人教新课标版数学高二-人教数学选修2-3练习 事件的独立性 (备选)

选修2-3 第二章 2.2 2.2.2

1．在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作，假定在某段时间内，每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内，

(1)开关J A 、J B 恰有一个闭合的概率；

(2)线路正常工作的概率．

[解析] 分别记在这段时间内开关J A 、J B 、J C 能够闭合为事件A 、B 、C ，则它们的对立事件为A 、B 、C ，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝0.7，P (A )＝P (B )＝P (C )＝1－0.7＝0.3.根据题意，在这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，即事件A 、B 、C 相互独立．

(1)在这段时间内“开关J A 、J B 恰有一个闭合”包括两种情况：一种是开关J A 闭合但开

关J B 不闭合(事件A B 发生)；一种是开关J A 不闭合但开关J B 闭合(事件A － B 发生)，根据

题意这两种情况不可能同时发生，即事件A B 与事件A B 互斥．根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是：

P (A B ∪A B )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.7×0.3＋0.3×0.7＝0.42.

(2)在这段时间内，线路正常工作，意味着3个开关至少有一个能够闭合，即事件A 、B 、C 至少有一个发生，其对立事件为事件A 、B 、C 同时发生．于是所求的概率为：

1－P (A B C )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－0.3×0.3×0.3＝1－0.027＝0.973.

2．某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：

(1)两件产品都是正品的概率；

(2)恰有一件是正品的概率；

(3)至少有一件正品的概率．

[解析] 用A 表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B 表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C 表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用D 表示“抽得的两

件产品中至少有一件正品”，则C ＝A B －∪A －B ，D ＝C ∪AB .

(1)由题意知，A 与B 是相互独立事件，且P (B )＝1－P (B －)＝1－0.05＝0.95，P (A )＝0.96，

所以两件都是正品的概率为

P (AB )＝P (A )P (B )＝0.96×0.95＝0.912.

(2)由于事件A B －与A －B 互斥，所以恰有一件是正品的概率为

P (C )＝P (A B －∪A －B )

＝P (A B －)＋P (A －B )

＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )

＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086.

(3)解法1：由于事件AB 与C 互斥，

所以P (D )＝P (AB ∪C )

＝P (AB )＋P (C )

＝0.912＋0.086＝0.998.

解法2：“至少有一件正品”的反面是“全是次品”，故所求概率为1－P (A －)P (B －)＝1

－0.04×0.05＝1－0.002＝0.998.