11.2.1 随机事件与样本空间
样本空间与随机事件
第一讲样本空间与随机事件一研究对象在自然界和社会中存在两类不同的现象，一类是确定性现象确定性现象，另一类是随机现象。
1 确定性现象在一定的条件下，结果唯一确定。
如：水在1p下，在100摄氏度时，必然沸腾。
向上抛一石子，必然下落。
同性电荷相互排斥。
石蕊投入酸性溶液中呈现红色。
这类现象，条件给定后结果明确可知。
2 随机现象给定条件结果不能确定。
如：相同条件下抛掷一枚硬币，结果可能正面朝上也可能正面朝下。
同一枚大炮向同一目标射击，射击之前，无法确定弹着点的位置。
一个电子产品（比如灯泡）不能确定其使用寿命。
这类现象，在给定条件后，结果的发生是不能确定的。
有多于一种的可能结果，但在试验或观察之前不能确定是哪个结果。
此外，购买彩票，可能中奖也可能不中奖，抓阄问题，天气预报问题，某汽车站某天上车人数。
某地的年降雨量，今年的国民经济增长速度等等都是随机现象。
3 随机现象的统计规律性虽然随机现象在一次观察中没什么规律，但是人们在长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察，其结果确呈现某种规律性。
如多次重复抛掷一枚硬币，得到正面朝上大致有一半，而炮弹弹着点按照一定的规律分布，大量检查电子仪器的寿命，也会呈现某种规律性，比如大部分集中在1000小时附近，寿命很长或很短的占的比例较小。
这种在大量重复观察或试验中所随机现象所呈现的固有规律性称为统计规律性。
概率统计就是研究随机现象统计规律性的数学学科。
因为随机现象广泛存在，随机数学才大有用武之地。
为了对随机现象进行研究，下面我们来建立描述随机现象的一些基本概念。
二样本空间1 随机试验对随机现象进行一次观察或记录就是一次试验。
在这里观察或试验是一个含义广泛的概念，包括物理试验、化学试验、检查记录等一切可能的手段。
下面举一些试验的例子。
E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T（Tails）出现的情况。
E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。
解读概率的随机事件与样本空间
解读概率的随机事件与样本空间概率是数学中一个重要的概念，它用来描述某个随机事件发生的可能性。
在概率论中，我们经常提到的随机事件和样本空间是两个基本概念。
本文将对概率的随机事件和样本空间进行解读，帮助读者更好地理解相关概念和应用。
一、随机事件的定义和特征随机事件是指无法准确预测其具体结果的事件，也就是不确定性事件。
在统计学和概率论中，随机事件通常用字母A、B、C等表示。
例如，掷一颗骰子得到的点数就是一个随机事件，用A表示。
随机事件具有以下特征：1. 随机性：随机事件的结果是不确定的，无法事先确定具体的结果。
2. 普适性：随机事件可以发生在任何时间和任何地点，具有广泛的应用范围。
3. 可观察性：随机事件的结果可以通过观察和实验获得。
二、样本空间的定义和表示样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。
在概率论中，样本空间通常用Ω表示。
例如，掷一颗骰子的样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6}。
样本空间的性质：1. 确定性：样本空间中的每个元素都是一个确定的结果。
2. 完备性：样本空间包含了随机试验的所有可能结果。
3. 互斥性：样本空间中的每个元素都是互不相同的，没有重复的结果。
三、随机事件与样本空间的关系随机事件是样本空间的子集，也就是说，随机事件是样本空间的一部分。
一个随机事件可以包含一个或多个样本点，表示该事件发生的所有可能结果。
以掷一颗骰子为例：样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}随机事件A：A={2,4,6}，表示得到的点数为偶数的情况。
随机事件B：B={1,2,3}，表示得到的点数小于等于3的情况。
四、概率的计算方法概率的计算方法有多种，常见的有频率法、古典概型法和几何概型法。
1. 频率法：通过大量重复实验，统计某个事件发生的频率来估计概率。
概率P(A) = n(A)/n，其中n(A)为随机事件A发生的次数，n为实验总次数。
2. 古典概型法：适用于所有可能结果等可能且有限的情况。
概率P(A) = n(A)/n(Ω)，其中n(A)为随机事件A中样本点的个数，n(Ω)为样本空间Ω中样本点的个数。
随机事件与样本空间
随机事件与样本空间“随机事件”和“概率”是概率论中最基本的两个概念，“独立性”和“条件概率”是概率论中特有的概念。
一、随机事件的关系与运算[1]样本空间：由一个特定的随机试验所有可能发生的基本结果构成的一个集合，成为该实验的“样本空间”，以大写字母Ω表示；试验的每一个可能发生的基本结果称为“样本点”，用小写字母ω表示。
由Ω的一个样本点组成的单点集合称为“基本事件”；Ω的一个子集称为一个“随机事件”。
样本空间Ω和空集∅为两个特殊的子集，分别称为“必然事件”和“不可能事件”。
[2]事件的关系运算：[3] 事件的运算法则：❶A ∅⊂⊂Ω❷A B A A B ⋃⊃⊃- A A B ⊃ ❸A A ⋃∅= A ⋂∅=∅ ❹A A ⋃=Ω A A ⋂=∅ ❺A A == -Ω=∅-∅=Ω❻A A A ⋃= A A A = ()A B A A B A -⋃=⋃≠ ❼如果A B ⊃,则A B A ⋃=,A B B ⋂= ❽满足交换律：A B B A ⋃=⋃,AB BA =❾满足结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C= ❶⓿满足分配率：()A B C AB AC ⋃=⋃ ()()()A BC A B B C ⋃=⋃⋃ ❶❶= =二、随机事件的概率：[1]古典概型：设随机事件的样本空间Ω包含有有限个样本点（此模型称为古典概型），则事件A 发生的概率为： #()#A P A E n==Ω有利于事件A 的样本点数m实验的样本空间所含的样本点数 [2]几何定义： 设Ω是n R （n=1、2、3）中任何一个可度量的区域，从Ω中随机的选择一点，即Ω中任何一点都有相同的机会被选到，则相应的随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A 是Ω中任何一个可度量的子集，则：()()()A P A μμ=Ω 此式定义的概率称为几何概率，符合上述假定模型的称为几何概型。
[3]统计定义：对一特定的实验，进行多次重复试验，实验的某一结果A ，即随机试验A ，在大量的重复试验中出现的频率的稳定值p 称为A 的概率。
随机事件与样本空间的关系
随机事件与样本空间的关系在概率论中，随机事件与样本空间是密不可分的概念。
理解二者之间的关系对于概率计算和推理至关重要。
本文将介绍随机事件和样本空间的定义、关系以及在概率计算中的应用。
一、随机事件的概念随机事件是指在一次特定的试验中可能发生或不发生的现象。
它是样本空间中的一个子集。
例如，掷一枚硬币，其试验结果可以是正面朝上（事件A）或反面朝上（事件B）。
在这个例子中，事件A和事件B分别是试验的两个随机事件。
二、样本空间的定义样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
它包含了实验中的每一个可能结果。
以掷一枚硬币为例，样本空间为{正面，反面}。
样本空间可以有有限个元素，也可以是一个无穷集合。
三、随机事件与样本空间的关系随机事件是样本空间的子集。
它们之间的关系可以用包含关系来描述。
具体而言，一个事件A发生意味着试验的结果属于A所对应的样本点集合。
相反，如果试验结果属于事件A，那么事件A就发生了。
四、概率计算中的应用概率计算是研究随机事件发生可能性的重要方法。
随机事件和样本空间的关系在概率计算中起着关键作用。
1. 计算概率概率可以通过事件发生的样本点数量与样本空间中样本点总数的比值来计算。
例如，假设在掷一枚硬币的试验中，事件A表示正面朝上，那么事件A发生的概率为P(A) = |A| / |样本空间|，其中|A|表示事件A中的样本点数量，|样本空间|表示样本空间中的样本点数量。
2. 事件间的运算根据随机事件和样本空间的关系，可以进行并、交、差等运算。
例如，事件A和事件B的并集为A∪B，表示A和B中至少有一个发生的样本点的集合。
交集为A∩B，表示A和B同时发生的样本点的集合。
差集为A-B，表示A发生而B不发生的样本点的集合。
3. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率计算中，样本空间会根据已知事件的发生而被限制在一个子集中，从而影响概率的计算。
例如，已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率可以表示为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
概率论 样本空间、随机事件
S4 ={1,2,3,4,5,6}； S5 ={0,1,2…}； S6 ={t | t≥0} t为灯泡寿命； S7 ={(x,y)|T0≤x≤y≤T1},这里x表示最低温度，y 表示最高温度，并设这一地区的温度不会小 于T0，也不会大于T1。 S8 ={(x,y)|x2+y2≤100}, 注意：样本空间的元素是由试验的目的所确 定的。例如，在E2和E3种同是将一枚硬币连 抛三次，由于试验的目的不一样，其样本空 间也不一样。
反之，当且仅当“接点a未闭合”与“接点 b、c都未闭合”二事件中至少有一事件发 生时，指示灯不亮；所以有
．
这个等式也可以由等式 D= A（B∪C） 利用De Morgan对偶律得到．事实上，我 们有
例7 设A，B，C，D是四个事件，用A，B，C， D的运算关系表示下列事件。 （1）A1：“A，B，C，D中仅有A发生” （2）A2：“A，B，C，D中恰有一个发生” （3）A3：“A，B，C，D中至少有一个发生” （4）A4：“A，B，C，D中至少有两个发生” （5）A5：“A，B，C，D中至多有一个发生” （6）A6：“A，B，C，D中至多有两个发生” （7）A7：“A，B，C，D都不发生” （8）A8：“A，B，C，D不都发生” （9）A9：“A，B，C，D中至多一个发生，但D 不发生” （10）A10：“A，B，C，D中至多一个不发生”
7. 事件的对立
AB , A B
— A 与B 互相对立 A 每次试验 A、 B中 有且只有一个发生 称B 为A的对立事件 (or 逆事件)， 记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
B A
运算律
事件 运算 对应 集合 运算
吸收律
样本空间和随机事件.ppt
Ω的子集A，B，...
2020-8-15
x
各种集合间的关系
12
一、子事件 (事件的包含）Contain
事件A发生必然导致事件B发生，则称A蕴含了
B或者B包含了A，记为 A B
={事件A发生必然导致事件B发生}
AB
事件A是事件B的子事件
A B 事件A的样本点都是事件B的样本点
例如： 抛掷一颗骰子，观察出现的点数
20 Tossing a coin
掷一枚均匀的硬币，观察它出现正面或反面的情况
1. 试验的样本点和基本事件：“正面向上”、“反面向上”
2. 样本空间: Ω = {H，T}
H
T
3. 随机试验：
掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况
Ω={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
可以确定试验的所有可能结果 (3) 每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果．
实例 ➢上抛一枚均匀的硬币 ➢上抛一枚均匀的骰子 ➢在一条生产线上，检测产品的合格情况、等级情况 ➢向一目标射击
2020-8-15
x
3
三、随机事件 Random Events
1. 在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大 量的重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机 事件，简称事件．
例如：抛掷一颗骰子，观察出现的点数
A={出现偶数点} B={出现2，4或6点} A B
2020-8-15
x
14
三、和事件(并事件) Union
若事件A发生或事件B发生，则称为事件A与B的
和事件发生，记为 A B
例如： “抛掷一颗骰子，出现的点数不超过6”
2020-8-15
《样本空间与随机事》课件
利用样本空间和随机事件的概念，设计有效的市场调研方案。
结论和要点
样本空间
是随机试验中所有可能结果的集合。
随机事件
是可能发生的某个结果或一组结果。
计算方法
可以使用排列组合和概率的方法来计算样本空间和随机事件。
2 概念
每个可能的结果都被称为一个样本点。
3 计算方法
可以使用排列组合的方法来计算样本空间。
什么是随机事件？
1 定义
随机事件是指在随机试验 中可能发生的某个结果或 一组结果。
2 概念
随机事件可以是单个样本 点，也可以是随机事件的发生几率。
样本空间与随机事件之间的关系
使用概率的方法计算随机事件发生的几率。
2 示例
对于一个抛掷一枚硬币的随机试验，事件A可 以是出现正面的结果，事件B可以是出现反面 的结果。
样本空间和随机事件的应用举例
1
生日悖论
通过样本空间和随机事件的概念，解释生日悖论的原理。
2
赌博游戏
使用样本空间和随机事件的计算方法，分析赌博游戏的胜率。
3
市场调研
样本空间
包含了随机试验的所有可能结 果。
随机事件
是样本空间的一个子集，表示 某些结果的集合。
关系
每个随机事件都是样本空间的 一部分。
如何计算样本空间？
1 方法
使用排列组合的方法计算可能的结果。
2 示例
对于一个抛掷一枚硬币的随机试验，样本空间包含两个可能的结果：正面和反面。
如何计算随机事件？
1 方法
《样本空间与随机事件》 PPT课件
欢迎来到《样本空间与随机事件》PPT课件！在这份课件中，我们将研究样本 空间的定义和概念，随机事件的定义和概念，以及它们之间的关系。我们还 将介绍计算样本空间和随机事件的方法，并给出一些应用举例。准备好了吗？ 让我们开始吧！
随机事件与样本空间
随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个基本概念，它们对于理解概率和计算概率具有重要意义。
本文将介绍随机事件与样本空间的定义、性质以及与概率相关的概念。
1. 随机事件的定义及性质在概率论中，随机事件是指可以观察或发生的事情。
形式上，随机事件可以用集合表示。
假设我们在某次实验中观察到了一个事件A，它可以是一个点，也可以是多个点的集合。
这个事件A的发生与否由实验的结果决定。
随机事件可以满足以下几个性质：- 任意事件A发生的概率介于0和1之间：0 <= P(A) <= 1。
- 必然事件的概率为1：P(样本空间) = 1。
- 不可能事件的概率为0：P(空集) = 0。
- 若事件A与事件B互斥（不能同时发生），则它们的概率为零：P(A∩B) = 0。
2. 样本空间的定义及性质样本空间是指一个实验中所有可能结果的集合，常用Ω表示。
样本空间中的每个元素都代表了一个可能的结果。
例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，掷一颗骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
样本空间具有以下性质：- 样本空间是事件的基本组成单元，所有的事件都是由样本空间中的元素构成的。
- 样本空间的元素个数有限且不为0。
- 不同实验的样本空间可以不同。
3. 随机事件的关系与运算在概率论中，我们常常需要对事件之间的关系和事件的运算进行讨论和计算。
常见的事件关系和运算包括：包含关系、互斥关系、并、交、差等。
- 包含关系：事件A包含事件B，表示为A⊇B，当且仅当A发生蕴含B发生。
若A⊇B且B⊇A，则称A与B相等。
- 互斥关系：事件A与事件B互斥，表示为A∩B=∅，即A与B不能同时发生。
- 并：事件A和事件B的并事件，表示为A∪B，包含了A和B中任意一个事件发生的情况。
- 交：事件A和事件B的交事件，表示为A∩B，包含了A和B同时发生的情况。
- 差：事件A减去事件B，表示为A-B，包含了A发生而B不发生的情况。
4. 随机事件的概率计算概率是描述随机事件发生可能性的数值。
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1、随机现象 在一定条件下，具有多 种可能的发生结果，但事先不 能确定哪一种结果将会发生的 现象叫做随机现象。
掷一枚骰子， 朝上一面的点数 是多少？
2、随机试验
对随机现象的观察或试验称为随机试验，简称试 验。
问题 1：小明从盒中任意摸出一球，可能摸到 的结
果是？
红球 或 白球
3、随机事件 随机试验中每种可能的结 果称为随机事件，简称事件 。 如：掷一枚质地均匀的正方形 骰子，朝上的一面“出现2点”、 “出现奇数点”、 “出现的点数 大于3”等，都是事件 。
巩固练习：
1、抽到的序号有几种 可 能的结果？ 5种 这叫什么现象？随机现象 它们构成的集合叫什么？
样本空间
小小的一次抽签，蕴 涵着很重要的数学知 识呢！
形状大小相同的签
含有几个基本事件？5个 2、抽到的序号小于 6吗？ 一定小于 6 这叫什么事件？
必然事件
3、抽到的序号会是0吗？
这叫什么事件？
思 考
4、基本事件
掷一枚骰子， 朝上一面的点数 出现1点是什么事 件？
在随机事件中，不能再分的最简单的随机事 件称为基本事件。
问题 2：(1) 掷一次骰子,骰子向上 一面的可能点数 ？
Ω= { 1，2，3，4，5，6 } (2) 连续掷两枚硬币，向上一面的结果 。
} Ω= （正面，正面）（正面，反面）（反面，正面）（反面，反面） { 她（他） 反● 正
样本空间
问题 4
(1)明天地球还会转动
(2)木柴燃烧产生能量
7、必然事件
在一定条件下，必然发生的事件，称为必然事 件。Ω所表示的事件就是一个必然事件。
地球上太阳从西方升起 8、不可能事件
另一个是空集 表示的 事件。即在一定条件下，不 可能发生的事件，称为不可 能事件。
【例题】甲、乙两同学做一次猜拳游戏（石头、剪子、
● ● ●
●
●
●
●
正
反
我
5、样本空间
一个随机试验中全体基本事件构成的集合，叫做随机试验的 样本空间，通常用大写希腊字母 Ω 表示。
问题 3 ：
掷一次骰子，在骰子向上的一面上， 各包括哪些结果 ？ 其中每一个结果 叫什么？
（1）出现的点数大于0. （2）出现点数是6. { 1，2，3，4，5，6 { 6 } }
（3）出现点数是偶数 。 { 2，4，6 } （4）出现点数小于3. { 1，2 }
从集合的观点看，样本空间的任意一个子集，就是事 件，常用大写英文字母 A 、 B 、 C 等表示。
6 、随机事件与样本空间有何关系？
随机事件是样本空间的子集。
随机事件 如：(1) 出现点数是 奇数。 （ 2）掷一次骰子， 向上 一面 的结果 。
不可能
不可能事件
4、抽到的序号会是1吗？
可能但也可能不，事先无法确定
这叫什么事件？
随机事件 1个
含有几个基本事件？
课堂总：
随机现象 随机试验 随机事件 基本事件
样本空间
必然事件
不可能事件
作业：第149页第2题。
课下 练习
一、填空： （学以致用） (1)ａ＞０, -a是负数。属于 (2) (3)-a是负数。属于 二、开放题：（能力提高） 你能说出几个与必然事件、随机事 件、不可能 事件相联系的成语吗？（数 量不限，尽力．） 事件。 。 ，-a是负数。属于不可能事件。
布）并注意所有可能的结果。
（1）请你写出这个随机试验的样本空间 。 （2） 这个随机试验中共有几个基本事件？ （3） 我获胜这一随机事件包含哪几个基本事件？
她（他） ● 布 剪子 石头
●
●
○
●
●
○
●
● ●
●
●
●
●
○
● ●
石 头
●
剪 子
布 我
解：（1）从图中可以看出这一事件的样本空间为： Ω={（石头，石头），（石头，剪子 ），（石头，布），（剪子 , 石头）， (剪子 ,剪子 ),(剪子 ,布), (布,石头), (布,剪子 ),(布,布) }; (2) 基本事件的个数是9 （3）“我获胜”这一事件包含3个基本事件： （石头，剪子 ），(剪子 ,布), (布,石头)。
复习：计数的基本原理
1、分类计数原理（加法原理）
2、分步计数原理（乘法原理） 在100件产品中，有96件合格品，4件次品，从中任 取2件。计算： （1）总共有几种取法？ （1）2件都是合格品的取法有几种？
（2）其中1件是合格品，一件是次品的取法有几种？。
宇宙之大，粒子之微， 火箭之速，化工之巧， 地球之变，生物之迷， 日用之繁等各个方面， 无处不有数学的重要贡 献。
——华罗庚
猜一猜： 姚明投篮一次，是否能投中？
我们学校 若有5个班进 行会操比赛 ，以抽签方 式来决定 出场顺序。
形状大小相同的签
把标有1、2、3、4、5的 签混好, 每班抽取一张, 如果我班首先来抽 ,抽到 的 结果会是几呢？
11.2 概率初步
11.2.1 随机事件与样本空间
1、随机现象 2、随机试验 3、随机事件 4、基本事件 5、样本空间 6、必然事件 7、不可能事件