§2.1.2不等式的证明(2)综合法与分析法

选修4-5学案 §2.1.2不等式的证明(2)综合法与分析法 姓名

☆学习目标： 1. 理解并掌握综合法与分析法; 2. 会利用综合法和分析法证明不等式

☻知识情景：

1. 基本不等式：

10. 如果,a b R ∈, 那么22

2a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.

20. 如果,a b R +

∈, 那么

2

a b

+≥当且仅当a b =时, 等号成立.

30. 如果,,a b c R +∈, 那么3

a b c

++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立.

2.均值不等式：如果,a b R +

∈,那么 2

2

ab a b a b ++的大小关系是：

≤≤≤

常用推论：1. 20a ≥; 0;a ≥ 1

2(0)a a a

+

≥>; 2. 2(0)a b ab b a +≥>; 3. a c b

b a

c ++≥

(,,a b c R +

∈).

3.

不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．

20. 综合法和分析法．

30

. 反证法、换元法、放缩法

☆案例学习：

综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,

通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 例1 ,,0,,a b c >已知且不全相等222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>求证:

例2

12n 12n 12,,,R ,1,(1)(1)

(1)2n

n a a a a a a a a a +∈=+++≥已知且求证:

分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,

直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.

例3

例4

例5 证明：.)())((22222bd ac d c b a +≥++

选修4-5练习 §2.1.2不等式的证明(2) 姓名

1、已知,,0,0y x y x ≠>>求证.411y

x y x +>+

2、已知,0>>b a 求证.b a b a ->-

求证222222

,,0,a b b c c a a b c abc

a b c

++>≥++已知求证:

3、已知.0,0>>b a 求证：（1）.4))((11≥++--b a b a （2）.8))()((3

33322b a b a b a b a ≥+++

4、已知d c b a ,,,都是正数。求证：

（1）

;2cd ab d c b a +≥+++ （2）.4

4

abcd d c b a ≥+++

5、已知c b a ,,都是互不相等的正数，求证.9))((abc ca bc ab c b a >++++

6 c b a ,,是互不相等的正数，且1=abc . 求证:27)1)(1)(1(>++++++a c c b b a ．

7 已知a ，b ，m 都是正数，并且.b a <求证:

.b

a

m b m a >++．

8设0,0>>b a ，求证: .2233ab b a b a +≥+

9（1）已知,a b 是正常数,a b ≠,,(0,)x y ∈+∞,求证：222()a b a b x y x y

++≥+,指出等号成立的条件； （2）利用（1）的结论求函数29()12f x x x =+-(1(0,)2x ∈)的最小值，指出取最小值时x 的值．

答案:

例1 例2 例3

例4

例5 证明 （1）⇔0)())((22222≥+-++bd ac d c b a （2）

⇔0)2(222222222222≥++-+++d b abcd c a d b d a c b c a （3）⇔022222≥-+abcd d a c b

（4）⇔ 0)(2

≥-ad bc （5） （5）显然成立。因此（1）成立。

练习

2222: 2,0,()2b c bc a a b c abc +≥>∴+≥证明2222

2,0,()2a b ab c c a b abc

+≥>∴+≥2222 2,0,()2c a ac b b c a abc +≥>∴+≥222222,,,,()()()6a b c a b c b c a c a b abc

+++++>由于不全相等所以上述三个式子中至少有一个不取等号

把它们相加得

11212.

1212

12:

,11,1,,

,,,(1)(1)

(1)221,1,

1.

n n n n n n i i n a

R a a

a a a a R

a a a a a

a a a

a a a ++∈

∴+≥+≥

+≥∈++

+≥==+

≥==

=

=证明同理

由不等式的性质得

时所以原式在时取等号22: 27,

27,991418,1418,36.

++<<+<+<<<<+证明和所以要证只需证展开得只需证成立成立2222222222:(),,,()2a b b c c a abc a b c x y z x yz ++≥+++≥分析要证的不等式可化为

观察上式左边各项是两个字母的平方之积右边各项涉及三个字母可以考虑用

222222222222222222222222222222222222222: 2,0,()22,0,()22,0,()22()222()

1

,,0,0,0,

b c bc a a b c a bc

c a ac b b c a b ac a b ab c c a b c ab a b b c c a a bc b ac c ab a b b c c a abc a b c a b c a b c a b c

a b b c +≥>∴+≥+≥>∴+≥+≥>∴+≥∴++≥++∴++≥++>∴++>∴>+++证明又故222c a abc

a b c

+≥++