1-1随机事件

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例 1.1.2 袋中装有十个相同的小 球，标号分别为 1, 2,…,10. 从袋中任 意取出一球，用“i” (i =1,2,…,10)表 示基本事件“取到 i 号球”，记 A=“取到 3 号球”={3} ，B=“取到 奇号球”={1,3,5,7,9}，C=“取到偶号 球”={2,4,6,8,10}，D={1,5,7,9}，则有 A⊂B ， A ∪ B=B ， AB=A ， B － A ={1,5,7,9}=D ， B=A∪D， 与 C 互斥， A 即 AC=∅，A∪C={2, 3,4,6,8,10}，B 与
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(5) 互不相容 若事件 A 与 B 不能 同时发生，则称 A 与 B 互不相容，或 说 A 与 B 互斥， 易见(见图 1.1.1 （e） )： A 与 B 互斥⇔AB=∅， (6) 互逆 足条件： 若二事件 A 与 B 同时满
A∪B =Ω 且 AB=∅， 也就是说， 事件 A 与 B 必发生其一， 但 A 与 B 又不能同时发生，则称 A 与
尽管从少量的随机现象中一般无 法看出其规律，但随着试验或观察次 数的增加，就会发现随机现象的这种 统计规律是客观存在的， 频率的稳定性是概率存在的客观 基础. 这正是概率论这门学科能够存 在并不断发展的基石.
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1.1.2
随机试验与样本空间
随机现象是概率论研究的对象.要获 得对随机现象规律性的认识，必须要 通过试验或观察来获取数据资料.以下 我们把试验或观察都称为试验. 一般的，针对某种目的的一组条件 的实现称为试验.概率论中所说的试验 通常要求能够重复进行，由此才能探 究其统计规律.
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例 1.1.1
以下举例说明随机试验：
(1) E1：抛掷一枚硬币，观察其出现 正面还是反面. 记ω1=“出现正面”， ω2=“出现反面”，则样本空间由两个 样本点构成，即 Ω={ω1,ω2}. 若用字母 H（head）和 T（tail）分 别表示正面和反面，则可以直接记为 Ω={ H, T }.
100℃，水必然会沸腾”等等. 随机现象在现实世界中广泛存在， 对随机现象的研究具有重要价值. 随机现象是否存在规律？ 若有，其规律性如何体现？ 随机现象的规律是一种集体性规 律，或者说是一种统计规律. 即对随机现象进行大量试验或观 察后所呈现出的结果某种稳定性质.
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特别地，当 A⊂B 且 B⊃A 时，称事 件 A 与 B 相等，记为 A=B. (2) 事件的并 “二事件 A 与 B 中 至少有一个发生”也是一个事件，此 事件由 A 与 B 的所有样本点构成，称 为 A 与 B 的并， 记为 A∪B， 见图 1.1.1 （b）. 推广 (对有限个或可数多个事件)： 称事件“A1,…, An 中至少有一个发生” 为 n 个事件 A1,…, An 的并， 记为 A1∪…
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1.1.4
随机事件的表示
随机事件可以用不同的形式来描述. 可以用文字语言叙述，如“买一张彩 票中奖” ；可以用数字，如“3”表示 出现 3 点；还可以用符号或字母，如 “＋”或“H”均可表示“出现正面” 等等.但随机事件表示形式的多样性不 方便我们进行理论研究，为此，在第 2 章中将要引入随机变量来对随机事件 进行统一的描述，这样做的主05
B 互为逆事件（或对立事件） ，简称 A 那么 与 B 互逆.若记 A 的逆事件为 A ，
A = B ，实际上， A =Ω－A=B；同理，
B =Ω－B=A，见图 1.1.1（f）.
一般地，对任意两个事件 A 与 B 有
AB = A − B ，
这由上面的 Venn 图容易看出.
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定义 1.1.1 具有以下三个特征的试 验称为随机试验，记为 E.(Experiment) （1）可重复性：试验可以在相同条 件下重复进行； （2）可界定性：每次试验的可能结 果不止一个，但试验可能出现哪些结 果是明确的； （3）不确定性：每次试验有且仅有 一种结果出现，且在试验之前无法预 知哪个结果会出现.
1.1.5
随机事件之间的关系及运算
讨论事件之间的关系及运算，其主 要目的是想把复杂事件表示为简单事 件的组合形式，希望通过对简单事件 的了解去把握复杂的事件. 由于随机 事件可看成样本空间 Ω 的子集，因此 事件之间的关系及运算也就相当于集 合之间的关系及运算.任意两个事件 A，B 的关系可用维恩（Venn）图表示 如下，见图 1.1.1.
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(3) E3：抛掷一枚骰子，记录其出现 的点数，则其样本空间为 Ω={ω1,ω2,…,ω6}. 其中ωi (i=1,2,…,6)表示“出现 i 点”， 也可以直接记为 Ω={1,2,…,6}. (4) E4：记录某电话总机一天内接到 的呼叫次数，则样本空间为 Ω={ω0,ω1,ω2…}， 其中ωi (i= 0, 1, 2,…)表示 “接到 i 次呼 叫”.
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成的，如上述三个事件可分别表示为 A={ ω 1} ， B={ ω 2, ω 4, ω 6} ， C={T ： T>5000}. 从集合论的观点来看，随机事件是 样本空间的一个子集.当且仅当事件 A 所含的一个样本点出现时称为事件 A 出现（或者说事件 A 发生）.样本点实 际上是随机事件中的特殊的一种，即 只包含一个样本点的随机事件，故也
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推广 (对有限个或可数多个事件)： 称事件“A1,…, An 同时发生”为 n 个 事件 A1,…, An 的交，记为 A1∩…∩An 或 ∩ Ai ， 也常常记为或 A1 A2…An； 进
i =1 n
一步，称事件“A1, A2,…同时发生”为 可数多个事件 A1, A2,…的并，记为 A1 ∩A2∩… 或 ∩ Ai .
例如用 X 表示掷一颗骰子出现的点 数，则“X=3”就表示“出现 3 点”这 一随机事件.事实上，任意随机事件 A 都可以用一个随机变量 X 来表示，比 如令
⎧1, ω ∈ A, X = X (ω ) = ⎨ ⎩0, ω ∉ A.
那么容易看出“X=1”等价于事件 A 发生.
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设ω为随机试验 E 的一个可能出现 的基本结果，称ω为 E 的一个样本点 （或一个基本事件） ， 样本点的全体所成之集 Ω 称为样本 空间，记为 Ω，即
Ω ={ω}.
在每次试验中必有一个样本点出现 且仅有一个样本点出现.在具体问题 中，弄清楚 Ω 的构成是十分重要的.
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是要借助微积分这一处理变量的有力 工具来研究随机事件. 粗略地说，随机变量就是用来表示 随机现象结果的变量，常用大写字母 X，Y，Z 等表示.随机变量根据出现的 样本点 ω 的不同而取不同的值来表示 随机事件：
X = X (ω ), ω ∈ Ω
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(2) E2：将抛掷一枚硬币两次视为一 次试验，观察其出现正、反面情况， 则其样本空间为
Ω={ω1,ω2,ω3,ω4}
其中这四个样本点分别表示“HH” ， “HT”“TH”“TT”四种可能结果， ， ， 也可以直接记为 Ω={ HH, HT, TH, TT }.
i =1
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∞
(4) 事件的差 “A 发生而 B 不发生” 也是一个事件，此事件由 A 中不包含 于 B 内的所有样本点构成，称为 A 与 B 的差，记为 A－B，见图 1.1.1（d）. 根据具体情况，常常需要灵活地使 用并事件的不同表达形式： A∪B = A∪(B-A)= A∪(B-AB) = B∪(A-B) = B∪(A-AB) = (A-B)∪AB∪(B-A) .
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在一定条件下其结果可以完全确定 的现象称为确定性现象， 3+2=5 太阳每天东升西落; 同种电荷相互排斥，异种电荷相 互吸引; 在平面上画一个三角形，其内角 和一定等于 180 度; 纯水在一个标准大气压下加热到
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1.1.3
随机事件
通过试验研究随机现象的规律时， 通常关心的是随机现象中可能出现也 可能不出现的结果，这些结果称为随 机事件，简称事件（event） ，通常用大 写字母 A， C， B， …表示.如 E1 中的 “出 现正面”（即ω1），记为 A；E3 中的 “出现偶数点” ，记为 B；E5 中的“寿 命大于 5000 小时” ，记为 C，等等.一 般的随机事件是由若干样本点共同组
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Α Α Β Ω
(a) A⊂B
Β
Α
Β
Ω
(b) A∪B (c) A∩B 或 AB
Ω
Α
Β Α Ω Β Ω
(e) A∩B=∅ (f ) Α =Ω －A
Α
Α
Ω
(d) A－B
图1.1.1 事件的关系：包含，并，交，差，互不相容及互逆
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例如，在相同条件下连续抛掷一枚 均匀硬币很多次，就会发现掷出正面 和掷出反面的机会大致均等，或者说， “出现正面”和“出现反面”这两个 结果出现的频率都稳定在 1/2 这个值 附近； 又如全世界人口中男女人数大致 各占一半； 正常情况下，一个城市每天居民的 用水量、用电量大致稳定.