()()(=-=-+x f x f x f x f ， 于是⎰-=aadx x f 0)(.（2）如果)(x f 为偶函数，即)()(x f x f =-，则)(2)()()()(x f x f x f x f x f =+=-+，于是⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(.例5.3.5 求下列定积分： （1）dx xxx ⎰-+33421sin （2）dx x x 22224-⎰- 解 （1）因为被积函数421sin )(xxx x f +=是奇函数，且积分区间]3,3[-是对称区间，所以dx x xx ⎰-+33421sin =0.（2）被积函数224)(x x x f -=是偶函数，积分区间]2,2[-是对称区间，所以dx x x 22224-⎰-=dx x x 22242-⎰，令t x sin 2=，则tdt dx cos 2=，t x cos 242=-， 当0=x 时，0=t ；当2=x 时，2π=t ，于是dx x x22224-⎰-=tdt t ⎰2022cos sin 162π=tdt 2sin 8202⎰π=dt t ⎰-20)4cos 1(4π=20)4sin 4(πt t -=π2.2.分部积分法定理5.5设函数)(x u u =和)(x v v =在区间],[b a 上有连续的导数，则有)()()]()([)()(x du x v x v x u x dv x u bab ab a⎰⎰-=.上述公式称为定积分的分部积分公式.选取)(x u 的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.例5.3.6求⎰21ln xdx x .解⎰21ln xdx x =⎰212)(ln 21x xd =)(ln 21ln 21212212x d x x x ⎰-=⎰-21212ln 2xdx =212412ln 2x -=432ln 2-.例5.3.7 求⎰πsin xdx x .解⎰πsin xdx x =⎰-πcos x xd =⎰+-ππ0cos cos xdx x x=ππ0sin x +=π.例5.3.8 求dx e x ⎰10.解令t x =，则2t x =，tdt dx 2=,当0=x 时，0=t ；当1=x 时，1=t .于是dx e x ⎰10=dt te t ⎰102=⎰102t tde =dt e te t t ⎰-11022=1022t ee -=222+-e e =2.此题先利用换元积分法，然后应用分部积分法.习题 5.31.求下列定积分的值：(1)dx xxe⎰+1ln 1 (2)dx x x ⎰-1021(3)dx e x x 12121⎰(4)⎰++3011x dx(5)⎰+6413xx dx (6)dx xx ⎰-1011(7)dx e x x 2202⎰(8)⎰1arctan xdx(9)⎰-+10)1ln(e dx x (10)xdx e x cos 202⎰π2.求下列定积分：(1)dx x x x x )cos sin 3(2112++⎰- (2)dx x x xx ⎰-++11242312sin (3)dx ax x a a⎰-+222 (4)dx xx ⎰--+1121sin 15.4 定积分的应用由于定积分的概念和理论是在解决实际问题的过程中产生和发展起来的，因而它的应用非常广泛.问题1 在机械制造中，某凸轮横截面的轮廓线是由极坐标方程)cos 1(θ+=a r)0(>a 确定的，要计算该凸轮的面积和体积.问题2 修建一道梯形闸门，它的两条底边各长6m 和4m ，高为6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力.为了解决这些问题，下面先介绍运用定积分解决实际问题的常用方法——微元法，然后讨论定积分在几何和物理上的一些简单应用.读者通过这部分内容的学习，不仅要掌握一些具体应用的计算公式，而且还要学会用定积分解决实际问题的思想方法.5.4.1定积分应用的微元法为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积A 的方法和步骤：(1)将区间],[b a 分成n 个小区间，相应得到n 个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为i A ∆),2,1(n i =；(2)计算i A ∆的近似值，即i i i x f A ∆≈∆)(ξ（其中],[,11i i i i i i x x x x x --∈-=∆ξ）； (3)求和得A 的近似值，即ini ix f A ∆≈∑=1)(ξ；(4)对和取极限得⎰∑=∆==→b aini idx x f x f A )()(lim1ξλ.下面对上述四个步骤进行具体分析：第(1)步指明了所求量（面积A ）具有的特性：即A 在区间],[b a 上具有可分割性和可加性.第(2)步是关键，这一步确定的i i i x f A ∆≈∆)(ξ是被积表达式dx x f )(的雏形.这可以从以下过程来理解：由于分割的任意性，在实际应用中，为了简便起见，对i i i x f A ∆≈∆)(ξ省略下标，得x f A ∆≈∆)(ξ，用],[dx x x +表示],[b a 内的任一小区间，并取小区间的左端点x 为ξ，则A ∆的近似值就是以dx 为底，)(x f 为高的小矩形的面积（如图5.7阴影部分），即dx x f A )(≈∆.通常称dx x f )(为面积元素，记为dx x f dA )(=.将(3),(4)两步合并，即将这些面积元素在],[b a 上“无限累加”，就得到面积A .即⎰=badx x f A )(.一般说来，用定积分解决实际问题时，通常按以下步骤来进行：（1）确定积分变量x ，并求出相应的积分区间],[b a ；（2）在区间],[b a 上任取一个小区间],[dx x x +，并在小区间上找出所求量F 的微元dx x f dF )(=；（3）写出所求量F 的积分表达式⎰=b adx x f F )(，然后计算它的值.利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法. 注 能够用微元法求出结果的量F 一般应满足以下两个条件： ①F 是与变量x 的变化X 围],[b a 有关的量；②F 对于],[b a 具有可加性，即如果把区间],[b a 分成若干个部分区间，则F 相应地分成若干个分量.5.4.2定积分求平面图形的面积1.直角坐标系下面积的计算(1)由曲线)(x f y =和直线0,,===y b x a x 所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述.(2)求由两条曲线)(),(x g y x f y ==，))()((x g x f ≥与直线b x a x ==,所围成平面的面积A （如图5.8所示）.下面用微元法求面积A . ①取x 为积分变量，],[b a x ∈.②在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，该区间上小曲边梯形的面积dA 可以用高)()(x g x f -，底边为dx 的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素dx x g x f dA )]()([-=.图5.8③写出积分表达式，即⎰-=badx x g x f A )]()([.⑶求由两条曲线)(),(y x y x ϕψ==，))()((y y ϕψ≤与直线d y c y ==,所围成平 面图形（如图5.9）的面积.这里取y 为积分变量，],[d c y ∈， 用类似 (2)的方法可以推出：⎰-=dcdy y y A )]()([ψϕ.例5.4.1 求由曲线2x y =与22x x y -= 所围图形的面积.解 先画出所围的图形（如图5.10）由方程组⎩⎨⎧-==222xx y x y ，得两条曲线的交点为 )1,1(),0,0(A O ，取x 为积分变量，]1,0[∈x .由公式得dx x x x A )2(122⎰--=1032]32[x x -=31=.例5.4.2 求曲线x y 22=与4-=x y 所围图形的面积.解 画出所围的图形（如图5.11）.由方程组⎩⎨⎧-==422x y xy 得两条曲线的交点坐标为)4,8(),2,2(B A -，取y 为积分变量，]4,2[-∈y .将两曲线方程分别改写为4212+==y x y x 及得所求面积为 dy y y A ⎰--+=422)214(x 图5.92x x -图5.104-=x4232)61421(--+=y y y 18=. 注 本题若以x 为积分变量，由于图形在]8,2[]2,0[和两个区间上的构成情况不同，因此需要分成两部分来计算，其结果应为：⎰⎰--+=8220)]4(2[22dx x x dx x A82223223]421322[324x x x x+-+=18=.显然，对于例5.4.2选取x 作为积分变量，不如选取y 作为积分变量计算简便.可见适当选取积分变量，可使计算简化.例5.4.3求曲线x y x y sin cos ==与在区间],0[π上所围平面图形的面积. 解 如图5.12所示，曲线x y x y sin cos ==与的交点坐标为)22,4(π，选取x 作为 积分变量，][π,0∈x ，于是，所求面积为dx x x dx x x A ⎰⎰-+-=πππ440)cos (sin )sin (cosπππ440)sin cos ()cos (sin x x x x --++=22=.2.极坐标系下面积的计算设曲边扇形由极坐标方程)(θρρ=与射线)(,βαβθαθ<==所围成（如图5.13所示）.下面用微元法求它的面积A.以极角θ为积分变量，它的变化区间是],[βα，相应的小曲边扇形的面积近似等于半径为)(θρ，中心角为θd 的圆扇形的面积，从而得面积微元为θθρd dA 2)]([21=x图5.12。