2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第三章 3.4
2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第二章 2.1
思维启迪 解析 答案 思维升华
x≠0 且 x≠1 时，f(x)等于 ( 1 1 1 1 A.x B. C. D.x－1 x－ 1 1－x
(2)已知 f(x)是一次函数， 且满足 3f(x ＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则 f(x)＝ ________. (3)已知函数 f(x)的定义域为(0， ＋∞), 1 且 f(x) ＝ 2f( x )· x － 1 ， 则 f(x) ＝ ________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
【 例 2】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求函数的解析式
1 x (1)如果 f(x)＝ ，则当 1－x )
思维启迪 解析 答案 思维升华
x≠0 且 x≠1 时，f(x)等于 ( 1 1 1 1 A.x B. C. D.x－1 x－ 1 1－x
1 1 (1)令 t＝x， 反解出 x， 代入 f(x) x ＝ ，求 f(t)的表达式． 1－x
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (2)下列各组函数中，表示同一函数的是 ( ) A．f(x)＝|x|，g(x)＝ x2 B．f(x)＝ x2，g(x)＝( x)2 x2 － 1 C．f(x)＝ ，g(x)＝x＋1 x－ 1 D．f(x)＝ x＋1· x－1，g(x)＝ x2－1
D 中，f(x)＝ x＋1· x－1(x＋1≥0 且 x－1≥0)，f(x)的定义域 为{x|x≥1}；
g(x)＝ x2－1(x2－1≥0)，
g(x)的定义域为{x|x≥1 或 x≤－1}．
∴两函数的定义域不同．故选 A.
基础知识
2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义+强化训练+专题检测：第四章 三角函数、解三角形(7份)第四
§4.4 三角函数的图像和性质1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期． ( √ ) (2)y ＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数．( √ ) (3)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数． ( × ) (4)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数． ( × ) (5)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，则y max ＝k ＋1. ( × ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × ) 2． (2012·福建)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2答案 C解析 方法一 ∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π4.方法二 用验证法．x ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ； x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ； x ＝－π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确； x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 3． 已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2<f (π)，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1112π＝－1B ．f ⎝⎛⎭⎫7π10>f ⎝⎛⎭⎫π5C ．f (x )是奇函数D ．f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) 答案 D解析 ∵f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立， ∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z .∵f ⎝⎛⎭⎫π2<f (π)，sin(π＋φ)＝－sin φ<sin(2π＋φ)＝sin φ，sin φ>0.∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z . 不妨取φ＝π6，f ⎝⎛⎭⎫11π12＝sin 2π＝0，∴A 错；∵f ⎝⎛⎭⎫7π10＝sin ⎝⎛⎭⎫7π5＋π6＝sin 47π30＝－sin 17π30<0， f ⎝⎛⎭⎫π5＝sin ⎝⎛⎭⎫2π5＋π6＝sin 17π30>0，∴B 错； ∵f (－x )≠－f (x )，∴C 错；∵2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴D 对．故选D.4． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图像向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12 B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.5． 设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x ＋2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.答案255解析 由f (x )＝sin x ＋2cos x 可得f (x )＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝2，当x ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时函数f (x )取得最大值，所以cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＋2k π＝sin φ＝255.题型一 求三角函数的定义域和最值例1 (1)(2012·山东)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3(2)函数y ＝1tan x －1的定义域为______________________．思维启迪 求函数的定义域可利用三角函数的图像或数轴；求函数最值或值域时要利用图像、三角变换、二次函数等知识．答案 (1)A (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.(2)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．思维升华 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．(2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]答案 (1){x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z } (2)C解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z }．(2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1，可得y ∈[－54，1]．题型二 三角函数的单调性、周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 思维启迪 (1)化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，再求单调区间及周期．(2)由y ＝tan x 的图像→y ＝|tan x |的图像→求单调性及周期． 解 (1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图像可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 最小正周期T ＝π.思维升华 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图像，结合图像判定．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝π24＋k π2(k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.题型三 三角函数的奇偶性和对称性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图像关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6B.π4C.π3D.π2答案 (1)π6(2)A解析 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图像关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z ， 又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.(2)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.思维升华 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x .如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可．(1)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为( )A ．(－π8，0)B ．(0,0)C ．(－18，0)D ．(18，0)(2)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图像关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图像关于点(π4，0)对称；②图像关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________． 答案 (1)C (2)②④解析 (1)由条件得f (x )＝2sin(ax ＋π4)，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a ＝2π，故f (x )＝2sin(2πx ＋π4)．将x ＝－18代入得函数值为0.(2)∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π3(k ∈Z )．∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3，∴y ＝sin(2x ＋π3)，由图像及性质可知②④正确．三角函数的单调性、对称性典例：(20分)(1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2](2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3(3)(2012·课标全国)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4B.π3C.π2D.3π4(4)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图像与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32D.6＋24思维启迪 (1)(π2，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像相邻两条对称轴之间的距离是T2；(4)可结合图像分析函数的单调性，周期性确定ω，φ.解析 (1)由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]，∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. (3)利用三角函数的对称轴求得周期． 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π， ∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.(4)函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原函数式为y ＝sin(2x ＋φ)，又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图像过点(π6，1)，代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin(2x ＋π6)，令x ＝0，可得y ＝12.答案 (1)A (2)C (3)A (4)A温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图像与其对称轴的交点是最值点.方法与技巧1． 讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. 3． 对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质． 失误与防范1． 闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2． 要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时情况．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 下列函数中，周期为π且在[0，π2]上是减函数的是( )A ．y ＝sin(x ＋π4)B ．y ＝cos(x ＋π4)C ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x答案 D解析 对于函数y ＝cos 2x ，T ＝π，当x ∈[0，π2]时，2x ∈[0，π]，y ＝cos 2x 是减函数．2． (2012·湖南)函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为 ( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 答案 B解析 将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式后求解． ∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]．3． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )D /⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．4． 函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )A ．[0,1]B ．[12，1]C ．[－1,2]D ．[0,2]答案 A解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2.∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．5． (2012·天津)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是 ( )A.13 B ．1C.53D ．2答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2. 二、填空题6． 函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．答案 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．7． 函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的最大值为________．答案 43π解析 由正弦函数的图像知(b －a )max ＝13π6－5π6＝4π3.8． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图像如图，则f (π24)＝________.答案3解析 由题中图像可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图像过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4.又图像过定点(0,1)，所以A ＝1. 综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)，故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.三、解答题9． 设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π<φ<0，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 10．设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx 4＝32sin πx 4－32cos πx4＝3sin(πx 4－π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)方法一 在y ＝g (x )的图像上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图像上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin[π2－πx 4－π3]＝3cos(πx 4＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.方法二 区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称， 故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(πx 4－π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 函数y ＝|sin x ＋cos x |－1的定义域是( )A ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )C ．[－π2＋k π，k π](k ∈Z )D ．[－π2＋2k π，2k π](k ∈Z )答案 A解析 |sin x ＋cos x |－1≥0⇒(sin x ＋cos x )2≥1 ⇒sin 2x ≥0，∴2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，故原函数的定义域是[k π，k π＋π2](k ∈Z )．2． 设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.3． 已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π； ③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④f (x )的图像关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________． 答案 ③④解析 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题； f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π2]，故③是真命题；因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图像关于直线x ＝34π对称，故④是真命题．4． 已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＋1.(1)当x ∈[π4，π2]时，求f (x )的最大值和最小值；(2)求f (x )的单调区间．解 (1)f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin(2x －π3)＋1.∵π4≤x ≤π2，∴π2≤2x ≤π，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin(2x －π3)≤1，∴1≤2sin(2x －π3)≤2，于是2≤2sin(2x －π3)＋1≤3，∴f (x )的最大值是3，最小值是2. (2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z得2k π－π6≤2x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ，同理由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z得f (x )的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z . 5． 已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
2015年高考数学总复习新课标课件：第三章
第二十六页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
(1)三角函数的奇偶性的判断技巧： 首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求 三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义． ②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周
第五页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
1．函数 y＝tanπ4 －x的定义域是( D )
A.x|x≠π，x∈R
4
B.x|x≠－π，
x∈
R
4
C.x|x≠
kπ－3π，k∈Z，x∈ 4
R
D.x|x≠
kπ＋3π，k∈Z，x∈ 4
R
第六页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
2．函数 y＝|sin x|的一个单调增区间是( C )
第三页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
函数
最值
奇偶性 对称
对 中心 称 性 对称
轴 周期
y＝sin x
y＝cos x
x＝_π2_＋__2_k__π_(_k_∈__Z_)
时， ymax＝ 1；
x＝－_π2_＋__2__k_π_(_k_∈__Z_ )
时， ymin＝－ 1
x＝_2_k_π_(_k_∈__Z__) __
第三章 三角函数、解三角形
第5课时 三角函数的图象和性质
第一页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
三角函数的图象和性质
函数 y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义 域
x∈R
x∈R
{x|x∈R 且 x≠π＋ 2
kπ，k∈Z}
第二页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第三章 3.3
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求参数的取值范围
ln x＋a 思维启迪 解析 思维升华 【例 2】 已知函数 f(x)＝ x a＋1 2 若 F(x)max＝F(e )＝ 2 ≥0， e 1 (a∈R)，g(x)＝x. 即－1≤a≤0 时， (1)求 f(x)的单调区间与极值；
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求参数的取值范围
ln x＋a 思维启迪 解析 思维升华 【例 2】 已知函数 f(x)＝ x 由图像，易知当0<x<e1－a时， 1 F(x)<0； (a∈R)，g(x)＝x. (1)求 f(x)的单调区间与极值；
当e1－a<x≤e2，F(x)>0，
x2 令f′(x)＝0，得x＝e1－a，
1－a 当 x ∈ (0 ， e )时，f′(x)>0， (2)若函数 f(x)的图像与函数 g(x) f(x)是增函数； 2
的图像在区间 (0 ， e ] 上有公共 点，求实数 a 的取值范围．
当x∈(e1－a，＋∞)时， f′(x)<0，f(x)是减函数．
该点处的切线相同．
x0＝－3a(舍去)．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 利用导数证明不等式
解析 思维启迪 思维升华 1 2 即有 b＝ a ＋2a2－3a2ln a 2 5 2 ＝ a －3a2ln a. 2 5 令 h(t)＝2t2－3t2ln t(t>0)，
【例1】
a，b的关系；
(2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)， 求F(x)的最值．
【走向高考·2015】高考数学一轮总复习课件(北师大版)：第三章 导数及其应用-4
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
第二章
函数与基本初等函数
第二章
函数与基本初等函数
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
第二章
第四节 定积分与微积分基本定理(理)
第二章
函数与基本初等函数
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
第二章
第四节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
课前自主导学
第二章
第四节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
知识梳理 1.定 积 分 的 定 义 一 般 地 ， 给 定 一 个 在 区 间 区 间 分 成 n份 ， 分 点 为 ： 第i 个 小 区 间 为 [a，b]的 函 数 y＝f(x)， 将 [a，b] a＝x0<x1<x2<„<xn－1<xn＝b. Δxi， 在 这 个 小 区 间 S＝
第二章
第四节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
b 2. f(x)dx的 实 质
a
b ( 1 ) 当f(x)在 区 间 [a，b]上 大 于 0时 ， f(x)dx表 示_ _ _ _ _ _ _ _ _
a
____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ________________________， 这 也 是 定 积 分 的 几 何 意 义 ．
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案32 数列的综合应用
探究点一 等差、等比数列的综合问题 例 1 设{an}是公比大于 1 的等比数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和．已知 S3＝7，且 a1 ＋3,3a2，a3＋4 构成等差数列． (1)求数列{an}的通项； (2)令 bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
Go the distance
学案 32
数列的综合应用
导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际 问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、 生活中的应用．
自主梳理 1．数列的综合应用 数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题， 二是数列与其他数学 内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会． (1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法． (2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等 差、等比数列或常见的特殊数列问题． (3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若 干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的． (4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由 Sn 求 an 时，要对______________进行分类讨论． 2．数列的实际应用 数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容， 解答应用问题的核心是建立数 学模型． (1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是 求 an 还是求 Sn. (2)分期付款中的有关规定 ①在分期付款中，每月的利息均按复利计算； ②在分期付款中规定每期所付款额相同； ③在分期付款时， 商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增 值； ④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和， 等于商品售价及从购买时到最后一 次付款的利息之和． 自我检测 1 ． ( 原创 题 ) 若 Sn 是等差 数列 {an} 的前 n 项 和， 且 S8 － S3 ＝ 10 ， 则 S11 的 值 为 ( ) A．12 B．18 C．22 D．44 a6 2．(2011· 汕头模拟)在等比数列{an}中，an>an＋1，且 a7· a11＝6，a4＋a14＝5，则 等于 a16 ( ) 2 3 A. B. 3 2 1 5 C．－ D．－ 6 6 3．若{an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列，把{an}的每一项都减去 2 后，得到一个新 数列{bn}， 设{bn}的前 n 项和为 Sn， 对于任意的 n∈N*， 下列结论正确的是 ( ) 1 n A．bn＋1＝3bn，且 Sn＝ (3 －1) 2 1 B．bn＋1＝3bn－2，且 Sn＝ (3n－1) 2 1 C．bn＋1＝3bn＋4，且 Sn＝ (3n－1)－2n 2
2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第五章 专题二
考点自测
高考题型突破
高考题型突破
题型二 三角函数和解三角形
思维启迪 解析
【例 2】 (2013· 重庆)在△ABC 中， 内角 A，B，C 的对边分别是 a， b，c，且 a2＋b2＋ 2ab＝c2. (1)求 C； 3 2 (2) 设 cos Acos B ＝ ， 5 cos α＋Acosα＋B 2 ＝ ，求 5 cos2α tan α 的值．
考点自测
高考题型突破
练出高分
高考题型突破
题型二 三角函数和解三角形
思维启迪 解析
【例 2】 (2013· 重庆)在△ABC 中， 内角 A，B，C 的对边分别是 a， b，c，且 a ＋b ＋ 2ab＝c . (1)求 C； 3 2 (2) 设 cos Acos B ＝ ， 5 cos α＋Acosα＋B 2 ＝ ，求 5 cos2α tan α 的值．
考点自测
3 解 (1)f(x)＝ sin ωx＋ 2 1 3 1 cos ωx＋ sin ωx－ cos ωx 2 2 2 －(cos ωx＋1)
3 1 ＝2( 2 sin ωx－2cos ωx)－1 π ＝2sin(ωx－ )－1. 6 π 由－1≤sin(ωx－6)≤1，
练出高分
高考题型突破
高考题型突破
【例 1】
已 知 函 数 f(x ) ＝ π π sin(ωx ＋ ) ＋ sin(ωx － ) － 6 6 2ωx 2cos ，x∈R(其中 ω>0)． 2 (1)求函数 f(x)的值域； (2)若函数 y＝f(x)的图像与直 线 y＝－1 的两个相邻交点间 π 的距离为 ，求函数 y ＝ f(x) 2 的单调增区间．
考点自测 高考题型突破 练出高分
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【北师大版】高三数学一轮复习：3-3导数的综合应用
第三章 第三节
系列丛书
解析：f′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)， 令f′(x)＝0，∴x＝1. 又f(0)＝0，f(4)＝e44，f(1)＝e－1＝1e， ∴f(1)为最大值．
答案：B
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第三章 第三节
系列丛书
4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量
x(单位：万件)的函数关系式为y＝－
1 3
x3＋81x－234，则使
该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
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第三章 第三节
系列丛书
解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0解得x＝9(－9舍去)． 当0<x<9时，y′>0； 当x>9时，y′<0，则当x＝9时，y取得最大值．
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第三章 第三节
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自主回顾·打基础 突破考点·速通关
解题技巧·提素能 课时作业
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第三章 第三节
系列丛书
自主回顾·打基础01
夯实基础·厚积薄发
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第三章 第三节
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1．生活中的优化问题 生活中常遇到求利润最大，用料最省、效率最高等一 些实际问题，这些问题通常称为优化问题．
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第三章 第三节
系列丛书
2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第二章 2.4
题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的应用
2
【例 2】
已知函数 f(x)＝ax
思维启迪
解析
思维升华
＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R. (1) 若 函 数 f(x) 的 最 小 值 为 f(－1)＝0，求 f(x)的解析式， 并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k 在区间[－3，－1]上恒成立， 试求 k 的范围．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
有关二次函数的问题，数形结 合，密切联系图像是探求解题 思路的有效方法．用函数思想 研究方程、不等式(尤其是恒成 立)问题是高考命题的热点．
题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值； (2)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
利用 f(x)的最小值为 f(－1)＝0 可列两个方程求出 a、b；恒成 立问题可以通过求函数最值 解决．
题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的应用
2
【例 2】
已知函数 f(x)＝ax
思维启迪
解析
思维升华
＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R. (1) 若 函 数 f(x) 的 最 小 值 为
解 (1)当 a＝－1 时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[ －5,5] ，
所以当 x＝1 时，f(x)取得最小值 1； 当 x＝－5 时，f(x)取得最大值 37. (2)函数 f(x)＝(x＋a)2＋2－a2 的图像的对称轴为直线 x＝－a，
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案53 抛物线
10． (12 分)(2011· 韶关模拟)已知抛物线 C： x2＝8y.AB 是抛物线 C 的动弦， 且 AB 过 F(0,2)， 分别以 A、B 为切点作轨迹 C 的切线，设两切线交点为 Q，证明：AQ⊥BQ.
第 5 页 共 11 页
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11．(14 分)(2011· 济南模拟)已知定点 F(0,1)和直线 l1：y＝－1，过定点 F 与直线 l1 相切 的动圆圆心为点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程； → → (2)过点 F 的直线 l2 交轨迹 C 于两点 P、Q，交直线 l1 于点 R，求RP· RQ的最小值．
将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6. ∵ 6>2，∴A 在抛物线内部． 设抛物线上点 P 到准线 l： 1 x＝－ 的距离为 d，由定义知 2 |PA|＋|PF|＝|PA|＋d，
第 6 页 共 11 页
Go the distance
7 当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为 ， 2 7 即|PA|＋|PF|的最小值为 ， 2 此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2， ∴点 P 坐标为(2,2)． 变式迁移 1 A [
→ → 解 假设存在实数 λ，使AO＝λOD. 抛物线方程为 y2＝2px (p>0)， p p 则 F 2，0，准线 l：x＝－2， (1)当直线 AB 的斜率不存在，即 AB⊥x 轴时， p p 交点 A、B 坐标不妨设为：A 2，p，B2，－p. p ∵BD⊥l，∴D －2，－p， p → → → → p ∴AO＝ －2，－p，OD＝－2，－p，∴存在 λ＝1 使AO＝λOD.[4 分]
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学案 53
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设两切线相交于点M，由 y＝4x－3， y＝－2x＋6 3 消去y，得x＝ ， 2 3 即点M的横坐标为2. 3 在区间 0，2 上，曲线y＝4x－3
在曲线y＝－x2＋4x－3的上方； 3 在区间 2，3 上，曲线y＝－2x＋
6在曲线y＝－x2＋4x－3的上方．
)
D．不存在
(2)若定积分 则 m 等于
π －x －2xdx＝ ， 4 ( )
A．－1 BLeabharlann 0 C．1 D．2基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 定积分的计算
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 1】 (1)设 f(x)＝ 2 x ， x∈[0，1]， 2 则ʃ 0f(x)dx 2－x， x∈1，2]， 等于 3 A． 4 ( 4 B． 5 5 C． 6
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 3】 一物体做变速直线运动，
其 v－t 曲线如图所示， 则该物体 0≤t≤1时做加速运动， 1 在 s～6 s 间的运动路程为 2
基础知识
题型分类
思想方法
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基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
如果每次分割后，最大小区间长度趋于 0，S 与 s 的差也 趋于 0，此时 S 与 s 同时趋于
b b 记作 ʃ af(x)dx，即 ʃ af(x)dx＝A.
一个固定的常数A ，称 A
是函数 y＝f(x)在区间[a，b)上的定积分． 2．定积分的性质 b b－a . ①ʃ a1dx＝ b b k ʃ af(x)dx . ②ʃ akf(x)dx＝ b b b ʃ f ( x )d x ± ʃ ag(x)dx. ③ʃ g(x)]dx＝ a a[f(x)±
画出函数图像，如图所示， 所求面积S＝ 0 (10x2)dx＋ 1 (－10x2＋10x)dx
2
1 2
1
10 3 1 10 3 2 1 2 ＝ 3 x 0 ＋ － 3 x ＋5x 1 2
5 10 10 1 1 5 ＝12＋(－ 3 ＋5)－(－ 3 ×8＋5×4)＝4.
基础知识
在点 B 处的切线斜率是 k2＝y′|x＝3＝－2. 因此，抛物线过点 A 的切线方程 为 y＝4x－3，
过点B的切线方程为y＝－2x＋6.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 利用定积分求曲边梯形的面积
【例2】
如图所示，求由抛物
2
思维启迪
解析
思维升华
线y＝－x ＋4x－3及其在点 A(0，－3)和点B(3,0)处的切 线所围成的图形的面积．
b ④ʃ af(x)dx＝
c b ʃ f ( x )d x ʃ a ＋ c f(x)dx.
基础知识
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思想方法
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基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
3．微积分基本定理 如果连续函数 f(x) 是函数 F(x) 的导函数，即 f(x) ＝
b F′(x)，则有 ʃ af(x)dx＝F(b)－F(a)．
2
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思想方法
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题型分类·深度剖析
题型一 定积分的计算
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 1】 (1)设 f(x)＝ 2 x ， x∈[0，1]， 2 则ʃ 0f(x)dx 2－x， x∈1，2]， 等于 3 A． 4 ( 4 B． 5 5 C． 6
m ʃ －2 2
m ʃ －2 2
(1)利用定积分的性质和微积分 基本定理计算；
)
D．不存在
(2)利用定积分的几何意义计 算．
(2)若定积分 则 m 等于
π －x －2xdx＝ ， 4 ( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
基础知识
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题型分类·深度剖析
题型一 定积分的计算
思维启迪 解析 答案 思维升华
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题型分类·深度剖析
题型二 利用定积分求曲边梯形的面积
【例2】
如图所示，求由抛物
思维启迪
解析
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解
由题意，
线y＝－x2＋4x－3及其在点 A(0，－3)和点B(3,0)处的切 线所围成的图形的面积．
知抛物线 y＝－x2＋4x－3
在点 A 处的切线斜率是 k1＝y′|x＝0＝4，
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思想方法
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题型分类·深度剖析
跟踪训练1
π 2
lg x，x>0， (1)设f(x)＝ a 2 x ＋ ʃ 3 x dx，x≤0， 0
若f(f(1))
1 ＝1，则a＝________.
(2) π sin xdx＝________. 0 2
解析 (1)由题意知f(1)＝lg 1＝0， ∴f(0)＝0＋a3－03＝1，∴a＝1. π π (2)由于函数y＝sin x在区间[－2 ， 2 ]上是一个奇函数，图像
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 1】 (1)设 f(x)＝ (2)根据定积分的几何意义知， 2 x ， x∈[0，1]， 2 m 2 则ʃ 0f(x)dx 定积分ʃ－2 －x －2x dx的值就是函 2－x， x∈1，2]， 2 等于 3 A． 4 ( 4 B． 5 5 C． 6 D．不存在 ) x＝－2，x＝m所围成图形的面积，
线y＝－x2＋4x－3及其在点 A(0，－3)和点B(3,0)处的切 线所围成的图形的面积．
对于求平面图形的面积问题， 应首先画出平面图形的大致图 形，然后根据图形特点，选择 相应的积分变量及被积函数， 并确定被积区间．
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题型分类·深度剖析
跟踪训练2 已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、 1 B( ，5)、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形 2 的面积为________．
y＝
数y＝ －x －2x 的图像与x轴及直线
m (2)若定积分 ʃ －2
则 m 等于
－x2－2x 是一个半径为1的半 π π 2 －x －2xdx＝ ， 圆，其面积等于2， 4 π m 2 而 ʃ － x － 2 x d x ＝ －2 ( ) 4，
A．－1 B．0 C．1 D．2
即在区间[ －2，m] 上该函数图像应 1 为4个圆，于是得m＝－1，故选A.
(2)若定积分 则 m 等于
π －x －2xdx＝ ， 4 (
1 2 2 1 31 ＝ x |0＋2x－2x |1 3
1 5 1 ) ＝3＋4－2－2＋2＝6.
A．－1 B．0 C．1 D．2
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题型一 定积分的计算
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思想方法
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题型分类·深度剖析
题型三 定积分在物理中的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 3】 一物体做变速直线运动， 其 v－t 曲线如图所示， 则该物体 1 在 s～6 s 间的运动路程为 2 __________．
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思想方法
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题型分类·深度剖析
题型三 定积分在物理中的应用
思想方法 练出高分
A．－1 B．0 C．1 D．2
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题型分类·深度剖析
题型一 定积分的计算
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 1】 (1)设 f(x)＝ 2 x ， x∈[0，1]， 2 则ʃ 0f(x)dx 2－x， x∈1，2]， 等于 3 A． 4 ( C ) 4 B． 5 5 C． 6
【例 1】 (1)设 f(x)＝ 2 (1)如图， x ， x∈[0，1]， 2 则ʃ 0f(x)dx 2－x， x∈1，2]， 2 等于 3 A． 4 ( 4 B． 5 5 C． 6
m ʃ －2 2
1 2 2 ) ＝ʃ 0x dx＋ʃ 1(2－x)dx
ʃ 0f(x)dx
D．不存在
y＝ 数y＝ －x －2x 的图像与x轴及直
m (2)若定积分 ʃ －2
则 m 等于
－x －2x 是一个半径为1的半 π π 2 －x －2xdx＝ ， 圆，其面积等于2， 4 π m 2 而 ʃ － x － 2 x d x ＝ ， －2 ( A ) 4
即在区间[－2，m]上该函数图像应 1 为 个圆，于是得m＝－1，故选A. 4
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夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
π 2 3π 2 π 2
答案
(1) √ (2) √ (3) × (4) √ (5) √ (6) ×
解析
C A
3
2π cos x d x cos x d x 0 3 π cos x d x
m ʃ －2 2
(1)计算定积分要先将被积函数 化简后利用运算性质分解成几 个简单函数的定积分，再利用 微积分基本定理求解；
D．不存在
(2)若定积分 则 m 等于
π －x －2xdx＝ ， 4 ( A )
(2)对函数图像和圆有关的定 积分可以利用定积分的几何意 义求解．
A．－1 B．0 C．1 D．2
3 2 0
3
3 2
[ (－2x＋6)－(－x2
＋4x－3)] dx
＝ x dx＋ 3 (x2－6x＋9)dx 2 9 9 9 ＝ ＋ ＝ . 8 8 4