万有引力定律知识点

万有引力定律

一、开普勒行星运动定律

开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。

K 值只取决于中心天体的质量

通常椭圆轨道近似处理为圆轨道

也适于用卫星绕行星的运动

1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比． 2．表达式：2

21r

m m G F =，G 为引力常量：G ＝×10－11 N·m 2/kg 2

. 3．适用条件

(1)公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离． 三、环绕速度

1．第一宇宙速度又叫环绕速度．

r mv r

Mm G mg 2

12== 得：gR r

GM

v ==

1＝7.9 km/s. 第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度． 第二宇宙速度(脱离速度)：v 2＝11.2 km/s ，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度． 第三宇宙速度(逃逸速度)：v 3＝16.7 km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．

特别提醒:

(1) 两种周期——自转周期和公转周期的不同

(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度

(3)两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同

四、近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题

1．近地卫星、同步卫星、赤道上的物体的比较

ω3＝ω自

＝

GM

R＋h3

a3＝ω23(R＋h)

＝

GM

R＋h2

五、天体的追及相遇问题

两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb，若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近(如图甲所示)。当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远（如图乙所示）。

图甲图乙

当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近。

经过一定的时间，两星又会相距最远和最近。

1. 两星相距最远的条件：ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…)

2. 两星相距最近的条件：ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝1,2,3…)

3. 常用结论：

（1）同方向绕行的两天体转过的角度πθθn 2||21=-或n T t T t =-2

1（n=0、1、2、……）时

表明两物体相距最近。

（2）反方向转动的天体转过的角度πθθn 2||21=+或n T t T t =+2

1（n=0、1、2、……）时表

明两物体相遇或相距最近。 考点一 天体质量和密度的计算 1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路

(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即

ma r mv r T m r m r

Mm G ====222

2)2(πω

(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即2

R Mm

G mg =（g 表示天体表面的重力加速度)．

在行星表面重力加速度：2R Mm G

mg =，所以2

R M

G g = 在离地面高为h 的轨道处重力加速度：2)(h R Mm G g m +='，得2

)(h R M

G g +='

2．天体质量和密度的计算

(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .

由于2R

Mm

G mg =，故天体质量G gR M 2=

天体密度：GR

g

V M πρ43=

=

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .

①由万有引力等于向心力，即r T m r Mm G 22)2(π=，得出中心天体质量2

3

24GT r M π=

； ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度

3

23

3R

GT r V M πρ== ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度2

3GT

V M π

ρ==.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．

3.黄金代换公式：GM ＝gR 2

例1.(多选)如图，地球赤道上的山丘e 、近地资源卫星p 和同步通信卫星q 均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设e 、p 、q 的圆周运动速率分别为v 1、v 2、v 3，向心加速度分别为a 1、

a 2、a 3，则( )

A ．v 1＞v 2＞v 3

B ．v 1＜v 3＜v 2

C ．a 1＞a 2＞a 3

D ．a 1＜a 3＜a 2

【答案】 BD

例2.（多选）“嫦娥二号”探月卫星于2010年10月1日成功发射，目前正在月球上方100km 的圆形轨道上运行。已知“嫦娥二号”卫星的运行周期、月球半径、月球表面重力加速度、万有引力恒量G 。根据以上信息可求出： （ ） A ．卫星所在处的加速度 B ．月球的平均密度 C ．卫星线速度大小 D ．卫星所需向心力 【答案】ABC

例3.（多选）2014年11月1日早上6时42分，被誉为“嫦娥5号”的“探路尖兵”载人飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速载人返回关键技术，为“嫦娥5号”任务顺利实施和探月工程持续推进奠定了坚实基础．已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(t 小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s ，航天器与月球的中心连线扫过角度为θ，引力常量为G ，则 ： （ ） A ．航天器的轨道半径为

s

θ B ．航天器的环绕周期为

θ

πt

2

C ．月球的质量为θ23Gt s

D ．月球的密度为2

2

4Gt

3θ 【答案】BC

例4.（多选）若宇航员在月球表面附近自高h 处以初速度v 0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L ．已知月球半径为R ，万有引力常量为G ．则下列说法正确的是： （ ）

A ．月球表面的重力加速度2022hv g L =月

B ．月球的质量22

022hR v m GL =月

C ．月球的第一宇宙速度2o

v

v hR L

=．月球的平均密度2

2

32o hv GL ρπ=

【答案】ABC 【解析】

平抛运动的时间0L t v =．再根据h=12

gt 2

得，得2

022hv g L 月＝，故A 正确；由2Gm g R 月月＝与