绝对值不等式公式四个
绝对值三角不等式公式
绝对值三角不等式公式
绝对值三角不等式定理：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。
三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边，有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子。
绝对值三角不等式公式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由两个双边不等式组成。
一个是||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，这个不等式当a、b同方向时（如果是实数，就是正负符合相同）|a+b|=|a|+|b|成立。
当a、b异向（如果是实数，就是ab正负符合不同）时，||a|-|b||=|a±b|成立。
另一个是||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|，这个等号成立的条件刚好和前面相反，当a、b异向（如果是实数，就是ab正负符合不同）时，|a-b|=|a|+|b|成立。
当a、b同方向时（如果是实数，就是正负符合相同）时，||a|-|b||=|a-b|成立。
三角不等式证明设ABC为一个三角形，记△ABC，延长BA
至点D，使DA=CA，连接DC.则因DA=AC，∠ADC=∠ACD（等边对等角，《几何原本》命题5）所以∠BCD大于∠ADC（整体大于部分公理）由于DCB是三角形，∠BCD大于∠BDC，而且较大角所对的边较大（大角对大边，命题19）所以DBBC，而DA=AC则
DB=AB+AD=AB+ACBC.。
必修一 含绝对值的不等式
例2：解下列不等式
（1）x +1 5
(2) 2 x 1 2
解：(1)x 1 5或x 1 5 x x 4或x 6
(2) 2 2x 1 2 3 2 x 1 1 x x 2 3 2
练习：
综上，原不等式的解集为 x 3 x 2
说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集; (2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个 绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。
解得：1 x 2
练习：（ 1 ）解不等式： x 1 2 x
1答： x 1 2 x 0
（1）x 5
解：x x 5或x 5
(2) x 1
x 1 x 1
练习：
(1) x 3 (3) x 1 (2) x 2 (4) x 2
1.公式法：
2、 x a与 x a型的不等式的解法。 当a 0时，不等式 x a的解集是 x x a或x a 不等式 x a的解集是 x a x a 当a 0时， 不等式 x a的解集是 x x R 不等式 x a的解集是
x 2 解：当x 2时，得 ( x 1) ( x 2) 5 解得： 3 x 2
2 x 1 当 2 x 1时，得 ( x 1) ( x 2) 5 解得： 2 x 1 x 1 当x 1时，得 ( x 1) ( x 2) 5
(1) x 1 3 (3) x 1 1 (2) x 3 6 (4) x 3 2
二、分类讨论法：即通过合理分类 去绝对值后再求解。
例4.解不等式 x 1 x 2 5
含绝对值的不等式 公开课精品课件
，
作出函数 y＝|2x＋1|－|x－4|的图象，如图所示，
它与直线
5 y＝ 2 的交点为(－ 7,2)和 ， 2. 3
所以 |2x＋ 1|－ |x－ 4|>2 的解集为(－∞，
5 － 7)∪ ，＋∞ . 3
(2)由函数 y＝ |2x＋ 1|－ |x－ 4|的图象可知， 1 9 当 x＝－ 时， y＝ |2x＋ 1|－ |x－ 4|取得最小值－ . 2 2
x＋1 3．(2009· 全国Ⅰ)不等式 x－1<1
的解集为( D ) B．{x|0<x<1} D．{x|x<0}
A．{x|0<x<1}∪{x|x>1} C．{x|－1<x<0}
解析
x＋1 2 2 ∵ <1 ， ∴ | x ＋ 1|<| x － 1| ， ∴ x ＋ 2 x ＋ 1< x x－1
(3)方法一
分别求|x－1|，|x＋2|的零点，即 1，－2.
由－2,1 把数轴分成三部分：x<－2，－2≤x≤1，x>1. 当 x<－2 时原不等式即 1－x－2－x<5， 解得－3<x<－2； 当－2≤x≤1 时，原不等式即 1－x＋2＋x<5， 因为 3<5 恒成立，则－2≤x≤1； 当 x>1 时，原不等式即 x－1＋2＋x<5， 解得 1<x<2. 综上，原不等式的解集为{x|－3<x<2}．
§6.5 含绝对值的不等式 基础知识
要点梳理
1．两数和与差的绝对值不等式的性质 定理：|a|－|b|≤|a± b|≤|a|＋|b| 推论：|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|. 2．含绝对值不等式的解法 化去绝对值符号， 转化为不含绝对值的不等式． 解 法如下：
不等式基本公式
不等式基本公式不等式基本公式是解决不等式问题的重要工具，它建立在不等式的基本性质和数学推理的基础上，用于推导和解决各种类型的不等式问题。
下面是不等式基本公式的相关参考内容。
一、不等式基本性质：1. 不等式的传递性：如果a>b且b>c，则a>c。
这个性质可以用于推导和比较不等式的大小关系。
2. 不等式的加法性：如果a>b，则a+c>b+c。
这个性质可以用于将不等式中的常数项相加或相减，推导不等式的等价关系。
3. 不等式的乘法性：如果a>b且c>0，则ac>bc；如果a>b且c<0，则ac<bc。
这个性质可以用于将不等式中的变量进行乘法运算，推导不等式的大小关系。
二、一元一次不等式：1. 加减法不等式解法：对于不等式ax+b>c，可以将不等式中的常数项移项，得到ax>c-b。
然后比较a的正负性和c-b的大小关系，确定不等式的解集。
2. 乘除法不等式解法：对于不等式ax>b，可以将不等式中的常数项移项，得到ax-b>0。
然后比较a的正负性和ax-b的大小关系，确定不等式的解集。
三、一元二次不等式：1. 零点判别法：对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0，可先求解对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0。
然后根据一元二次方程的求解公式，判断二次函数的图像与x轴的位置关系，确定不等式的解集。
2. 符号判别法：对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0，也可以利用一元二次方程ax^2+bx+c=0的零点判别式Δ=b^2-4ac，来判断二次函数的图像与x轴的位置关系，确定不等式的解集。
四、一元绝对值不等式：1. 绝对值的定义：对于任意的实数x，|x|表示x的绝对值，定义为：|x|=x，如果x≥0；|x|=-x，如果x<0。
2. 绝对值不等式的性质：对于任意的实数a和b，有以下两个性质：a) |a|>b等价于a>b或a<-b；b) |a|<b等价于-b<a<b。
基本不等式公式四个
基本不等式公式四个1. 一次不等式一次不等式是指一个数与另一个数之间的大小关系的表示形式。
常见的一次不等式有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）等。
以下是一次不等式的基本形式：•大于：a > b 表示a的值大于b的值。
例如，2 > 1，表示2大于1。
•小于：a < b 表示a的值小于b的值。
例如，1 < 2，表示1小于2。
•大于等于：a ≥ b 表示a的值大于或等于b的值。
例如，3 ≥ 3，表示3大于等于3。
•小于等于：a ≤ b 表示a的值小于或等于b的值。
例如，3 ≤ 4，表示3小于等于4。
一次不等式可以用来表示实数之间的大小关系，比如表示年龄的大小、温度的高低等。
2. 二次不等式二次不等式是指一个二次方程的不等关系。
常见的二次不等式是对二次方程的判别式进行求解得到的解集。
以下是二次不等式的基本形式：•大于：ax^2 + bx + c > 0 表示二次方程ax^2 + bx + c 的解集大于0。
例如，x^2 + 2x + 1 > 0，表示二次方程x^2 + 2x + 1的解集大于0。
•小于：ax^2 + bx + c < 0 表示二次方程ax^2 + bx + c 的解集小于0。
例如，x^2 - 4x + 4 < 0，表示二次方程x^2 - 4x + 4的解集小于0。
二次不等式和二次方程密切相关，在数学中广泛应用于解决实际问题，比如求解最值问题、优化问题等。
3. 绝对值不等式绝对值不等式是指一个绝对值表达式的大小关系。
绝对值表示一个数与0的距离，绝对值不等式用来表示这个距离与一个数的大小关系。
以下是绝对值不等式的基本形式：•大于：|a| > b 表示绝对值a的值大于b。
例如，|2| > 1，表示2的绝对值大于1。
•小于：|a| < b 表示绝对值a的值小于b。
例如，|1| < 2，表示1的绝对值小于2。
人教版数学七年级下册第九章《不等式的性质及绝对值不等式》优课件
2x－3，x>2 画出此函数的图象可知，f(x)≥1， ∴要使关于 x 的不等式x－1＋x－2≤a2＋a＋1 的解 集为空集，则需 a2＋a＋1<1，解得－1<a<0.
规律总结
1．运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条 件，若弱化了条件或强化了条件都可能得出错误的结论．使 用不等式性质解题时，要搞清性质成立的条件，明确各步推 理的依据，以防出现解题失误．
命题趋势
本单元的内容，是对必修5的补充和深化，预计2011年， 考查的重点一是绝对值不等式的解法；二是利用不等式的 性质求最值；三是柯西不等式和数学归纳法的应用．考查 知识面比较广，有一定的技巧．
使用建议
本单元内容是作为高考的选考内容，在考试中所占的 分值较少，但对提高同学们的逻辑思维能力、分析解决问 题的能力、数形结合的能力和抽象思维能力作用很大．为 此，在复习中建议注意以下几点：
【点评】 本例较好地体现了利用基本不等式求 最值时应充分考虑成立条件，即一正二定三等．不过 首先需由三点共线推出a、b的关系式，利用斜率公式 可得．
变 式 题 已 知 cos2α ＋ cos2β ＋ cos2γ ＝ 1 ， 则 sinαsinβsinγ 的最大值为________．
【思路】利用均值不等式求最值时，一定要注意 “一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧， 积极创造条件利用均值不等式．常用的初等变形有均 匀裂项、增减项、配系数等. 利用均值不等式还可以证 明条件不等式，关键是如何恰当地利用好条件．本题 中目标函数为积式，而cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1为隐含 的条件等式，故需创造条件使各因式之和为定值．
绝对值的三角不等式公式
绝对值的三角不等式公式
绝对值三角不等式定理：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。
三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边，有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子。
三角不等式定理
绝对值的三角不等式公式 2
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由两个双边不等式组成。
一个是||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，这个不等式当a、b同方向时（如果是实数，就是正负符合相同）|a+b|=|a|+|b|成立。
当a、b异向（如果是实数，就是ab正负符合不同）时，||a|-|b||=|a±b|成立。
另一个是||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|，这个等号成立的条件刚好和前面相反，当a、b异向（如果是实数，就是ab正负符合不同）时，|a-b|=|a|+|b|成立。
当a、b同方向时（如果是实数，就是正负符合相同）时，||a|-|b||=|a-b|成立。
含有绝对值的不等式公式
含有绝对值的不等式公式绝对值的不等式公式，听起来是不是有点儿高深莫测？它就像生活中的小麻烦，难度其实没那么大。
咱们先来聊聊什么是绝对值。
简单来说，绝对值就是数的“绝对态度”，不管这个数是正是负，绝对值总是让它变得积极向上。
比如说，3和3的绝对值都是3，没什么好争的。
就像我们在生活中，遇到困难也得昂首挺胸。
好了，咱们现在把焦点放到不等式上。
这种东西就像一把尺子，量量这个数到底比那个数大还是小。
对于绝对值不等式来说，情况就更有意思了。
比如，绝对值的形式一般是这样的：|x| < a。
这就意味着，不管x是什么，只要它在a和a之间，都是OK的。
也就是说，x有很多自由选择的空间。
想象一下，假设你是一个年轻的流浪者，在5和5之间畅游，无拘无束，真是太美好了。
再看看|x| > a。
这就有点像生活中的限制了，x必须离某个点远远的，才能过关。
比如，假设你要和朋友一起去参加派对，结果你得离家不少于2公里才能到达，那么你就不能在家附近转悠了。
你得朝着远方去，冒险去看看那边的风景。
这种不等式的限制也提醒我们，有时候生活就是要走出舒适圈，去探索未知。
在解这些不等式的时候，有个小技巧。
要考虑绝对值的定义，把不等式拆分成两种情况。
比如说|x| < a，可以转化成两个不等式：a < x < a。
这就像把一个大蛋糕切成两半，每一块都有它自己的味道。
而|x| > a就会转化成两种情况：x < a或x > a。
你可以想象自己正在两个极端的地方徘徊，找寻属于自己的位置。
哎，生活的选择就是这么多，不能犹豫不决。
这些公式虽然看起来复杂，但其实我们可以用生活中的一些例子来理解。
假设你有一个“小秘密”，这个秘密的绝对值就像是你内心的矛盾。
你想把它藏得好好的，又怕它被人发现。
这个时候，你就得衡量风险了。
把你的秘密放在合适的地方，确保它不会被轻易发掘。
反之，如果你决定让这个秘密曝光，那就意味着你得把它放在更远的地方，绝对值的大小在这里就是你内心的挣扎。
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绝对值不等式公式四个
绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示。
|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。
绝对值不等式的公式为：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。
|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。
当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。
当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。
(|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)。
绝对值重要不等式推导过程：
我们知道|x|={x，(x>0);x，(x=0);-x，(x<0);
因此，有：
-|a|≤a≤|a|......①
-|b|≤b≤|b|......②
-|b|≤-b≤|b|......③
由①+②得：
-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|
即|a+b|≤|a|+|b|......④
由①+③得：
-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|
即|a-b|≤|a|+|b|......⑤
另：
|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b|
|b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|
由④知：
|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|=>|a|-|b|≤|a+b|.......⑥
|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a|=>|a|-|b|≥-|a+b|.......⑦
|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|=>|a|-|b|≤|a-b|.......⑧
|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a|=>|a|-|b|≥-|a-b|.......⑨
由⑥，⑦得：
| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩
由⑧，⑨得：
| |a|-|b| |≤|a-b|......⑪
综合④⑤⑩⑪得到有关绝对值的重要不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：
|a-b|=|a|+|b|→ab≤0
|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0
|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0
注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0
同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0。