2014汤家凤线性代数辅导讲义

文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义

主讲：汤家凤

第一讲行列式

一、基本概念

定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。

定义2 逆序数—设n i i i Λ21是n ,,2,1Λ的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i Λτ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

定义3 行列式—称nn

n n n n a a a a a a a a a D Λ

ΛΛΛΛΛ

Λ21

222

2111211

称为n 阶行列式，规定

n n

n nj j j j j j j j j a a a D ΛΛΛ21212121)

()1(∑-=

。

定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nn

n n n n a a a a a a a a a D Λ

ΛΛΛΛΛ

Λ21

222

2111211=

中元素ij a 所在的i 行元

素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j

i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。

二、几个特殊的高阶行列式

1、对角行列式—形如

a a a Λ

ΛO ΛΛΛΛ00

000021称为对角行列式，

n n

a a a a a a ΛΛΛO ΛΛΛΛ2121

000000=。

2、上（下）三角行列式—称

n n a a a a a a Λ

ΛO ΛΛΛΛ

0022211211及

n n a a a a a a Λ

ΛO

ΛΛΛ21

222111

0为上（下）三角行列式，

nn nn

n a a a a a a a a a ΛΛ

O ΛΛΛΛ

2211222112

0=，

nn nn

n n a a a a a a a a a ΛΛ

ΛO

ΛΛΛ221121222111

0=。

3、

||||B A B

O O A ?=，

||||B A B

O C A ?=，

||||B A B

O A ?=。

4、范得蒙行列式—形如1121

121211

),,,(---=

n n

n n n

n a a a a a a a a a V Λ

ΛΛΛΛ称为n 阶范得蒙行列式，且X Λ

ΛO

ΛΛΛΛn

i j j i n n

n n n

n a a a a a a a a a a a V ≤<≤----==

11121

121)(1

),,,(。【注解】0),,,(21≠n a a a V Λ的充分必要条件是n a a a ,,,21Λ两两不等。三、行列式的计算性质

（一）把行列式转化为特殊行列式的性质 1、行列式与其转置行列式相等，即T D D =。

2、对调两行（或列）行列式改变符号。

3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。

推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。

4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即

n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a Λ

ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ

ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2

21112112

112112

111211+=+++。 5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即

n n jn j j jn

in j i j i n nn

n n jn j j in i i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a a a a ΛΛ

ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ

ΛΛΛ

ΛΛΛΛΛΛ

ΛΛΛΛΛΛ2

221

11121121212111211+++=，其中k 为任意常数。

【例题1】设321,,,,γγγβα为4维列向量,且4|,,,|||321==γγγαA ，

21|,3,,|||321==γγγβB ，求||B A +。

【例题2】用行列式性质1~5计算842321

123

-。

【例题3】计算行列式2

2954

1732

-----=D 。

【例题4】计算n

n a a a a D ++++=111111111

1111113

21Λ

ΛΛΛΛΛΛΛΛ

，其中)1(0n i a i ≤≤≠。（二）行列式降阶的性质

6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即

),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i ΛΛ=+++=， ),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j ΛΛ=+++=。

7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。

【例题1】用行列式按行或列展开的性质计算8

321

123

-。

【例题2】设2

72954

1732

152

-----=

D ，求（1）24232221M M M M +++；（2）3231M M +。

四、行列式的应用—克莱姆法则

对方程组???????=+++=+++=+++0

00221122221211212111n nn n n n

n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a ΛΛΛΛ （I ）及

??????

?=+++=+++=+++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛ22112

222212********* （II ）其中)(II 称为非齐方程组，)(I 称为)(II 对应的齐次方程组或)(II 的导出方程组。

令n

n n n nn

n n

n n nn

n n n n b a a b a a

b a a D a a b a a b a a b D a a a a a a a a a D Λ

ΛΛΛΛΛΛΛΛ

ΛΛΛΛΛΛΛ

ΛΛ

ΛΛΛΛ21

22211

12112222211211212222111211

,,,===

，其中D 称为系数行列式，我们有

定理1 )(I 只有零解的充分必要条件是0≠D ；)(I 有非零解（或者)(I 有无穷多个解）的充分必要条件是0=D 。

定理2 )(II 有唯一解的充分必要条件是0≠D ，且),,2,1(n i D

D x i

i Λ==

；当0=D 时，)(II 要么无解，要么有无穷多个解。

第二讲矩阵

一、基本概念及其运算（一）基本概念

1、矩阵—形如????

??mn m m n n a a a a a a a a a Λ

ΛΛΛΛΛ

Λ21

222

11211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ?=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。（2）对n m ij a A ?=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。

（3）称???

??=11

O E 为单位矩阵。（4）对称矩阵—设n n ij a A ?=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij Λ==，称A 为对称矩阵。

（5）转置矩阵—设???????

??=mn m m n n a a a a a a a a a A Λ

ΛΛΛΛΛ

Λ21

222

11211，记??????

??=mn n n

m m T

a a a a a a a a a A Λ

ΛΛΛΛΛΛ

212221212111

，称T

A 为矩阵A 的转置矩阵。

2、同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。

3、伴随矩阵—设n n ij a A ?=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称

ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子

式，记????

???

??=*

nn n n

n n A A A A A A A A A A Λ

ΛΛΛΛΛΛ212221212111，称为矩阵A 的伴随矩阵。（二）矩阵的三则运算

1、矩阵加减法—设???????

??=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛ

Λ21222

11211

，????

??=mn m m n n b b b b b b b b b B Λ

ΛΛΛΛΛΛ

1222

21112

11，则 ??

??±±±±±±±±±=mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A Λ

ΛΛΛ221

12222

2221211112121111。 2、数与矩阵的乘法—设???????

??=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛ

Λ21

222

11211

，则???

??=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA Λ

ΛΛΛΛΛ

Λ21

222

112

。 3、矩阵与矩阵的乘法：

设???????

??=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛ

Λ21222

11211，????

? ??=ns n n s s b b b b b b b b b B Λ

ΛΛΛΛΛΛ2

1222

21112

11，则 ????

? ??=ms m m n s c c c c c c c c c C Λ

ΛΛ

ΛΛΛ

Λ21

222

11211，其中∑==n k kj ik ij b a c 1（s j m i ,,2,1;,,2,1ΛΛ==）。【注解】（1）O B O A ≠≠,推不出O AB ≠。

（2）BA AB ≠。

（3）矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。若BA AB =，则)2)((232

B A B A B AB A --=+-，再如

)2)(3(62E A E A E A A +-=--。

（4）方程组的三种形式形式一：基本形式

??????

?=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a ΛΛΛΛ（I ）与???????=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛ22112

222212*********（II ）（I ）（II ）分别称为齐次与非齐线性方程组。记,,,212121

22221

11211

? ??=??????? ??=???????

??=m n mn m m n n b b b b x x x X a a a a a a a a a A M

M Λ

ΛΛ

ΛΛΛ则方程组（I ）、（II ）可改写为形式二：方程组的矩阵形式

0=AX ，（I ）

b AX =，（II ）

令???

? ??=????? ??=????? ??=????? ??=????? ??=m n mn n n m m b b b x x X a a a a a a M M M ΛM M 11121221111,,,,,ααα，则有

形式三：方程组的向量形式

O x x x n n =+++αααΛ2211 （I ） O x x x n n =+++αααΛ2211 （II ）二、矩阵的两大核心问题—矩阵的逆矩阵与矩阵的秩

【背景】初中数学问题：对一元一次方程)0(≠=a b ax ，其解有如下几种情况（1）当0≠a 时，b ax =两边乘以

a 1得a

x =。（2）当0,0==b a 时，方程b ax =的解为一切实数。（3）当0,0≠=b a 时，方程b ax =无解。

矩阵形式的线性方程组解的联想：对线性方程组b AX =，其解有如下几种情况

（1）设A 为n 阶矩阵，对方程组b AX =，存在n 阶矩阵B ，使得E BA =，则Bb X =。（此种情况产生矩阵的逆阵理论）

（2）设A 为n 阶矩阵，对方程组b AX =，不存在n 阶矩阵B ，使得E BA =，方程组b AX =是否有解？

（3）设A 是n m ?矩阵，且n m ≠，方程组b AX =是否有解？

（后两种情况取决于方程组的未知数个数与方程组约束条件的个数即矩阵的秩）（一）逆矩阵

1、逆矩阵的定义—设A 为n 阶矩阵，若存在B ，使得E BA =，称A 可逆，B 称为A 的逆矩阵，记为1

-=A B 。

【例题1】设A 为n 阶矩阵，且O E A A =--22

，求1

)(,--+E A A 。

【例题2】设A 为n 阶矩阵，且O A k =，求1

)(--A E 。 2、关于逆矩阵的两个问题

【问题1】设A 为n 阶矩阵，A 何时可逆？【问题2】若A 可逆，如何求1-A ？ 3、逆阵存在的充分必要条件

定理设A 为n 阶矩阵，则矩阵A 可逆的充分必要条件是0||≠A 。 4、逆阵的求法

（1）方法一：伴随矩阵法 *

A A A

|11

。（2）初等变换法 )|()|(1

-A E E A 初等行变换。

5、初等变换法求逆阵的思想体系第一步，方程组的三种同解变形（1）对调两个方程；

（2）某个方程两边同乘以非零常数；（3）某个方程的倍数加到另一个方程，以上三种变形称为方程组的三种同解变形。第二步，矩阵的三种初等行变换（1）对调矩阵的两行；

（2）矩阵的某行乘以非零常数倍；（3）矩阵某行的倍数加到另一行，

以上三种变换称为矩阵的三种初等行变换。若对矩阵的列进行以上三种变换，称为矩阵的初等列变换，矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。第三步，三个初等矩阵及性质

（1）ij E —将E 的第i 行与第j 行或者单位矩阵E 的第i 列与第j 列对调所得到的矩阵，如

23010100001E =???

? ??。性质： 1）1||-=ij E ；1）ij ij E E =-1

；

3）A E ij 即为矩阵A 的第i 行与第j 行对调，ij AE 即为矩阵A 的第i 列与第j 列对调，即A

E ij 是对A 进行第一种初等行变换，ij AE 是对A 进行第一种初等列变换。

（2）)0)((≠c c E i —将E 的第i 行乘以非零常数c 或E 的第i 列乘以非零常数c 所得到的矩

阵，如)5(5000100013-=???

? ??-E 。

性质：1）c c E i =|)(|；2）)1

()(1c

E c E i i =-；

3）A c E i )(即为矩阵A 的第i 行非零常数c ，)(c AE i 即为矩阵A 的第i 列非零常数c ，即

A c E i )(为对A 进行第二种初等行变换，)(c AE i 为对A 进行第二种初等列变换。

（3）)(k E ij —将E 第j 行的k 倍加到第i 行或E 的第i 列的k 倍加到第j 列所得到的矩阵。性质：

1）A k E ij )(即A 第j 行的k 倍加到第i 行，)(k AE ij 即A 第i 列的k 倍加到第j 列； 2）1|)(|=k E ij ；3）)()(1

k E k E ij ij -=-。

第四步，三个问题

【问题1】设A 是n 阶可逆矩阵，A 可都经过有限次初等行变换化为E ？

【问题2】设A 是n 阶不可逆矩阵，A 是否可以经过有限次初等行变换化为???

?O O

O E r

？【问题3】设A 是n 阶不可逆矩阵，A 是否可以经过有限次初等变换化为???

? ??O O O E r

？第五步，初等变换法求逆阵的理论

定理1 设A 是n 阶可逆矩阵，则A 经过有限次初等行变换化为E ，且)()(1

-→A E E A M M 。

定理2设A 是n 阶不可逆矩阵，则存在n 阶可逆矩阵P 和Q ，使得???

? ??=O O O E PAQ r

。 6、逆矩阵的性质（1）A A =--1

1)(。（2）1

11)(--=

A k

kA 。（3）111

)(---=A B AB ，更进一步111

11121)(-----=A A A A A A n n n ΛΛ。

（4）T T A A )()

(11

--=。

（5）???? ??=?

???

??---11

B O O A B O O A ，???

? ??=???

? ??---O A B O

O B A O 111

。【例题1】设可逆矩阵A 的j i ,行对调所得的矩阵为B 。（1）证明：B 可逆。（2）求B A 1

-。

【例题2】设B A ,分别为n m ,阶可逆矩阵，b B a A ==||,||，求*

???

??O B A O 。

【例题3】设可逆阵A 的2,1两行对调得矩阵B ，讨论*

A 与*

B 之间的关系。

【例题4】设,,133312

321131

131211

2221

3332

232221

131211

????

??+++=?????

??=a a a a a a a a a a a a B a a a a a a a a a A ???

??=????? ??=101010001,10000101021P P ，则（）

B P AP A =21)( B P AP B =12)( B A P P

C =21)( B A P P

D =12)( 【例题5】设????

??--=100110111A ，且E AB A =-2

，求B 。

（二）矩阵的秩

1、矩阵秩的定义—设A 是n m ?矩阵，A 中任取r 行和r 列且元素按原有次序所成的r 阶行列式，称为A 的r 阶子式，若A 中至少有一个r 阶子式不等于零，而所有1+r 阶子式（如果有）皆为零，称r 为矩阵A 的秩，记为r A r =)(。

2、矩阵秩的求法—将A 用初等行变换化为阶梯矩阵，阶梯矩阵的非零行数即为矩阵A 的秩。【注解】

（1）设A 为n m ?矩阵，则},min{)(n m A r ≤。（2）0)(=A r 的充分必要条件为O A =。（3）1)(≥A r 的充分必要条件为O A ≠。

（4）2)(≥A r 的充分必要条件是A 至少有两行不成比例。（5）T

n a a a ),,,(21Λ=α，则???=≠=O

r ααα,0,1)(。

3、矩阵秩的性质

（1）)()()()(A A r AA r A r A r T

===。

【例题1】设A 是n m ?矩阵，证明：若O A A T

=，则O A =。（2）)()()(B r A r B A r +≤±。

【例题2】设????

? ??=????? ??=n n b b a a M M 11,βα，T

T A ββαα+=，证明：2)(≤A r 。

（3）)}(),(min{)(B r A r AB r ≤，等价于?

?≤≤)()()

()(B r AB r A r AB r 。

（口诀：即矩阵的乘法不会使矩阵的秩升高）

【例题3】设B A ,分别为n m ?与m n ?矩阵，且E AB =，求)(),(B r A r 。（4）设s n n m B A ??,，且0=AB ，则n B r A r ≤+)()(。【例题4】设A 为可逆矩阵，证明其逆矩阵唯一。【例题5】设A A =2

，证明：n A E r A r =-+)()(。

（5）设Q P ,为可逆矩阵，则)()()()(PAQ r AQ r PA r A r ===。

（6）)2(1)(,01)(,1)(,)(≥??

???-<-===*

n n A r n A r n

A r n A r 。

（7）)()(B r A r B A r +≤???

??。

（8）?=1)(A r 存在非零向量βα,，使得T

A αβ=。

第三讲向量

一、向量基本概念

1、向量—n 个实数n a a a ,,,21Λ所构成的一个数组称为向量，其中),,,(21n a a a Λ称为n 维

行向量，???

? ??n a a M 1称为n 维列向量，构成向量的所有元素皆为零的向量称为零向量。

2、向量的内积：∑==

i i

i T

a 1

),(βαβα。

[注解]（1）βααββαT

==),(),(；（2）21

2||),(ααα==

∑=n

i i

；

（3）),(),(),(γαβαγβα+=+；（4）),(),(),(βαβαβαk k k ==。

（5）当0),(=βα，即

=∑=n

i i

i b

a 时，称向量α与β正交，记为βα⊥，注意零向量与

任何向量正交。

【注解】方程组的向量形式

齐次线性方程组可以表示为O x x x n n =+++αααΛ2211；非齐线性方程组可以表示为b x x x n n =+++αααΛ2211，

其中???

? ??=????? ??=????? ??=????? ??=n mn n n m m b b b a a a a a a M M ΛM M 1121221111,,,,ααα。

3、线性相关与线性无关

对齐次线性方程组O x x x n n =+++αααΛ2211，

（1）O x x x n n =+++αααΛ2211当且仅当021====n x x x Λ时成立，即齐次线性方程组只有零解，称向量组n ααα,,,21Λ线性无关；

（2）若有不全为零的常数n k k k ,,,21Λ，使得O k k k n n =+++αααΛ2211成立，即齐次线性方程组有非零解，称n ααα,,,21Λ线性相关。 4、向量的线性表示

对非齐线性方程组b x x x n n =+++αααΛ2211，

（1）存在一组常数n k k k ,,,21Λ，使得b k k k n n =+++αααΛ2211成立，即非齐线性方程组有解，称β可由n ααα,,,21Λ线性表示；

（2）若b x x x n n =+++αααΛ2211不能成立，即非齐线性方程组无解，称β不可由

n ααα,,,21Λ线性表示。

5、向量组的秩与矩阵的秩的概念

（1）向量组的极大线性无关组与向量组的秩—设n ααα,,,21Λ为一个向量组，若

n ααα,,,21Λ中存在r 个线性无关的子向量组，但任意1+r 个子向量组（如果有）线性相

关，称r 个线性无关的子向量组为向量组n ααα,,,21Λ的一个极大线性无关组，r 称为向量组n ααα,,,21Λ的秩。

[注解]（1）若一个向量组中含有零向量，则该向量组一定线性相关。

（2）两个向量线性相关的充分必要条件是两个向量成比例。（3）向量组的极大线性无关组不一定唯一。

6、向量组的等价—设m A ααα,,,:21Λ与n B βββ,,,:21Λ为两个向量组，若

??????

?+++=+++=+++=n

mn m m m n

n n n k k k k k k k k k βββαβββαβββαΛΛΛΛ22112222121212121111，则称向量组m A ααα,,,:21Λ可由向量组n B βββ,,,:21Λ线性表示，若两个向量组可以相互线性表示，称两个向量组等价。二、向量的性质

（一）向量组的相关性与线性表示的性质

1、若n ααα,,,21Λ线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表出。

2、设n ααα,,,21Λ线性无关，而βααα,,,,21n Λ线性相关，则β可由n ααα,,,21Λ线性表出，且表示方法唯一。

3、若一个向量组线性无关，则其中任意一个部分向量组也必然线性无关；

4、若一个向量组的一个部分向量组线性相关，则此向量组一定线性相关；

5、设n ααα,,,21Λ为n 个n 维向量，则n ααα,,,21Λ线性无关0|,,,|21≠?n αααΛ。

6、若一个向量组的个数多于维数。则此向量组一定线性相关。

7、若n ααα,,,21Λ为一个两两正交的非零向量组，则n ααα,,,21Λ线性无关。 8、设n ααα,,,21Λ为两两正交的非零向量组，则n ααα,,,21Λ线性无关，反之不对。【例题1】设321,,ααα线性无关，432,,ααα线性相关，证明：4α可由321,,ααα线性表示。【例题2】设321,,ααα线性无关，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，讨论321,,βββ的相关性。

【例题4】设4321,,,αααα线性无关，令

144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=，讨论4321,,,ββββ的相关性。

（二）向量组的秩的性质

1、设n m B A βββααα,,,:,,,,:2121ΛΛ为两个向量组，若A 组可由B 线性表出，则A 组的秩不超过B 组的秩。

2、等价的向量组由相等的秩。

3、矩阵的秩、矩阵的行向量组的秩、矩阵的列向量组的秩三者相等。

【注解】（1）设n ααα,,,21Λ线性无关，b n ,,,,21αααΛ线性无关的充分必要条件是b 不可由向量组n ααα,,,21Λ线性表示，等价于1),,,(),,,,(2121+=n n r b r ααααααΛΛ。

（2）设n m B A βββααα,,,:,,,,:2121ΛΛ，若向量组A 可由向量组B 线性表示，而向量组B 不可由向量组A 线性表示，则)()(B r A r <。

第四讲方程组

一、线性方程组的基本概念

方程组???????=+++=+++=+++.0,0,

0221122221211212111n mn m m n

n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a ΛΛΛΛ（I ），称（I ）为n 元齐次线性方程组。

方程组???????=+++=+++=+++.

,,22112

222212*********m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛ（II ）称（II ）为n 元非齐线性方程组，方程组

（I ）又称为方程组（II ）对应的齐次线性方程组或者导出方程组。

二、线性方程组解的结构

1、设s X X X ,,,21Λ为齐次线性方程组O AX =的解，则s s X k X k X k +++Λ2211为

O AX =的解，其中s k k k ,,,21Λ为任意常数。特殊情形，21X X +及1kX （k 为任意常数）

都是O AX =的解。

2、设0X 为齐次线性方程组O AX =的解，η为非齐线性方程组b AX =的解，则η+0X 为方程组b AX =的解。

3、设21,ηη为非齐线性方程组b AX =的解，则21ηη-为O AX =的解。

4、设t ηηη,,,21Λ为b AX =的一组解，则t t k k k ηηη+++Λ2211为b AX =的解的充分必要条件是121=+++t k k k Λ。三、线性方程组解的基本定理

定理1 （1）齐次线性方程组O AX =只有零解的充分必要条件是n A r =)(；

（2）齐次线性方程组O AX =有非零解（或者无穷多个解）的充分必要条件是n A r <)(。定理2 （1）非齐线性方程组b AX =无解的充分必要条件是)()(A r A r ≠。

（2）b AX =有解的充分必要条件是)()(A r A r =。更进一步地，当n A r A r ==)()(时，方程组b AX =有唯一解；当n r A r A r <==)()(时，方程组b AX =有无穷多个解。四、线性方程组的通解

（一）齐次线性方程组O AX =的基础解系与通解

【例题1】求方程组???????=-+-=++=++=+-++0

050720854315325

2154321x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。

【例题2】求方程组???

??=-+++=-++=+--+0

22042220254321

532154321x x x x x x x x x x x x x x 。

【注解】齐次线性方程组基础解的的三大条件

一个向量组为齐次线性方程组的基础解系的充分必要条件是（1）该向量组为方程组的解。（2）该向量组线性无关。（3）该向量组的向量个数与方程组自由变量个数相等。

（二）非齐线性方程b AX =的通解

【例题1】设方程组???

? ??=????? ??????? ??-+0312123212

1321x x x a a 无解，求a 。

【例题2】b a ,取何值时，方程组???????-=+++=--+-=++=+++1

232)3(1220

43214324

324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有解，并求出其解。

【例题3】（1）设A 为n 阶阵，且A 的各行元素之和为0，0,1)(=-=AX n A R 则，求0=AX 的通解。（2）设A 为n 阶阵，且0,0||≠=ki A A ，求0=AX 的通解。

（3）设b AX =为四元非齐方程组，321,,,3)(ααα=A R 为其3个解向量，且T

)8,9,9,1(1=α，

T )9,9,9,1(32=+αα，求b AX =的通解。

（4）321,,ααα设为4维列向量组，21,αα线性无关，),,(,23321213αααααα=+=A 且，求0=AX 的一个基础解系。

（5）设4324321,,),,,,(ααααααα=A 线性无关，且4213212,3αααβααα++=+=，求β=AX 的通解。

【例题3】设),,,2,1(21n r r i a a a in i i i <=??

??=ΛM

α为n 维向量组，且r ααα,,,21Λ线性无关，??????

? ??=n b b b M 21β

为???????=++=++=++0

001121211111n rn r n n n n x a x a x a x a x a x a ΛΛΛΛ的非零解，问βααα,,,,21r Λ线性相关性。方程组补充（一）理论拓展

定理1 若O AB =，则B 的列向量组为方程组O AX =的解。【例题1】设O AB =，证明：n B r A r ≤+)()(。

【例题2】设A 为三阶非零矩阵，A 的第一行元素c b a ,,不全为零，???

? ??=k B 63642321，且

O AB =，求方程组O AX =的通解。

定理2 若O AX =与O BX =同解，则)()(B r A r =。【例题1】证明：)()(A A r A r T

=。

【例题2】设A 为s n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，且n B r =)(，证明：)()(BA r B r =。（二）方程组的公共解

定理 O AX =与O BX =的公共解即为O X B A =???

??的解。

【例题1】设B A ,都是n 阶矩阵，且n B r A r <+)()(，证明：O AX =与O BX =有公共的非零解。

【例题2】设线性方程组（1）??

?=-=+00

4221x x x x 与方程组（2）???=+-=+-0

0432321x x x x x x 。

（1）求两个方程组的基础解系。（2）求两个方程组的公共解。

第五讲特征值与特征向量

一、基本概念

1、矩阵的特征值、特征向量—设A 为n 阶矩阵，若存在λ和非零向量X ，使得X AX λ=，

称λ为矩阵A 的特征值，称X 为矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。【问题1】设A 为n 阶矩阵，如何求A 的特征值？

【问题2】设A 为n 阶矩阵，0λ为A 的特征值，如何求矩阵A 的属于0λ的特征向量？

2、特征多项式、特征方程—令????

??=nn n n n n a a a a a a a a a A Λ

ΛΛΛΛΛΛ21

22221

11211，

称nn

n n n

a a a a a a a a a A E ---------=

-λλλλΛ

ΛΛΛΛ

Λ2

2222111211

||为矩阵A 的特征多项式，0||=-A E λ称为矩阵A 的特征方程。

【注解】（1）设A 为实矩阵，则A 的特征值不一定是实数。（2）)(221121A tr a a a nn n =+++=+++ΛΛλλλ。（3）||21A n =???λλλΛ。

（4）n A r =)(的充分必要条件是)1(0n i i ≤≤≠λ。

【例题1】设???

??=122212221A ，求A 的特征值及每个特征值对应的线性无关的特征向量。

【例题2】设???

? ??=100100110A ，求A 的特征值及每个特征值对应的线性无关的特征向量。

【问题1】设n A r <)(，则0是A 的特征值，问A 的非零特征值个数是否与A 的秩相等？【问题2】问每个特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量个数是否一致？

3、矩阵相似—设B A ,为两个n 阶阵，若存在可逆阵P ，使得B AP P =-1

，则称A 与B 相似，记为B A ~。【注解】

（1）A A ~。（2）若B A ~，则A B ~。（3）若B A ~，C B ~，则C A ~。（4）||||~B E A E B A -=-?λλ，反之不对。（5）)()(~B r A r B A =?，反之不对。（6）11

~;~~--?B A

B A B A T

（其中B A ,可逆）。

（7）若B A ~，则)()(B tr A tr =，||||B A =。

4、矩阵的对角化—若一个矩阵和对角矩阵相似,则称矩阵可以对角化，设A 是n 阶矩阵，所谓A 可对角化，即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1

，其中Λ为对角矩阵。二、特征值与特征向量的性质

（一）一般矩阵特征值与特征向量的性质 1、（重要性质）不同特征值对应的特征向量线性无关。

2、设A 为n 阶矩阵，0λ是矩阵A 的特征值，0X 是矩阵A 的对应于0λ的特征向量，则（1）若A 可逆，则1

0-λ是矩阵1-A 的特征值，0X 是矩阵1-A 的对应于1

0-λ的特征向量。

（2）若A 可逆，则

|λA 为矩阵*A 的特征值，0X 是矩阵*A 的对应于

|λA 的特征向量。

（3）设011

1)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ为一元n 次多项式，称

E a A a A a A a A f n n n n 0111)(++++=--Λ为关于矩阵A 的矩阵多项式，则有

)(0λf 为矩阵)(A f 的特征值，0X 是矩阵)(A f 的对应于)(0λf 的特征向量。

3、矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。（二）实对称矩阵特征值特征向量的性质

1、设A 为实对称阵，则A 的特征根都是实数。

2、设A 为实对称阵，则A 的不同特征根对应的特征向量正交。

3、A 可对角化A ?有n 个线性无关的特征向量。

4、设A 为实对称阵，n λλλ,,,21Λ为其特征根，则存在正交阵Q ，使得

????

? ?

?=n T

AQ Q λλO

1。三、矩阵的对角化

（一）非实对称矩阵（二）实对称矩阵

典型问题

（一）特征值、特征向量的性质

【例题1】设A 为四阶矩阵，B A ~，且A 的特征值为

,41,31,21，则____||1=--E B 。

【例题2】设A 为可逆矩阵，0λ为A 的一个特征值，则E A 2)(2+*的一个特征值为____。【例题3】设21λλ，为A 的两个不同的特性根，21,X X 分别为21λλ，所对应的特征向量，则21X X +不是特征向量。

（二）特征值、特征向量的求法

【思路分析】特征值的求法常见有三种方法：（1）公式法，即通过0||=-A E λ求A 的特征值。（2）定义法

（3）关联矩阵法

【例题1】设矩阵B A ,的每行元素之和分别为b a ,，其中A 可逆。（1）求1-A 的每行元素之和；（2）求AB 的每行元素之和。

【例题2】设A 为n 阶矩阵，且O A A =+22，求A 的特征值。

【例题3】设????

??=????? ??=n n b b a a M M 11,βα，且3),(=βα，令T

A αβ=，求A 的特征值及重数。

【例题4】A 是三阶矩阵，321,,ααα线性无关，

213132321,,ααααααααα+=+=+=A A A ，求矩阵A 的特征值。

（三）矩阵对角化问题

【思路分析】判断矩阵对角化常见思路有：（1）矩阵的特征值是否为单值。

（2）矩阵是否存在n 个线性无关的特征向量。（3）矩阵是否为实对称矩阵。【例题1】设?

??=d c b a A 且0<-bc ad ，证明A 可对角化。【例题2】设???

? ??------=266157113A ，证明A 不可以对角化。

【例题3】???

? ??=122212221A ，求A 的特征根、特征向量，以及是否可以对角化？

【例题4】设A 为非零矩阵，且存在正整数k ，使得O A k =，证明A 不可以对角化。

【例题5】设???

?? ??=0011100y x A 有三个线性无关的特征向量，求y x ,满足的条件。

【例题6】ββ=???

? ??-=????? ??=AX a a a A ,211,111111,有解但不唯一,(1)求a 的值;(2)求可逆阵P ,

使得AP P 1

-为对角阵;(3)求正交阵Q ,使得AQ Q T

为对角阵。

（四）求矩阵A

【思路分析】特征值与特征向量部分求未知矩阵的思路为：

（1）求A 的特征值。

（2）求A 的不同特征值对应的线性无关的特征向量（注意：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交）

（3）令),,,(21n P ξξξΛ=，由???

? ?

?=-n AP P λλO

得1

-????

? ?

?=P P A n λλO 。【例题1】设???

??--=????? ??-=????? ??===?212,122,221),3,2,1(,32133αααααi i A A i i ，求A 。

【例题2】设三阶实对称阵A 的特征值分别为3,2,1，A 的属于特征值2,1的特征向量分别为

T T )1,2,1(,)1,1,1(21--=--=αα。（1）求A 的属于特征值3的特征向量；（2）求A 。

第六讲二次型及其标准型

一、基本概念

1、二次型—含n 个变量n x x x ,,,21Λ且每项皆为二次的齐次多项式

∑∑==--=+++++=n i n

j j i ij n n n n n nn n x x a x x a x x a x a x a x x x f 11

1,121122

1112122),,,(ΛΛΛ称

为二次型。

令??????? ??=n x x x X M 21，??????

??=nn n n n n a a a a a a a a a A Λ

ΛΛΛΛΛΛ

22221

11211

，则AX X X f T

=)(。矩阵A 称为二次型的矩阵，

显然A A T

=，即二次型的矩阵都是对称矩阵，矩阵A 的秩称为二次型的秩。 2、标准二次型—只含有平方项不含交叉项的二次型称为标准二次型。

3、矩阵合同—设B A ,为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使得B AP P T

=，称矩阵A 与B 合同，记为B A ?。

4、二次型的标准化—设AX X X f T

=)(为一个二次型，若经过可逆的线性变换PY X =（即

P 为可逆矩阵）把二次型AX X X f T =)(化为

222211)()(m m T T PY

X T

y l y l y l Y AP P Y AX X X f +++====Λ，称为二次型的标准化。

5、规范二次型—二次型的标准型的系数为1和1-的标准型，称为二次型的规范型。二、二次型标准化方法（一）配方法

【例题1】用配方法化二次型32212

32221321245),,(x x x x x x x x x x f +--+=为标准型。

【例题2】用配方法化二次型2121),(x x x x f =为标准型。（二）正交变换法

（1）求A 的特征值n λλλ,,,21Λ。

（2）求A 的线性无关的特征向量n ξξξ,,,21Λ。

（3）将n ξξξ,,,21Λ进行施密特正交化和规范化得n γγγ,,,21Λ，令),,,(21n Q γγγΛ=。（4）2

222211)(n n T T QY

X T

y y y Y AQ Q Y AX

X f λλλ+++====Λ。

【例题1】用正交变换法化二次型3231212

32221321444),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=为

标准型。

【例题2】设3231212

32232184434),,(x x x x x x x x x x x f +-+-=。

（1）写出二次型的矩阵形式；（2）用正交变换法求二次型的标准型，写出正交阵。三、正定矩阵与正定二次型

1、正定二次型定义—若对任意的O X ≠总有0>AX X T

，称AX X T 为正定二次型，A 称为正定矩阵。

2、正定二次型的判别法方法一：定义法

【例题1】设B A ,都是n 阶正定矩阵，证明：B A +为正定矩阵。【例题2】设P 为可逆矩阵，P P A T

=，证明：A 为正定矩阵。

【例题3】设A 为m 阶实对称正定阵, B 为n m ?实阵,证明: AB B T

是正定矩阵的充分必要条件是n B r =)(。方法二：特征值法

【例题1】设A 为正定矩阵，证明：1-A 为正定矩阵。【例题2】设A 为正定矩阵，证明：1||>+A E 。方法三：顺序主子式法

A 是实对称矩阵，则A 正定的充要条件是0||,,0,

022

2112

1111>>>A a a a a a Λ。

【例题1】设二次型31212

13212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=为正定二次型，求t 的范围。

零基础数学学高数的方法

零基础数学学高数的方法零基础数学学高数的方法1、数学基础要打牢 mba数学考试不像高考更不像奥数，要考察某一知识点的延伸，通过研究近几年的真题可以发现，试卷中的大多数题目都是对大纲知识点的直接考察。所以大家一定要把基础打牢，不要盲目追求深度，力争把基础分都拿到。如果连基础分都拿不到，难度分再没搞利索，那就得不偿失了。那么如何打好数学基础呢?首先要通读教材，整理出大纲要求的知识点，形成知识网络，便于记忆;其次是深究各个知识点，对定义及用法着重分析。最后是对知识点进行融会贯通，通过做习题来巩固。 2、不同阶段，习题量应有所调整一提起数学，很多人就会想起题海战术，题是需要做，但什么时候做，做多做少都是有讲究的。刚开始复习，基础又不是很好，应该以理论理解为主，先把相关概念弄清楚，可以用少量的习题来辅助理解。习题的选择也要注意，选择一些有针对性的习题来做，真正做到一个题消化一个知识点。切忌一开始就以做题为主，不但会经常做错，打击信心，还得不到效果，浪费大量的时间。基础打牢之后习题就要多做了。通过做大量的习题来消化和巩固知识点，了解试题考查的维度，熟悉出题规律，另外，还要注意锻炼答题速度。在保证准确性的

基础上，还要提高速度，确实不是一件容易的事，必须通过大量的练习来实现。 3、合理规划复习时间并严格执行有的小伙伴们特别随便......没有一个严格的学习计划，想学了就学点......不想学就就去干别的......甚至学着后面的望着前面的......还有的考生复习之前有一个计划，但一到真正实施就管不住自己了，总是不能保质保量的完成任务。当然，我们也不建议完全脱产学习，但不对自己残忍就是对竞争对手的仁慈，要用对待阶级敌人的态度对待学习任务。 4、心态(老话长谈，但一定要说) 现在大家工作生活上的压力都比较大，每个人在mba复习过程中都会遇到一些困难，情绪上也会出现波动。适当聊聊天喝喝茶散散步是百试不爽的，实在没人聊可以找加油菌，总之要把自己的负面情绪发泄出来。零基础数学学高数的技巧一、背数学我曾经有一位学生数学成绩一塌糊涂，甚至都想放弃数学，去参加不要求数学成绩的院校招生。直至一天他想到“背数学”的学习方法，他写到：这个技巧是：不懂的问题，直接看解答，先背起来再说。如此一来，一题一般只要5分钟便背下来，从量来看，可以追赶得上成绩好的同学。各位猜猜看看，从开始背数学后，她的成绩变好了吗?结果是，她的成绩进步神速，高中三年级时，数学模拟考试成绩还进入全国排名，并应届考上东京大学医学院。比她小一岁的弟弟采用了

2014年4月全国自考概率论与数理统计真题及答案

绝密★考试结束前全国2014年4月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类)试题课程代码：04183 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸"的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1.掷一颗骰子，观察出现的点数。A表示“出现3点”，B表示“出现偶数点”，则 A.A B ? ? B.A B C.A B ? D.A B ? 2.设随机变量x的分布律为，F(x)为X的分布函数，

则F(0)= A.0.1 B.0.3 C.0.4 D.0.6 3.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为,11,02, (,)0,≤≤≤≤其它,c x y f x y -?=?? 则常数c= A.14 B.12 C.2 D.4 4.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则D(9—2X )= A.1 B.4 C.5 D.8 5.设(X ，Y )为二维随机变量，则与Cov(X ，Y )=0不等价．．．的是 A.X 与Y 相互独立 B.()()()D X Y D X D Y -=+ C.E(XY)=E(X)E(Y) D.()()()D X Y D X D Y +=+ 6.设X 为随机变量，E(x)=0.1，D(X )=0.01，则由切比雪夫不等式可得 A.{}0.110.01≥≤P X - B.{}0.110.99≥≥P X - C.{}0.110.99≤P X -< D.{}0.110.01≤P X -< 7.设x 1，x 2，…，x n 为来自某总体的样本，x 为样本均值，则1 ()n i i x x =-∑= A.(1)n x - B.0 C.x D.nx

考研数学零基础备考阶段的复习建议

考研数学零基础备考阶段的复习建议考研数学零基础备考阶段的复习建议第一阶段挑选适合自己的教材 1、高等数学(微积分)。这部分我用的同济大学的高等数学，一共两册，是很不错的教材。 2、线性代数。这部分的教材我依旧用的同济大学的工程数学，和经济类的数学差别并不大。只有向量空间和线性空间与线性变换不用考。线性代数内容比较抽象，逻辑性比较强。但是它是三门中学起来最简单的一门课，要注意前后知识点的联系，永乐大帝就是这么教我们的。 3、概率论与数理统计。这部分的书我都没认真看，开始总觉得时间还多就晃晃悠悠的看，后来觉得该快点看完就赶着看了，其实也有学数学学疲劳了的原因。概率论这部分学刚开始学起来应该比较困难，可能觉得比微积分难，因为这是数学中一种全新的研究方法。但是书一定得好好看，这部分内容看明白它的研究方法和明白它的各种模型后就觉得不是那么难了。第二阶段挑选一份高质量的复习资料第三阶段听强化班看复习全书开始听强化班是想把知识快速过一遍，但看完全书后真是有点脑袋不想想问题了的感觉。后来花了整整三天听了高数的一个强化班，开始感觉还好，后来又不想听课又不想看别的就茫然的撑着把课听完了，没有多大收获，除了做了点笔记~后来我就主要看别的科目，减少的数学的时间。对于辅导班吧，我觉得数学强化班还是有一定的帮助，前提是你复习的还行了但是还觉得有些混。另外对于不同的人选择是不同的，要看个人的.基础，基础好的话可以自己学，基础差些老师带着学的效果还是很明显的。

第四阶段临近考试攻克真题一、高等数学公式根据考研大纲上的要求，我们要记的公式主要有导数公式，基本积分表，两个重要极限，三角函数公式，高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式和中值定理公式(很重要)等，有些公式确实是很长的，但也是有记忆技巧的。二、概率与数理统计公式根据考研大纲要求，我们需要记住的公式有：条件概率，独立事件，连续型随机变量概率分布，八大分布函数，一维随机变量，二维随机变量，联合分布函数，大数定律和中心极限定理等。首先我们对于自己记不住的公式要标明出来，推理一遍是必须的。还有就是把要记忆的数学知识编成歌谣、口诀或顺口溜，也是一种不错的方法，便于记忆。比如一维、二维随机变量口诀有(自己总结的)：离散问模型，分布列表清，边缘用加乘，条件概率定联合，独立试矩阵; 连续必分段，草图仔细看，积分是关键，密度微分算; 离散先列表，连续后求导，分布要分段，积分画图算。总之，真正的好方法就是时间，好记性不如烂笔头，实践出真理。考研是个积累的过程，你了解的越多，学习就越好，所以多记忆，选择自己的记忆方法。预祝大家2018年考研数学考出满意的分数。一、你的熟练程度怎样? 经过前期大量的题海战术，现阶段要明白自己的熟练程度是怎样的?在做真题中如果遇到陌生知识点或者不熟悉甚至感觉陌生的考点，一定要及时回归课本及参考资料进行巩固，彻底掌握。

跨考教育之数学经验分享：文科生零基础拿高分

跨考教育之数学经验分享：文科生零基础拿高分文/《跨考教育》考生档案姓名：王蔷睿本科院校与专业：北京师范大学英语专业本科院校与专业：北京师范大学英语专业报考院校与专业：中央财经大学大学政治经济学成绩：总分410分，数学136分研究生入学考试已经结束数月，余音渐远而记忆犹新，我仍然记得自己在数学考场上的游刃有余和获知成绩后的欣喜激动。准备考研的这两年，数学一直作为一个矛盾体存在，让文科生出身本科又未接触任何数学知识的我如鲠在喉而又欲罢不能。前辈言：高手过招在于早期的基础积累和过招时的招式，对于数学而言就是复习管理和答题技巧。如今看来，前辈的经验诚不我欺。难度固然存在，零起点拿下考研数学高分也并非不可能。数学复习的黄金期只有六个月万事预则立，不预则废。作为一个庞大工程的考研复习更是如此，尤其对于数学这种无法通过短期突击而获得长足进步的学科，当然对于我这种数学零基础的则更为关键和重要。事实上，在数学复习开始之前制定一个长远计划是必不可少的步骤，对日后的学习大有裨益。零起点考生相比之下劣势明显，合理的计划显得尤为重要。我花了近两年时间备战考研，从最先开始学习数学，就是一直按着计划在走，虽然有时因为实际情况的变化难免会有些调整，但是大的计划始终未变。对于数学零起点的考生来说，一年半的时间比较合适。这一年半时间的数学复习可大致分为四个阶段：第一阶段：建立基础（六个月）第一阶段耗时六个月，主要目标无疑是建立基础，持续时间较长，具体又可分为两个时间段。钻研课本第一个时间段大致持续四个月，主要任务是钻研课本。教材（https://www.360docs.net/doc/ab15098534.html,）是任何其他资料都无法替代的，是考研数学的根基。官方推荐的教材是同济大学出版社的《高等数学》，浙江大学出版社的《概率论与数理统计》以及高等教育出版社的《线性代数》。同济大学出版社的《高等数学》上下册内容详尽，不仅包含数三考研的所有知识点，还覆盖了较多非考试知识点，对学生要求比较高，个人认为适合对高等数学感兴趣或是时间较为充裕的考生。当初由于专业课压力大，学习数学时间有限，故而我最终放弃该版教材，选择了非主流的专为考数三同学编撰的版本，内容较为简单，易于上手，适合高中文科大学未接触过数学的考生。考研教材的选择无须太过纠结，内容总归大同小异，无论官方、民间如何推荐，适合自己的才是最好的。选定教材之后能够立刻开始潜心学习比花费时间寻求最好的教材要有意义的多。很多考生在选好教材后可能会遇到报班、蹭课或是自学的问题，个人推荐自学。考研班

零基础考研,不妨先从考什么入手,难度差距极大

0基础考研，不妨先从考什么入手，难度差距极大 0基础考研，这3点常识，你在备考前一定要了解考研从来都不是一件简单的事情，每个阶段需要做些什么，都是有计划的。如果你是0基础，在开始备考之前，这3点常识，你一定要弄清楚。选择不同，试题难度也是不同的。 1 考试科目我们常说的考研主要是指考研的初试。复试都是有各自目标院校自行组织，时间不是统一的。正常情况下，我们考研的初试总共是4门科目。这4门科目分别是2门公共课，2门专业课。其中2门公共课是指：考研政治和考研英语。其中考研政治涉及到5门课程，马克思主义基本原理、毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论、中国近现代史纲要、思想道德修养与法律基础、形势与政策以及当代世界经济与政治。你可能会以为为什么考研数学不是公共课？其实，考研数学是两门专业课之一。考研数学被称为：专业基础课，很多专业都需要具备一定数学基础。当然，也有专业不需要数学基础，所以他们就不需要考数学。到底要不要考数学，主要还是取决于想要报考的院校。另一门专业课也是由你目标院校决定。值得注意的是，考研数学虽然不是公共课，但是考研数学的考试题目确实国家统一命题。至于另一门专业课，纯粹由你的目标院校选择考什么，自己出题，自己评分。 2 考研分数考研的总分是500分。其中2门公共课，考研政治和考研英语满分分别是100分。据本人了解，还没有考生在两门公共课中拿到满分。其次是2门专业课，两门专业课满分均是150分，据本人了解，会有考生拿到满分的。如果你能拿到80%的分数，考到400分，你就是考研中的王者，基本很少有人能考到。如果你能考到这个分数，只要复试不出现重大错误，基本就圆梦考研了。 3 英语与数学的具体划分考研英语根据所学专业不同以及培养方式不同，分成了报考，英语一和英语二，具体需要考英语几，这个以你目标院校要求为准。英语一的难度要大一些。但是，考研人数的增加，使得更多的院校开始选择考英语一了。考研数学分为考研数学一，考研数学二，考研数学三。其中理工类会考数学一或者数学二，经济类才会考数学三。个人认为数学一难度最大，数学二和数学三的难度相当。其具体区别是：数学一要考3门课程：高效、线性代数和概率论，并且考试难度大一些。数学二只需要考2门课程：高数和线性代数。数学三和数学一考试科目一样考三门，但是考试难度要低很多。以上就是关于考研需要考什么的内容，你知道了吗？英语和政治是一定要考的，要不要考数学是你报考院校说了算。英语一和数学一的难度最大，能不能考简单的，不是自己说了算，也是你目标院校来决定的。以上就是备考之前，你需要了解的3个常识，你弄懂了吗？赶紧转给身边需要的人吧。

2011年10月自考04183概率论与数理统计(经管类)试题与答案

全国2011年10月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类):04183 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 1.设A ，B 为随机事件，则(A-B )∪B 等于( ) A.A B.AB C.AB D.A ∪B 2.设A ，B 为随机事件，B ?A ，则( ) A.P (B-A )=P (B )-P (A ) B.P (B |A )=P (B ) C.P (AB )=P (A ) D.P (A ∪B )=P (A ) 3.设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0,P (B )>0，则下列各式中错误．．的是( ) A.P (A ∪B )=1 B.P (A )=1-P (B ) C.P (AB )=P (A )P (B ) D.P (A ∪B )=1-P (AB ) 4.已知一射手在两次独立射击中至少命中目标一次的概率为0.96，则该射手每次射击的命中率为( ) A.0.04 B.0.2 C.0.8 D.0.96 5.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且满足2 {1}{3}3 P X P X ===，则λ=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.设随机变量X ～N (2,32)，Φ(x )为标准正态分布函数，则P {2

A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 8.设X 为随机变量，E (X )=2，D (X )=5，则E (X +2)2=( ) A.4 B.9 C.13 D.21 9.设随机变量X 1，X 2，…，X 100独立同分布，E (X i )=0,D (X i )=1，i =1,2，…，100，则由中心极限定理得P { 100 1 10i i X =≤∑}近似于( ) A.0 B.Φ(l) C.Φ(10) D.Φ(100) 10.设x1，x2，…，xn 是来自正态总体N(2 μσ，)的样本，x ，s2分别为样本均值和样本方差，则 2 2 (1)n s σ-~( ) A.2 χ(n-1) B.2 χ(n) C.t(n-1) D.t(n) 二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 11.设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.4，P (B )=0.5，则P (AB )= 0.2 . 12.从数字1,2，…，10中有放回地任取4个数字，则数字10恰好出现两次的概率为 0.0486. 13.设随机变量X 的分布函数为F (x )=21e ,0, 0, 0, x x x -?->?≤?则P {X ≥2 }=_______________. 14.设随机变量X ～N (1，1)，为使X+C ～N (0,l)，则常数C = -1 . 15.设二维随机变量(X ，Y )的分布律为则P {Y =2}= 0.5 . 16.设随机变量X 的分布律为则E (X 2)= 1 . 17.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则E (2X )= 4 . 18.设随机变量X ～N (1，4)，则D (X )= 4 . 19.设X 为随机变量，E (X )=0，D (X )=0.5，则由切比雪夫不等式得P {|X |≥1}≤ 0.5 . 20.设样本x 1，x 2，…，x n 来自正态总体N (0，9)，其样本方差为s 2，则E (s 2)=_______________.

10年10月份自考概率论与数理统计试卷及答案

2010年10月高等教育自学考试全国统一命题考试概率论与数理统计（经管类）试题课程代码：04183 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A 与B 互不相容，且P （A ）>0,P (B )>0，则( ) A.P (B |A )=0 B.P (A |B )>0 C.P (A |B )=P （A ） D.P (AB )=P (A )P (B ) 2.设随机变量X ～N (1，4)，F (x )为X 的分布函数，Φ(x )为标准正态分布函数，则F (3)=( ) A.Φ(0.5) B.Φ(0.75) C.Φ(1) D.Φ(3) 3.设随机变量X 的概率密度为f (x )=???≤≤, ,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21=( ) A.41 B.31 C. 2 1 D. 4 3 4.设随机变量X 的概率密度为f (x )=????? ≤≤-+, ,0 , 01,2 1其他x cx 则常数c =( ) A.-3 B.-1 C.-2 1 D.1 5.设下列函数的定义域均为（-∞，+∞），则其中可作为概率密度的是( ) A. f (x )=-e -x B. f (x )=e -x C. f (x )=||-e 2 1 x D. f (x )=||-e x 6.设二维随机变量（X ，Y ）～N （μ1,μ2，ρσσ,,222 1），则Y ～( ) A.N （211,σμ） B.N （221,σμ） C.N （212,σμ） D.N （222,σμ） 7.已知随机变量X 的概率密度为f (x )=?? ???<<, ,0, 42,21 其他x 则E (X )=( )

《线性代数》补考模拟卷答案

《线性代数一》2010年下半年补考模拟题答案一、填空题（每小题3分，共18分） 1. 用行列式性质计算： x y x y y x y x x y x y +++= . 解：考察知识点：行列式性质，包括最常见的初等变换（初等行变换3种，哪3种？对行列式变化有何影响？） (1) (2) 2()2()2()1112() x y x y x y x y x y y x y x y x y x x y y x y x x y x y x y x y x y x y +++++= +=+++++ (3) 22331 11 2()02() 2()()2() 0x x y x y x x y x y x y x xy y x y y x y x -=+-=+=+-+-=-+----其中：（1）将第二、三行加到第一行；（2）提出第一行的公因子；（3）将第一行依次乘以-y,-(x+y),分别加到第三行和第四行。注意：行列式的性质非常重要，一定要熟练掌握，灵活应用。 2. 排列123456789的逆序数为 0 . 解：一定要理解记住逆序数的定义。按顺序来，从第一个元素到最后一个元素，都拿它与后面的元素进行比较，结果进行累计。第一个元素为1，后面的元素均比它大，故有0个逆序；第二个元素为2，后面的元素都比它大，同样有0个逆序；依此类推。。。。得出每个元素，与其后面的元素进行比较，都没有逆序出现，故逆序数为 0+0+……+0=0 3. 已知向量()1234,2,1,(0,1,6),(8,9,10)ααα===-，则122322()T ααααα-+= 。解：考察向量的四则运算

零基础学SVM—Support Vector Machine系列之一

零基础学SVM—Support Vector Machine系列之一本文原作者耳东陈，本文原载于作者的知乎文章。AI 研习社已获得转载授权。如果你是一名模式识别专业的研究生，又或者你是机器学习爱好者，SVM是一个你避不开的问题。如果你只是有一堆数据需要SVM帮你处理一下，那么无论是Matlab的SVM工具箱，LIBSVM还是python框架下的SciKit Learn都可以提供方便快捷的解决方案。但如果你要追求的不仅仅是会用，还希望挑战一下“理解”这个层次，那么你就需要面对一大堆你可能从来没听过的名词，比如：非线性约束条件下的最优化、KKT条件、拉格朗日对偶、最大间隔、最优下界、核函数等等。这些名词往往会跟随一大堆天书一般的公式。如果你稍微有一点数学基础，那么单个公式你可能看得明白，但是怎么从一个公式跳到另一个公式就让人十分费解了，而最让人糊涂的其实并不是公式推导，而是如果把这些公式和你脑子里空间构想联系起来。我本人就是上述问题的受害者之一。我翻阅了很多关于SVM的书籍和资料，但没有找到一份材料能够在公式推导、理论介绍，系统分析、变量说明、代数和几何意义的解释等方面完整地对SVM加以分析和说明的。换言之，对于普通的一年级非数学专业的研究生而言，要想看懂SVM需要搜集很多资料，然后对照阅读和深入思考，才可能比较透彻地理解SVM算

法。由于我本人也在东北大学教授面向一年级硕士研究生的《模式识别技术与应用》课程，因此希望能总结出一份相对完整、简单和透彻的关于SVM算法的介绍文字，以便学生能够快速准确地理解SVM算法。以下我会分为四个步骤对最基础的线性SVM问题加以介绍，分别是1）问题原型，2）数学模型，3）最优化求解，4）几何解释。我尽可能用最简单的语言和最基本的数学知识对上述问题进行介绍，希望能对困惑于SVM算法的学生有所帮助。SVM算法要解决什么问题SVM的全称是Support Vector Machine，即支持向量机，主要用于解决模式识别领域中的数据分类问题，属于有监督学习算法的一种。SVM要解决的问题可以用一个经典的二分类问题加以描述。如图1所示，红色和蓝色的二维数据点显然是可以被一条直线分开的，在模式识别领域称为线性可分问题。然而将两类数据点分开的直线显然不止一条。图1(b)和(c)分别给出了A、B两种不同的分类方案，其中黑色实线为分界线，术语称为“决策面”。每个决策面对应了一个线性分类器。虽然在目前的数据上看，这两个分类器的分类结果是一样的，但如果考虑潜在的其他数据，则两者的分类性能是有差别的。图1 二分类问题描述SVM算法认为图1中的分类器A在性能上优于分类器B，其依据是A的分类间隔比B要大。这里涉及到第一个SVM独有的概念“分类间隔”。在保证决策面方向不变且不会出现错分样本的情况下移

如何零基础入门数据分析

如何零基础入门数据分析随着数据分析相关领域变得火爆，最近越来越多的被问到：数据分析如何从头学起？其中很多提问者都是商科背景，之前没有相关经验和基础。我在读Buisness Analytics硕士之前是商科背景，由于个人兴趣爱好，从大三开始到现在即将硕士毕业，始终没有停下自学的脚步。Coursera和EDX等平台上大概上过20多门网课，Datacamp上100多门课里，刷过70多门。这篇文章是想谈一谈个人的数据分析学习经验，希望对想要入门这个领域的各位有帮助。 1. 基本工具学习数据分析的第一步，是了解相关工具 Excel excel至是最基础的数据分析工具，至今还是非常有效的，原因是它便于使用，受众范围极广，且分析结果清晰可见。相信大多数人都有使用excel的基本经验，不需要根据教材去学习了。重点掌握：基本操作的快捷键；函数：计算函数、if类、字符串函数、查找类(vlookup 和match)，一定要熟悉函数功能的绝对和相对引用；数据透视表功能等。另外，excel可以导入一些模块来使用，典型的包括数据分析模块，作假设检验常用；规划求解，作线性规划和决策等问题非常有效。利用这些模块可以获得很不错的分析报告，简单且高效。 SQL 数据分析的绝对核心！大部分数据分析工作都是对数据框进行的，在这个过程中，需要不断的根据已有变量生成新变量、过滤掉一些样本还有转换level。

SQL的设计就是为了解决这些问题。其他常用的数据操作工具，包括R语言的数据框、Python里的pandas，基本都是借鉴了SQL的思想，一通百通。 SQL入门容易，它的语法极其简单，基本可以说上过一门相关的课或看过一本相关的书就可以了解大概，但融会贯通并能够进行各种逻辑复杂的操作，就需要长时间的锤炼了。 SQL的学习建议，随便找一本书或者网课就好，因为主流的课程基本都是一个思路：先讲SELECT、WHERE、GROUP BY(配合简单的聚合函数)、ORDER BY这类单表操作，之后讲JOIN进行多表连接。除此之外，必会的基本技能还应该包括WINDOW FUNCTION和CASE WHEN等等。学了基本的内容之后，就是找项目多练，不断提升。 R/Python 熟练SQL之后，对数据操作方面的内容就得心应手了。接下来更复杂的问题，如搜索和建模，则需要使用编程语言。 R vs Python 目前最主流的数据分析编程语言就是R和Python，网上遍是关于这两者的争论，有兴趣的可以简单看一下，但不用陷入过度的纠结。我个人的经验来看，熟练两者其中的任何一个都可以胜任数据分析中的大部分工作，不存在某一个语言有明显缺陷的情况。这里不想大篇幅的比较两者，但是想简单的说一下两者的侧重点： R语言是为了解决统计问题而设计的，因此它有一个很人性化的地方：最大程度的简化语言，从而让分析人员忽略编程内容，直面数据分析。也因为是统计语言，很多基本的统计分析内容在R里都是内置函数，调用十分便捷。此外，R

2014年4月自考概率论与数理统计二02197试题含答案

2014年4月高等教育自学考试全国统一命题考试概率论与数理统计（二）试题和答案评分课程代码：02197 本试卷满分100分，考试时间l50分钟。考生答题注意事项： 1.本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。 2.第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用28铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。 3.第二部分为非选择题。必须注明大题号，使用0.5毫米黑色字迹签字笔作答选择题部分一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1．掷一颗骰子，观察出现的点数．A 表示“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则正确答案：B A.A B ? B.A B ? C.B A ? D.A B ? 2．设随机变量X 的分布函数为F (x )，则事件{a

10月概率论与数理统计(经管类)试题及答案

全国2010年10月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题课程代码：04183 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A 与B 互不相容，且P （A ）>0,P (B )>0，则( ) (事件的关系与运算） A.P (B |A )=0 B.P (A |B )>0 C.P (A |B )=P （A ） D.P (AB )=P (A )P (B ) 解：A 。因为P （AB ）=0. 2.设随机变量X ～N (1，4)，F (x )为X 的分布函数，Φ(x )为标准正态分布函数，则F (3)=( ) A.Φ(0.5) B.Φ(0.75) C.Φ(1) D.Φ(3) (正态分布）解：C 。因为F(3)=)1()2 1 3( Φ=-Φ 3.设随机变量X 的概率密度为f (x )=???≤≤, ,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21 =( ) A.4 1 B.3 1 C.21 D.4 3 (连续型随机变量概率的计算）解：Ａ。因为P {0≤X ≤}21 4 12210 = = ? xdx 4.设随机变量X 的概率密度为f (x )=?? ??? ≤≤-+, ,0 , 01,2 1其他x cx 则常数c =( ) A.-3 B.-1 C.-2 1 D.1 解：D.（求连续型随机变量密度函数中的未知数）由于1)(=?+∞ ∞-dx x f

112121212 1 21)(0 120 1=?=-=??????+=+=--∞ +∞ -?? c c x cx dx cx dx x f 5.设下列函数的定义域均为（-∞，+∞），则其中可作为概率密度的是( ) A. f (x )=-e -x B. f (x )=e -x C. f (x )=||-e 2 1 x D. f (x )=||-e x 解：选Ｃ。（概率密度函数性质） A ．0<--x e 不满足密度函数性质由于1)(=?+∞ ∞ -dx x f ，B 选项∞=-=+∞∞ --+∞ ∞ --?x x e dx e Ｃ选项1212210 0| |||=-===+∞-+∞-+∞-+∞ ∞--???x x x x e dx e dx e dx e Ｄ选项2220 | || |=-===+∞ -+∞ -+∞ -+∞ ∞ --???x x x x e dx e dx e dx e 6.设二维随机变量（X ，Y ）～N （μ1,μ2，ρσσ,,222 1），则Y ～( )（二维正态分布） A.N （2 11,σμ） B.N （221,σμ） C.N （212,σμ） D.N （222,σμ）解：D 。 7.已知随机变量X 的概率密度为f (x )=?? ?? ?<<, ,0, 42,21 其他x 则E (X )=( ) A.6 B.3 C.1 D.2 1 解：B 。)4,2(~U X ,32 )(=+=b a X E 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～B (16，0.5)，Y 服从参数为9的泊松分布，则D (X -2Y +3)=( ) A.-14 B.-11 C.40 D.43（常见分布的方差，方差的性质）解：C 。

考研线性代数强化阶段学习建议

考研线性代数强化阶段学习建议 [摘要]下面是凯程考研特辅导名师为大家整理总结的考研线性代数强化阶段学习建议，分享给各位备考考研的考生们，供大家参考！祝愿各位考生都能在强化复习阶段顺利，考研成功！在一张考研数学试卷中，线性代数这一学科所占的分值为34分，通常由两道选择题、一道填空题(每道题4分)、两道解答题(每道题11分左右)组成，通过强化阶段的学习，我们的目标是至少可以拿到30分。整个线性代数的课程可以分为六个章节：行列式、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、二次型。为了说明每个章节的学习重心，我们将近十年的考研数学试卷(包括数学一、数学二和数学三)做了一个统计，得到了每个章节的题量和分值分布。 (1)行列式。近十年的试卷中，直接考查行列式的有6道题，共24分。首先，从题量上看，直接考察行列式的题目出现的频率是比较低的，不是每年都考，但是，行列式与后续各个章节都有联系，所以，更多的是以间接方式考查。其次，从平均分上看，多以选择或填空题的形式考查。 (2)矩阵。近十年试卷中，考查矩阵的有19道题，共84分。从题量上看，矩阵这块是每年必考题，从平均分上看，也是多以选择或填空题的形式考查。行列式与矩阵对应教材上的前四个模块，这两部分的内容都是以小题为主，这类题目的特点是：计算量不大，重在理解思想方法，所以，在上课的时候，学生应该是以听课为主;但是，与行列式相比，矩阵这一块的考点更多一些。 (3)向量。近十年来，向量共考了17道题，占110分。从平均分上看，从向量开始出现解答题。而线性代数的解答题有两个特点，一个是比较综合，比如，向量这块的题目可能会综合了行列式、矩阵以及后面的线性方程组、秩的相关知识;另一个是计算量比较大。所以，在学这一部分的知识时，首先要把基础知识学好，另外，需要动手计算、多练习。 (4)线性方程组，共考了16道题，占135分。从平均分上看，这部分的题以解答题为主。而且，线性方程组是线性代数其半部分内容的理论核心，这部分的题目比较综合，而且计算量大。 (5)特征值与特征向量，考了22道题，占192分。这部分无论是题量还是分值，都是最多的，形式以解答题为主，计算量也是最大的。 (6)二次型，考了14道题，占88分。这部分考题也是以小题为主，但也会考解答题，特别是最近几年，二次型这块出解答题的可能性越来越大。

2016年10月自考概率论与数理统计(二)(02197)试题及答案解析

2016年10月高等教育自学考试全国统一命题考试概率论与数理统计(二) 试卷 (课程代码 02197) 本试卷共4页，满分l00分，考试时间l50分钟。考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。4．合理安排答题空间，超出答题区域无效。第一部分选择题(共20分) 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1．设A与B是两个随机事件，则P(A-B)= 2．设随机变量石的分布律为 A．O．1 B．O．2 C．O.3 D．0．6 3．设二维随机变量∽，n的分布律为且X与y相互独立，则下列结论正确的是 A．d=0．2，b=0,2 B．a=0-3，b=0．3 C．a=0．4，b=0．2 D．a=0．2，b=0．4 4．设二维随机变量(x，D的概率密度为 5．设随机变量X～N(0，9),Y～N(0，4)，且X与Y相互独立，记Z=X-Y，则Z～

6．设随机变量x服从参数为jl的指数分布，贝JJ D(X)= 7．设随机变量2服从二项分布召(10,0．6)，Y服从均匀分布U(0.2)，则E(X-2Y)= A．4 B．5 C．8 D．10 8．设(X,Y)为二维随机变量，且D(．固>0，D(功>0，为X与y的相关系数，则第二部分非选择题(共80分) 二、填空题(本大题共l5小题，每小题2分，共30分) 11．设随机事件A，B互不相容，P(A)=0．6，P(B)=0．4，则P(AB)=_______。 12．设随机事件A，B相互独立，且P(A)=0．5，P(B)=0．6，则=________。13．已知10件产品中有1件次品，从中任取2件，则末取到次品的概率为_____．14．设随机变量x的分布律为，则常数a=_______． 15．设随机变量石的概率密度,X的分布函数 F(x)=_________. 16．设随机变量，则_______． 17．设二维随机变量(X，Y)的分布律为 18．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为分布函数f(x,y),

数学零基础到数三144分——我的经验与心得

先做一下自我介绍，本科文科类，一战跨考经济类，没有报辅导班，数学144。很早就在想如果有机会成功，我一定要写出自己的体会，以供后来人参考。可以说今年的数三并不难，144并不算太高的分，我的东西也不能尽信，大家作为参考就好。以下主要分三块随便谈谈。一、关于教材数学基础不太好的不能直接上考研辅导书。一定要好好看看几本基础教材，如高等数学（同济版）、线性代数（同济版）、概率统计（浙大版）。其中很多内容是数三不要求的，大家可以下载11年的数三大纲对着复习，以前也有专门划出范围的帖子。考研的辅导教材我都用的最常规的，可见用什么书并不重要，关键是要好好利用。用公认的书有这一点好处，不用去担心自己书的内容是不是不够好、偏门等等，然后想换书。李永乐老师的《复习全书》，怎么说呢，这本书500多页，第一遍啃是很痛苦的，我每天只能10页。都说它很基础，但是我并不觉得，而且对于考研来说，这本书完全够了。很多例题很有难度，我第三遍都还啃不下来，这种题考研也是明显不会考的，但是对自己的要求要高一点，一定要动笔做，要求自己理解，做难一点的题对锻炼思维很重要。后面的习题还好，比例题简单，但是第一遍做仍然有我不会的。总的来说，高数的题我自己能解决的可能是60%左右，线代概率80%吧。《基础过关660》也是李永乐老师的，很多人说没必要专门练选择填空，但是我觉得反正选择填空做来快就买来练了，我觉得这书很不错。之后模拟真题时，选择填空都能40分钟左右搞定，每次也最多错一两个吧。《历年真题详解》还是李永乐老师的。这书可以说分两部分吧。一部分是套题，也就是按年份编的，大家可以用来模拟。它的答案解析又是按专题编的，也就是说你模拟完套题要对答案要按照题目下面的页码翻。虽然有点麻烦，但是这样的好处是，在你第二遍做真题时，按着答案解析的专题做，你能知道这一个知识点有哪些题型，自己需要掌握到什么程度、掌握哪些题型。《经典400题》仍然永乐大帝，这本书有点难，其实我现在都不知道这本书对我的帮助到底有多大。计算量很大，但是题目的解题方法并不奇怪，我做题挺慢，没有掐时间严格模拟，每套题都用4小时左右做吧。平均分110多，4套120多。要说对我有帮助也只是在思维的训练上吧。《陈文灯15题》我只做了4套，怎么说呢，简单的题太简单了，难的题很难下笔，高数大题难题不少，而且明显是考研题不可能考查的，线代和概率太常规，好像有两套是130多。比400题简单一点，但是同样跟真题差距大。《合工大最后五套题》由于前面3套没有答案，我就做了4、5两套，总的感觉是很新颖、很灵活，跟真题很接近，考查内容差不多，题型分布也差不多，但是比真题稍难。二、时间安排

零基础数学应该怎么学高数

零基础数学应该怎么学高数 1、数学基础要打牢 MBA数学考试不像高考更不像奥数，要考察某一知识点的延伸，通过研究近几年的真题可以发现，试卷中的大多数题目都是对大纲知识点的直接考察。所以大家一定要把基础打牢，不要盲目追求深度，力争把基础分都拿到。如果连基础分都拿不到，难度分再没搞利索，那就得不偿失了。那么如何打好数学基础呢?首先要通读教材，整理出大纲要求的知识点，形成知识网络，便于记忆;其次是深究各个知识点，对定义及用法着重分析。最后是对知识点进行融会贯通，通过做习题来巩固。 2、不同阶段，习题量应有所调整一提起数学，很多人就会想起题海战术，题是需要做，但什么时候做，做多做少都是有讲究的。刚开始复习，基础又不是很好，应该以理论理解为主，先把相关概念弄清楚，可以用少量的习题来辅助理解。习题的选择也要注意，选择一些有针对性的习题来做，真正做到一个题消化一个知识点。切忌一开始就以做题为主，不但会经常做错，打击信心，还得不到效果，浪费大量的时间。基础打牢之后习题就要多做了。通过做大量的习题来消化和巩固知识点，了解试题考查的维度，熟悉出题规律，另外，还要注意锻炼答题速度。在保证准确性的基础上，还要提高速度，确实不是一件容易的事，必须通过大量的练习来实现。 3、合理规划复习时间并严格执行有的小伙伴们特别随便...... 没有一个严格的学习计划，想学了就学点......不想学就就去干别的......甚至学着后面的望着前面的......还有的考生复习之前有一个计划，但一到真正实施就管不住自己了，总是不能保质保量的

完成任务。当然，我们也不建议完全脱产学习，但不对自己残忍就是对竞争对手的仁慈，要用对待阶级敌人的态度对待学习任务。 4、心态(老话长谈，但一定要说) 现在大家工作生活上的压力都比较大，每个人在MBA复习过程中都会遇到一些困难，情绪上也会出现波动。适当聊聊天喝喝茶散散步是百试不爽的，实在没人聊可以找加油菌，总之要把自己的负面情绪发泄出来。一、背数学我曾经有一位学生数学成绩一塌糊涂，甚至都想放弃数学，去参加不要求数学成绩的院校招生。直至一天他想到“背数学”的学习方法，他写到：这个技巧是：不懂的问题，直接看解答，先背起来再说。如此一来，一题一般只要5分钟便背下来，从量来看，可以追赶得上成绩好的同学。各位猜猜看看，从开始背数学后，她的成绩变好了吗?结果是，她的成绩进步神速，高中三年级时，数学模拟考试成绩还进入全国排名，并应届考上东京大学医学院。比她小一岁的弟弟采用了此方法，也成为该校创校以来第二位应届考入东京大学文学院的学生。无独有偶，1995年北京市文科状元、北京大学段楠同学，也有类似的经历。她在北京四中读书时，高二第一学期期末考试只列上第30名，而且数学还没及格。那么，她是如何把数学成绩提上来的呢?她说：学习数学有一个自己的小窍门，不一定对每个人有用，说出来仅供参考：如果能学好数学是背例题背出来。不采用题海战术，但是从每种类型的题中找出一两道典型题“背”过一两次，理解之后，再看到难题就会拿着例题往里套了。二、教材试卷化，试卷教材化

2014年10月全国自考概率论与数理统计

2014年10月全国自考概率论与数理统计（经管类）试题课程代码 04183 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）BCACD BBACB 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 11.1/2 12.0 13.0.5 14. P(A)+P(B)-2P(AB) 15. b=6或 16. 17.N（1, 0.8） 18. 19. 20. 21. 22.掷三次，至少出现一个正面 23.5 24. 25.2 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

26.解：因为X服从区间[0，1]上的均匀分布，所以，又Y服从参数为1的指数分布，所以，由协方差性质知，当X与Y相互独立时，cov（X,Y）=0，又cov（X,Y）＝E（XY）－E（X）E（Y），所以，。 27. 已知样本容量n=9，1-σ=95%，σ=0.05，所以，将样本容量n=9，代入上式，得所以，该项指标均值的所求置信区间为 [56.93-0.715,56.93+0.715]=[56.215,57.645] 四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 28.设随机事件A1，A2，A3相互独立，且P（A1）＝0.4，P（A2）＝0.5，P（A3）＝0.7. 求：（1）A1，A2，A3恰有一个发生的概率；（2）A1，A2，A3至少有一个发生的概率. 『正确答案』分析：本题考察事件的概率的求法。解：（1）事件“A1，A2，A3恰有一个发生”表示为

又事件A1，A2，A3相互独立，则所求概率为＝0.4（1－0.5）（1－0.7）＋（1－0.4）0.5（1－0.7）＋（1－0.4）（1－0.5）0.7 ＝0.36 所以，A1，A2，A3恰有一个发生的概率为0.36. （2）事件“A1，A2，A3至少有一个发生”的对立事件是“A1，A2，A3全不发生” 所以，P（“A1，A2，A3至少有一个发生”）＝1－P（A1，A2，A3全不发生）＝1－（1－0.4）（1－0.5）（1－0.7）＝0.91 所以，A1，A2，A3至少有一个发生的概率为0.91 解：（1）由二维随机变量（X，Y）的分布律得 X的边缘分布律为 Y的边缘分布律为