深度学习中的基础线性代数-初学者指南_光环大数据培训

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上过Jeremy Howard的深度学习课程后，我意识到我在线性代数方面的不足，而这大大影响我对类似反向传播这样的概念的理解。因此我决定在这个方面花点时间，以补全这方面的知识。本文是对线性代数的基本介绍，用于深度学习中会使用到的一些常见的线性代数操作。

什么是线性代数？

在深度学习的背景下，线性代数是一个数学工具，它提供了有助于同时操作数组的技术。它提供了像向量和矩阵（电子表格）这样的数据结构用来保存数字和规则，以便进行加，减，乘，除的运算。

线性代数为什么有用？

线性代数可以将复杂的问题简单化，让我们能够对问题进行高效的数学运算。以下是线性代数如何达到这些目标的一个例子。

# Multiply two arrays x = [1,2,3]y = [2,3,4]product = []for i in range(len(x)): product.append(x[i]*y[i])# Linear algebra versionx = numpy.array([1,2,3])y = numpy.array([2,3,4])x * y

初始化这两个数组后，用线性代数的方法会快3倍。

如何在深度学习中使用线性代数？

神经网络将权重存储在矩阵中。线性代数使矩阵运算变得更加快捷简便，尤其是在GPU

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上进行训练的时候。实际上，GPU是以向量和矩阵运算为基础的。比如，图像可以表示为像素数组。视频游戏使用庞大且不断发展的矩阵来产生令人炫目的游戏体验。GPU并不是处理单个像素，而是并行地处理整个像素矩阵。

向量

向量是1维数组。在几何中，向量将大小和方向的潜在变化存储到一个点。例如，向量[3，-2]表示向右移3个单位距离和向下移2个单位距离。而具有多个维度的向量称为矩阵。

向量表示

我们可以以不同的方式来表示向量。这里有几个常见的表示方式。

几何中的向量

向量通常表示从一个点出发的运动。它们将大小和方向的潜在变化存储到一个点。向量[-2,5]表示左移2个单位，向上5个单位。参考资料。

向量可以应用于任何空间点。向量的方向就是向上5个单位和向左2个单位的斜线，它的大小等于斜线的长度。

标量操作

标量运算涉及向量和某个数字。我们可以通过对向量中的所有项进行加，减，乘，除操作来对其进行修改。

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Scalar addition

元素操作

在诸如加法，减法和除法的元素操作中，相应位置的值被重新组合以产生新的向量。向量A中的第一个值与向量B中的第一个值配对。第二个值与第二个值配对，依此类推。也就是说，这两个向量必须有着相同的尺寸，才能完成元素操作*。

Vector addition

y = np.array([1,2,3])x = np.array([2,3,4])y + x = [3, 5, 7]y - x = [-1, -1, -1]y / x = [.5, .67, .75]

*请参阅下面关于numpy 中的broadcasting方法详细信息。

向量乘法

向量乘法有两种类型：点积和Hadamard乘积。

点积

两个向量的点积是一个标量。向量和矩阵的点积（矩阵乘法）是深度学习中最重要的操作之一。

y = np.array([1,2,3])x = np.array([2,3,4])np.dot(y,x) = 20

Hadamard乘积

Hadamard乘积是元乘法，它的输出是一个向量。

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y = np.array([1,2,3])x = np.array([2,3,4])y * x = [2, 6, 12]

向量场

如果我们对一个点（x，y）应用一个加法或乘法的向量函数，向量场则表示了该点可能会移动多远。给定空间中某一个点，向量场显示了图中各个不同点可能的变化力度和方向。

参考

向量场是非常有趣的，因为它根据不同的起点可以向不同的方向移动。这是因为向量场背后的向量存储着2x或x2这样的函数关系，而不是像-2和5这样的标量值。对于图上的每个点，我们将x值代入2x或x2，并从起始点绘制箭头指向新的位置。向量场对于类似梯度下降(Gradient Descent)这类的机器学习技术的可视化是非常有用的。

矩阵

矩阵是数字或字符的矩形网格（如Excel表格），并具有加，减，乘等运算规则。

矩阵维度

我们用列和行来描述矩阵的维度。

a = np.array([ [1,2,3], [4,5,6]])a.shape == (2,3)

b = np.array([ [1,2,3]])b.shape == (1,3)

矩阵标量运算

矩阵的标量运算与向量一样。简单地将标量应用于矩阵中的每个元素进行加，减，乘，除等操作。

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Matrix scalar addition

矩阵单元操作

为了对两个矩阵进行加，减或除法，它们必须具有相等的维度。*我们以元素组合的方式产生对应的值，得到新的矩阵。

a = np.array([ [1,2], [3,4]])

b = np.array([ [1,2], [3,4]])a + b[[2, 4], [6, 8]]a — b[[0, 0], [0, 0]]

Numpy 的broadcasting方法*

这是个不得不提的话题，因为它在实践中非常重要。在numpy中，元素操作的维度要求通过称为broadcasting的机制来扩展。如果每个矩阵（行与行，列与列）中的相应维度满足以下要求，则这两个矩阵是兼容的：

1.? ? ? ? 两个矩阵维度相等，或

2.? ? 一个矩阵的维度为1

a = np.array([ [1], [2]])

b = np.array([ [3,4], [5,6]])

c = np.array([ [1,2]])# Same no. of rows# Different no. of columns# but a has one column so this worksa * b[[ 3, 4], [10, 12]]# Same no. of columns# Different no. of rows# but c has one row so this worksb * c[[ 3, 8], [5, 12]]# Different no. of columns# Different no. of rows# but both a an

d c meet th

e # size 1 requirement rulea + c[[2, 3], [3, 4]]

但在更高的维度上（3维或4维），事情会变得有点奇怪，但是现在我们不用担心。了解二维上的操作是个很好的开始。

矩阵Hadamard乘积

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矩阵的Hadamard乘积是一个元素运算，就像向量一样。相应位置的值通过乘法运算来产生一个新的矩阵。

a = np.array([[2,3], [2,3]])

b = np.array([[3,4], [5,6]])# Uses python's multiply operatora * b[[ 6,

12], [10, 18]]

只要矩阵维度符合broadcasting要求，就可以用Numpy对矩阵和向量进行Hadamard乘积运算。

矩阵转置

神经网络经常处理维度不符合要求的矩阵。而矩阵转置提供了一种方法来“旋转”其中一个矩阵，以使其操作符合乘法要求。转置矩阵有两个步骤：

1. 矩阵旋转90°

2.反转每行元素的顺序（例如[a b c]变为[c b a]）

例如，将矩阵M转置为T：

a = np.array([ [1, 2], [3, 4]])a.T[[1, 3], [2, 4]]

矩阵乘法

矩阵乘法规定了一组对矩阵进行乘法运算，以产生新矩阵的规则。

规则

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并不是所有的矩阵都能进行乘法运算的。并且，对输出矩阵的维度也存在要求。参考资料

1.? ? ? ? 第一矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数

2.? ? M×N矩阵和N×K矩阵的乘积是M×K矩阵。新矩阵取第一个矩阵的行和第二个矩阵的列。

步骤

矩阵乘法依赖于点积与行列元素的各种组合。以下图为例(取自Khan学院的线性代数课程)，矩阵C中的每个元素都是矩阵A中行与矩阵B中列的点积。

操作a1·b1表示我们取矩阵A中第一行（1,7）和矩阵B中第1列（3,5）的点积。

这里是另一种方法：

为什么矩阵乘法以这种方式工作？

矩阵的乘法运算非常有用。但背后并没有太深奥的数学规律。之所以数学家发明了这种运算，完全是因为它简化了以前乏味的计算。这是一个人为的产物，但却非常有效。

用一下几个例子自我测试一下

矩阵乘法与Numpy

Numpy使用函数np.dot（A，B）进行向量和矩阵乘法运算。它有一些其他有趣的功能和问题，所以我希望大家能在使用前阅读一下相关文档。

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