中考数学第二轮专题复习(解题思想方法)
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SPOD PD 2 4 . SPDG PG 3
A
M
A
M
P
C
G
（4）
H
P
N
D
EO
DB
（2）若PC与边OA相交，如图（4）
OE
B
（5）
C
∵∠PDE＞∠CDO，而△PDE∽△OCD，∴∠CDO=∠PED，
∴CE=CD，而CO⊥ED，∴OE=OD，∴OP= ED=OD=1。
若PC与边OA的反向延长线相交，如图（5），过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂 足分别为H，N，∵∠PED＞∠EDC，而△PDE∽△OCD，∴∠PDE=∠ODC， ∵∠OEC=∠PED，∴∠PDE=∠HCP，而PH=PN，∴Rt△PHC≌Rt△PND, ∴HC=ND,PC=PD, ∴∠PDC=450, ∴∠PDO=∠PCH=22.50,于是∠OPC=22.50， ∴OP=OC。
（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x （支）之间的函数关系式；
（2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购 买最经济。
小结：现实世界中不等关系是普遍存在的。许多实际问题很难确 定（有时也不需要确定）具体的数值，但可以求出或确定某个量 的变化范围（或趋势），从而对所研究的问题有一个比较清楚的 认识。在近几年的中考试题中，与实际生产生活有关的一些方案 决策问题常常要用到不等式（组）的模型来解决问题，关键是要 抓住题中问题的实际意义，将其转化为不等式（组）来解决。
例1、八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小 波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：
李小波：阿姨，您好！
售货员：同学，你好，想买点什么？
李小波：我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和Байду номын сангаас5本笔记本。
售货员：好，每支钢笔比笔记本贵2元，退你5元，请清点好， 再见。
根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？
3、灵活合理地运用数学思想方法解题，往往能化难为易，有时甚 至会收到意想不到的效果。
二、中考命题规律研究及预测
近几年中考命题综合题的解型结构变化较大，开放性、探索性 和创造性的要求越来越高，许多综合题往往需要利用某些数学思想 方法去分析、去解决，因而需要我们在复习中引起重视，本讲主要 通过相关问题的讨论，让我们对运用数学思想方法解题有进一步的 感悟。从而提高我们分析解决问题的能力，为今后的发展奠定基础。
解： （1）①过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，则 ∠HPN=900，∵OM是∠AOB的平分线∴PH=PN，
又∵∠CPD=900，∴∠CPH=∠DPN
∴Rt△PCH≌Rt△PDN, ∴PC=PD
②∵PC=PD，∠CPD=900，∴∠PDG=450，而∠POD=450，
∠GPD=∠DPO，∴△POD∽△PDG，
设OP x，则OH ON 2 x， HC DN OD ON 1 2 x.
2
2
而HC HO OC 2 x x,于是1 2 x 2 x x
2
2
2
x 2 1,即OP 2 1。
小结：该题从动态几何出发探求图形的有关性质，运用了特殊到 一般的寻求题目内在客观规律的思想方法，同时渗透了分类讨论 和方程思想等。当命题的题设条件和结论不能惟一确定，又难统 一解答时，需要按可能情况分类讨论，分类讨论既不能重复又不 能遗漏，最或只要将不同的讨论结果综合归纳，便可以得出正确 的结论。这种运用分类讨论的思想发的试题在近几年来的中考中 可以说是必考类型之一，要予以重视。
３、已知Ｐ（m,a）是抛物线y=ax2上的点，且点Ｐ在第一象限。
（１）求m 的值；
（２）直线y=kx+b过点Ｐ，交x轴的正半轴于点Ａ，交抛物线于另 一点Ｍ；
①当b=2a时，∠ＯＰＡ＝９００是否成立？如果成立，请证明；如 果不成立，举出一个反例说明；②当b=4时，记△ＭＯＡ的面积为 Ｓ，求 1 的最大值。
PF
值；若变化，说明变化规律。
y
C
E
y
C
E
G AO M
P
G
B
X
AO F
M
B
X
D
D
例5、已知⊙O过点D（4、3），点H与点D关于y轴对称，过H作 ⊙O的切线交y轴于点A（如图（1））
（1）求⊙O的半径；
（2）sin∠HAO的值；
（3）如图（2），设⊙O与y轴正半轴交于点为P，点E，F是线 段OP上的动点（与点P不重合），连结并延长DE、DF交⊙O于 点B、C、直线BC交y轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三 角形，试探求sin∠CGO的大小怎样变化？请说明理由。
方程（组）模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型， 它可以通过数量关系准确、清晰地揭示问题的本质，认识现实生 活中的数学现象。
例2、某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购一个书包，赠 送1支水性笔；②购书包和水性笔一律9折优惠，书包每个定价20元， 水性笔每支定价5元。小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不 少于4支）
例4、如图，在平面直角坐标系xoy中，点M在 x轴的正半轴上， ⊙M交x轴于A，B两点，交 y 轴与C，D两点，且C为弧AE的中点， AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-2，0），AE=8。
（1）求点C的坐标。
（2）连结MG，BC，求证：MG∥BC
（3）如图（2），过点D作⊙M的切线，交x轴于点P。动点F在 ⊙M的圆周上运动时OF， 的比值是否发生变化，若不变，求出比
一、中考要求
1、在解决许多数学问题中，往往会涉及到归纳、类比、化归、分 类、数形结合、运动变换等思想及待定系数法、换元法、配方法、 反证法等方法，这些思想方法的运用是解决问题的基础，也是一 学生解题能力的具体体现。
2、随着课改实验的不断深入，引导学生运用有关数学思想方法解 决问题已倍受专家的关注，也是课改的方向之一。
y A
H
D（4，3）
O
x
yG
BP E
F
C
O
D（4，3） x
(1)
(2)
练习：
１、如图，是一个等边三角形木框，甲虫Ｐ在边框ＡＣ上爬行（Ａ，
Ｃ端点除外），设甲虫Ｐ到另外两边的距离之和为d,等边三角形Ａ
ＢＣ的高为h，则d与h 的大小关系是（
）
A、d＞h B 、 d＜h C 、 d=h D 、无法确定
２、已知等腰△ＡＢＣ内接于半径为５的⊙Ｏ，如果底边的长为６， 则底角的正弦值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
O （3）
PG 3 PD 2
B
，求
（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB 交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C， E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在（3）中作出 图形，试求OP的长。
A
M
A
M
H
P
C
P
G
O ND B （1）
O
DB
（2）
例3、如图，已知∠AOB=900，OM是∠AOB的平分线，按以下要 求解答问题：
（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与 边OA，OB交于点C，D。
①在图（1）中证明：PC=PD
A
M
A
M
A
M
C
P
C
P
G
O
DB
（1）
O
DB
（2）
②在图（2）中，点G是CD与OP的交点，且
△POD与△PDG的面积之比。
s
A
M
A
M
P
C
G
（4）
H
P
N
D
EO
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（2）若PC与边OA相交，如图（4）
OE
B
（5）
C
∵∠PDE＞∠CDO，而△PDE∽△OCD，∴∠CDO=∠PED，
∴CE=CD，而CO⊥ED，∴OE=OD，∴OP= ED=OD=1。
若PC与边OA的反向延长线相交，如图（5），过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂 足分别为H，N，∵∠PED＞∠EDC，而△PDE∽△OCD，∴∠PDE=∠ODC， ∵∠OEC=∠PED，∴∠PDE=∠HCP，而PH=PN，∴Rt△PHC≌Rt△PND, ∴HC=ND,PC=PD, ∴∠PDC=450, ∴∠PDO=∠PCH=22.50,于是∠OPC=22.50， ∴OP=OC。
（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x （支）之间的函数关系式；
（2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购 买最经济。
小结：现实世界中不等关系是普遍存在的。许多实际问题很难确 定（有时也不需要确定）具体的数值，但可以求出或确定某个量 的变化范围（或趋势），从而对所研究的问题有一个比较清楚的 认识。在近几年的中考试题中，与实际生产生活有关的一些方案 决策问题常常要用到不等式（组）的模型来解决问题，关键是要 抓住题中问题的实际意义，将其转化为不等式（组）来解决。
例1、八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小 波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：
李小波：阿姨，您好！
售货员：同学，你好，想买点什么？
李小波：我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和Байду номын сангаас5本笔记本。
售货员：好，每支钢笔比笔记本贵2元，退你5元，请清点好， 再见。
根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？
3、灵活合理地运用数学思想方法解题，往往能化难为易，有时甚 至会收到意想不到的效果。
二、中考命题规律研究及预测
近几年中考命题综合题的解型结构变化较大，开放性、探索性 和创造性的要求越来越高，许多综合题往往需要利用某些数学思想 方法去分析、去解决，因而需要我们在复习中引起重视，本讲主要 通过相关问题的讨论，让我们对运用数学思想方法解题有进一步的 感悟。从而提高我们分析解决问题的能力，为今后的发展奠定基础。
解： （1）①过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，则 ∠HPN=900，∵OM是∠AOB的平分线∴PH=PN，
又∵∠CPD=900，∴∠CPH=∠DPN
∴Rt△PCH≌Rt△PDN, ∴PC=PD
②∵PC=PD，∠CPD=900，∴∠PDG=450，而∠POD=450，
∠GPD=∠DPO，∴△POD∽△PDG，
设OP x，则OH ON 2 x， HC DN OD ON 1 2 x.
2
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而HC HO OC 2 x x,于是1 2 x 2 x x
2
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2
x 2 1,即OP 2 1。
小结：该题从动态几何出发探求图形的有关性质，运用了特殊到 一般的寻求题目内在客观规律的思想方法，同时渗透了分类讨论 和方程思想等。当命题的题设条件和结论不能惟一确定，又难统 一解答时，需要按可能情况分类讨论，分类讨论既不能重复又不 能遗漏，最或只要将不同的讨论结果综合归纳，便可以得出正确 的结论。这种运用分类讨论的思想发的试题在近几年来的中考中 可以说是必考类型之一，要予以重视。
３、已知Ｐ（m,a）是抛物线y=ax2上的点，且点Ｐ在第一象限。
（１）求m 的值；
（２）直线y=kx+b过点Ｐ，交x轴的正半轴于点Ａ，交抛物线于另 一点Ｍ；
①当b=2a时，∠ＯＰＡ＝９００是否成立？如果成立，请证明；如 果不成立，举出一个反例说明；②当b=4时，记△ＭＯＡ的面积为 Ｓ，求 1 的最大值。
PF
值；若变化，说明变化规律。
y
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E
y
C
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P
G
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AO F
M
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D
例5、已知⊙O过点D（4、3），点H与点D关于y轴对称，过H作 ⊙O的切线交y轴于点A（如图（1））
（1）求⊙O的半径；
（2）sin∠HAO的值；
（3）如图（2），设⊙O与y轴正半轴交于点为P，点E，F是线 段OP上的动点（与点P不重合），连结并延长DE、DF交⊙O于 点B、C、直线BC交y轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三 角形，试探求sin∠CGO的大小怎样变化？请说明理由。
方程（组）模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型， 它可以通过数量关系准确、清晰地揭示问题的本质，认识现实生 活中的数学现象。
例2、某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购一个书包，赠 送1支水性笔；②购书包和水性笔一律9折优惠，书包每个定价20元， 水性笔每支定价5元。小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不 少于4支）
例4、如图，在平面直角坐标系xoy中，点M在 x轴的正半轴上， ⊙M交x轴于A，B两点，交 y 轴与C，D两点，且C为弧AE的中点， AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-2，0），AE=8。
（1）求点C的坐标。
（2）连结MG，BC，求证：MG∥BC
（3）如图（2），过点D作⊙M的切线，交x轴于点P。动点F在 ⊙M的圆周上运动时OF， 的比值是否发生变化，若不变，求出比
一、中考要求
1、在解决许多数学问题中，往往会涉及到归纳、类比、化归、分 类、数形结合、运动变换等思想及待定系数法、换元法、配方法、 反证法等方法，这些思想方法的运用是解决问题的基础，也是一 学生解题能力的具体体现。
2、随着课改实验的不断深入，引导学生运用有关数学思想方法解 决问题已倍受专家的关注，也是课改的方向之一。
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练习：
１、如图，是一个等边三角形木框，甲虫Ｐ在边框ＡＣ上爬行（Ａ，
Ｃ端点除外），设甲虫Ｐ到另外两边的距离之和为d,等边三角形Ａ
ＢＣ的高为h，则d与h 的大小关系是（
）
A、d＞h B 、 d＜h C 、 d=h D 、无法确定
２、已知等腰△ＡＢＣ内接于半径为５的⊙Ｏ，如果底边的长为６， 则底角的正弦值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
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（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB 交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C， E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在（3）中作出 图形，试求OP的长。
A
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（2）
例3、如图，已知∠AOB=900，OM是∠AOB的平分线，按以下要 求解答问题：
（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与 边OA，OB交于点C，D。
①在图（1）中证明：PC=PD
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②在图（2）中，点G是CD与OP的交点，且
△POD与△PDG的面积之比。
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