球杆系统课程设计

固高球杆系统课程设计

目录

一、整体方案设计 (3)

1.1需求 (3)

1.2 设定目标 (3)

二、系统设计 (4)

2.1功能分析 (4)

2.2设计规范和约束 (4)

2.3 机械系统设计 (5)

2.4 传感器输出信号的数字滤波 (6)

三、理论分析 (8)

3.1 控制系统建模 (8)

3.2 原系统稳定性分析 (8)

3.2.1 原系统概述 (8)

3.2.2待校正系统单位阶跃响应分析: (8)

3.2.3伯德图分析 (9)

3.3频率响应法设计球杆系统控制器 (9)

3.3.1设计要求 (9)

3.3.2相位超前控制器 (10)

3.3.3相位超前-滞后控制器 (12)

3.4 P/PD/PID 控制器设计 (15)

3.4.1 球杆系统的P 控制器设计 (15)

3.4.2 球杆系统的PD 控制器设计 (16)

3.4.3 球杆系统的PID 控制器设计 (20)

3.5 各种控制方法比较总结 (24)

3.5.1频域校正方法的比较 (24)

3.5.2 PID校正方法的比较 (24)

四、元器件、设备选型 (26)

4.1激光位移传感器....................................................................... 错误！未定义书签。

4.2 IPM240-5E 智能伺服驱动器.................................................. 错误！未定义书签。

4.3 70W伺服电机.......................................................................... 错误！未定义书签。

五、加工安装调试 (26)

5.1超前校正实际检验： (26)

5.2 超前-滞后校正实际检验： (27)

5.3 PD校正实际检验： (27)

5.4 PID校正实际检验： (28)

六、经济性分析 (29)

6.1市场分析 (29)

6.2市场运作 (30)

6.3成本分析 (30)

七、结论 (31)

八、心得体会 (32)

一、整体方案设计

1.1需求

球杆系统是为自动控制原理等基础控制课程的教学实验而设计的实验设备。该系统涵盖了许多经典的和现代的设计方法。这个系统有一个非常重要的性质——它是开环不稳定的。不稳定系统的控制问题成了大多数控制系统需要克服的难点，有必要在实验室中研究。但是由于绝大多数的不稳定控制系统都是非常危险的，因此成了实验室研究的主要障碍。而球杆系统就是解决这种矛盾的最好的实验工具，它简单、安全并且具备了一个非稳定系统所具有的重要的动态特性。

1.2 设定目标

球杆的控制问题就是使小球尽快地达到一个任意的设定位置，并且使之没有较大的超调量和过大的调节时间。当小球达到期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持在稳定的位置不变。球杆控制系统的目的是：小球和球杆组成的系统在受到干扰后，小球处于轨道的任意的设定位置，小球将保持在该位置不变。

二、系统设计

2.1功能分析

（1）被控对象：球杆的被控对象为球杆和小球。球杆通过传动杆连接在齿轮上，并可以根据齿轮的角度变化来控制球杆的倾角，进而控制小球平衡在设定的平衡位置。通过给小球施加适当的力可以将球杆倾斜起来并最终使小球保持在平衡位置。

（2）控制装置：电机的运动通过IPM100智能伺服驱动器进行控制，IPM100是一个智能的高精度、全数字的控制器，内嵌100W的驱动电路，适合于有刷和无刷电机。基于反馈控制原理，在得到传感器信号后，对信号进行处理，然后给电机绕组施加适当的PWM电压信号，这样，一个相应的扭矩作用于电机轴，使电机开始运动，扭矩的大小决定于用户程序中的控制算法。

IPM100是一款智能的控制器，它除了板载的用于放大控制信号的驱动放大器和PWM 调制电路，还有一个全数字的DSP处理芯片，内存以及其它逻辑元件，有了这些，就可以实现先进的运动控制技术和PLC的功能，它产生实时的轨迹路径，实现闭环伺服控制，执行上位机的操作命令，完成板载IO信号的处理，所有这些都依照储存器的程序指令或是主机的在线命令执行，这种嵌入式的智能控制可以提供一个实时性非常好的控制效果，即使因为PC的非实时操作系统而产生延时的情况下。因为控制器可以独立运行，也可以采用从动模式，本手册介绍的球杆系统将采用两种模式。IPM100安装于控制箱内部，通过RS232和上位计算机进行通讯，直流电源也置于控制箱内部。

2.2设计规范和约束

用现代控制理论中的状态反馈方法来实现球杆系统的控制，就是设法调整闭环系统的极点分布，以构成闭环稳定的球杆系统，它的局限性是显而易见的。只要偏离平衡位置较远，系统就成了非线性系统，状态反馈就难以控制。实际上，用线性化模型进行极点配置求得的状态反馈阵，不一定能使球杆系统稳定起来，能使球杆系统稳定起来的状态反馈阵是实际调试出来的，这个调试出来的状态反馈阵肯定满足极点配置。这就是说，满足稳定极点配置的状态反馈阵很多，而能使球杆系统稳定起来的状态反馈阵只有很少的一个范围，这个范围要花大量的时间去寻找。

2.3 机械系统设计

机械部分包括底座、小球、横杆、减速皮带轮、支撑部分、马达等。如图 2.2

图2.4球杆系统机械设计图

选用直流伺服电机，采用齿轮箱减速机构进行减速，在输出齿轮上距齿轮圆心d（小于齿轮半径）处连接一杠杆臂Leaver Arm，此连接处螺钉不能固定太紧，杠杆臂的另一端与轨道Beam铰链，机构的另一端是一固定座，此固定座上端与轨道的左侧铰链。

如上图2.3，在一长约0.4 米的轨道上放置一不锈钢球，轨道的一侧为不锈钢杆，另一侧为直线位移传感器，当球在轨道上滚动时，通过测量不锈钢杆上输出的电压信号可获得球在轨道上的位置x 。电机转动带动齿轮系驱动杠杆臂转动，轨道随杠杆臂的转动与水平方向也有一偏角α,球的重力分量会使它沿着轨道滚动，设计一个控制系统通过调节伺服角度θ使得不锈钢球在杆上的位置能被控制。系统执行机构原理图如上图2.3。

图2.5 球杆系统实物简化图

机械系统数学模型如下：

为了便于分析我们将实物模型简化如图2.3。实际上使小球在导轨上加速滚动的力是小球的重力在同导轨平行方向上的分力同小球受到的摩擦力的合力。考虑小球滚动的动力学方程，小球在V 型杆上滚动的加速度：

ααμsin cos g g a -=

式(2.1-1)

其中μ为小球与轨道之间的摩擦系数，而α为轨道杆与水平面之间的夹角。

但在进行数学建模的过程中，我们忽略了摩擦力，因此，其基本的数学模型转换成如下方式：

x m mg

=αsin 式(2.1-2) 当α<<1时，将上式线性化，得到传递函数如下

2)()(s

g

s s x =α 式(2.1-3) 其中X(s)为小球在轨道上的位置。

但是，在实际控制的过程中，杆的仰角α是由电动机的转角输出来实现的。影响电动机转角θ和杆仰角α之间关系的主要因素就是齿轮的减速比和非线性。因此，我们可以得到它们的关系如下：

)()(s d

L

s αθ?=

式(2.1-4) 把式(2.1-4)式代入式(2.1-3)式，我们可以得到另一个模型：

2)()(Ls

gd

s s x =θ

式(2.1-5)

因此，球杆系统实际上可以简化为一个二阶系统。由建模分析我们得到球杆系统的开传递函数为:

2)()(Ls

gd

s s x =θ 式(2.1-6)

其中X(s)为小球的实际位置，θ(s)为电机转角。

2.4传感器输出信号的数字滤波

在系统的输入信号中，一般都含有各种干扰信号，它们入要来自被测信号本身、传感器或者外界的干扰。为了提高信号的可靠性，减小虚假信息的影响，可采用软件方法实现数字滤波。数字滤波就是通过一定算法程序的计算或判断来剔除或减少干扰信号成分，提高信噪

比。它与硬件RC滤波器相比具有以下优点：

(1) 数字滤波是用软件程序实现的，不需要增加任何硬件设备，也不存在阻抗匹配问题，可以多个通道共用，不但节约投资，还可提高可靠性、稳定性。

(2) 可以对频率很低的信号实现滤波，而模拟RC滤波器由于受电容容量的限制,频率不可能太低。

(3) 灵活性好，可以用不同的滤波程序实现不同的滤波方法，或改变滤波器的参数。正因为用软件实现数字滤波具有上述特点，所以在机电一体化测控系统中得到了越来越广泛的应用。

三、理论分析

3.1 控制系统建模

由以上理论分析可得系统的方块图如图3.1

图3.1 系统方块图

其中Xd 为输入的阶跃信号，θ为齿轮的转角，X 为输出的信号。

在我们使用的球杆系统中，建模部分主要包括对电机执行机构的建模和对传动杆和球杆的建模，机械系统的建模如上一章机械系统设计部分内容，在此我们忽略对电机部分的建模，将其在S 域中所对应的部分传函视为1。综上，我们可得系统的开环传递函数为：

2298

.0)()(s Ls gd s s x ==θ

其中X(s)为小球的实际位置，θ(s)为电机转角，L 为横杆长度0.4m ，d 为小球直径0.04m 。

3.2 原系统稳定性分析

3.2.1 原系统概述

球杆系统的原系统就是一个未加任何控制器的模型，是对其分析得出的物理模型，并对其加以建模，然后分析它的稳定性。

3.2.2待校正系统单位阶跃响应分析:

g=9.8; L=0.4;

D=0.04;

Num=[(g*D)/L];

Den=[1 0 0];

Plant=tf(Num,Den);%系统的开环传函

kp=0.0001;

Sys_cl=feedback(kp*Plant,1,-1);%求系统的闭环传函

Step(Sys_cl);

由待校正系统的根轨迹图及单位阶跃响应，可知该系统不稳定。

3.2.3伯德图分析

num0=98;

den0=[1 0 0];

margin=tf(num0,den0);

grid;

xlabel('伯德图及稳定度分析margin'）

由Bode图可以看出系统相角裕度为0°，所以原系统处于临界稳定状态。

原系统根轨迹：

num=[0.98];

den=[1 0 0 ];

rlocus(num,den);

图3.4 原系统根轨迹

3.3频率响应法设计球杆系统控制器

3.3.1设计要求

要求系统经过校正后相角裕度达到45°，保证系统达到稳定。

3.3.2相位超前控制器

相位超前补偿器具有如下形式：

1Ts 1

Ts α(s)G c ++=

α ， 1α>

通过频率范围1/aT 和1/T （被称为角频率），相位超前补偿器将使系统增加正的相位。超前补偿器最大可补偿的相位是90度。我们希望大于42度的相位裕度。

计算步骤： 1、求0c ω和0γ

由开环传递函数可知：K=0.98

0c ω=98.0=0.99rad /s ， 0

γ=0°

2、根据要求相角裕量，估算需补偿的超前相角 Δγ

Δγ =Δθ+ε=γ-0γ+ε=45°-0°+8°=53°

其中 ε是为了补偿校正后，由于截止频率变大而导致的原系统相位滞后，一般取5° —12°。

3、求α：令 γ

??=m =53°所以

4、求T

为了充分利用超前网络的相位超前特性，应使校正后系统的截止频率ωc 正好在ωm 处，即取：ωc=ωm

而在ωm 在点上G0(j ω)的幅值应为：

-10lg

α= -9.51dB 从原系统的伯德图上，我们可求得：

ωm=1.73rad /s

ωm 位于1/αT 与1/T 的几何中点，求得：

5、将以上数据带入校正函数，得系统闭环传递函数为

G(s)=Go(s)X αGc(s)=0.98（1.78S+1）/S2(0.20S+1)

93

.8sin53-153sin 1=?

?+=α20

.0wm 1==

α

T

6、作出仿真伯德图

程序：

Go=tf([0.98],[1 0 0]);

Gc=tf([1.78,1],[0.20,1]);

G=series(Go,Gc);

Margin(G);

Grid on;

校正后的仿真伯德图为：

由仿真可知：γ=52.9°ωc=1.73rad/s

校正后系统单位阶跃响应:

g=9.8;

L=0.4;

D=0.04;

Num=[(g*D)/L];

Den=[1 0 0];

Plant=tf(Num,Den);

Contr=tf([1.78 1],[0.20 1]);

Sys_cl=feedback(Contr*Plant,1,-1);

T=0:0.01:5;

Step(0.2*Sys_cl);

图3.6 超前校正后阶跃响应仿真图

由以上两图可以看出超前校正可以使系统达到稳定。 系统的根轨迹： num=conv([0.98],[1.78,1); den=conv([2 0 0],[0.2,1]); rlocus(num,den);

图3.7 超前校正后根轨迹图

3.3.3相位超前-滞后控制器

校正目标：设定稳定误差为1%，故令K=100. 相角裕度为=γ?45，截止频率为

''C ω=11rad/s ，K=100。由原bode 伯德图可知，9.9=C ωrad/s

计算步骤： 控制器的传递函数为：()()()()

s Tb s T Tbs s T s Gc αααα++++=

1111)( ?=?50γ（ε取?5) 因为1

1

arcsin +-=?ααγ，解得55.7=α 由

C T ωα

1.01

=，解得01.1=αT 因为9''=C ω，得dB L C 10-)''(='ω 又()0lg 20lg 20=''+'''+-c Tb c L ωωα，解得666.0=Tb

则控制器的传递函数为()()()()()s s s s s Gc 287.01626.7117.2101.11++++==1

913.7189.21s 18.3192.222++++s s s 则系统闭环传递函数为G(s)=2s 98.0*Gc(s)=)

1913.7189.2(98

.0116.3s 148.22

22++++s s s s 稳定性分析验证 Bode 图：

num0=[214.8 311.6 98]; den0=[2.189 7.913 1 0 0]; margin(num0,den0); grid;

xlabel(‘伯德图及稳定度分析’)

由仿真图可得：γ=38.7°接近预期的45°目标。 单位阶跃响应:

Num=[214.8 311.6 98]; Den=[2.189 7.913 1 0 0]; Plant=tf(Num,Den);

Contr=tf([6.246 1],[6.94 1]); Sys_cl=feedback(Contr*Plant,1,-1); Step(0.2*Sys_cl);

超前-滞后校正后系统单位阶跃响应Matlab 仿真图：

图3.9 超前滞后校正阶跃响应仿真图

由以上两图可知超前-滞后控制理论上可以使系统达到很好的预期稳定状态。系统的根轨迹：

num=[214.8 311.6 98];

den=([2.189 7.913 1 0 0];

rlocus(num,den);

图3.10 超前滞后校正阶跃响应根轨迹图

3.4 P/PD/PID 控制器设计

3.4.1 球杆系统的P 控制器设计

系统添加比例控制系数后单位负反馈系统的闭环传递函数为：Kp

S Kp s G 98.098.0)(2+= 可以看出是一个二阶系统。 1、 matlab 下进行阶跃响应分析： Matlab 下的程序如下： g=9.8; L=0.4;

D=0.04; Num=[(g*D)/L]; Den=[1 0 0];

Plant=tf(Num,Den); %系统的开环传函 kp=0.0001;

Sys_cl=feedback(kp*Plant,1,-1); %求系统的闭环传函 Step(0.2*Sys_cl); %给系统施加一个0.2m 的阶跃输入 Matlab 仿真图：

由Matlab 仿真图可以看出,系统在P 控制下是一个等幅振荡输出,故系统不能稳定. 2、 在球杆系统中进行实验

让小球稳定在200的位置处，取参数Kp ，观察实际结果，得到实际响应曲线。 取Kp=6时的实际响应曲线：

图3.12 P 控制实际响应曲线

3.4.2 球杆系统的PD 控制器设计

设PD 控制器为：)(S C G =Kp+KdS=Kp(1+TdS)

式中Kp 为比例增益，而Td 称为微分时间常数，Kp ， Td 都可以调节，微分控制作用也称为速率控制，它是控制器输出中与作用误差信号变化率成比例的一部分，微分时间Td 是速率控制作用超前于比例控制作用效果的时间间隔，微分控制作用具有预测的优点，但是它也具有缺点，因为它放大了噪声信号，并且还可能在执行器中造成饱和效应。

可以得到单位负反馈系统的闭环传递函数为：

)

(98.0)(98.0)()

(2

S K K S S K K s s d p d p +++=θχ

1、PD 控制器参数的求解

采用MATLAB 程序扫描法，源程序如下 t=0:0.01:10; for kp=1:1:100 for ki=0:1:20 for kd=1:1:100 numpid=[kd kp]; denpid=[0 1];

num=[0.98];

den= [1 0 0];

numc=conv(num,numpid);

d1=conv(denpid,den);

sys=tf(numc,d1);

sys1=feedback(sys,1);

y=step(sys1,t);

s=1001; while y(s)>0.98&y(s)<1.02;s=s-1;end; ts=(s-1)*0.01

if ts<1

break;

end

end

if ts<1

break;

end

end

if ts<1

break;

end

end

step(sys1,t);

grid

title('PD单位阶跃响应')

xlabel('时间')

ylabel('幅值')

sol=[kp;ki;kd;ts]

kp

ki

kd

ts

仿真结果：

图3.13 PD参数扫描结果

经过扫描，可以得到最佳搭配为：Kp＝1，Ki＝0，Kd＝0.7；调节时间ts＝0.4800s matlab下进行阶跃响应分析：

matlab 程序如下:

g=9.8;

L=0.4;

D=0.04;

Num=[(g*D)/L];

Den=[1 0 0];

Plant=tf(Num,Den);

kp=1;

kd=7;

Contr=tf([kd kp],1);

Sys_cl=feedback(Contr*Plant,1,-1);

T=0:0.01:5;

Step(0.2*Sys_cl);

Matlab仿真图：

图3.14 PD控制阶跃响应仿真系统根轨迹：

g=9.8;

L=0.4;

D=0.04;

Num=[(g*D)/L];

Den=[1 0 0];

Plant=tf(Num,Den);

kp=1;

kd=7;

contr=tf([Kd Kp],1);

rlocus(contr);