第二章连续时间傅里叶变换
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第二章 连续时间傅里叶变换
1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS
(1) 狄义赫利条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值
的数目有限；信号绝对可积∞<⎰
dt t f T 1
)(。
(2) 傅里叶级数：正交函数线性组合。
正交函数集可以是三角函数集}:sin ,cos ,1{11N n t n t n ∈ωω或复指数函数集
}:{1Z n e t jn ∈ω，函数周期为
T 1，角频率为1
1122T f π=π=ω。
(3) 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。 (4) 三角形式的FS ：
(i) 展开式：∑∞
=ω+ω+=1110)sin ()(n n n t n b t con a a t f
(ii) 系数计算公式：
(a)直流分量：⎰=
1
)(11
0T
dt t f T a
(b)n 次谐波余弦分量：N
n tdt n t f T a T
n ∈ω=
⎰,cos )(21
11
(c)n 次谐波的正弦分量：N
n tdt n t f T b T
n ∈ω=
⎰1
,sin )(211
(iii) 系数n a 和n b 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。 (iv) 称11/1T f =为信号的基波、基频；1nf 为信号的n 次谐波。 (v) 合并同频率的正余弦项得：
(a) ∑∞
=ψ+ω+=110)cos()(n n n t n c c t f
(b) ∑∞
=θ+ω+=1
10)sin()(n n n t n d d t f
n ψ和n θ分别对应合并后
n 次谐波的余弦项和正弦项的初相位。
(vi) 傅里叶系数之间的关系： (a) 000d c a ==
(b) n n n n n d c a θ=ψ=sin cos (c) n n n n n n d c b θ=ψ-=cos sin (d) 000a d c ==
(e) 2222n n n n b a d c +== (f) n
n n a b arctg -=ψ
(g) n
n n b a arctg =θ
(5) 复指数形式的FS ：
(i) 展开式：∑∞
-∞
=ω=
n t jn n e F t f 1
)(
(ii) 系数计算：Z n dt e t f T F T
t jn n ∈=
⎰ω-,)(11
11
(iii) 系数之间的关系：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≠-==0),(21
0,
0n jb a n a F n n n *
*
,
n
n n n F F F F ==--
)0(,21212122≠+====-n b a d c F F n n n n n n
)0(,≠==+-n d c F F n n n
n
n n n a F F =+- j b F F n n n /=--
)0(442
2
222≠==+==-n F F F b a d c n
n n n n n n
(iv) n F 关于n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。 (v) 正负n (n 非零)处的n F 的幅度和等于n c 或n d 的幅度。 (6) 奇偶信号的FS ：
(i) 偶信号的FS ： ⎰ω=1
11
cos )(2T
n tdt
n t f T a ；0sin )(21
11
=ω=
⎰T
n tdt n t f T b ； n n n a d c ==
n n
n n n F a jb a F -==-=
2
2 (n F 实，偶对称)；0=ψn ；2
π=θn
(ii) 偶的周期信号的FS 系数只有直流项和余弦项。
(iii)奇信号的FS ：
00==n a a ；⎰ω=1
11
sin )(2T
n tdt
n t f T b ；n n n n jF b d c 2===；
n n n jb F F 2
1
-
=-=- (n F 纯虚，奇对称)； 2
π-
=ψn ；0=θn
(iv) 奇的周期信号的FS 系数只有正弦项。 (7) 周期信号的傅里叶频谱：
(i) 称{}n F 为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS 谱。 (ii)称{}n F 为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS 幅度谱。
(iii)称{}n ϕ为傅里叶复数相位频谱，简称FS 相位谱。
(iv)周期信号的FS 频谱仅在一些离散点角频率1ωn (或频率1nf )上有值。 (v)FS 也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为11/2T π=ω。 (vi)FS 谱、FS 幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS 频谱的值、幅度和相位
(vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线，反映了各谐波处FS 频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。
(viii)称n c 为单边谱，表示了信号在谐波处的实际分量大小。
(ix)称n F 为双边谱，其负频率项在实际中是不存在的。正负频率的频谱幅度相加，才是实际幅度。