高一三角函数公式及诱导公式习题(附答案)

高一三角函数公式及诱导公式习题(附答案)

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

三角函数公式

1． 同角三角函数基本关系式 sin 2α＋cos 2α=1 sin α

cos α

=tan α tan αcot α=1

2． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)

（一） sin(π－α)＝sin α sin(π+α)＝-sin α

cos(π－α)＝-cos α cos(π+α)＝-cos α

tan(π－α)＝-tan α tan(π+α)＝tan α sin(2π－α)＝-sin α sin(2π+α)＝sin α cos(2π－α)＝cos α cos(2π+α)＝cos α tan(2π－α)＝-tan α tan(2π+α)＝tan α

（二） sin(π2 －α)＝cos α sin(π

2 +α)＝cos α

cos(π2 －α)＝sin α cos(π

2 +α)＝- sin α

tan(π2 －α)＝cot α tan(π

2 +α)＝-cot α

sin(3π2 －α)＝-cos α sin(3π

2 +α)＝-cos α

cos(3π2 －α)＝-sin α cos(3π

2 +α)＝sin α

tan(3π2 －α)＝cot α tan(3π

2

+α)＝-cot α

sin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α 3．

两角和与差的三角函数

cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β

tan(α+β)= tan α+tan β

1－tan αtan β

tan(α－β)= tan α－tan β

1＋tan αtan β

4．

二倍角公式

sin2α=2sin αcos α

cos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α tan2α=2tan α

1－tan 2α

5．

公式的变形

（1） 升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α 1—cos2α＝2sin 2α （2） 降幂公式：cos 2α＝

1＋cos2α2 sin 2α＝1－cos2α

2

（3） 正切公式变形：tan α+tan β＝tan(α+β)（1－tan αtan β） tan α－tan β＝tan(α－β)（1＋tan αtan β) （4） 万能公式（用tan α表示其他三角函数值）

sin2α＝2tan α1+tan 2α cos2α＝1－tan 2α1+tan 2α tan2α＝2tan α

1－tan 2α

6．

插入辅助角公式

asinx ＋bcosx=a 2+b 2 sin(x+φ) (tan φ= b

a

)

特殊地：sinx ±cosx ＝ 2 sin(x ±π

4 )

7．

熟悉形式的变形（如何变形）

1±sinx ±cosx 1±sinx 1±cosx tanx ＋cotx 1－tan α1＋tan α 1＋tan α

1－tan α

若A 、B 是锐角，A+B ＝π

4

，则（1＋tanA ）(1+tanB)=2

8． 在三角形中的结论

若：A ＋B ＋C=π , A+B+C 2 =π

2

则有tanA ＋tanB ＋tanC=tanAtanBtanC

tan A 2 tan B 2 ＋tan B 2 tan C 2 ＋tan C 2 tan A 2

＝1

三角函数的诱导公式1

一、选择题

1．如果|cos x |=cos （x +π），则x 的取值集合是（ ）

A ．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π

B ．－2

π+2k π≤x ≤2π

3+2k π

C ．

2

π+2k π≤x ≤2π

3+2k π D ．（2k +1）π≤x ≤2（k +1）π（以上k ∈Z ）

2．sin （－

6

π

19）的值是（ ） A ． 2

1

B ．－2

1

C ．

2

3

D ．－

2

3

3．下列三角函数：①sin （n π+3π4）；②cos （2n π+6

π

）；③sin （2n π+

3π）；④cos ［（2n +1）π－6π］；⑤sin ［（2n +1）π－3

π

］（n ∈Z ）．其中函数值与sin

3

π

的值相同的是（ ） A ．①②

B ．①③④

C ．②③⑤

D ．①③⑤

4．若cos （π+α）=－510，且α∈（－2

π，0），则tan （2π3+α）的值为（ ）

A ．－

3

6

B ．

3

6 C ．－

2

6

D ．

2

6 5．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）

A ．cos （A +

B ）=cos C

B ．sin

（A +B ）=sin C

C ．tan （A +B ）=tan C

D ．sin

2B A +=sin 2

C

6．函数f （x ）=cos

3

πx

（x ∈Z ）的值域为（ ） A ．{－1，－2

1，0，2

1

，1}

B ．{－

1，－21，2

1，1}

C ．{－1，－

23，0，2

3

，1} D ．{－1，－

23，2

3，1} 二、填空题

7．若α是第三象限角，则)πcos()πsin(21αα---=_________． 8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________．

三、解答题

9．求值：sin （－660°）cos420°－tan330°cot （－690°）．

10．证明：1)πtan(1

)π9tan(sin 211cos )πsin(22

++-+=--?+θθθ

θθ．

11．已知cos α=3

1，cos （α+β）=1，求证：cos （2α+β）=3

1．

12． 化简：?

+???+790cos 250sin 430cos 290sin 21．

13、求证：)

π5sin()πcos()

π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．

14． 求证：（1）sin （2

π

3－α）=－cos α； （2）cos （2

π

3+α）=sin α．

参考答案1

一、选择题

1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 二、填空题

7．－sin α－cos α 8．2

89 三、解答题 9．

4

3

+1． 10．证明：左边=

θ

θθθ22sin cos cos sin 2-1

--

=－θθθ

θθθθθθθcos sin cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 2-+=-++，

右边=

θ

θθ

θθθθθcos sin cos sin tan tan tan tan -+=

1-1+=1+-1--， 左边=右边，∴原等式成立．

11．证明：∵cos （α+β）=1，∴α+β=2k π．

∴cos （2α+β）=cos （α+α+β）=cos （α+2k π）=cos α=3

1

．

12．解：

?

+??

?+790cos 250sin 430cos 290sin 21

=)360270cos()70180sin()

36070cos()36070sin(21??+?+?+??+??+?-+

=

?

-??

?-70sin 70cos 70cos 70sin 21

=?

-??-?70sin 70cos )70cos 70(sin 2

=

?

-??

-?70sin 70cos 70cos 70sin =－1．

13．证明：左边=θ

θθ

θθθθθθθsin cos cos )sin )(tan ()sin )(cos ()cos()sin()tan(--=

-----=tan θ=右边， ∴原等式成立．

14证明：（1）sin （2π3－α）=sin ［π+（2π－α）］=－sin （2

π

－α）=－cos α．

（2）cos （

2π3+α）=cos ［π+（2π+α）］=－cos （2

π

+α）=sin α． 三角函数的诱导公式2

一、选择题：

1．已知sin(4π+α)=23，则sin(4

3π

-α)值为（ ）

A. 21

B. —2

1

C. 23

D. —23

2．cos(π+α)= —

21，2

3π

<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A.

23 B. 2

1

C. 23±

D. —23 3．化简：)2cos()2sin(21-?-+ππ得（ ）

A.sin2+cos2

B.cos2-sin2

C.sin2-cos2

D.± (cos2-sin2) 4．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是（ ） A.sinα=sinβ B. sin(α-π2) =sinβ C.cosα=cosβ D. cos(π2-α) =-cosβ

5．设tanθ=-2, 2

π

-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于（ ），

A. 51（4+5）

B. 51（4-5）

C. 51（4±5）

D. 51

（5-4） 二、填空题： 6．cos(π-x)=

2

3

，x ∈（-π，π），则x 的值为 ．

7．tanα=m ，则

=+-+++)

cos(-sin()

cos(3sin(απα）απ）απ ．

8．|sinα|=sin （-π+α），则α的取值范围是 ． 三、解答题： 9．)

cos(·3sin()

cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．

10．已知：sin （x+6π）=41，求sin （)6

7x +π+cos 2（65π

-x ）的值．

11． 求下列三角函数值： （1）sin 3π7；（2）cos 4π17；（3）tan （－6

π

23）；

12． 求下列三角函数值：

（1）sin

3π4·cos 6

π25·tan 4π

5； （2）sin ［（2n +1）π－3

π

2］.

13．设f （θ）=)cos()π(2cos 23

)2π

sin()π2(sin cos 22

23θθθθθ-+++-++-+，求f （3

π）的值.

参考答案2

1．C 2．A 3．C 4．C 5．A

6．±65π 7．1

1-+m m 8．[(2k-1) π,2k π]

9．原式=)cos (·sin()cos()n s (sin αα）παπα--+--αi =)

cos ?(sin )cos (sin 2αααα--= sinα 10．1611

11．解：（1）sin 3π7=sin （2π+3π）=sin 3

π

=23.

（2）cos

4π17=cos （4π+4π）=cos 4

π

=22.

（3）tan （－

6π23）=cos （－4π+6π）=cos 6

π

=23.

（4）sin （－765°）=sin ［360°×（－2）－45°］=sin （－45°）=－sin45°=－

2

2

. 注：利用公式（1）、公式（2）可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.

12．解：（1）sin

3π4·cos 6π25·tan 4π5=sin （π+3π）·cos （4π+6

π

）·tan

（π+

4

） =（－sin

3π）·cos 6π·tan 4

π

=（－23）·23·1=－43.

（2）sin ［（2n +1）π－

3π2］=sin （π－3π2）=sin 3

π=23.

13．解：f （θ）=θθθθθcos cos 223

cos sin cos 2223++-++

=θ

θθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+

=θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 22

23++--- =θ

θθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++---

=θ

θθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++-

=θ

θθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++-

＝cos θ－1， ∴f （3π）=cos 3

π

－1=21－1=－21.