基本不等式公开课课件
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2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
基本不等式-公开课课件-课件ppt
猜想：关于a+b有怎样的不等式？
ab
a 0, b 0
②基本不等式： ab
2
当且仅当a=b时，等号成立.
a b ：算术平均数
2
ab ：几何平均数
两个正数几何平均数不大于它们的算术平均
数
几何解释
如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点,过
点C的弦 DD ' 垂直于AB,AC= a ,BC=b.
公开课
3.4 基本不等式
如图，这是2002在北京
召开的第24届国际数学
家大会会标．
创设情境、体会感知：
三国时期吴国的数学家
赵爽
思考：这会标中含有
怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图
案中找出一些相等关系
或不等关系？
你能在图中找出一些面积的相等或不等关系吗？
赵爽“弦图”
D
A
a
c
证明
a b c ?
2ab
角形，它们的面积总和是S’=———
D
问3：观察图形S与S’有什么样的大
小关系？易得，s > s’,即
a b 2ab
2
G
H
C
2
问4：那么它们有相等的情况吗？
何时相等？
变化的弦图
E
A
F
a
c
a 2 b2
b
B
①重要不等式：a 2 b 2 2ab (a ,b R )
a 2 b2 2ab
x -1
归纳小结：用基本不等式要注意
，
例题2. 若 > , > , 且 + = , 求的最小值.
变式1. 若 > , > , 且 + = , 求的最小值.
第一节---不等式的基本性质市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
第六章 不等式、推理与证明
[知识能否忆起] 1．实数大小顺序与运算性质之间旳关系 a－b＞0⇔ a＞b；a－b＝0⇔a＝b ；a－b＜0⇔ a＜b .
2．不等式旳基本性质
性质
性质内容
注意
对称性 a>b⇔ b<a
⇔
传递性 a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性 a>b⇒ a＋c>b＋c
⇒
可乘性
a>b⇒ ac>bc c>0 a>b⇒ ac<bc c<0
∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，
∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∴a(－c)＞(－b)(－d)，
∴ac＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋cdbd＜0， 故②正确． ∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确，故选C. [答案] (1)A (2)C
＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，即0
＞a＞b，又因为
1 a
＜ 1b ＜0，所以a－ 1a ＞b－
1 b
，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为单调减函
数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域上为增函数，所以
ln b2＞ln a2，故④错误． [答案] C
答案： ②③
1.使用不等式性质时应注意旳问题： 在使用不等式时，一定要搞清它们成立旳前提条件．不 可强化或弱化成立旳条件．如“同向不等式”才可相加，“同 向且两边同正旳不等式”才可相乘；可乘性中“c旳符号”等也 需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小旳常用措施，也是证明 不等式旳基本措施．要注意强化化归意识，同步注意函数 性质在比较大小中旳作用．
[知识能否忆起] 1．实数大小顺序与运算性质之间旳关系 a－b＞0⇔ a＞b；a－b＝0⇔a＝b ；a－b＜0⇔ a＜b .
2．不等式旳基本性质
性质
性质内容
注意
对称性 a>b⇔ b<a
⇔
传递性 a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性 a>b⇒ a＋c>b＋c
⇒
可乘性
a>b⇒ ac>bc c>0 a>b⇒ ac<bc c<0
∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，
∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∴a(－c)＞(－b)(－d)，
∴ac＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋cdbd＜0， 故②正确． ∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确，故选C. [答案] (1)A (2)C
＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，即0
＞a＞b，又因为
1 a
＜ 1b ＜0，所以a－ 1a ＞b－
1 b
，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为单调减函
数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域上为增函数，所以
ln b2＞ln a2，故④错误． [答案] C
答案： ②③
1.使用不等式性质时应注意旳问题： 在使用不等式时，一定要搞清它们成立旳前提条件．不 可强化或弱化成立旳条件．如“同向不等式”才可相加，“同 向且两边同正旳不等式”才可相乘；可乘性中“c旳符号”等也 需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小旳常用措施，也是证明 不等式旳基本措施．要注意强化化归意识，同步注意函数 性质在比较大小中旳作用．
高中数学配套基本不等式公开课获奖课件
题型一
运用基本不等式证明简朴不等式
【例 1】 已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
思维启迪 解析 探究提高 由题意，先局部运用基本不等式， 再利用不等式的性质即可得证．
第12页
题型分类·深度剖析
题型一
运用基本不等式证明简朴不等式
【例 1】 已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
14分
方法二 y＝a＋1ab＋1b＝ab＋a1b＋ab＋ba
＝ab＋a1b＋a2a＋bb2＝ab＋a1b＋a＋ba2b－2ab＝a2b＋ab－2.
6分
令 t＝ab≤a＋2 b2＝14，即 t∈0，14.
第30页
题型分类·深度剖析
易错警示
9.忽视最值获得条件致误
典例：(14 分)已知 a、b 均为正实数，且 a＋b＝1，求 y＝a＋1ab＋1b的最 小值．
数学 苏（文）
§7.4 基本不等式
第七章 不等式
第1页
基础知识·．基本不等式
ab≤a＋2 b
难点正本 疑点清源
1．在应用基本不等式求
(1)基本不等式成立的条件：a≥ 0,b≥ 0 . 最值时，要把握不等式
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时 成立的三个条件，就是
取等号．
“ 一 正 —— 各 项 均 为
【例 1】 已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
思维启迪 解析 探究提高
利用基本不等式证明不等式是综 合法证明不等式的一种情况，证明
思路是从已证不等式和问题的已
基本不等式和柯西不等式市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
(1)求 m 的值； (2)求证：an24＋pb42＋qc24≥2.
解析：(1)f(x)＝|x－2|＋|x－4|≥|(x－2)－(x－4)|＝2， 当且仅当 2≤x≤4 时，等号成立，故 m＝2. (2)证明：[(na2)2＋(pb2)2＋(qc2)2]·(a2＋b2＋c2)
≥(na2·a＋pb2·b＋qc2·c)2， 即(na42＋pb42＋qc24)×2≥(n2＋p2＋q2)2＝4， 故na42＋pb42＋qc24≥2.
值为 3 2.
探究六：应用柯西不等式证明不等式
例6 设 a1，a2，a3 均为正数，且 a1＋a2＋a3＝m，
求证：a11＋a12＋a13m9 .
【变式】 (2012·江苏省南京市、盐城市第一次模拟)已知 x， y，z 均为正数．求证：
33(1x＋1y＋1z)≤ x12＋y12＋z12. 证明：由柯西不等式得，
a2b＝ab， 即 a＝b＝4 2时取等号.
探究四：基本不等式的综合应用
[例 4] 已知 x>0、y>0，x、a、b、y 成等差数列，x、c、d、
y 成等比数列，则a＋cdb2的最小值是(
)
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：由等差、等比数列的性质得 a＋cdb2＝x＋xyy2＝xy＋yx＋2 ≥2 yx·yx＋2＝4.仅当 x＝y 时取等号．
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b(a、b∈R＋)．
3.柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2(a, b, c, d R) 当且仅当ad bc时,等号成立. (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd (3) a2 b2 c2 d 2 ac bd
解析：(1)f(x)＝|x－2|＋|x－4|≥|(x－2)－(x－4)|＝2， 当且仅当 2≤x≤4 时，等号成立，故 m＝2. (2)证明：[(na2)2＋(pb2)2＋(qc2)2]·(a2＋b2＋c2)
≥(na2·a＋pb2·b＋qc2·c)2， 即(na42＋pb42＋qc24)×2≥(n2＋p2＋q2)2＝4， 故na42＋pb42＋qc24≥2.
值为 3 2.
探究六：应用柯西不等式证明不等式
例6 设 a1，a2，a3 均为正数，且 a1＋a2＋a3＝m，
求证：a11＋a12＋a13m9 .
【变式】 (2012·江苏省南京市、盐城市第一次模拟)已知 x， y，z 均为正数．求证：
33(1x＋1y＋1z)≤ x12＋y12＋z12. 证明：由柯西不等式得，
a2b＝ab， 即 a＝b＝4 2时取等号.
探究四：基本不等式的综合应用
[例 4] 已知 x>0、y>0，x、a、b、y 成等差数列，x、c、d、
y 成等比数列，则a＋cdb2的最小值是(
)
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：由等差、等比数列的性质得 a＋cdb2＝x＋xyy2＝xy＋yx＋2 ≥2 yx·yx＋2＝4.仅当 x＝y 时取等号．
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b(a、b∈R＋)．
3.柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2(a, b, c, d R) 当且仅当ad bc时,等号成立. (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd (3) a2 b2 c2 d 2 ac bd
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式公开课课件完整版
4
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
高三数学一轮复习公开课课件基本不等式多维探究共14张PPT.ppt
xy x y
xy
即a2 26a 25 ，0 解得
，1 当a且仅25当 等号成立y 6x
经检验：当x
5
，y 1时5 ，
当a； 25,
2
x 1时y， 3 10 5
a 1
函数f (x, y) 4x y的最大值为25，最小值为1.
【评注】本题我们是通过构造“两个整体”，即 将所求函数作为一个整体，结合题设条件再得一 个整体,通过把两个整体相乘和换元，由基本不等 式生成得到一个关于新元的不等式从而求解，体 现了整体处理的思想与构造的方法.
函数
是题设条件等式左边中某两项和，可
以运用整体处理的思想即通过换元来处理.
解答：设 4x
a(26 a)
y 则a
(4x y)(
1
1 x9 )
9 y
， 26 a 13 y
x
36x
0, y
13
0
2
,所以 y 36x 25
xy
xy
xy
a(26 a) (4x y)(1 9) 13 y 36x 13 2 y 36x 25
3、椭圆中的最值：
4
2
3
1
四、小结与课后思考
（当且仅当a b时等号成立）
1、 本 节 课 主 要 内 容
2、两个结论:（1）两个正数积为定值，和有最小值. （2）两个正数和为定值，积有最大值.
3、基本不等式的适用条件：一正二定三相等
思考题:若直线 ax by 1 0 平分圆 C：
x2 y2 2x 4y 1 0 的 周 长 且
探究：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，
AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.
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基本不等式公开课课件
一、引言
基本不等式是数学中的重要概念，它在解决实际问题、证明数学定
理等方面起到了重要的作用。
本课件旨在介绍基本不等式的概念、性
质和解题方法，帮助学生理解并掌握基本不等式的应用。
二、基本不等式的概念
1. 不等式的定义和符号
不等式是数学中一种表示大小关系的表达式。
通常用不等号（>、<、≥、≤）表示。
2. 基本不等式的定义
基本不等式是指具有普遍适用性和重要性的不等式。
常见的基本不
等式有：算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。
三、基本不等式的性质
1. 不等式的运算性质
基本不等式满足不等式的运算性质，包括加法法则、乘法法则和取
反法则等。
2. 不等式的传递性质
如果对于任意的实数a、b、c，若a < b，b < c，则有a < c。
这种传递性质在解决不等式问题时具有重要意义。
四、基本不等式的应用
1. 不等式求解方法
不等式求解的一般步骤包括：将不等式转化为等价的形式、求解等价不等式，最后给出不等式的解集。
2. 基本不等式的应用举例
例1：应用算术平均-几何平均不等式证明某个数值组的最优解。
例2：利用基本不等式解决实际问题，如最优化问题、优化调整问题等。
五、基本不等式的证明
1. 不等式的证明方法
常见的不等式证明方法有：直接证明法、间接证明法（反证法）、数学归纳法等。
2. 不等式的证明举例
例：使用间接证明法证明算术平均-几何平均不等式。
六、课堂练习
为了巩固学生对基本不等式的掌握，本课件设置了一些课堂练习，供学生在课后完成。
七、总结
通过本课件的学习，我们了解了基本不等式的概念、性质和应用。
基本不等式作为数学中的重要工具，在解决实际问题和证明数学定理中具有广泛的应用。
希望同学们能够通过课后的练习进一步巩固对基本不等式的理解和运用能力。