2021-2022学年江苏省常州市武进区礼嘉中学高二年级下册学期阶段测试数学试题【含答案】
江苏省常州高级中学2023-2024学年第二学期阶段考试高二年级数学答案
高二数学第二学期第一次月考参考答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列命题正确的有（ ） A ．()sin cos ππ'=B ．已知函数()()ln 21f x x =+，若()01f x '=，则00x =C ．已知函数()f x 在R 上可导，若()12f '=，则()()12Δ1lim2Δx f x f x∆→+−=D ．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()232ln f x x xf x '=++，则()924f '=−2．函数()1e xf x x−=的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．0fx，得x >(0,1)单调递减，在图象符合. 3．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()f x x '<，且(2)1f =，则不等式21()12f x x <−的解集为（ ） A ．(2,)−+∞ B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞4．若()32112132f x x x x =−+++是区间()1,4m m −+上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5m ≤− B ．3m ≥ C ．5m ≤−或3m ≥ D ．53m −≤≤【答案】C【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于m 的不等式0f x，解得所以()f x 在1,2上单调递减，在若函数()31132f x x =−+5．已知函数()1ln f x x x=−在点1,1处的切线与曲线()212y ax a x =+−−只有一个公共点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．{}1,9 B ．{}0,1,9 C ．{}1,9−− D ．{}0,1,9−−6．已知函数()1ln 2x x f x a=++，()24x bx g x =−−−，52x =是函数()g x 的极值点，若对任意的11e ,1x −⎡⎤∈⎣⎦，总存在唯一的()2,3x ∈−∞，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0∞− B ．[)4,+∞C ．2,e e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．(],1−∞−【答案】A0fx，得x >111(e )2e a −=−+112,2⎤−++⎥ 7．已知0.1sin0.1,ln1.1,e 1a b c ===−，则（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<【答案】A【分析】分别构造函数()()()()=e 1,sin ,ln 1sin xf x xg x x xh x x x −−=−=+−，利用导数判断函数的单调性即可求解.【详解】依题意，令()=e 1x f x x −−，则()e 1xf x '=−，当()0,x ∈+∞时，0fx ，8．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=.若函数(1)y f x x =+−与(2)y g x =+均为偶函数，则下列结论中错误的是（ ）A ．(1)1g =B ．函数(1)f x y x+=的图象关于点(0,1)对称C ．函数()g x 的周期为2D ．()()20241[(1)(11)]0k g k g k =−++=∑【答案】C()()()()()()2214120241g g g ⎡⎤=⨯−+−+⋅⋅⋅+−⎣⎦ ()()()()10122141g g ⎡⎤=⨯−+−⎣⎦()()()()10122421012000g g =⨯+−=⨯−=选项D 正确. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题CD 的关键是利用其奇偶性和对称性得到其周期性，再计算出()(2)2g x g x ++=，结合其周期进行求和从而判断D 选项.二、多选题9．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()g x xf x ='的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．()f x 有两个极值点B ．()0f 为函数的极大值C ．()f x 有两个极小值D ．()1f −为()f x 的极小值【答案】BC【分析】根据()()g x xf x '=的图象，得到()f x 的单调性和极值情况，得出结论.【详解】根据()()g x xf x '=的图象，可得当<2x −时，()()0g x xf x '=>，可得()0f x '<，即()f x 单调递减，当20x −<<时，()()0g x xf x '=<，可得0fx，即()f x 单调递增，当01x <<时，()()0g x xf x '=<，可得()0f x '<，即()f x 单调递减， 当1x >时，()()0g x xf x '=>，可得0fx，即()f x 单调递增，因此()f x 在2x =−和1x =处取得极小值，在0x =处取得极大值，共3个极值点，可得A 错误，C 正确；选项B ，()0f 为函数的极大值，即B 正确；()1f −不为函数的极小值，D 错误.故选：BC10．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点12,x x ，则下列结论正确的是（ ）A ．若()()120f x f x ⋅<，则()f x 有3个零点B ．过()f x 上任一点至少可作两条直线与()f x 相切C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．()()1223b f x f x f a ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭0fx；(x ∈上单调递增，在()12,x x 上单调递减；x 趋近于+∞时， 此时由图象可知()f x 有同理当a<0时，易知f 且当x 趋近于−∞时，利用三次函数性质可知，当此时由图象可知()f x 有3个零点；所以若()()120f x f x ⋅<，则()f x 有3个零点，即A 正确；所以B 错误；（即，过三次函数的对称中心，有且仅有一条切线） 若12x x <，结论成立，理由见下。
2021-2022学年江苏省常州市武进区礼嘉中学高二年级下册学期阶段测试数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省常州市武进区礼嘉中学高二下学期阶段测试数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，，若，则x 的值为（ ）()224,,4,(1,4,1)a x xb =--=-- //a bA ．4B ．C ．4或D ．54-4-A【分析】由向量平行有且，结合已知坐标列方程组求参数即可.a b λ= R λ∈【详解】由题设，且，则，可得.a b λ=R λ∈22444x x λλλ-=-⎧⎪=-⎨⎪-=⎩44x λ=⎧⎨=-⎩故选：A2．小李和父母、爷爷奶奶一起排队去做核酸，5人排成一列（他们之间没有其他人）.若小李的父母至少有一人与他相邻，则不同排法的总数为（ ）A ．84B ．78C ．108D ．96A【分析】首先计算小李与父母中一人相邻的排法数并加总，再排除小李与父母都相邻的情况，即可得结果.【详解】爷爷奶奶和父母中的一人，三人成列有种，队列有4个空，33A 小李与父母中另一人相邻有种，再作为整体插入队列中有种，22A 14C 所以共有种；3213242A A C 爷爷奶奶两人成列有种，队列有3个空，22A 小李与父母都相邻有种，再作为整体插入队列中有种，22A 13C 所以共有种；221223A A C 综上，共有种.3212213242232A A C A A C 84-=故选：A3．已知随机变量X 服从二项分布X ～B (4，)，（ ）13()2P X ==A ．B ．C ．D ．132389827D【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项.【详解】∵随机变量X 服从二项分布X ～B (4，)，13∴.()2224118213327P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.4．二项式的展开式中含项的系数是（ ）62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2x A ．B ．C ．D ．1560-6015-B【分析】求出二项式的展开式的通项公式，再由x 的幂指数为2确定项数，进行计算作答.【详解】二项式的展开式的通项公式为：，62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭6621662C ()(2)C ,N,6r r r r r rr T x x r r x --+=-=-∈≤当，即时，，622r -=2r =222236(2)C 60T x x =-=所以展开式中含项的系数是60.2x 故选：B5．如图，在正方体中，E 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值1111ABCD A B C D -AB1A E 11A BC 为（ ）ABCDD【分析】构建空间直角坐标系，求直线的方向向量、平面的法向量，应用空间向量的坐1A E 11A BC标表示，求直线与平面所成角的正弦值.1A E 11A BC 【详解】以点D 为坐标原点，向量分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，1,,DA DC DD则，，，，可得，，1(1,0,1)A (1,1,0)B 1(0,1,1)C 11,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭11(1,1,0)A C =- 1(1,0,1)BC =- ，110,,12A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 设面的法向量为，有，取，则，11A BC (,,)n x y z = 11100A C n x y BC n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1x =(1,1,1)n = 所以，则直线与平面所成角的正弦值为111122⋅=-=- A E n ||n1A E 11A BC ．故选：D.6．将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温､信息登记､维持秩序､现场指引4个岗位，每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有（ ）A ．120种B ．240种C ．360种D ．480种B【分析】首先从5人中选出2人作为一组，再与其余3人一同分配到4个不同的岗位，按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：首先从5人中选出2人作为一组，再与其余3人一同分配到4个不同的岗位，故有种不同的分配方案；2454C A 240=故选：B7．北京冬奥会的举办掀起了一阵冰雪运动的热潮．某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的倍，有的男生喜欢滑冰，有的32313女生喜欢滑冰．若根据独立性检验的方法，有的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调95%查的男生人数可能为（ ）参考公式：，其中．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++参考数据：()20P k χ≥0.100.050.0250.010k 2.706 3.841 5.024 6.635A ．B ．C ．D ．12183648C【分析】设男生人数为，则女生人数为，且,写出列联表并根据卡方计算公式，结合题意3x x x *∈N 确定卡方值的范围，即可确定的取值范围，进而确定男生可能人数.x 【详解】设男生人数为，则女生人数为，且,3x x x *∈N 可得列联表如下：男生女生合计喜欢滑冰2x 3x 73x 不喜欢滑冰x 23x 53x 合计3x x 4x所以，2224(2)12337535333x x x x x x x x x x χ⋅-⋅==⋅⋅⋅因为有的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，95%所以，解得，(]12 3.841,5.02435x∈11.2014.65x <≤所以，结合选项只有，33.60343.96x <≤(]3633.60,43.96∈故选:C.8．已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，1111ABCD A B C D -E F 1111D C B A 11CDD C 则点到平面的距离为（ ）CAEF ABCDA【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，按照距离的向量求法求解即可.AEF 【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，易知A 1,,AB AD AA ,,x y z ，(0,0,0),(1,1,2),(1,2,1),(2,2,0)A E F C 设平面的法向量，则，令，解得，AEF (,,)n x y z = 2020n AE x y z n AF x y z ⎧⋅=++=⎨⋅=++=⎩ 1y=-(3,1,1)n =-- 故点到平面的距离为.C AEF n AC n⋅== 故选：A.二、多选题9．北京冬奥会临近开幕，大众对冰雪运动关注不断上升，各地陆续建成众多冰雪设施，广大市民有条件体验冰雪活动的乐趣，为研究市民性别和喜欢冰雪活动是否有关，某校社团学生在部分市民中进行了一次调查，得到下表：性别合计冰雪运动的喜好男性女性喜欢140m 140+m 不喜欢n 8080+n 合计140+n80+m220+m +n 已知男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的，女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的，则71035（ ）参考：，P (＞3.841)＝0.05，P (＞6.635)＝0.01．A ．列联表中n22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++2χ2χ的值为60，m 的值为120B ．有95%的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系C ．随机对一路人进行调查，有95%的可能性对方喜欢冰雪运动D ．没有99%的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系ABD【分析】利用列联表及给定占比计算判断A ；计算观测值再比对判断B ；2χ利用列联表求出对应频率判断C ；利用观测值并比对判断D 即可作答.2χ【详解】依题意，，解得，由，解得，A 正确；140714010n =+60n =3805m m =+120m =，则有95％的把握认为市民性别与喜欢冰雪运动22400(1408012060)400 4.396 3.84126014020020091>χ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯有关系，B 正确；随机对一路人进行调查，喜欢冰雪运动的频率为：，1401206565%400100+==则有65%的可能性对方喜欢冰雪运动，C 不正确；，没有99％的把握认为市民性别与喜欢冰雪运动有关系，D 正确.2 4.396 6.635χ=<故选：ABD10．已知二项式，则下列说法正确的是（ ）62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．展开式中的常数项为160B ．展开式中含项的系数是602x C ．若展开式中各项系数之和为64D ．展开式中的二项式系数最大项为第3项AB【分析】根据给定二项式，利用展开式的通项公式计算判断A ，B ；求出各项系数和判断C ；利用二项式系数的性质判断D 作答.【详解】二项式展开式的通项公式，62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6621662C ()2C ,N,6r r r r r r r T x x r r x --+==∈≤由得，所以展开式中的常数项为，A 正确；620r -=3r =3362C 160=由得，所以展开式中含项的系数是，B 正确；622r -=2r =2x 226260C =由展开式中各项系数之和为，C 不正确；63729=展开式中的二项式系数最大项为第4项，D 不正确.故选：AB11．根据我省普通高中高考综合改革方案，现将某校高二年级1000名参加生物选择考同学的分数转换为等级分，知等级分X 的分数转换区间为[30,100]，若使等级分，则下列说法正(80,25)X N 确的有（ ）（参考数据：①；②；③()0.6827P X μσμσ-<≤+=()220.9545P X μσμσ-<≤+=.）()330.9973P X μσμσ-<≤+=A ．这次等级分超过80分的约有450人B ．这次等级分在(65,95]内的人数约为997C ．甲、乙、丙3人中至多有2人的等级分超过80分的概率为38D ．()70750.1359P X <≤=BCD【分析】利用正态分布的三段区间的概率求特殊区间的概率并估计人数判断A 、B 、D ，结合二项分布的概率公式求C 中概率.【详解】由题设，，80,5μσ==A ：，故人，错误；(80)0.5P X >=0.51000500⨯=B ：在(65,95]内的概率为，则()330.9(80358309375)P X P X μσμσ-<≤+⨯=-⨯<≤+=人，正确；0.99731000997⨯≈C ：甲、乙、丙3人中至多有2人的等级分超过80分的概率，正确；223113C ()()228=D ：，正确；()()()70907570750.1359285P X P X P X <≤-=<≤<≤=故选：BCD12．如图所示，在棱长为1的正方体中，P ，Q 分别为棱AB ，BC 的中点，则以下1111ABCD A B C D -四个结论正确的是（ ）A ．棱上存在一点M ，使得//平面11C D AM 1B PQB ．直线到平面的距离为11AC 1B PQ 23C ．过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为11A C 1B PQ 98D ．过PQ 的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为38πBCD【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，借助空间向量分析计算可判断A ，B ；1B PQ 作出过与平面平行11A C 1B PQ 的正方体截面，计算其面积判断C ；求出直线PQ 被正方体的外接球所截弦长即可计算作答.【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，1111ABCD A B C D -则，，1111(1,0,0),(1,,0),(,1,0),(1,1,1),(1,0,1)22A P Q B A 1111(,,0),(0,,1)222PQ PB =-= 设平面的一个法向量，则，令，得，1B PQ (,,)n x y z = 111022102n PQ x y n PB y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩1z =-(2,2,1)n =- 设棱上点，，则，若//平面，则有11C D (0,,1)M m 01m ≤≤(1,,1)AM m =- AM 1B PQ ，2210n AM m ⋅=-+-=解得，与矛盾，即在棱上不存在点M ，使得//平面，A 不正确；32m =01m ≤≤11C D AM 1B PQ 连AC ，矩形是正方体的对角面，有，而P ，Q 分别为棱11ACC A 1111ABCD A B C D -11//AC A C AB ，BC 的中点，则，又平面，平面，于是有平面，11////PQ AC A C 11A C ⊄1B PQ PQ ⊂1B PQ 11//A C 1B PQ 直线到平面的距离等于点到平面的距离h ，因，11A C 1B PQ 1A 1B PQ 11(0,1,0)B A =-则，B 正确；11||23||B A n h n ⋅===取AD ，CD 的中点E ，F ，连接，则，即确定一个平面，11,,,A E EF C F EQ 11////EFAC A C 11,EF A C 如图，依题意，，，即四边形是平行四边形，，11////EQ AB A B 11EQ AB A B ==11A B QE 11//A E B Q平面，平面，于是得平面，1A E ⊄1B PQ 1B Q ⊂1B PQ 1//A E 1B PQ 显然，平面，平面，于是得平面，//EF PQ EF ⊄1B PQ PQ ⊂1B PQ //EF 1B PQ 而，平面，因此，平面平面，1A E EF E ⋂=1,A E EF ⊂11A C FE 11//A C FE 1B PQ 即梯形是过与平面平行的正方体的截面，11A C FE 11A C 1B PQ而1111A E C F EF A C ====h '===所以过与平面平行的正方体的截面面积为，C 正确；11A C 1B PQ 211928A C EF h +'⋅==过PQ 的平面截正方体的外接球所得截面小圆最小时，该小圆直径是直线PQ 被正方体的外接球所截弦，由对称性知线段PQ 中点N 是这个小圆的圆心，令正方体的外接球球心为O ，连1111ABCD A B C D -接ON ，OP ，则，而ON PQ ⊥OP PN ON ====R则这个小圆半径，D 正确.r ===238r ππ=故选：BCD关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.三、填空题13．向量，，，且，，则______.(),1,1a x =()1,,1b y =()2,4,2c =-a c ⊥ //bc 2a b +=【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示求出x ，y ，再利用坐标求出向量的模作答.【详解】因，，而，则有，解得，即(),1,1a x =()2,4,2c =-a c ⊥ 2420a c x ⋅=-+= 1x =()1,1,1a = 又，且，则有，解得，即，()1,,1b y =//b c 11242y ==-=2y -()1,2,1b =-于是得，2(3,0,3)a b += 2a b +==所以2a b +=故14．某产品在某零售摊位上的零售价x （元）与销售量y （个/天）的统计数据如下表：x 16171819y50m3431根据表中的全部数据，得到y 关于x 的线性回归方程为，则表中m 的值为____.ˆ 6.4151yx =-+41【分析】求出，由回归直线过中心可得值．,x y m 【详解】由题意，，1617181917.54x +++==50343111544m my ++++==所以，115 6.417.51514m+=-⨯+解得．41m =故41．15．已知，且，()()37227012711x k x x a a x a x a x ++++=+++⋅⋅⋅+234567234569a a a a a a +++++=-则______．k =6-【分析】运用二项式定理将进行展开，分别求出各个项的系数，()()37211x k x x ++++再带入到中，解方程即可求．234567234569a a a a a a +++++=-k 【详解】由二项式定理得：的通项为：，()71x +17r rr T C x +=又()321k x x +=+ ()321k x x ⎡⎤++⎣⎦则其通项为：()62131rr rr T kC x x -+=+即()()()()2306142233333321111k k C x C x x x C x C x x x ⎡⎤=++++⎡⎤++⎣++⎣⎦⎦()65432367631k x x x x x x =++++++，，，，2276a C k ∴=+3377a C k =+4476a C k =+5573a C k =+，，667a C k =+777a C =代入，化简得：234567234569a a a a a a +++++=-，解得55330k =-6k =-故．6-16．如图，在正四棱锥中，分别为侧棱上的点，四点共面，P ABCD -,,E F G ,,PB PC PD ,,,A E F G 若，则_________.31,52PE PB PF PC== PGGD =.3【分析】先证明成立，设正四棱锥的体积为，，应用111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅P ABCD -V PGxPD =结论可得，从而可解得，进而可得.39=42020P AGFE V V V V x x -=+x PGGD 【详解】先证明一个结论：如图，若不在同一平面内的射线上分别存在点，点,,OP OQ OR 12,P P 和点，12,Q Q 12,R R 则四面体体积之比.111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅事实上，设分别是点到平面的距离，则，从而12,h h 12,R R 1122,OPQ OP Q 1122h OR h OR =.111111111122212222221111122222O PQR R OPQOPQ OPQ O P Q R R OP Q OP Q OP Q V V S h S OR OP OQ OR V V S h S OR OP OQ OR ----⋅===⋅=⋅⋅⋅设正四棱锥的体积为，，应用上述结论可得P ABCD -V PGxPD =，则，12P AGF P ADC V PA PF PG x V PA PC PD --=⋅⋅=1112224P AGF P ADC V V x V x V x --=⋅=⋅=，则，310P AEF P ABC V PA PF PE V PA PC PB --=⋅⋅=33131010220P AEF P ADC V V x V V --=⋅=⋅=所以；3420P AGFE P AGF P AEF V VV V V x ---=+=+同理可得.339102020P AGFE P AGE P FGE V V VV V V x x x---=+=+=所以，解得，即，从而.39=42020V V V x x +34x =34PG PD =3PG GD =故答案为.3结论点睛：若不在同一平面内的射线上分别存在点，点和点，则四面,,OP OQ OR 12,P P 12,Q Q 12,R R 体体积之比.111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅四、解答题17．已知某圆上的10个不同的点.(1)过每2个点画一条弦，一共可画多少条弦？(2)过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画多少个圆内接三角形？(1)条45(2)个120【分析】（1）根据2点可以确定一条直线，可得从10个点任选2个点取法，即可求得答案；210C （2）根据不共线的三点确定一个圆，可得从10个点任选3个点取法有，即可求得答案.310C【详解】（1）2点可以确定一条直线从10个点任选2个点取法∴210C 45=故一共可画条弦45（2）不共线的三点确定一个圆从10个点任选3个点取法有∴310C 120=故一共可画个圆内接三角形12018．如图，在三棱锥中，平面平面，，都是等腰直角三角形，V ABC -VAC ⊥ABC VAC ABC ，，，分别为，的中点.AB BC =AC VC =M N VA VB(1)求证：平面；AB ∥CMN (2)求证：平面.AB ⊥VBC (1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由三角形的中位线定理可证得MN ∥AB ，再由线面垂直的判定定理可证得结论，（2）由已知可得AB ⊥BC ，VC ⊥AC ，再由已知结合面面垂直的性质定理可得VC ⊥平面ABC ，从而有AB ⊥VC ，然后由线面垂直的判定定理可证得结论【详解】（1）证明：∵M ，N 分别为VA ，VB 的中点，∴MN ∥AB ，∵AB ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ，∴AB ∥平面CMN ．（2）证明：∵△ABC 和△VAC 均是等腰直角三角形，AB ＝BC ，AC ＝CV ，∴AB ⊥BC ，VC ⊥AC ，∵平面VAC ⊥平面ABC ，平面VAC ∩平面ABC ＝AC ，∴VC ⊥平面ABC ，∵AB ⊂平面ABC ，∴AB ⊥VC ，又VC ∩BC ＝C ，∴AB ⊥平面VBC ．19．某加工厂加工某种零件，由新旧两台机床加工，为考核两台机床同时加工质量，各抽取100个样本，测偏差率，得数据如下表：偏差率[)0,0.02[)0.02,0.04[)0.04,0.06[)0.06,0.08[]0.08,0.10新机床202535119旧机床1020302515其中偏差率小于0.06的为合格产品.(1)若两台机床生产零件总数量相同，以样本频率为概率，求任取一件产品为合格品的概率；(2)填下表：合格品不合格品合计新机床旧机床合计计算有无99.9%的把握认为合格率大小与新旧机床有关.参考数据：()20P K k ≥0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k 0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++(1)；0.7(2)填表答案见解析，没有99.9%的把握认为合格率大小与新旧机床有关.【分析】（1）利用古典概型概率公式即得；（2）由题可得列联表，利用公式计算即得.【详解】（1）由题可得200个样本中，合格品有140个，故任取一件产品为合格品的概率.1400.7200P ==（2）表格填充如下：合格品不合格品合计新机床8020100旧机床6040100合计14060200，()22200804060209.52410.82814060100100K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有99.9%的把握认为合格率大小与新旧机床有关.20．在如图所示的几何体中，四边形是正方形,底面.,且,ABCD EA ⊥ABCD //EF AD 6AB =,.AE =3EF =(1)若与交于点,求证: 平面；AC BD O (2)求证：平面；(3)求二面角的余弦值.A FD B --(1)见解析(2)见解析【分析】（1）如图，取中点，连，，易得，且，又由已知得，CD G OG FG OG AD ∥12OG AD =，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以平面EF AD ∥12EF AD=OGFE //EO FG //EO ；FCD （2）建立空间直角坐标系，只需证明，即可.0DE AB ⋅=0DE AF ⋅= （3）根据两个面的法向量求解即可.【详解】（1）如图，取中点，连，， 在中，因为分别是的中点，CD G OG FG CAD ∆,O G ,CA CD 所以，且，又由已知得，，且，OG AD ∥12OG AD=EF AD ∥12EF AD =所以，所以四边形是平行四边形，所以//EF OG=OGFE //EO FG 又平面，平面所以平面EO ⊄FCD FG ⊂FCD //EO FCD （2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系A则，(0,0,0)A (0,6,0),F D E所以，(0,DE =-，(6,0,0)AB = AF =所以，0DE AB ⋅=且018180DE AF ⋅=-+= 所以，；DE AB ⊥DE AB ⊥又，所以平面AB AF A = DE ⊥ABF（3）设平面的法向量为BFD (,,)n x y z =由（Ⅱ）知，(0,DF =- (6,6,0)DB =- 所以，令30{660n DF y n DB x y ⋅=-+=⋅=-=y DB =又平面的法向量为AFD (6,0,0)AB =设二面角的大小为，是锐角A FDB --θθ则cos n AB n AB θ⋅===⋅所以二面角A FD B --21．某高校的入学面试中有编号为A ，B ，C 的3道试题，每位面试者依次作答这3道试题.面试共有3次机会，只要答对其中一道题面试即通过，无需继续答题，否则就作答下一题，直到3次答题机会全部用完.该校规定：答对A 题通过者得30分，答对B 题通过者得20分，答对C 题通过者得10分，未通过面试者得0分.若小明同学答对A 题的概率是，答对B 题的概率是，答对C 题的1613概率是，且各题作答相互独立.12(1)求小明同学答题不超过2道的概率；(2)记小明同学得分为X 分，求X 的概率分布及数学期望.(1)；49(2)详见解析.【分析】（1）由题可知小明同学答题1道及2道的概率，即得；（2）由题可知可取30,20,10,0，进而可求相应概率，可得概率分布，再利用期望公式即得.X 【详解】（1）由题可知小明同学答题1道的概率为，116P =小明同学答题2道的概率为，25156318P =⨯=所以小明同学答题不超过2道的概率；121546189P P P =+=+=（2）由题可知可取30,20,10,0，则X ()()1530,20,618P X P X ====()521510,63218P X ==⨯⨯=，()5215063218P X ==⨯⨯=∴的概率分布为：X X3020100P16518518518∴.()155540302010061818183E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，1111ABCD A B CD -1AA ⊥ABCD AB AC ⊥1AB =，M 和N 分别为和的中点.12AC AA ==AD CD ==1B C 1D D (1)求二面角的正弦值；11D AC B --(2)求点到平面的距离；1B 1D AC (3)设E 为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.11A B NE ABCD131A E 2【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求得平面和的法向量，利用向量的夹角公式1ACB 1ACD 和三角函数的基本关系式，即可求解；（2）利用待定系数法求得平面的法向量，利用点到平面的距离公式，即可求解；1D AC （3）设，其中，求得点的坐标，然后利用线面角的计算公式，列出方程，111A E AB λ=[0,1]λ∈E 即可求解.【详解】（1）解：以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间坐标系，A 1,,AC AB AA ,,x y z 如图所示，则，1111(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0),(0,0,2),(0,1,2),(2,0,2),(1,2,2)A B C D A B C D --可得，11(1,2,2),(2,0,0),(0,1,2)AD AC AB =-==设平面的法向量为，则，1ACD (,,)m x y z = 122020m AD x y z m AC x ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩令，则，所以，1z =1y =(0,1,1)m =设平面的法向量为，则，1ACB (,,)n a b c = 12020n AB b c n AC a ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩令，则，所以，1c =2b =-(0,2,1)m =-设二面角的大小为，11D AC B --θ所以cos cos ,m n m n m nθ⋅====⋅则sin θ=11D AC B --（2）解：因为,11(2,0,0),(1,2,2),(0,1,2)AC AD AB ==-=设平面的法向量为，则，1D AC (,,)t p q r = 120220t AC p t AD p q r ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令，可得，所以，1r =1q =(0,1,1)t=所以111cos ,t AB t AB t AB ⋅===设点到平面的距离为，1B 1D AC d则1cos ,d t A AB == 所以点到平面1B 1D AC （3）解：由题意，设，其中，则，111A E A B λ= [0,1]λ∈(0,,2)E λ所以，(1,2,1)NE λ=-+ 又时，平面的一个法向量，1(0,0,2)AA = ABCD 因为直线和平面所成角的正弦值为，NE ABCD 13则，1111cos ,3NE AA NE AA NE AA ⋅===⋅ 整理得，2430λλ+-=又由，解得或（舍去），[0,1]λ∈2λ=2λ=所以线段.1A E 2。
江苏省礼嘉中学高二数学上学期阶段教学质量调研试题(2021年整理)
江苏省礼嘉中学 2018-2019 学年高二数学上学期阶段教学质量调研试题江苏省礼嘉中学 2018-2019 学年高二数学上学期阶段教学质量调研试题编辑整理：尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对 文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省礼嘉中学 2018-2019 学年高二数学上学期阶段教学质量调研试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1 / 16江苏省礼嘉中学 2018-2019 学年高二数学上学期阶段教学质量调研试题礼嘉中学 2018—2019 学年第一学期高二年级数学阶段教学质量调研试卷时间:120 分钟满分:160 分一、填空题(每小题 5 分，共 14 小题 70 分）1、过点且垂直于直线的直线方程为 __________2、已知的圆心在直线上，那么实数等于__________．3、直线必过一定点，则定点的坐标为__________。
4、已知 、 是直线，、 是平面，给出下列命题:①若 垂直于内两条相交直线,则 ；②若 平行于，则 平行于内的所有直线；③若， ，且 ，则 ；④若 ，且 ，则 ；⑤若， ，且 ，则 ．其中正确的命题的序号是__________．5、过原点且倾斜角为 度的直线被圆所截得的弦长为__________.6、 分别为直线与上任意一点，则 的最小值为__________．7、一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为 a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为__________．8、直线 将圆平分,且与直线垂直，则直线 的方程为__________．9、过两直线和的交点且与直线平行的直线方程为__________.2 / 16江苏省礼嘉中学 2018-2019 学年高二数学上学期阶段教学质量调研试题10、已知直线 的倾斜角为，并且，则直线 的斜率 的取值范围是__________．11、已知点在直线上，则的最小值为__________．12、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为 ，则这个球的体积为__________。
江苏省常州市武进区2023-2024学年高二下学期期中质量调研数学试题(含简单答案)
常州市武进区2023-2024学年高二下学期期中质量调研数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 长方体中，等于（ ）A. B. C. D. 2. 在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分的所有可能取值的和是（ ）A. 8B. 10C. 12D. 143. 曲线与曲线在处的切线平行，则的减区间为（ ）A. B. C. D.4. 四棱锥中，，，，则顶点到底面的距离为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知棱长为2正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（ ）A. B. C. D.6. 已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所在的1111ABCD A B C D -1AB AD BB ++ АC1АC 1BC 1BD ξ()2f x x=()3g x x ax =-1x =()g x ()2,2-⎛ ⎝(⎛ ⎝S ABCD -()4,2,3AB =- ()4,1,0AD =-()3,1,4AS =-- S ABCD 1111ABCD A B C D -O P O PA PC ⋅[]22-,[]0,2[]2,4-[]0,4()f x ()f x '()0,∞+()()()36g x x f x =-⋅'示，则下列说法中正确的是（ ）A. 有极小值，极大值B. 仅有极小值，极大值C. 有极小值和，极大值和D. 仅有极小值，极大值7. 在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在叶上，则跳四次之后停在叶上的概率是（ ）A.B.C.D.8. 若，，则（ ）A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD =∠A 1AB =∠A 1AD =，各棱长均为1.则下列命题中正确的是（ ）A. 不是空间的一个基底B.C.D. BD ⊥平面ACC1A 110. 若随机变量，，为的导函数，若，则下列等式中成立()f x ()6f ()1f ()f x ()6f ()10f ()f x ()1f ()6f ()3f ()10f ()f x ()1f ()10f A A 4818811681827a =b =2c =a b c<<b a c<<a c b<<c b a<<3π{}11,AC AC BB，1,23AD DD π= 1BD =()0,1N ξ:()()x P x ϕξ=≤()x ϕ'()x ϕ0x >的有（ ）AB.C. D. 11. 已知函数，其中结论正确的有（ ）A. 函数上单调递减B. 函数在上有一个极大值点C. 当时，函数恒成立D. 当时，函数有一个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设离散型随机变量可能的取值为，，0，1，2，，若的均值为，则的值为______．13. 已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为______．14. 设函数，若在上满足的正整数至多有两个，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知空间三点，，，设，．（1）若与互相垂直，求实数的值；（2）若，，求．16. 已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若，且为函数的极小值点，求实数的取值范围．17. 如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足．.在()0x ϕ'>()()221ϕϕ<()()21Px x ξϕ<=-()()2Px x ξϕ>=-()2ln x f x x x=-()f x (),0∞-()f x ()0,∞+0x >()0f x >0x <()f x X 2-1-()P X k ak b ==+X ()2E X =a b +ABCD M BC AM CD ⋅()2e e xf x ax x =--()0,∞+()0f x <a ()2,0,2A -()1,1,2B -()3,0,4C -a AB = b AC = ka b + 2ka b - k 3c = //c BCc()()221ln 2f x x mx x x mx =--+()y f x =1x =0m >1x =()f x m P ABCD -ABCD PAD V CD ⊥PAD O AD E F G PC PD BC 12PE PF BG EC FD GC ===（1）求证：平面;（2）求平面与平面所成锐二面角的大小;（3）在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由.18. 某电器厂打算处理一批台灯，这些台灯每箱10盏，以箱为单位销售．已知这批台灯中每箱出现的废品只有两种可能：1盏或者2盏，两种可能对应的概率分别为、．假设该台灯正品每盏市场价格为100元，废品不值钱，现每箱处理价格为860元，遇到废品不予更换．现以一箱产品中正品的价格期望大于处理价格作为可以购买的依据．（1）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；（2）现允许开箱，从一箱中随机任取2盏进行检验．①若已知此箱中有2盏为废品，记抽到的废品数为，求的分布列和数学期望；②若已发现在抽取检验的2盏台灯中，恰有一盏是废品，判断此箱是否可以购买．19. 已知函数，（）（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求函数最小值；（3）令，若存在且时，，证明：.的PO ⊥ABCD EFG ABCD PA M GM EFG π6PM 2313X X ()2ln 4f x x a x a =-+R a ∈()f x []2,4x ∈()f x ()()cos g x f x x =+()12,0,x x ∈+∞12x x ≠()()12g x g x =212x x a <常州市武进区2023-2024学年高二下学期期中质量调研数学试题简要答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】ABC【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】##【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）或 （2）或【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）证明略 （2）（3）不存在,理由略【18题答案】【答案】（1）可以购买 （2）①分布列略，；②不可以购买【19题答案】【答案】（1）答案略（2） （3）证明略250.414-0.25-3e 3e ,9⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦2k =52-()2,1,2--()2,1,2-12y m =-()0,2π3()25E X =()min4ln24,48ln44,85ln ,482a a a f x a a a aa a a ⎧⎪-+<⎪=-+>⎨⎪⎪-≤≤⎩。
江苏省常州市武进区礼嘉中学2021学年下学期高一年级第二次阶段质量调研数学试卷
江苏省常州市武进区礼嘉中学2020－2021学年下学期高一年级第二次阶段质量调研数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1sin15cos 225cos15sin 45+的值为（ ）A -12- C 122已知向量(1,2)a =，(0,2)b =-，(1,)c λ=-，若//(2)a b c -，则实数λ的值为（ ） A 3 B 1 C 13D 3- 3已知1cos 3α=，且1sin tan cos βαβ+=，则sin()βα-的值为（ ）A13 B 23 C 13- D 23- 4已知角θ的终边过点(2,1)-，则tan(2)4πθ-的值为（ ）A 7- B43 C 43- D 7 5在平行四边形ABCD 中，(2,2)AB =-，(2,1)AD =，则AC DB ⋅=（ ） A 3- B 2 C 3 D 46定义运算a b ad bc c d=-，若1cos 7α=，sin sin cos cos 14αβαβ=，02πβα<<<，则β=（ ） A12π B 3π C 4π D 6π7若函数()2cos(2)(0)3f x x πωω=->在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ω的最大值为（ ） A23 B 34 C 32 D 438 在边长为2的正方形ABCD 中， 动点M 和N 分别在边BC 和CD 上， 且BM BC λ=，121DN DC λ=+，则AM BN ⋅的最小值为（ ）A 0B 43C 2-D 6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9设a ，b 都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使0||||a b a b +=成立的是（ ）A 2a b =-B 2a b =C a b =D a b =- 10已知函数2()2cos3sin 21(0)f x x x ωωω=+->的最小正周期为π，则下列说法正确的是（ ）A 函数()y f x =图象可以由函数()2sin 2g x x =的图象向左平移6π得到 B 函数()f x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 C 直线3x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴D 点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心 11正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系。
2021-2022学年江苏省常州市武进区礼嘉中学高二第一学期阶段教学质量调研历史(理)试题
13.在秦汉到明清的地方行政体制的演变中，县级政府是封建国家的基础，职能齐备，担负着贯彻执行朝廷的法规政令，向朝廷提供度支、物资及兵源任务，承担着平赋役、听诉讼、兴教化、劝农桑、教孝道、签仿风俗、鼓励节俭、祈神祭天等关系国计民生的一切具体事务，由此可知县制
A. 建立了三公九卿制B. 克服了来自内外的挑战
C. 较早建立了官僚制D. 得到了天下名士的拥护
12.美国历史学家斯塔夫里·阿诺斯认为“与印度文明的不统一和间断相比，中国文明的特点是统一和连续。”中华文明的这个特点从根本上说应是得益于中国古代政治实体的统一性和连续性。下列制度中最有利于维护古代中国政治实体统一与连续的是（ ）
A. 以民为本B. 礼法并用C. 无为而治D. 教化万民
7.韩非子认为，作为君主，应具备虚静之德，才能以静制动，才能用众，才能公正执法。同时他还主张“赏罚可用，则禁令可立治道具矣，君执柄以处势，故令行禁止”。由此可知，韩非子的主张
A. 适应了建立君主专制的需要B. 代表了下层劳苦大众的利益
C. 传承了儒家的政治传统D. 强调统治者要无为而治
C. 社会群体间流动性增强D. 四民社会地位相同
38.汉宣帝曾说:“与朕共治天下者,其唯良二千石(郡太守)乎!”后世的帝王反复重申这类观念。这主要体现了古代中国
A. 历朝皆以汉代政治为榜样B. 中央与地方的矛盾不断加深
C. 特别注重地方政治的作用D. 皇权始终担心郡守权力过大
二、材料题（每题12分，共24分）
C. 有效监督了官僚集团D. 适应了中央集权需要
35.下图所示元朝行政区划 设置中，由中央直辖的两个单列行政区是
A. ①②B. ①③C. ①④D. ②③
江苏省常州高级中学2023-2024学年第二学期阶段考试高二年级数学试题及答案
高二数学第二学期第一次月考参考答案一、单选题1．下列命题正确的有（ ） A ．='ππsin cos )(B ．已知函数=+f x x ln 21)()(，若='f x 10)(，则=x 00C ．已知函数f x )(在R 上可导，若='f 12)(，则=+−∆→xf x f x Δlim21Δ120)()(D ．设函数f x )(的导函数为'f x )(，且=++'f x x xf x 32ln 2)()(，则=−'f 429)(2．函数=−xf x x e 1)(的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．0f x，得x >(0,1)单调递减，在图象符合. 3．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()f x x '<，且(2)1f =，则不等式21()12f x x <−的解集为（ ） A ．(2,)−+∞ B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞4．若()32112132f x x x x =−+++是区间()1,4m m −+上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5m ≤− B ．3m ≥ C ．5m ≤−或3m ≥ D ．53m −≤≤【答案】C【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于m 的不等式0f x，解得所以在1,2上单调递减，在若函数()31132f x x =−+5．已知函数()1ln f x x x=−在点1,1处的切线与曲线()212y ax a x =+−−只有一个公共点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．{}1,9 B ．{}0,1,9 C ．{}1,9−− D ．{}0,1,9−−6．已知函数()1ln 2x x f x a=++，()24x bx g x =−−−，52x =是函数()g x 的极值点，若对任意的11e ,1x −⎡⎤∈⎣⎦，总存在唯一的()2,3x ∈−∞，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0∞− B ．[)4,+∞C ．2,e e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．(],1−∞−【答案】A0fx，得x >111(e )2e a −=−+112,2⎤−++⎥ 7．已知0.1sin0.1,ln1.1,e 1a b c ===−，则（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<【答案】A【分析】分别构造函数()()()()=e 1,sin ,ln 1sin xf x xg x x xh x x x −−=−=+−，利用导数判断函数的单调性即可求解.【详解】依题意，令()=e 1x f x x −−，则()e 1xf x '=−，当()0,x ∈+∞时，0fx ，8．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为，记()()g x f x '=.若函数(1)y f x x =+−与(2)y g x =+均为偶函数，则下列结论中错误的是（ ）A ．(1)1g =B ．函数(1)f x y x+=的图象关于点(0,1)对称C ．函数()g x 的周期为2D ．()()20241[(1)(11)]0k g k g k =−++=∑【答案】C()()()()()()2214120241g g g ⎡⎤=⨯−+−+⋅⋅⋅+−⎣⎦ ()()()()10122141g g ⎡⎤=⨯−+−⎣⎦()()()()10122421012000g g =⨯+−=⨯−=选项D 正确. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题CD 的关键是利用其奇偶性和对称性得到其周期性，再计算出()(2)2g x g x ++=，结合其周期进行求和从而判断D 选项.二、多选题9．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()g x xf x ='的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．()f x 有两个极值点B ．()0f 为函数的极大值C ．()f x 有两个极小值D ．()1f −为()f x 的极小值【答案】BC【分析】根据()()g x xf x '=的图象，得到的单调性和极值情况，得出结论.【详解】根据()()g x xf x '=的图象，可得当<2x −时，()()0g x xf x '=>，可得()0f x '<，即单调递减，当20x −<<时，()()0g x xf x '=<，可得0fx，即单调递增， 当01x <<时，()()0g x xf x '=<，可得()0f x '<，即单调递减， 当1x >时，()()0g x xf x '=>，可得0f x，即单调递增，因此在2x =−和1x =处取得极小值，在0x =处取得极大值，共3个极值点，可得A 错误，C 正确；选项B ，()0f 为函数的极大值，即B 正确；()1f −不为函数的极小值，D 错误.故选：BC10．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点12,x x ，则下列结论正确的是（ ）A ．若()()120f x f x ⋅<，则有3个零点B ．过上任一点至少可作两条直线与相切C ．若()10af x <，则只有一个零点D ．()()1223b f x f x f a ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭0f x；(x ∈上单调递增，在()12,x x 上单调递减；x 趋近于+∞时，此时由图象可知有同理当a<0时，易知且当x 趋近于−∞时，利用三次函数性质可知，当此时由图象可知有3个零点；所以若()()120f x f x ⋅<，则有3个零点，即A 正确；所以B 错误；（即，过三次函数的对称中心，有且仅有一条切线） 若12x x <，结论成立，理由见下。
江苏常州礼嘉中学高二下学期期中数学(文)试卷含答案
常州市“教学研究合作联盟” 2018学年度第二学期期中质量调研高二 数学（文科）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。
考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1.设命题p ：x ∀∈R ，21x x >-，则p ⌝为 ▲ ．2.若集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2,3B =,则图中阴影部分所表示的集合为 ▲ ．3.若实数,a b 满足2ia bi i-=+(i 表示虚数单位)，则ab 的值为 ▲ ． 4.函数()f x x=的定义域为 ▲ ．5.用反证法证明命题“若直线,AB CD 是异面直线，则直线,AC BD 也是异 面直线”的过程可归纳为以下三个步骤：①则,,,A B C D 四点共面，所以,AB CD 共面，这与,AB CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线,AC BD 也是异面直线； ③假设直线,AC BD 是共面直线． 则正确的推理步骤的序号依次为 ▲ ．6.在复平面内,若向量(2,1)OZ =-对应的复数为z ,则1z += ▲ ．7.若一次函数()f x 满足()()4f f x x =+，则(1)f -= ▲ ．8.如图所示，正方形ABCD 和BEFC 的边长均为1，点P 是公共边BC 上的一个动点，设CP x =，则()f x AP PF =+.请 你参考这些信息，推知函数()f x 的值域是 ▲ ．A BC D EFP第8题图9.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上纹起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：=,=……，则按照以上规律，若=n = ▲ ． 10.已知:p 指数函数()(1)x f x t =-在(),-∞+∞上为减函数；:q x ∃∈R ，221x t x +≤+.则使“p 且q ”为真命题的实数t 的取值范围为 ▲ ．11.已知函数y =R ，值域为[)0,+∞，则实数a 的取值集合为 ▲ ． 12.已知定义在R 上的偶函数满足3()5(0)x f x x x =+≥，若(12)()f m f m -≥，则实数m的取值范围是 ▲ ． 13.已知函数23()1ax a f x x --=+，若存在实数[]2,3m ∈，使得()1f m =，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14.已知函数2,1,()1,1,x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若关于x 的不等式()2x f x a ≥+在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知复数2z a i =-(a ∈R ,i 表示虚数单位)． (1)若(2)i z -为纯虚数,求复数z ；(2)在复平面内,若满足(2)i w z -=的复数w 对应的点在直线0x y -=上, 求复数z .16.(本小题满分14分)已知集合{}|22A x a x a =-≤≤+(0a >),{}2|340B x x x =+-≤. (1)若3a =，求AB ；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．17.(本小题满分14分)已知函数1()1xx a f x a -=+(0a >且1a ≠)的图象经过点11,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)求实数a 的值；(2)若()3f t =-t 的值； (3)判断并证明函数()y f x =的单调性.18.(本小题满分16分)习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”．常州市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W (单位：千克)与肥料费用10x (单位：元)满足如下关系：()252,02,()48,25,1x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩其它成本投入(如培育管理等人工费)为20x (单位：元)．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为()f x (单位：元)． （1）求()f x 的函数关系式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大?最大利润是多少?19.(本小题满分16分) 已知()x x af x e e=+是奇函数． （1）求实数a 的值；（2）求函数222()x x y e e f x λ-=+-在),0[∞+∈x 上的值域；（3）令()()g x f x x =-，求不等式322()(2)0g x x g x x -+--<的解集．20.(本小题满分16分)已知函数2()4f x x x x a a =---,0a >. （1）若2a =，求()f x 的单调区间； （2）求函数()f x 在[0,3]x ∈上的最值；（3）当(0,4)a ∈时，若函数()f x 恰有两个不同的零点12,x x ，求1211x x -的取值范围.常州市“教学研究合作联盟” 2018学年度第二学期期中质量调研高二 数学（文科）试题试题参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上． 1. x ∃∈R ，21x x ≤- 2. {}0,1 3. 2 4. [)(]2,00,1-5.③①② 61 8. 1⎤⎦9. 9999. 10. ()1,2 11. {}2,2- 12. [)1,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦13. 13,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦14. ⎡-⎣ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分14分)(1) (2)i z -(2)(2)i a i =--2(1)(4)a a i =--+………………………3分∵(2)i z -为纯虚数, ∴2(1)0,40,a a -=⎧⎨+≠⎩……………6分(少一个条件扣1分)∴1a =,∴12z i =-.…………………………………………………7分(2) 2z w i =-22a i i -=-()()()()2222a i i i i -+=-+()()2145a a i++-=…………………10分∵复数w 对应的点在直线0x y -=上, ∴()21455a a +-=,…………………13分 ∴6a =-.∴62z i =--.…………………………………………………………14分16.(本小题满分14分)(1)当3a =时, {}|22A x a x a =-≤≤+[]1,5=-,……………………………2分 {}2|340B x x x =+-≤[]4,1=-,………………………………4分 所以, AB []4,5=-.…………………………………………………7分(2) {}|22A x a x a =-≤≤+(0a >){}2|340B x x x =+-≤[]4,1=-,因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，所以2421a a -≤-⎧⎨+≥⎩，……………………………………………………10分所以,6,1,a a ≥⎧⎨≥-⎩所以6a ≥.………………………………………………13分所以,当6a ≥时，“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件. ……………14分17.(本小题满分14分)(1)将点11,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入函数式得,1113a a -=-+,解得,2a =. ………………2分 (2)由(1)得12()12xxf x -=+2112x =-+,由题意可得21312t -=-+，1212t =+所以, 12t+=12t +=2t =,1222t -=,…………………4分 所以,12t =-. …………………………………………………………………6分 (3) 函数()y f x =是(,)-∞+∞上的减函数. …………………………7分法一：由(1)得12()12x xf x -=+2112x =-+. 令12x x <,则()()121222111212x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭12221212x x =-++()()()21122221212x x x x -=++…………………………………………………10分因为指数函数2x y =是(,)-∞+∞上的增函数,而12x x <,所以, 1222x x <,所以,21220x x ->, ………………………………12分 所以,()()()211222201212x x x x ->++,即()()120f x f x ->,…………………13分所以, ()()12f x f x >,所以, 函数()y f x =是(,)-∞+∞上的减函数. ……………14分法二：因为()/222ln 2()012x xf x -⋅==<+，……………………………………13分所以，函数()y f x =是(,)-∞+∞上的减函数. ………………………………14分18.(本小题满分16分)解：（1）由已知x x W x x x W x f 30)(101020)(10)(-=--=……………………2分⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+⨯≤≤-+⨯=52,3014810,20,30)2(5102x x x xx x x ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤≤+-=.52,301480,20,10030502x x x x x x x …………6分 答：()f x 的函数关系式为()f x ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤≤+-=.52,301480,20,10030502x x x x x x x ………………………7分（2）由（1）)(x f 25030100,02,48030,25,1x x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩()2319150,02,10216510301,25,1x x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎤⎪-++<≤⎢⎥⎪+⎣⎦⎩当20≤≤x 时，)(x f 在]103,0[上单调递减，在]2,103[上单调递增，…………………8分 且240)2(100)0(=<=f f∴240)2()(max ==f x f ；………………………………………………………………10分当52≤<x 时，)]1(116[30510)(x xx f +++-=， 8116)1(21161=+⋅+≥+++xx x x ………………………………………………………12分 当且仅当1611x x=++时，即3=x 时等号成立．………………………………………13分 270830510)(max =⨯-=∴x f …………………………………………………………14分因为270240<，所以当3=x 时，270)(max =x f ．…………………………………15分 答：当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是270元．…………16分19.(本小题满分16分)解：（1）函数的定义域为R ，因为()f x 为奇函数，由()()f x f x -=-可知，(0)0f =，所以10a +=，所以1a =-；………………………………………………………………3分 当1a =-时，11()()x xx xf x e e f x e e ---=-=-+=-，此时()f x 为奇函数． ……………4分 （2）令1x x e t e -=（0t ≥），所以22212xxe t e+=+ 所以2()22h t t t λ=-+，对称轴t λ=， ……………………………………………………5分 ①当0λ≤时，[)()(0),h t h ∈+∞，所求值域为[)2,+∞；…………………………………7分②当0λ>时，[)()(),h t h λ∈+∞，所求值域为)22,λ⎡-+∞⎣；……………………………9分 （3）因为1()x x f x e e=-为奇函数，所以()()()()(),g x f x x f x x g x -=---=-+=- 所以()()g x f x x =-为奇函数，所以322()(2)0g x x g x x -+--<等价于322()(2)g x x g x x -<+-，……………………10分 又1()()112110x xg x f x e e ''=-=+--=>≥当且仅当0x =时，等号成立， 所以()()g x f x x =-在R 上单调增，所以3222x x x x -<+-， ……………………………………………………………………13分 即32220x x x --+<，又3222(2)(1)(1)0x x x x x x --+=--+<，所以1x <-或12x <<．……………………………………………………………………15分 所以不等式的解集是(,1)(1,2)-∞-U ． ……………………………………………………16分20.(本小题满分16分)（1）22228,2,()2828, 2.x x x f x x x x x x ⎧--≤=---=⎨->⎩当2x ≤时，函数()f x 的对称轴是12x =，开口向上，故()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减, 在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. …………………………………………………………………………1分 当2x >时，函数()f x 在(2,)+∞上单调递增.……………………………………………2分 综上： ()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减, 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增. ………………………3分 （2）①当03a <<时，2224,0,()44, 3.x ax a x a f x x x x a a ax a a x ⎧--≤≤=---=⎨-<≤⎩2()24f x x ax a =--的对称轴是14ax =<， ()f x ∴在0,4a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在,34a ⎛⎤⎥⎝⎦上递增而(0)4(3)f a f a =-<=-最小值2448a a f a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最大值()3f a =-；………………………………………5分②当36a ≤<时2()24f x x ax a =--的对称轴是34ax =<，(0)4(3)187f a f a =-<=-， ∴()f x 的最小值为2448a a f a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最大值()3187f a =-……………………7分 ③当612a ≤<时，(0)4(3)187f a f a =-≥=-∴()f x 的最小值为2448a a f a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最大值()04f a =-………………………9分 ④ 当12a ≥时，2()24f x x ax a =--的对称轴是34ax =≥∴()f x 的最小值()3187f a =-，最大值()04f a =-…………………………11分综上：①当03a <<时，()f x 的最小值2448a a f a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最大值()3f a =-； ②当36a ≤<时，()f x 的最小值为2448a a f a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最大值()3187f a =-； ③当612a ≤<时，()f x 的最小值为2448a a f a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最大值()04f a =- ④当12a ≥时，()f x 的最小值()3187f a =-，最大值()04f a =-（3）2224,,()44,.x ax a x a f x x x x a a ax a x a ⎧--≤=---=⎨->⎩当04a <<时,令()0f x =,可得124,4a x x ==,………………………………………………………………13分34a x =(因为2()40,f a a a =-<所以3x a >舍去)所以1211113448x x-=+==+…………15分在04a<<上是减函数,所以12113,4x x⎛⎫-∈+∞⎪⎝⎭.………………………………………16分。
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2021-2022学年江苏省常州市武进区礼嘉中学高二下学期阶段测试数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，()224,,4,(1,4,1)a x x b =--=--，若//a b ，则x 的值为（ ）A ．4B ．4-C ．4或4-D ．5A【分析】由向量平行有a b λ=且R λ∈，结合已知坐标列方程组求参数即可. 【详解】由题设，a b λ=且R λ∈，则22444x x λλλ-=-⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，可得44x λ=⎧⎨=-⎩. 故选：A2．小李和父母、爷爷奶奶一起排队去做核酸，5人排成一列（他们之间没有其他人）.若小李的父母至少有一人与他相邻，则不同排法的总数为（ ） A ．84 B ．78 C ．108 D ．96A【分析】首先计算小李与父母中一人相邻的排法数并加总，再排除小李与父母都相邻的情况，即可得结果.【详解】爷爷奶奶和父母中的一人，三人成列有33A 种，队列有4个空，小李与父母中另一人相邻有22A 种，再作为整体插入队列中有14C 种，所以共有3213242A A C 种；爷爷奶奶两人成列有22A 种，队列有3个空，小李与父母都相邻有22A 种，再作为整体插入队列中有13C 种， 所以共有221223A A C 种；综上，共有3212213242232A A C A A C 84-=种.故选：A3．已知随机变量X 服从二项分布X ～B (4，13)，()2P X ==（ ）A ．13B ．23C ．89D ．827D【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项. 【详解】∵随机变量X 服从二项分布X ～B (4，13)，∴()2224118213327P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D.4．二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数是（ ）A ．60-B ．60C ．15-D ．15B【分析】求出二项式的展开式的通项公式，再由x 的幂指数为2确定项数，进行计算作答.【详解】二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为：6621662C ()(2)C ,N,6r r r r r rr T x x r r x --+=-=-∈≤，当622r -=，即2r =时，222236(2)C 60T x x =-=，所以展开式中含2x 项的系数是60. 故选：B5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则直线1A E 与平面11A BC 所成角的正弦值为（ ）A 3B 5C 5D 15D【分析】构建空间直角坐标系，求直线1A E 的方向向量、平面11A BC 的法向量，应用空间向量的坐标表示，求直线1A E 与平面11A BC 所成角的正弦值.【详解】以点D 为坐标原点，向量1,,DA DC DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(0,1,1)C ，11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，可得11(1,1,0)AC =-，1(1,0,1)BC =-，110,,12A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设面11A BC 的法向量为(,,)n x y z =，有1110A C n x y BC n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，则(1,1,1)n =，所以111122⋅=-=-A E n ，152=A E ||3n =，则直线1A E 与平面11A BC 所成角的正弦值为1152532-=⨯． 故选：D.6．将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温､信息登记､维持秩序､现场指引4个岗位，每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有（ ） A ．120种 B ．240种 C ．360种 D ．480种B【分析】首先从5人中选出2人作为一组，再与其余3人一同分配到4个不同的岗位，按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：首先从5人中选出2人作为一组，再与其余3人一同分配到4个不同的岗位，故有2454C A 240=种不同的分配方案；故选：B7．北京冬奥会的举办掀起了一阵冰雪运动的热潮．某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的3倍，有23的男生喜欢滑冰，有13的女生喜欢滑冰．若根据独立性检验的方法，有95%的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为（ ）参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：A ．12B ．18C ．36D ．48C【分析】设男生人数为3x ，则女生人数为x ，且x *∈N ,写出列联表并根据卡方计算公式，结合题意确定卡方值的范围，即可确定x 的取值范围，进而确定男生可能人数. 【详解】设男生人数为3x ，则女生人数为x ，且x *∈N , 可得列联表如下：所以2224(2)12337535333x x x x x x x x x x χ⋅-⋅==⋅⋅⋅，因为有95%的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关， 所以(]12 3.841,5.02435x∈，解得11.2014.65x <≤， 所以33.60343.96x <≤，结合选项只有(]3633.60,43.96∈， 故选:C.8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为上底面1111D C B A 和侧面11CDD C 的中心，则点C 到平面AEF 的距离为（ ）A ．41111B ．114C ．1111D ．21111A【分析】建立空间直角坐标系，求出平面AEF 的法向量，按照距离的向量求法求解即可.【详解】如图，以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，易知(0,0,0),(1,1,2),(1,2,1),(2,2,0)A E F C ，设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =，则2020n AE x y z n AF x y z ⎧⋅=++=⎨⋅=++=⎩，令1y =-，解得(3,1,1)n =--，故点C 到平面AEF 的距离为6411911n AC n⋅-=++. 故选：A.二、多选题9．北京冬奥会临近开幕，大众对冰雪运动关注不断上升，各地陆续建成众多冰雪设施，广大市民有条件体验冰雪活动的乐趣，为研究市民性别和喜欢冰雪活动是否有关，某校社团学生在部分市民中进行了一次调查，得到下表：冰雪运动的喜好性别合计男性女性已知男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的710，女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的35，则（）参考：22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，P(2χ＞3.841)＝0.05，P(2χ＞6.635)＝0.01．A．列联表中n的值为60，m的值为120B．有95%的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系C．随机对一路人进行调查，有95%的可能性对方喜欢冰雪运动D．没有99%的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系ABD【分析】利用列联表及给定占比计算判断A；计算2χ观测值再比对判断B；利用列联表求出对应频率判断C；利用2χ观测值并比对判断D即可作答.【详解】依题意，140714010n=+，解得60n=，由3805mm=+，解得120m=，A正确；22400(1408012060)4004.396 3.841 26014020020091>χ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，则有95％的把握认为市民性别与喜欢冰雪运动有关系，B正确；随机对一路人进行调查，喜欢冰雪运动的频率为：1401206565% 400100+==，则有65%的可能性对方喜欢冰雪运动，C不正确；2 4.396 6.635χ=<，没有99％的把握认为市民性别与喜欢冰雪运动有关系，D正确. 故选：ABD10．已知二项式62xx⎛⎫+⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A．展开式中的常数项为160 B．展开式中含2x项的系数是60C．若展开式中各项系数之和为64 D．展开式中的二项式系数最大项为第3项AB【分析】根据给定二项式，利用展开式的通项公式计算判断A，B；求出各项系数和判断C；利用二项式系数的性质判断D作答.【详解】二项式62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式6621662C ()2C ,N,6r r r r r rr T x x r r x --+==∈≤，由620r -=得3r =，所以展开式中的常数项为3362C 160=，A 正确；由622r -=得2r =，所以展开式中含2x 项的系数是226260C =，B 正确；由展开式中各项系数之和为63729=，C 不正确； 展开式中的二项式系数最大项为第4项，D 不正确. 故选：AB11．根据我省普通高中高考综合改革方案，现将某校高二年级1000名参加生物选择考同学的分数转换为等级分，知等级分X 的分数转换区间为[30,100]，若使等级分(80,25)XN ，则下列说法正确的有（ ）（参考数据：①()0.6827P X μσμσ-<≤+=；②()220.9545P X μσμσ-<≤+=；③()330.9973P X μσμσ-<≤+=.） A ．这次等级分超过80分的约有450人 B ．这次等级分在(65,95]内的人数约为997C ．甲、乙、丙3人中至多有2人的等级分超过80分的概率为38D ．()70750.1359P X <≤= BCD【分析】利用正态分布的三段区间的概率求特殊区间的概率并估计人数判断A 、B 、D ，结合二项分布的概率公式求C 中概率. 【详解】由题设，80,5μσ==，A ：(80)0.5P X >=，故0.51000500⨯=人，错误；B ：在(65,95]内的概率为()330.9(80358309375)P X P X μσμσ-<≤+⨯=-⨯<≤+=，则0.99731000997⨯≈人，正确；C ：甲、乙、丙3人中至多有2人的等级分超过80分的概率223113C ()()228=，正确； D ：()()()70907570750.1359285P X P X P X <≤-=<≤<≤=，正确；故选：BCD12．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为棱AB ，BC 的中点，则以下四个结论正确的是（ ）A ．棱11C D 上存在一点M ，使得AM //平面1B PQ B ．直线11AC 到平面1B PQ 的距离为23C ．过11A C 且与面1B PQ 平行的平面截正方体所得截面面积为98D ．过PQ 的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为38π BCD【分析】建立空间直角坐标系，求出平面1B PQ 的法向量，借助空间向量分析计算可判断A ，B ；作出过11A C 与平面1B PQ 平行的正方体截面，计算其面积判断C ；求出直线PQ 被正方体的外接球所截弦长即可计算作答. 【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(1,0,0),(1,,0),(,1,0),(1,1,1),(1,0,1)22A P Q B A ，1111(,,0),(0,,1)222PQ PB =-=，设平面1B PQ 的一个法向量(,,)n x y z =，则111022102n PQ x y n PB y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令1z =-，得(2,2,1)n =-，设棱11C D 上点(0,,1)M m ，01m ≤≤，则(1,,1)AM m =-，若AM //平面1B PQ ，则有2210n AM m ⋅=-+-=，解得32m =，与01m ≤≤矛盾，即在棱11C D 上不存在点M ，使得AM //平面1B PQ ，A 不正确；连AC ，矩形11ACC A 是正方体1111ABCD A B C D -的对角面，有11//AC A C ，而P ，Q 分别为棱AB ，BC 的中点，则11////PQ AC A C ，又11A C ⊄平面1B PQ ，PQ ⊂平面1B PQ ，于是有11//A C 平面1B PQ ， 直线11A C 到平面1B PQ 的距离等于点1A 到平面1B PQ 的距离h ，因11(0,1,0)B A =-， 则11222|||12|23||22(1)B A n h n ⋅-⨯===++-，B 正确； 取AD ，CD 的中点E ，F ，连接11,,,A E EF C F EQ ，则11////EF AC A C ，即11,EF A C 确定一个平面，如图，依题意，11////EQ AB A B ，11EQ AB A B ==，即四边形11A B QE 是平行四边形，11//A E B Q ， 1A E ⊄平面1B PQ ，1B Q ⊂平面1B PQ ，于是得1//A E 平面1B PQ ，显然//EF PQ ，EF ⊄平面1B PQ ，PQ ⊂平面1B PQ ，于是得//EF 平面1B PQ ， 而1A E EF E ⋂=，1,A E EF ⊂平面11AC FE ，因此，平面11//A C FE 平面1B PQ ， 即梯形11AC FE 是过11A C 与平面1B PQ 平行的正方体的截面， 而11115222A E C F EF AC ====221115232()24164A C EF h A E -'=-=- 所以过11A C 与平面1B PQ 平行的正方体的截面面积为211329()28A C EF h +'⋅==，C 正确； 过PQ 的平面截正方体的外接球所得截面小圆最小时，该小圆直径是直线PQ 被正方体的外接球所截弦，由对称性知线段PQ 中点N 是这个小圆的圆心，令正方体1111ABCD A B C D -的外接球球心为O ，连接ON ，OP ，则ON PQ ⊥，而OP PN ON ===R则这个小圆半径r ===238r ππ=，D 正确.故选：BCD关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.三、填空题13．向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()2,4,2c =-，且a c ⊥，//b c ，则2a b +=______.【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示求出x ，y ，再利用坐标求出向量的模作答.【详解】因(),1,1a x =，()2,4,2c =-，而a c ⊥，则有2420a c x ⋅=-+=，解得1x =，即()1,1,1a = 又()1,,1b y =，且//b c ，则有11242y ==-，解得=2y -，即()1,2,1b =-，于是得2(3,0,3)a b +=，2233a b +=+=所以232a b +=.故14．某产品在某零售摊位上的零售价x （元）与销售量y （个/天）的统计数据如下表：根据表中的全部数据，得到y 关于x 的线性回归方程为ˆ 6.4151yx =-+，则表中m 的值为____. 41【分析】求出,x y ，由回归直线过中心可得m 值． 【详解】由题意1617181917.54x +++==，50343111544m m y ++++==，所以115 6.417.51514m+=-⨯+， 解得41m =． 故41．15．已知()()37227012711x k x x a a x a x a x ++++=+++⋅⋅⋅+，且234567234569a a a a a a +++++=-，则k =______．6-【分析】运用二项式定理将()()37211x k x x ++++进行展开，分别求出各个项的系数，再带入到234567234569a a a a a a +++++=-中，解方程即可求k ． 【详解】由二项式定理得：()71x +的通项为：17rrr T C x +=，又()321k x x +=+()321k x x ⎡⎤++⎣⎦则其通项为：()62131rr r r T kC x x -+=+即()()()()2306142233333321111k k C x C x x x C x C x x x ⎡⎤=++++⎡⎤++⎣++⎣⎦⎦()65432367631k x x x x x x =++++++2276a C k ∴=+，3377a C k =+，4476a C k =+，5573a C k =+， 667a C k =+，777a C =，代入234567234569a a a a a a +++++=-，化简得：55330k =-，解得6k =-故6-．16．如图，在正四棱锥P ABCD -中，,,E F G 分别为侧棱,,PB PC PD 上的点，,,,A E F G 四点共面，若31,52PE PB PF PC ==，则PG GD=_________.3.【分析】先证明111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅成立，设正四棱锥P ABCD -的体积为V ，PG x PD=，应用结论可得39=42020P AGFE V V V V x x -=+，从而可解得x ，进而可得PG GD .【详解】先证明一个结论：如图，若不在同一平面内的射线,,OP OQ OR 上分别存在点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则四面体体积之比111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 事实上，设12,h h 分别是点12,R R 到平面1122,OPQ OP Q 的距离，则1122h OR h OR =，从而 111111111122212222221111122222O PQR R OPQOPQ OPQ O P Q R R OP Q OP Q OP Q V V S h S OR OP OQ OR V V Sh SOR OP OQ OR ----⋅===⋅=⋅⋅⋅.设正四棱锥P ABCD -的体积为V ，PGx PD=，应用上述结论可得 12P AGF P ADC V PA PF PG x V PA PC PD --=⋅⋅=，则1112224P AGF P ADC V V x V x V x --=⋅=⋅=， 310P AEF P ABC V PA PF PE V PA PC PB --=⋅⋅=，则33131010220P AEF P ADC V V x V V --=⋅=⋅=， 所以3420P AGFE P AGF P AEF V VV V V x ---=+=+； 同理可得339102020P AGFE P AGE P FGE V V VV V V x x x ---=+=+=. 所以39=42020V V V x x +，解得34x =，即34PG PD =，从而3PG GD=.故答案为.3结论点睛：若不在同一平面内的射线,,OP OQ OR 上分别存在点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则四面体体积之比111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅.四、解答题17．已知某圆上的10个不同的点.(1)过每2个点画一条弦，一共可画多少条弦？(2)过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画多少个圆内接三角形？ (1)45条 (2)120个【分析】（1）根据2点可以确定一条直线，可得从10个点任选2个点取法210C ，即可求得答案；（2）根据不共线的三点确定一个圆，可得从10个点任选3个点取法有310C ，即可求得答案.【详解】（1）2点可以确定一条直线∴从10个点任选2个点取法210C 45=故一共可画45条弦（2）不共线的三点确定一个圆∴从10个点任选3个点取法有310C 120=故一共可画120个圆内接三角形18．如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAC ⊥平面ABC ，VAC ，ABC 都是等腰直角三角形，AB BC =，AC VC =，M ，N 分别为VA ，VB 的中点.(1)求证：AB ∥平面CMN ； (2)求证：AB ⊥平面VBC . (1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由三角形的中位线定理可证得MN∥AB，再由线面垂直的判定定理可证得结论，（2）由已知可得AB⊥BC，VC⊥AC，再由已知结合面面垂直的性质定理可得VC⊥平面ABC，从而有AB⊥VC，然后由线面垂直的判定定理可证得结论【详解】（1）证明：∵M，N分别为VA，VB的中点，∴MN∥AB，∵AB⊄平面CMN，MN⊂平面CMN，∴AB∥平面CMN．（2）证明：∵△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝CV，∴AB⊥BC，VC⊥AC，∵平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC＝AC，∴VC⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴AB⊥VC，又VC∩BC＝C，∴AB⊥平面VBC．19．某加工厂加工某种零件，由新旧两台机床加工，为考核两台机床同时加工质量，各抽取100个样本，测偏差率，得数据如下表：其中偏差率小于0.06的为合格产品.(1)若两台机床生产零件总数量相同，以样本频率为概率，求任取一件产品为合格品的概率；(2)填下表：计算有无99.9%的把握认为合格率大小与新旧机床有关. 参考数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++(1)0.7；(2)填表答案见解析，没有99.9%的把握认为合格率大小与新旧机床有关.【分析】（1）利用古典概型概率公式即得； （2）由题可得列联表，利用公式计算即得.【详解】（1）由题可得200个样本中，合格品有140个， 故任取一件产品为合格品的概率1400.7200P ==. （2）表格填充如下：()22200804060209.52410.82814060100100K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99.9%的把握认为合格率大小与新旧机床有关.20．在如图所示的几何体中， 四边形ABCD 是正方形,EA ⊥底面ABCD .//EF AD ,且6AB =,32AE =,3EF =.(1)若AC 与BD 交于点O ,求证: 平面；(2)求证：平面；(3)求二面角A FD B --的余弦值. (1)见解析 (2)见解析 (3)105【分析】（1）如图，取CD 中点G ，连OG ，FG ，易得OG AD ∥，且12OG AD =，又由已知得，EF AD ∥，且12EF AD =，所以四边形OGFE 是平行四边形，所以//EO FG ，所以//EO 平面FCD ； （2）建立空间直角坐标系，只需证明0DE AB ⋅=，0DE AF ⋅=即可. （3）根据两个面的法向量求解即可.【详解】（1）如图，取CD 中点G ，连OG ，FG ， 在CAD ∆中，因为,O G 分别是,CA CD 的中点， 所以OG AD ∥，且12OG AD =，又由已知得，EF AD ∥，且12EF AD =， 所以//EF OG =，所以四边形OGFE 是平行四边形，所以//EO FG 又EO ⊄平面FCD ，FG ⊂平面FCD 所以//EO 平面FCD （2）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系则(0,0,0)A ，(0,3,32),(0,6,0),(0,0,32)F D E所以(0,DE =-，(6,0,0)AB =，AF =所以0DE AB ⋅=， 且018180DE AF ⋅=-+= 所以DE AB ⊥，DE AB ⊥； 又ABAF A =，所以DE ⊥平面ABF（3）设平面BFD 的法向量为(,,)n x y z = 由（Ⅱ）知(0,DF =-，(6,6,0)DB =-所以30{660n DF y n DB x y ⋅=-+=⋅=-=，令y =(2,DB =又平面AFD 的法向量为(6,0,0)AB = 设二面角A FD B --的大小为θ，θ是锐角则62cos 65n AB n ABθ⋅===⋅ 所以二面角A FD B --21．某高校的入学面试中有编号为A ，B ，C 的3道试题，每位面试者依次作答这3道试题.面试共有3次机会，只要答对其中一道题面试即通过，无需继续答题，否则就作答下一题，直到3次答题机会全部用完.该校规定：答对A 题通过者得30分，答对B 题通过者得20分，答对C 题通过者得10分，未通过面试者得0分.若小明同学答对A 题的概率是16，答对B 题的概率是13，答对C 题的概率是12，且各题作答相互独立.(1)求小明同学答题不超过2道的概率；(2)记小明同学得分为X 分，求X 的概率分布及数学期望. (1)49； (2)详见解析.【分析】（1）由题可知小明同学答题1道及2道的概率，即得；（2）由题可知X 可取30,20,10,0，进而可求相应概率，可得概率分布，再利用期望公式即得. 【详解】（1）由题可知小明同学答题1道的概率为116P =， 小明同学答题2道的概率为25156318P =⨯=，所以小明同学答题不超过2道的概率121546189P P P =+=+=； （2）由题可知X 可取30,20,10,0，则()()1530,20,618P X P X ====()521510,63218P X ==⨯⨯=()5215063218P X ==⨯⨯=，∴X 的概率分布为： X 30 2010 0P16 518 518 518∴()155540302010061818183E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，5AD CD ==，且点M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.(1)求二面角11D AC B --的正弦值； (2)求点1B 到平面1D AC 的距离；(3)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长.3103272【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求得平面1ACB 和1ACD 的法向量，利用向量的夹角公式和三角函数的基本关系式，即可求解；（2）利用待定系数法求得平面1D AC 的法向量，利用点到平面的距离公式，即可求解；（3）设111A E A B λ=，其中[0,1]λ∈，求得点E 的坐标，然后利用线面角的计算公式，列出方程，即可求解.【详解】（1）解：以点A 为坐标原点，以1,,AC AB AA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间坐标系， 如图所示，则1111(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0),(0,0,2),(0,1,2),(2,0,2),(1,2,2)A B C D A B C D --， 可得11(1,2,2),(2,0,0),(0,1,2)AD AC AB =-==，设平面1ACD 的法向量为(,,)m x y z =，则122020m AD x y z m AC x ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，令1z =，则1y =，所以(0,1,1)m =，设平面1ACB 的法向量为(,,)n a b c =，则12020n AB b c n AC a ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1c =，则2b =-，所以(0,2,1)m =-， 设二面角11D AC B --的大小为θ，所以1cos cos ,2mn m n m nθ⋅====⨯⋅则sin θ=11D AC B --（2）解：因为11(2,0,0),(1,2,2),(0,1,2)AC AD AB ==-=,设平面1D AC 的法向量为(,,)t p q r =，则120220t AC p t AD p q r ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1r =，可得1q =，所以(0,1,1)t =，所以111cos ,5t AB t AB t AB ⋅=== 设点1B 到平面1D AC 的距离为d ，则1131032cos ,5102d t A AB B ==⨯=， 所以点1B 到平面1D AC 的距离为322. （3）解：由题意，设111A E A B λ=，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ， 所以(1,2,1)NE λ=-+，又1(0,0,2)AA =时，平面ABCD 的一个法向量， 因为直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，则1122121cos ,321(2)1NE AA NE AA NE AA λ⋅===⋅⨯+++，整理得2430λλ+-=，又由[0,1]λ∈，解得72λ=-或72λ=--（舍去）， 所以线段1A E 的长的72-.。