必修五数学等差数列知识点精讲,经典例题真题剖析及训练

等差数列一、创设情景，揭示课题，研探新知1.等差数列的定义：（1）等差数列的通项公式；（2）等差数列的求和公式。

2.等差数列的性质： 已知数列{n a }是等差数列，则（1）对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠； （2）若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+ （3）等差数列前n 项和公式：1()2n n n a a S +=或1(1)2n n n S na d -=+⨯ 注意：①等差数列前n 项和公式又可化成式子：n da n d S n )2(212-+=，当0≠d ，此式可看作二次项系数为2d ，一次项系数为21da -，常数项为零的二次式；②当0>d 时，n S 有最小值；当0<d 时，n S 有最大值；③图象：抛物线x da x d y )2(212-+=上的一群独立点。

（4）利用n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩二、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 在等差数列{}n a 中，10100S =，10010S =，求110S ？解法一：设该等差数列首项1a ，公差d，则111109109101001021009911001025a a d a d d ⨯⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⨯⎪⎪+==-⎪⎪⎩⎩，所以，11011101091101102S a d ⨯=+=-． 解法二：在等差数列中，10S , 20S －10S , 30S －20S , ……, 100S －90S , 110S－100S , 成等差数列，∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，1010S ＋2910⨯·D ＝100S ＝10, 解得D ＝－22 ∴ 110S －100S ＝10S ＋10×D ＝－120, ∴ 110S ＝－110.拓展练习1：在等差数列中，p S q =，q S p =，则()p q S p q +=-+．拓展练习2：已知数列{},n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，若n S m =，m S n =，求n m S +拓展练习3：已知等差数列前n 项和为a ，前2n 项和为b ，求前3n 项的和。

（介绍依次k 项成等差）例2 已知等差数列{}n a 的项数为奇数，且奇数的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。

解：设项数为21k +，奇数项和记为S 奇，偶数项和记为S 偶，由题意，S 奇1211321()(1)442k k a a a a a k +++=+++=⨯+= ①S 偶22242()332k k a a a a a k +=+++=⨯= ②①÷②得，14433k k +=，解得3k =，∴ 项数为7项，又S 奇11144k a +=⋅= ，∴ 111k a +=，即中间项为11．说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（1）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 奇-S 偶nd =；②1n n S aS a +=奇偶； （2）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 奇-S 偶n a a ==中；②1S nS n =-奇偶． 例3 在等差数列中，1023a =，2522a =-，（1）该数列第几项开始为负？（2）前多少项和最大？（3）求{}n a 前n 项和？解：设等差数列{}n a 中，公差为d ，由题意得：25101154523(101)(3)a a d a -==-⎧⎨=+-⨯-⎩1503a d =⎧⇒⎨=-⎩ （1）设第n 项开始为负，503(1)5330n a n n =--=-<，533n >， 所以从第18项开始为负。

（2）（法一）设前n 项和为nS ，则222(1)31033103310350(3)()()2222626n n n S n n n n -=+-=-+=--+⨯， 所以，当17n =时，前17项和最大。

（法二）100n n a a +≥⎧⎨≤⎩，则53305030n n -≥⎧⎨-≤⎩，505333n ≤≤，所以17n =．（3）533,017533353,17n n n a n n n -<≤⎧=-=⎨->⎩，∴'12312171819()n n n S a a a a a a a a a a =++++=+++-+++ ， 当17n ≤时，'2310322n S n n =-+， 当17n >时，'221731033103()28842222n S n n S n n =--++=-+，所以，2'22173103(17)2231033103()2884(17)2222n n n n S n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪--++=-+>⎪⎩．说明：（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定10n n a a +≥⎧⎨≤⎩或10n n a a +≤⎧⎨≥⎩．例4 已知数列{}n a 的前n 项和为（1）n S n n -=22；（2）n S 12++=n n ，求数列{}n a 的通项公式。

例5（教材42P 例5）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm ，满盘时直径120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到0.1m ）?解：卫生纸的厚度为0.1mm ，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和。

由内向外各圈的半径分别为 20.05,20.15,,59.95 因此各圈的周长分别为 40.1,40.3,,119.9πππ∵各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n ，则 59.9520.05(1)0.1n =+-⨯， ∴400n =∴各圈的周长组成一个首项为40.1π，公差为0.2π，项数为40的等差数列，400(4001)40040.10.232000()2n S mm πππ⨯-=⨯+⨯=32000()100()mm m π≈答：满盘时卫生纸的总长度约是100米．说明：各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离。

例6 （教材42P 例6）教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象是在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.1‰．（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？（2）零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少？（精确到1元）？说明：教育储蓄可选择1年、3年、6年这三种存期，起存金额50元，存款总额不超过2万元。

解：（1）设每月存入A 元，则有(1 2.1A +‰）(12 2.1A ++⨯‰）(136 2.1A +++⨯ ‰）20000.=由等差数列的求和公式，得：(3636 2.1A +⨯‰36352.12⨯+⨯‰）20000.= 解得：535A ≈（元）（2）由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，∴3年期教育储蓄每月至多可存入2000055536≈（元），这样3年后的本息和为 555(1 2.1+‰）555(12 2.1++⨯‰）555(136 2.1+++⨯ ‰）555=(3636 2.1+⨯‰36352.12⨯+⨯‰）20756≈（元）。

答：欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入535元。

3年期教育储蓄每月至多存入555元，此时3年后本息合计约20756元。

四、巩固深化，反馈矫正1.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差.（注意讨论偶奇S S 的一般结论）五、归纳整理，整体认识 让学生总结本节课的内容 六、承上启下，留下悬念补充：1．数列{}n a 是首项为23，公差为整数的AP 数列，且60a >，70a <， （1）求公差d ；（2）设前n 项和为n S ，求n S 的最大值；（3）当n S 为正数时，求n的最大值。

1、设数列的通项公式为，则（）A、153B、210C、135D、1202、已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（）A、1B、C、D、3.若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是（）A、4005B、4006C、4007D、40084、设是等差数列的前n项之和，且，则下列结论中错误的是（）A、 B、 C、 D、均为的最大项5、已知数列满足，则=（）A、0B、C、D、6、△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为，那么b = （ ）A 、B 、C 、D 、7、若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是（ ）A 、（1，2）B 、（2，+∞）C 、[3，+∞D 、（3，+∞）二、填空题：8、在△ABC 中，若三内角成等差数列，则最大内角与最小内角之和为______.9、若在等差数列中，，则通项公式=______________10、数列的通项公式，其前n 项和时，则n 等于_________11、已知数列{a n }，a 1=1,a 2=2,a n +12－a n a n +2=(－1)n ,则a 3=______,a 4=______.12、在等差数列{a n }中，a 5=－1,a 6=1，则a 5+a 6+…+a 15=______.13、已知数列中，则数列的通项公式=______________填空题1．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若5,10105-==S S ,则公差为_____________ 2．在等差数列{}n a 中，已知2054321=++++a a a a a ，那么3a 等于_____________ 3.等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知131113,,a S S n ==为______时，n S 最大。

4.在等差数列{a n }中，S 4=6,S 8=20,则S 16= 。

5.在等差数列{a n }中，S 3=S 8,S 2=S n ,则n= 。

6.成等差数列的四个数之和为26，第一个数与第四个数积为22，则这四个数为 。