高一数学《3.4 基本不等式》
高一上数学课件第2节 基本不等式
[小组合作型] 利用基本不等式比较代数式的大小
(1)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 p＝a2＋b2＋c2 与 q＝ab＋ bc＋ca 的大小关系是______．
(2)给出下列命题： ①若 x∈R，则 x＋1x≥2； ②若 a＞0，b＞0，则 lg a＋lg b≥2 lg a·lg b； ③若 a＜0，b＜0，则 ab＋a1b≥2； ④不等式yx＋xy≥2 成立的条件是 x＞0 且 y＞0.其中正确命题的序号是 ________．
用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
图 3-4-1 现有 36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每 间虎笼面积最大？
【精彩点拨】 设每间虎笼长 x m，宽 y m，则问题是在 4x＋6y＝36 的前提 下求 xy 的最大值．
【自主解答】 设每间虎笼长 x m，宽 y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy.
(2)只有当 x>0 时，才能由基本不等式得到 x＋1x≥2 x·1x＝2，故①错误；当 a>0，b>0 时，lg a∈R，lg b∈R，不一定有 lg a>0，lg b>0，故 lg a＋lg b≥2 lg a·lg b 不一定成立，故②错误；当 a<0，b<0 时，ab>0，由基本不等式可得 ab＋a1b ≥2 ab·a1b＝2，故③正确；由基本不等式可知，当yx>0，xy>0 时，有yx＋xy≥2 yx·xy ＝2 成立，这时只需 x 与 y 同号即可，故④错误．
而 ab≤a＋2 b，故
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b(当且仅当 a＝b 时等号成立)．
不等式的证明
3.4 基本不等式(教案)
3．4基本不等式（第一课时）来宾高中数学组：卢红兰教学目标一、知识目标1、探索并了解基本不等式的证明过程；2、了解基本不等式的几何背景；3、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
二、能力目标通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。
三、情感目标通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。
教学重、难点重点：1、数形结合的思想理解基本不等式；2、基本不等式成立的条件及应用。
难点：基本不等式成立的条件及应用。
教学过程一、创设情境，引入课题探究一：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计；将右图中的“风车”抽象成下图，比较4个直角三角形的面积与大正方形的面积，你能找到怎样的不等关系？引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 我们考虑4个直角三角形的面积的和是ab S 21=，大正方形的面积为222b a S +=。
由图可知12S S >，即ab b a 222>+．思考一：1、能否取到等号？什么时候取等号？（当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=）2、以上结论能否推广到任意实数a ,b ?总结：重要不等式：一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
你能给出证明吗？思考二：如果用a ,b 去替换ab b a 222≥+中的a ,b 能得到什么结论？ 引导：为什么可以替换？a ,b 要满足什么条件？结论：a b +≥)0,0(>>b a ，当且仅当b a =时取等号. 你能给出证明吗？二、数形结合，深化认识展示课题内容:重要不等式．．．．．：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立） 基本不等式．．．．．：若,0a b >，则2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）此环节学生提出疑惑，小组解答三、辨析质疑（小组活动）例1. 若0x >，当x 取什么值时，1x x+的值最小？最小值是多少？练1：把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？小结1：当ab 为定值P 时，a b +有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？变式1：若0x <，1x x+有最值吗？如果有，请你求出最值. 变式2：你会求1x x +的最值吗？试一试.例2. 若02x <<，当x 取什么值？(2)x x -值最大？最小值是多少？练2：把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最小？小结2：当a b + 为定值S 时，ab 有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？四、小结：1、222a b ab +≥当且仅当a b =时“=”成立2、2a b +≥0,0a b >>）当且仅当a b =时“=”成立 思想方法：1、数形结合思想2、换元思想五、作业设计1、基本作业：（1）判断下列推理是否正确：① 函数22(0)y x x x=+>的最小值是（ ）② 函数y =的最大值是5. （ ）③ 函数1sin sin y x x=+的最小值是2. （ ）（2）完成同步课时作业2、拓展作业：到阅览室或网上查找基本不等式的几何解释，整理并相互交流．六、板书设计3．4基本不等式1、重要不等式：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）2、基本不等式：若,0a b >，则2b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） 思想方法：1、数形结合思想2、换元思想。
人教版高中数学选修4-5《3.4基本不等式》
深 化 认 识 加 强 理 解
ab ab (a, b 0)当且仅当a b时等号成立 2
均值解释
ab 几何平均数
ab 算术平均数 2
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数
几何解释
半弦长CD
半径长OD
半弦长不大于半径长
公式变形
a, b 0当且仅当a b时等号成立
a
b
a b 2 ab
一正、二定、三相等
自 足 现 在 实 现 自 我
菲尔兹奖
作业
课本100页习题A组1、2题
Hale Waihona Puke √互 动 探 究1、小试牛刀
4 4 *(3)若0 x ，则由sin x 2 sin x 4 sin x sin x
4 得， sin x 最小值是4. sin x
×
精 *(4)若a, b 0且a b 18, a b 2 18 2 讲 则由a b ( ) ( ) 81得 2 2 点 a b的最大值是81 √ 拨
D
自 学 质 疑 交 流 展 示
H A
2
G F
C
E
a
a b
2
b
B
问题1.比较大正方形的面积与4个 直角三角形的面积，你能找到怎样 的不等关系？ 问题2.上式能否取到等号？什么 时候取等号？
自 学 质 疑 交 流 展 示
探究 问题3.上式中 a , b 的范围能扩大吗？ 问题4.你能给出证明吗？ 问题5.如果用 a , b 去替换上式结 论中的 a , b ，则 a , b 需要满足什么 条件？ 问题6.替换之后能得到什么结论？ 什么时候取等号？ 问题7.你能给出证明吗？
ab 2 ) ab ( 2
3.4基本不等式
6
1 12
上题中只将条件改为0<x<1/8,即:
已知：0＜x
解： ∵0＜x≤1 ∴1-3x＞0
1 8
，求函数y=x（1-3x）的最大值
1 3x 1 3x 2 1 1 ) 12 ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( 3 3 2
8
ymax
1 12
如此解答行吗？
1 1 例6、已知正数x、y满足2x+y=1，求 的最小值 x y
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，
1 2 有最大值 S 4
否则会出现错误
1 的最小值为 2 ，此时x= 1 1、当x>0时， x x
2、已知 2 x 3 y 2( x 0, y 0) 则x y 的最大值是
1 6
。
。
x, y ，且 x y 5，则 3 x 3 y的最小 3、若实数
值是（ D ） A、10 B、 6 3 C、4 6 D、18 3
4、在下列函数中，最小值为2的是（ C）
1 (1 x 10) A、 x 5 B、y lg x lg x y ( x R , x 0) 5 x 1 x x (0 x ) C、y 3 3 ( x R) D、y sin x sin x 2
C
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b， 我们有 2 2
a b 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。 用 a和 b代替a、b 会得到什么？
如何证明?
基本不等式2：
ab ab (a 0, b 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意： 1、两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相
高中数学人教A版《基本不等式》教学课件1
a b 叫做正数a，b的几何平均数；
代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
探究几何意义
D
ab
A
a OC b
AC = DC E
DC BC
如图,AB是圆的直径，C是 AB上与A、B不重合的一点，
A于aCA=Ba2的,CB弦b=Db≥ ,E过，点连CA作Da垂,Bb直D,
B 则OD=a＿＿b ,CD=＿＿＿＿ 2
高中数学人教A版《基本不等式》教学 课件1
2高.2中基数本学不人等教式A-版【《新基教本材不】等人式教》A版 教（ 学 课20件19） 1 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 14S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
例 6.已 知 0x,求 函 数 ysinx 1
sinx 的 最 小 值 .
解：0x 0sinx1
ysinx 1 2 sinx 1 2
sinx
sinx
当且仅当sinxsin1x，即x2时，ymin 2
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
课堂小结
a2+1与b、2初≥本2步a节应b课用主。（要１学）习了若基a,本b∈不等R，式的那证么明
例 7 若 0 x 1 ， 求 函 数 y x ( 1 - x ) 的 最 大 值 .
3.4 基本不等式ab≤a+b2 (一)
1
鸡西市第十九中学高一数学组
探究 下面是基本不等式 ab≤
a＋b 的一种几何解释，请你补充完整． 2
如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC＝a，CB＝b，过点 C 作 CD⊥AB 交⊙O 上 半圆于点 D，连接 AD，BD.由射影定理可知，CD＝ ，而 OD＝ ， a＋b 因为 OD CD，所以 ab,当且仅当 C 与 O ，即 时,等号成立． 2 【探究点二】基本不等式的拓展 a＋b 2 问题 当 a>0，b>0 时， ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 ＋ a b 请你给出证明．
1 1 n 例 3 a>b>c，n∈M 且 ＋ ≥ ，求 n 的最大值． a－b b－c a－c
小结 一般地，若函数 y＝f(x)，x∈D 既存在最大值，也存在最小值，则 a>f(x)，x∈D 恒成立⇔a>f(x)max； a<f(x)，x∈D 恒成立⇔a<f(x)min.
3
鸡西市第十九中学高一数学组
鸡西市第十九中学高一数学组
鸡西市第十九中学学案
2018 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
3.4 学习 目标 重点 难点
基本不等式 ab≤ 2
a＋b
(一)
1．理解基本不等式的内容及证明． 2．能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小． 3．能初步运用基本不等式证明简单的不等式． 1．应用基本不等式解决有关问题必须紧扣它的适用条件，公式 a2＋b2≥2ab 只 a＋b 要求 a、b 是实数，而公式 ab≤ 强调 a、b 必须是非负数． 2
2
鸡西市第十九中学高一数学组
例 1 已知正数 0<a<1,0<b<1，且 a≠b，则 a＋b，2 ab，2ab，a2＋b2，其中最大的一个 是( ) 2 A．a ＋b2 B．2 ab C．2ab D．a＋b
高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式：ab≤a+b2学案(含解析)新人教A版必修5-新人教A
3．4 基本不等式：ab≤a＋b 2[目标] 1.了解基本不等式的代数式和几何背景；2.会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式；3.会用基本不等式求最值和解决简单的实际问题．[重点] 基本不等式的简单应用．[难点] 基本不等式的理解与应用．知识点一 两个不等式[填一填]1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中a ＋b2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b2成立的条件有什么不同？提示：不等式a 2＋b 2≥2ab对任意实数a ，b 都成立；ab ≤a ＋b2中要求a ，b 都是正实数．知识点二 基本不等式与最值[填一填]已知x ，y 都是正数，(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值．(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值．[答一答]2．利用基本不等式求最值时，我们应注意哪些问题？提示：(1)在利用基本不等式具体求最值时，必须满足三个条件：①各项均为正数；②含变数的各项的和(或积)必须是常数；③当含变数的各项均相等时取得最值．三个条件可简记为：一正、二定、三相等．这三个条件极易遗漏而导致解题失误，应引起足够的重视．(2)记忆口诀：和定积最大，积定和最小．3．在多次使用基本不等式求最值时，我们应注意什么问题？提示：在连续多次应用基本不等式时，我们要注意各次应用时不等式取等号的条件是否一致，若不能同时取等号，则需换用其他方法求出最值．4．两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？提示：不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到．如sin x 与4sin x ，x ∈(0，π2)，两个都是正数，乘积为定值．但是由0<sin x <1，且sin x ＋4sin x 在(0,1)上为减函数，所以sin x ＋4sin x >1＋41＝5，等号不成立，取不到最小值．类型一 利用基本不等式证明不等式[例1] (1)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.[分析] (1)左边是和式，右边是带根号的积式之和，所以用基本不等式，将和变积，并证得不等式．(2)不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a，可由此变形入手．[证明] (1)∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .(2)∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a ， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1 ≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．1.利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果.2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到.3.解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式.[变式训练1] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：因为a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号． 类型二 利用基本不等式求最值[例2] (1)若x >0，求f (x )＝4x ＋9x 的最小值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[分析] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．[解] (1)∵x >0，∴由基本不等式得 f (x )＝4x ＋9x≥24x ·9x＝236＝12， 当且仅当4x ＝9x，即x ＝32时，f (x )＝4x ＋9x 取最小值12.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取“＝”．∴y 的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6.当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，x ＋4x －2取最小值6.(4)∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋29＝16.当且仅当y x ＝9x y 且1x ＋9y ＝1时等号成立．即x ＝4，y ＝12时等号成立．∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 有最小值16.求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题的突破口.找到定值后还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求写出符号成立的条件，都要验证“＝”是否成立.[变式训练2] (1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值； (2)已知x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值． 解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a >0，b >0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20.(2)∵x >0，y >0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32， 当且仅当2x ＝3y ，且2x ＋3y ＝6时等号成立， 即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.类型三 基本不等式的实际应用[例3] 特殊运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按规定限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升6元，而送货卡车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时140元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式．(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． [解] (1)设所用时间为t ＝130x(小时)，y ＝130x ×6×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋140×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×152x ＋13x 6，x ∈[50,100]．(2)y ＝130×152x ＋13x 6≥525703，当且仅当130×152x ＝13x6，即x ＝4570∈[50,100]时，等号成立．故当x ＝4570千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为525703元．解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.[变式训练3] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160(单位：元)．解析：设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m ．又设该容器的总造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×10，即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x >0)．因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”，所以y min ＝80＋20×4＝160(元)．1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ，a b 均为正数时，b a ＋ab ≥2，故只须a 、b 同号即可．所以①、③、④均可以．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab≥2解析：∵a ，b ∈R ，且ab >0， ∴b a >0，ab>0，∴b a ＋a b ≥2b a ×a b＝2. 当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时取等号．3．设a ，b 为实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值为( B ) A ．6 B ．4 2 C ．2 2 D ．8解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝4 2.4．已知0<x <1，则当x ＝12时，x (3－3x )取最大值为34.解析：3x (1－x )≤3(x ＋1－x 2)2＝34，当且仅当x ＝1－x 即x ＝12时等号成立．5．已知a >0，b >0，c >0，求证： (1)b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6；(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c≥8.证明：(1)b ＋c a ＋a ＋c b ＋a ＋b c ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥2＋2＋2＝6(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2abc＝8abc abc＝8(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．——本课须掌握的两大问题1．基本不等式成立的条件：a >0且b >0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则ab ≠a ＋b 2，即只能有ab <a ＋b2. 2．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件，a >0，b >0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．。
高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第2课时 基本
a＋b 3．4 基本不等式： ab≤ 2 第 2 课时 基本不等式的应用
a＋b [学习目标] 1.进一步掌握基本不等式 ab≤ 2 . 2.会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值，能够解 决一些简单的实际问题． 3.会用基本不等式的变式如 a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)证明不等式．
f(x)＝x2＋1＋x2＋2 1－1≥2 （x2＋1）·x2＋2 1－1＝ 2 2－1，当且仅当 x2＋1＝x2＋2 1，即 x2＝ 2－1 时等号成 立．
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．若 x＞0，则 x＋4x的最小值为( ) A．2 B．3 C．2 2 D．4
解析：因为 x＞0，所以 x＋4x≥2 x·4x＝4，当且仅 当 x＝4x，即 x＝2 时等号成立．
2．常用构造定值条件的技巧变换：①加项变换；② 拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式．
[变式训练] 已知 x＞0，y＞0，且 2x＋8y－xy＝0， 求：(1)xy 的最小值；(2)x＋y 的最小值． 解：因为 x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0， (1)xy＝2x＋8y≥2 16xy， 所以 xy≥8，所以 xy≥64. 故 xy 的最小值为 64.
解析：因为 x＞1，所以 x－1＞0.
又 y＝x＋ 2 ＝(x－1)＋ 2 ＋1≥2 2＋1.
x－1
x－1
等号成立的条件是 x－1＝ 2 x－1
即 x＝1＋ 2. 故当 x＝1＋ 2时，y 取最小值 1＋2 2. 答案： 2＋1 1＋2 2
5．若 0＜x＜1，则函数 f(x)＝2＋log2 x＋log52 x的最 大值是________．
证明：因为 n＞2，所以 n－1＞1. 所以 logn(n－1)＞0，logn(n＋1)＞0， 所以 logn(n－1)logn(n＋1)≤
数学2课件：第三章 3.4 基本不等式：ab≤a+b2
[解析] 当建成 n 个球场时，每平方米的购地费用为12180×001n04＝1 2n80， 由题意，知 n＝5 时，f(n)＝400， 则 f(5)＝m1＋5－ 205＝400，所以 m＝400. 所以 f(n)＝4001＋n2－05＝20n＋300. 从而每平方米的综合费用为 y＝f(n)＋1 2n80＝20n＋6n4＋300
(2)年平均利润为ny＝－2(n＋4n9－20) ≤－2(2 n·4n9－20)＝12. 当且仅当 n＝4n9，即 n＝7 时上式取等号． 所以，当捕捞 7 年后年平均利润最大，最大是 12 万元．
利用基本不等式证明不等式 [典例] (本题满分 12 分)(1)已知 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， 求证：1a＋1b＋1c≥9； (2)已知 a，b>0，a＋b＝1，求证： a＋12＋ b＋12≤2.
2 x－3·x－4 3＋3＝7， 当且仅当 x－3＝x－4 3即 x＝5 时，f(x)取到最小值 7. (3)法一：∵x>0，y>0,2x＋y＝1， ∴1x＋1y＝2xx＋y＋2x＋ y y＝3＋xy＋2yx≥3＋2 xy·2yx＝3＋2 2， 当且仅当xy＝2yx，即 y＝ 2x 时，等号成立，
课时作业
第10课 罗密欧与朱丽叶(节选)
诗海探珠 生查子·独游雨
岩 辛弃疾 溪边照影行， 天在清溪底。 天上有行云， 人在行云里。 高歌谁和余？ 空谷清音起。
佳诗品韵清幽书香
【赏析】 这首词是作者在游雨岩的时候 写的。上片以溪为中心，用天、人、云来烘 托出一幅色调清雅的图画。下片写自己的清 傲孤独。“高歌谁和余？”这高歌不是一般的 歌，是正义的，抗金的歌。和者是“空谷清音 起。”从这里也看出作者寄情山水是迫不得已 的，但是倔强不渝的爱国决心，却从高歌中 唱了出来。词调轻快清新，景色如画。此词 上阕以写形为主，笔法自然平实，下阕以写
高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第1课时 基本
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 对任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 ab均成 立．( )
(2)若 a≠0，则 a＋4a≥2 a·4a＝4.(
)
(3)若 a＞0，b＞0，则 ab≤a＋2 b2.(
)
解析：(1)错误．任意 a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab 成立，
解析：①因为 x∈(0，π)，所以 sin x∈(0，1]， 所以①成立；②只有在 lg a＞0，lg b＞0，
即 a＞1，b＞1 时才成立；
③x＋4x＝x＋4x≥2 答案：①③
x·|4x|＝4 成立．
5．如果 a＞0，b＞0，则ba＋ab的最小值是 2；如果 ab ＞0，则ba＋ab的范围是________．
故1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b＝ 2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥ 5＋4＝9，当且仅当 a＝b＝12时取等号．
(2)因为 a＞0，b＞0，所以 a＋b≥2 ab，
当且仅当 a＝b＝12时，等号成立．则 ab≤a＋2 b2＝14，
则 a2b2≤116，而 a4＋b4＝(a2＋b2)2－2a2b2＝[(a＋b)2－2ab]2
－
2a2b2
≥
[(a
＋
b)2
－
2ab]2
－
2×
1 16
＝
(1
－
2ab)2
－
1 8
≥
1－2×142当 a＝b＝12时取等号．
类型 2 利用基本不等式求最值 [典例 2] (1)若 x＞0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值； (2)已知 x＞2，求 x＋x－4 2的最小值． 解：(1)因为 x＞0，由基本不等式得 f(x)＝1x2＋3x≥2 1x2·3x＝2 36＝12.
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教材P100 练习 、、、题. 1234
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课堂小结
本节课我们学习了一个 重要的不等式 ab ab ，重点掌握如下几点： 2 （1）该基本不等式的理解 和成立的条件； ab （2）运用 ab 求最值时的注意事项： 2 正，定，等.
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例题讲解
例4. 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800m3，深为3m.如果池底每平 方米的造价为150元，池壁每平方米的造价 为120元，怎样设计能使总造价最低？最低 总造价是多少？
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例题讲解
例4. 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800m3，深为3m.如果池底每平 方米的造价为150元，池壁每平方米的造价 为120元，怎样设计能使总造价最低？最低 总造价是多少？
ab 3.4 基本不等式： ab 2
主讲： 迪 吴
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新课讲授
基本不等式：
ab 若a、b R ，则 ab . 2
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例题讲解
程正确的是 例1（1）下列不等式的证明过 . （ b a b a A. 若a、b R，则 2 2 a b a b B . 若a、b R，则lg a lg b 2 lg a lg b 1 1 C . 若a R，则a 2 a 2 a a D. 若a 0，则2 2
课后作业《习案ຫໍສະໝຸດ 《学案》湖南省长沙市一中卫星远程学校
a a
）
2 2 2
a
a
2
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例题讲解
（2）下列选项中最小值为的是 2 1 A. y x x 1 2 B. y x 2 2 x 2 1 2 C. y x 1 x2 1 4 2 D. y sin x 2 sin x （ ）
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例题讲解
例2. 已知a、b、c、d R ，求证： (ab cd )( ac bd ) 4abcd
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例题讲解
例3. （1）用篱笆围成一个面积为100m2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为 多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是 多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一个矩 形菜园，问这个矩形的长、宽各为多 少时，菜园的面积最大.最大面积是多 少？