江苏科技大学高数A1复习资料题
江苏科技大学高数A1复习题
江苏科技大学高数A1复习题（一）极限与连续1、设的定义域是，，则复合函数的定义域为2、当时，是等价无穷小，则3、4、设，则a ＝5、已知在＝0处连续，则＝6、是的第类间断点，且为间断点、7、若函数，则它的间断点是8、当时，下列变量中是无穷小量的有（）。
（A）（B）（C）（D）9、已知，且，那么（）（A）在处不连续（B）在处连续（C）不存在（D）11、设，则为（）（A） (B)(C)(D)不存在12、设，则当时，有（）（A）与是等价无穷小；（B）与是同阶但非等价无穷小；（C）是比高阶的无穷小；（D）是比低阶的无穷小。
13、当时，下列四个无穷小量中，哪一个是比另外三个更高阶的无穷小（）（A）；（B）；（C）；（D）。
14、求下列极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）15、设，试确定与的值，使在上处处连续。
16、设，讨论在其定义域内的连续性，若有间断点，指出其类型。
17、设在上连续，且，证明必存在，使。
（二）导数与微分一、导数的定义（1）存在，（2）函数在点处是否连续？是否可导？（3）函数处处可导，求、二、求下列函数的导数- （5）已知，求、（6）已知，求、（7）已知求、三、隐函数的导数下列各题中的方程均确定是的函数（1）求、（2）求曲线在点处的切线方程和法线方程、（3）求、四、利用取对数求导法求下列函数的导数五、求下列各函数的导数（其中可导）（1），求、（2）设，其中为常数，存在二阶导数，求、六、求参数方程的导数（1）（2），求一阶导数及二阶导数、七、求下列函数的微分（1）的微分。
（2）求隐函数的微分。
（三）中值定理与导数的应用1、下列结论中正确的有（）。
A 、如果点是函数的极值点，则有=0 ；B、如果=0，则点必是函数的极值点；C、如果点是函数的极值点，且存在，则必有=0 ；D、函数在区间内的极大值一定大于极小值。
2、函数在点处连续但不可导，则该点一定（）。
A 、是极值点B、不是极值点C、不是拐点D、不是驻点3、函数在其定义域内（）。
高等数学A(1)复习资料精选全文
可编辑修改精选全文完整版高数A （1）复习资料一、极限计算：常用方法包括等价无穷小替换，洛必达法则，两个重要极限。
解题思路：首先判断是否为未定式，否则化成未定式类型（特别注意幂指函数情形利用对数函数性质转化；加减法类型一般通分；如果无穷多项相加则要先求和，如果不能直接求和可能需要利用夹逼准则放缩后后再求和；），对于未定式类型先考虑利用等价无穷小替换后再利用洛必达法则。
注意：函数中如果出现幂指函数类型也可以考虑直接利用第二个重要极限处理，注意处理技巧。
如果出现变上限函数类型，注意变上限函数的导数如何计算，特别是上限为x 的函数，也就是积分上限函数为复合函数时求导要利用链式法则；如果积分上限函数被积函数不是积分变量的一元函数，则将其他变量提出到积分号外面，或者利用换元法化到积分限上。
常用等价无穷小：2~cos 1~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin 2x x x x x x x x x x -，，x x x e x x x αα~1)1(,~1,~)1ln(-+-+（0→x ）练习题：1． 设822lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ，则___________=a ； 2． ____________________arctan lim 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→x x x x ；3．=+→xx x sin 2)31(lim .4. 0tan sin lim sin x x x x x→-- 5. 0ln sin 5lim ln sin 2x x x →+ 6. 2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++ 7. 2220(1)limxtx x t e dtx-→+∞+⎰2220(1)1[lim]2xt xx t e dt xe →+∞+==⎰二、无穷小比较：高阶，同阶，等价的定义处理思路：转化为求极限问题，特别是同阶无穷小；注意如果分式极限存在，分母为无穷小量，则分子也一定为无穷小量。
高等数学a1期末考试题库及答案
高等数学a1期末考试题库及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个选项是函数f(x)=x^3-3x+1的导数？A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-3x+1D. x^3-3x答案：A2. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值是多少？A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B3. 以下哪个级数是收敛的？A. 1/n^2B. 1/nC. 1/n^(1/2)D. 1/n^(-1)答案：A4. 函数y=e^(-x)的不定积分是？A. -e^(-x)B. e^(-x)C. -e^xD. e^x答案：B5. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 1; 1 1]答案：B6. 计算二重积分∬(D) x*y dA，其中D是由x=0, y=0, x+y=1围成的区域，结果是多少？A. 1/8B. 1/6C. 1/4D. 1/2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的极小值点是______。
答案：-12. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是______。
答案：13. 矩阵A=[1 2; 3 4]的行列式det(A)是______。
答案：-24. 函数y=ln(x)的反函数是______。
答案：e^x三、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的二阶导数。
答案：f''(x)=12x^2-24x+122. 计算定积分∫(-2到2) (x^2-2x+1) dx。
答案：8/33. 证明函数f(x)=x^3在(-∞, +∞)上是增函数。
答案：略4. 计算二阶偏导数∂²z/∂x∂y，其中z=x^2y+y^2x。
答案：2x+2y四、证明题（每题10分，共10分）1. 证明对于任意实数x，不等式e^x ≥ x+1成立。
江苏科技大学高数答案汇总
习题一1.关于xoy 面对称点（a, b, -c ） 关于x 轴对称点：(a, -b,-c) 关于yoz 面对称点（-a, b, c ） 关于y 轴对称点：(-a, b,-c) 关于zox 面对称点（a, -b, c ） 关于y 轴对称点：(-a, -b, c) 关于原点对称点（-a, -b, -c ）2. 令所求点为p (x, 0, 0), 由题意3=， 得x= -2 或 x= -4 .3.(2a ,0, 0),(0,2a, 0), (2-,0, 0),(0, 2a -,0),(2,0, a), (0, 2a ,a), (2a -,0, a), (0, 2a -,a ), 4. 证：由空间两点间距离公式得 7AB =，BC =7AC =，即有AB AC =，222AB AC BC +=，故三角形ABC 为等腰三角形。
5. 232(2)3(3)u v a b c a b c -=-+--+-5117a b c =-+6. 1115D A BA BD c a =-=-- ， 类似可得225D A c a =--，335D A c a =-- ，445D A c a =--7.证：如右图所示，AM MC = , DM MB =AD AM MD MC BM BC =+=+= , AD BC与平行且相等，结论得证。
8.Pr cos(,)4cos 23u j r r r u π===9. 122M M == ，{}121,M M =- ，故11cos ,cos cos 22αβγ=-==，即23,,343πππαβγ===。
10. 434(358)3(247)(54)a m n p i j k i j k i j k =+-=+++-+-+- 13715i j k =++故a 在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7j 。
11.11a == ，则平行的单位向量为{}016766,7,6,,11111111a a a⎧⎫=±=±-=±-⎨⎬⎩⎭12. 向量a 的方向余弦为8912cos ,cos ,cos 171717αβγ===-，由题意有： 0{cos ,cos ,cos }{16,18,24}AB AB a AB αβγ===- ，令B 点坐标为(x,y,z), 即有：216,118,724x y z -=+=-=-,可得18,17,17x y z ===-。
高等数学复习题及参考答案
网络教育课程考试复习题及参考答案高等数学一、填空题：1.设2)(xx a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。
2.若2sin x x y x x <<=+≤<⎧⎨⎩-20102，则=)2(πy .3.极限limsinsin x x x x→=021。
4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a ,=b 。
5.已知0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(22y z y z x ϕ=+，其中ϕ可微，则yz∂∂= 。
7.设2e yz u x =，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则=∂∂)1,0(xu 。
8.设ϕϕ,),()(1f y x y xy f xz ++=具有二阶连续导数，则=∂∂∂y x z 2 。
9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为 和 。
10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则'y f =(1,0) 。
11.=⎰xdx x 2sin 212.[0,]cos ,sin y x y x π==在区间上曲线之间所围图形的面积为 。
13.若21d e 0=⎰∞+-x kx ，则k = 。
14.设Ｄ：221x y +≤，则由估值不等式得 ⎰⎰≤++≤Ddxdy y x )14(22 15.设D 由22,,,y x y x y y ====212围成（0x ≥），则(),Df x y d σ⎰⎰在直角坐标系下的两种积分次序为和 。
16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤，则Df dxdy ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为 。
17.设级数∑∞=+121n pn收敛，则常数p 的最大取值范围是 。
18.=+-+-⎰10 642)!3!2!11(dx x x x x 。
19.方程01122=-+-ydy xdx 的通解为 。
高等数学1(上册)试题答案及复习要点汇总(完整版)
承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
21 D. 21 C. 12 B. 21 A.)A (4 sin 1cos cos 22----+=⎩⎨⎧+=+=点处的法线斜率为上在对应曲线、πt t y t t x大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.=+→xx x sin 2)31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x x x f d cos )(则 .7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：10330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
江苏科技大学复习题答案
江苏科技大学《工程热力学》练习题参考答案第一单元一、判断正误并说明理由：1．错。
理想气体的热力学能是温度的单值函数，如果理想气体是定温吸热，那么其热力学能不变。
2．错。
压力表读数等于容器中气体的压力加上大气压力。
所以压力表读数发生变化可以是气体的发生了变化，也可以是大气压力发生了变化。
3．错。
系统处在稳定状态，而平衡状态要求在没有外界影响的前提下，系统在长时间内不发生任何变化。
4．错。
外界获得的技术功可以是正，、零或负。
5．错。
在郎肯循环基础上实行再热的主要好处是可以提高乏汽的干度，如果中间压力选的过低，会使热效率降低。
6．错。
因为水蒸汽的热力学能不是温度的单值函数，所以水蒸汽的定温过程中，加入的热量并不是全部用与膨胀做功，还使水蒸汽的热力学能增加。
7．对。
余隙容积的存在降低了容积效率，避免了活塞和气门缸头的碰撞，保证了设备正常运转，设计压气机的时候应尽可能降低余容比。
8．错。
在循环增压比相同吸热量相同的情况下，定容加热理想循环热效率比混合加热理想循环热效率高；但是在循环最高压力和最高温度相同时，定容加热理想循环热效率比混合加热理想循环热效率低。
9．错。
熵是状态参数，工质熵的变化量仅与初始和终了状态相关，而与过程可逆不可逆无关。
10．错。
湿空气是干空气与水蒸汽的混合物，据状态公理，确定湿空气的状态需要三个状态参数。
二、简答题：1.热力学第二定律可否表示为：机械能能完全转换为热能，而热能不能全部转换为机械能。
不可以。
机械能可以无条件地转化为热能，热能在一定条件下也可能全部转化为机械能。
2.试画出蒸汽压缩制冷简单循环的T-s图，并指出各热力过程以及与过程相对应的设备名称。
蒸汽压缩制冷简单循环的T-s图.1-2为定熵压缩过程，在压缩机中进行；2-3为定压冷凝过程，在冷凝器中进行；3-4发器中进行。
3. 用蒸汽作循环工质，其放热过程为定温过程，而我们又常说定温吸热和定温放热最为有利，可是为什么蒸汽动力循环反较柴油机循环的热效率低？考察蒸汽动力循环和柴油机循环的热效率时，根据热效率的定义121211T T q q t -=-=η知道，热效率的大小与平均吸热温度和平均放热温度有关。
14高数A期末一真题与答案
淮 海 工 学 院13 – 14学年第 二 学期 高等数学A （2） 期末试卷（A 闭卷）1．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1,0)，而点B 的坐标为(0,1,2)，则c o s AOB ∠= --------------------------------------------------------------------（A ）（A ）15 （B ）13 （C （D 2．2232(,)tan [(2)]f x y x y xy =-+，则(2,2)yy f =----------------------------------（D ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3. 3x yu ez +=-在点(0,0,3)-处的梯度为----------------------------------------------（B ）（A ）i j k +- （B ）3i j k +- （C ）3i j k ++（D ）33i j k ++ 4．二次积分4011(,)xdx f x y dy -⎰⎰的另一种积分次序为-----------------------（D ） （A ） 110(,)y dy f x y dx -⎰⎰（B）11(,)y dy f x y dx -⎰⎰（C ）1410(,)y dy f x y dx -⎰⎰（D ）1100(,)y dy f x y dx -⎰⎰5．2224()x y x y ds +=+=⎰-------------------------------------------------------------------------（D ）（A ）0 （B ） 4π （C ）8π （D ） 16π 6．设n u =则级数-------------------------------------------------------------------（C ）（A ）1nn n u ∞∞==∑与（B ）∑∞=1n nu与n ∞=都发散（C ）∑∞=1n nu收敛，而1n ∞=发散 （D ）∑∞=1n n u 发散，而n ∞=收敛7．设)(x f 是以π2为周期的周期函数，其在],(ππ-上的解析式为,0(),0x x f x x x πππ--<≤⎧=⎨-<≤⎩，若记)(x f 的傅里叶级数为()S x ，则(7)Sπ=------（C ） （A ）π-（B ）2π- （C ）2π （D ）π 8．x y y e -'=的通解为---------------------------------------------------------------------------（A ）（A ）x y e e C -= （B ）C e e y x =+- （C ）C e e y x =+-（D ）C e e yx =+ 二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1. 设(,)z f x y y x =，其中(,)f u v 可微，求,x y z z 以及x y xz yz +.解：12x u v z y f x yf --=----------------------------------------------------------------------------321y u v z xy f x f --=-+------------------------------------------------------------------------2 0x y xz yz +=.--------------------------------------------------------------------------------22．设D 由,y x y ==y 轴所围成，求D.解: :042D r πθπ≤≤≤≤----------------------------------------2 则原式221241)d r rdr ππθ-=+⎰--------------------------------------22120(1)(1)8r d r π-=++4π=.----------------------------------------33．取L 为2231x y +=的顺时针方向，用格林公式求3322()(23)3L x y dx x y dyx y -+++⎰.解：原式33()(23)Lx y dx x y dy =-++⎰------------------------------------------------------22231(21)Greenx y d σ+≤=-+⎰⎰----------------------------------------------------------------322313x y d σ+≤=-=⎰⎰.------------------------------------------------------------24．求11x y y x x '-=+的通解. 解： 11[]'1dx dx x xx ye e x--⎰⎰=+，则1()'1y x x =+----------------------------------------------4有ln(1)yx C x=++，-----------------------------------------------------------------------2 故[ln(1)]y x x C =++.---------------------------------------------------------------------1三、计算证明题（本大题8分）求曲面222236x y z ++=上点()1,1,1P --处的切平面I 的方程，并证明直线3:15x L y z -==+在切平面I 内. 解：记()222,,236F x y z x y z =++-，则(),,2x F x y z x '=，(),,4y F x y z y '=，(),,6z F x y z z '=-------------------------------2于是曲面在点P 处的法线向量为()()()(,,)(2,4,6)x y z n F P F P F P '''==----------1则切平面方程为()()()2141610x y z --+-+=，即2360x y z ---=，------ ---2直线L 的方向向量为(5,1,1)s =，由0n s ∙=，知n s ⊥，--------------------------------2 又直线L 上的点(3,0,1)-∈I ，则L 在切平面I 内.------------------------------------------1四、计算题（本大题８分）和建制造，乐在共享。
13高数A期末一真题与答案
第１页 共2页淮 海 工 学 院12 – 13 学年 第 二 学期 高等数学A （2） 期末试卷（A 卷）1．向量(1,1,0)a =，(0,1,1)b =-所成夹角为----------------------------（C ） （A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π2．2(,)(2)tan(23)f x y x y x y =+-+，则(,2)xx f x =--------------------------------（B ） （A ）1 （B ）2 （C ）x （D ）x 2 3. 3sin xu e y z =-+在点(0,0,1)-处沿下列哪个方向的方向导数最大--------（D） （A ）)1,1,0(- （B ）(0,1,1)- （C ）(3,1,1)- （D ）(3,1,1)- 4．二次积分1ln 10(,)x edx f x y dy ⎰⎰的另一种积分次序为----------------------（B ） （A ） 011(,)ye dyf x y dx -⎰⎰（B ）011(,)y e dy f x y dx -⎰⎰（C ）1(,)ye dyf x y dx -⎰⎰（D ）011(,)y edy f x y dx -⎰⎰5．设L 为椭圆2251x y +=，其周长为l ，则()(5)Lx y x yd s ++=⎰----------------（B ） （A ） 5l （B ） l （C ） （D ） 5l6．若级数1(65)nn p ∞=-∑收敛，则p 的取值范围是------------------------------------------（B ）（A ）(,2-∞ （B ）(2 （C ）(1,32) （D ）(32,)+∞ 7．若幂级数21(4)n nn a x ∞+=-∑在7x =处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（A ）（A ）3 （B ）9 （C ）11 （D ）1218．12xy C C e -=+是下列哪个微分方程的通解------------------------------------------（C ） （A ）0='-''y y （B ）0=-''y y （C ）0='+''y y （D ）0=+''y y二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 1．设(,)f u v 是二元可微函数，=(,)z f y x x y ，求+x y xz yz .解：21x u v y z f f x y =-+----------------------------------------------------------------------------2 21y u v xz f f x y=-----------------------------------------------------------------------------3故+0x y xz yz =.------------------------------------------------------------------------------22．求22xy De dxdy +⎰⎰D :2214x y ≤+≤.解: :02,12,D r θπ≤≤≤≤--------------------------------------------2 则原式2221r d e rdr πθ=⎰⎰----------------------------------------------22221r e dr π=⎰4()e e π=-.-----------------------------------------------------------33．设空间闭区域Ω{(,,)0x y z z =≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的内侧，用高斯公式计算3222()3()(1)xz dydz y z x dzdx z z dxdy ∑++-+-⎰⎰．解: 3222,3(),(1)P x z Q y z x R z z =+=-=---------------------------------------1Ω是半径为1的半球体 --------------------------------------------------------------------2 则 原式()xyz Pdydz Qdzdx Rdxdy P QR dxdydz ∑Ω=++=-++⎰⎰⎰⎰⎰-------------2dv Ω=-⎰⎰⎰23π=-． ---------------------------------------------------------------24．求解微分方程111y y x x'-=++． 解: 公式法， 11111[(1)]dx dx x x y e e dx C x-++⎰⎰=++⎰------------------------------------------3 ln(1)ln(1)1[(1)]x x e e dx C x+-+=++⎰------------------------------------------21(1)()x dx C x=++⎰(1)(ln )x x C =++．---------------------2第２页 共2页三、计算题（本大题8分）设方程0132=--xz y z 确定了),(y x z z =，求（1）)1,0,1(-dz；（2）曲面),(y x z z =在点)1,0,1(-处的切平面方程. 解: 令1),,(32--=xz y z z y x F则1)1,0,1(=-x F ，1)1,0,1(=-y F ，3)1,0,1(-=-z F ---------------------------------2（1）=-)1,0,1(dz dx F F z x )1,0,1()1,0,1(---)(31)1,0,1()1,0,1(dy dx dy F F z y +=----------------------2（2）切平面的法向量 )311(-=，，n--------------------------------------------2 切平面方程为 0)1(3)1(=+-+-z y x .----------------------------------------2 四、计算题（本大题8分）和建制造，乐在共享。
高等数学A1期末考试卷及解答.doc
题答要不名内姓线封密号学级班业专院学题答要不内线封密江苏科技大学08 － 09 学年（ 1）学期高等数学 A1 课程试题( A )卷题号一二三四五六七总分得分一．填空题 (每小题 4 分，共 20 分 )x ln 1 x1．limx2 _______________ ;x 0 e 112. 函数f x x x在区间 0, 上的最大值为 ____________3. 求顶点为A(1, 1,2), B(5, 6,2) 和 C(1,3, 1) 的三角形的面积为________4.反常积分1 dx ________x ln2e x5.设f ( x) 1 1 x21 1________2 f ( x)dx ,则 f ( x) dx1 x 0 0二、单项选择题 (每小题 4 分，共 20 分 )x sin x2的水平渐近线为（）．1.曲线y2xＡ． y 0; B．y 1 ；C．y 2 ；D．x 0．2. 下列极限正确的是（）。
1A limsin xB limsin x1; C lim x sin1 sin1; 1; D lim x 1x x x 0 2 x x x x 0 1x3 若 f ( x) 二阶可导，且f (x) f ( x) ，又当 x (0,) 时， f ( x) 0, f (x) 0 ，则曲线yf (x) 在 ( ,0) 内 ()(A)单调下降且凸 (B)单调下降且凹 (C) 单调上升且凸(D)单调上升且凹；4. 函数 y ex4 有界且至少有一实根的区间是 ( )(A)［0， 3］(B) ［1， 0］(C) ( ， 1) (D) ［ 2，4］5．下列函数中，在x 0 处连续的是（）1sin x, x 0（ A ） f xe x 2 , x0 （ B ） f xx0, x1, x 011（ C ） f xe x , x 0 （ D ）f x1 2 x x , x 00, xe 2 ,x 0三 .解下列各题 (3 6 分=18 分)x231. limsin 2 tdtxx 0t t sin t dt2．求曲线 sin( xy) ln( y x)x 上点 (0,1)处的切线方程x(t)te ucosudu，求d 2 2y, 其中3．设xt 2y(t)udx2e sin udu四 .解下列各题 (3 7 分=21 分)1.求不定积分x 2 ln( x 2 1)dx2.求定积分1x 3 1 x 2 dx3．求定积分2x 3 cosx sin 2xdx2 五． (本题 6 分)设 f ( x) 在［ 0， a ］上连续，在 (0， a)内可导，且 f (a) 0 ，证明存在(0, a) ，使f f ( ) 0六.(本题共 7 分)已知 : f (x)的一个原函数是ln( x 1 x2 ) ，求 xf ( x) dx, xf (x) dx七 .（本题共 8 分）（ 1）求由曲线 y ln x 与直线y 1所围成的封闭图形的面积（ 2）求上述图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的旋转体的体积 .高等数学 A1 课程试题（ A）卷参考答案及评分标准2008.12.28一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）11.1.2. e e；3. ；4. 1 ；5.252 4二、 . 单项选择题（每小题 4 分，共 20 分）1 (C) 2. (C) 3 (C) 4. (A) 5 (A)三 .解下列各题（每小题 6 分，共 18 分）31. 解原式 = lim 2 x sin2 x LLLLL3分2sin xx 0 x x= lim2 x3 LL4分 L L Lx 0x sin x=lim6x 2LL5分L L Lx 01 cos x= lim 6x212LLLLL6分x 01 x 222. 解: 等式两边对x求导y xyy 11.cos xyy x将点（ 0， 1）代入上式得 y(0,1)1切线方程为 yx 13 解 :. dx e t costL L LLL1分dtLLLLL1分LLL LL4分LLLLL5分LLLLL6分dy e tsin tL L LL L 2 分dtdydy e t sin t tan t L L L L L 4 分dxdt =e tcostdxdtd 2 ytantLLLLL5 分2dtudxdt 0 e sin udu= 1LLLLL 6 分e t cos 3 t四 . 解下列各题 (3 7 分=21 分) 1. 解：原式 = ln x 21 d 1 x 331 x 3 ln x 22 x 4 2 dx3 1 1 x3= 1 3 ln x 2 1 2 x 4 1 13 x 3 1 x 2 dx= 1x 3 ln x 2 12x 2 1 dx2 1 2 dx 333 1 x= 1x 3 ln x 212 x3 2 x2arctan x C39 3 32. 解 法一: 令 x sin t t, 22原式 =2sin 3 t cos 2 tdt=2 (sin 3t sin 5 t) dt=2sin 3 tdt2sin 5 tdtLLLLL2分LLLLL4分LLLLL5分LLLLL6分LLLLL7分LLLLL2分LLLLL4分LLL LL5分2 4 2 6 分= - 5LLLLL3 3= 2LLLLL7分15解法二:令 1x 2 t, 则 x 2 1 t 2 , 2xdx 2tdt ;LLL LL2分1 t 2t t dt =1 2 dtLLLLL6分原式 =11 t2 t=1t 2 t 4 dt 01 1 2LLLLL7分3 5153解原式=2 x3 sin 2 xdx2cos xsin 2 xdxLLLLL4 分22=0+ 1 sin3x 2LLLLL6 分322LLLLL7分=3五本题6分证明 : 令 F x xf xLLLLL2分则由已知 F x 在 0,a 上连续、在 0,a 内可导、且 F 0 F a 0LLLLL4分据罗尔定理存在点 0, a , 使F 0，即 ff ( ) 0所以，原命题成立LLLLL6分六、本题 7 分 解由已知：f x dx ln x1 x 2Cf xln x 1 x 21x 2x1 fxx231 xfx dx xdf x= xf x f x dx=x ln x 1x 2C1 x 2xfx dx xdf x= xf x f x dx=x 21 Cx 231 x 21LLLLL1分LLLLL2分LLLLL3分LLL LL4分LLLLL5分LLLLL6分LLLLL7分七、（本题 8 分）1e y dy（1）面积 A= e y=e y 1 e y 10 0LLLLL1分=e e1（ 2）体积V x e1 dx e= e1e=1 ee1=ee1体积 V y e2 y dy= 1 2 y 1( e2 0 = [ 1 e22 2e1 ln2 xdxexln 2e ex 1 2 1 ln xdxe e12 e ee xln x 1 1 dxe e ee5 4e e1e 2 y dy1e 2 y 1)2011e 2 1 ]2LLLLL2分LLLLL4分LLLLL5分LLLLL7分=e2 e 22LLLLL8分。
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复习题（一） 极限与连续1. 设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=ϕ，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域为2. 当0→x 时，xaxx cos 3arctan 与是等价无穷小，则=a 3. ()()()=+-+∞→1761125632lim x x x x4. 设32lim()8nn n a n a→∞+=-，则a ＝ 5. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+=0,230,)1ln(2sin )(2x k x x x x xx f 在x ＝0处连续，则k ＝6. 0=x 是xy 1cos2=的第 类间断点，且为 间断点. 7. 若函数23122+--=x x x y ，则它的间断点是8. 当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。
（A ）x 1sin（B ）x x sin （C ）12--x（D ） x ln 9. 已知0()lim 0x f x x→=，且(0)1f =，那么（ ）（A ）()f x 在0x =处不连续 （B ）()f x 在0x =处连续 （C ）0lim ()x f x →不存在 （D ）0lim ()1x f x →=11. 设2()43x xf x x x+=- ，则0lim ()x f x →为（ ）（A ）12 (B)13 (C) 14(D)不存在12. 设232)(-+=xxx f ，则当0→x 时，有（ ）（A ）)(x f 与x 是等价无穷小； （B ）)(x f 与x 是同阶但非等价无穷小； （C ）)(x f 是比x 高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比x 低阶的无穷小。
13. 当0→x 时，下列四个无穷小量中 ，哪一个是比另外三个更高阶的无穷小（ ）（A ） 2x ； （B ） x cos 1-； （C ）112--x ；（D ） x x tan -。
14. 求下列极限（1）lim x →+∞（2） 30arcsin limsin x x xx→-（3） )1ln(sin tan lim30x x x x +-→ （4） 011lim()1x x x e →-- （5） tan 2lim(sin )xx x π→（6） 11cos0tan lim()xx x x-→（7） 0()lim1cos xt t x e e dt x-→--⎰（8） 1lim(1)tan2x x x π→-（9） 11lim ln x x x x x →- （10） )2211(lim 222nn nn n n ++++++∞→Λ15． 设1111arctan 0()110x xa be x f x x e x π⎧+⎪+≠⎪=⎨+⎪⎪=⎩，试确定a 与b 的值，使()f x 在(,)-∞+∞上处处连续。
16．设21()lim 1nn xf x x →∞-=+，讨论()f x 在其定义域内的连续性，若有间断点，指出其类型。
17. 设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0<<x f ，证明必存在)1,0(∈ξ，使ξξ=)(f 。
（二） 导数与微分一、导数的定义 （1）0()f x '存在，000()()limh f x ah f x bh h→+--（2）函数21cos 0()0 0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处是否连续？是否可导？（3）函数2()(1) 0x e x f x b x x α⎧≤=⎨->⎩处处可导，求,a b . 二、求下列函数的导数1ln tan lnsec22 (2)x x y y ==+（）-22(2(3)arctansin 4)1x y y x ==-（5）已知ln(y x =，求,y y '''. （6）已知2cos ln y x x =，求,y y '''.（7）已知21,n x y x e-=+求()n y .三、隐函数的导数下列各题中的方程均确定y 是x 的函数 （1）sin()1x yexy ++= 求,(0)y y ''.（2）求曲线322y y x +=在点(1,1)处的切线方程和法线方程. （3）tan()y x y =+ 求,y y '''. 四、利用取对数求导法求下列函数的导数2tan (1)(sin )1xx y y x x ==-五、求下列各函数的导数（其中f 可导） （1）(cos )cos ()y f x f x =+，求x y '.（2）设2()y f x b =+，其中b 为常数，f 存在二阶导数，求y ''. 六、求参数方程的导数（1） 02cos 2sin =⎩⎨⎧==t t t dx dyte y t e x ，求设 （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2，求一阶导数dx dy 及二阶导数22dx y d .七、求下列函数的微分（1）y =dy 。
（2）求隐函数x yxy e +=的微分dy 。
（三） 中值定理与导数的应用1、下列结论中正确的有（ ）。
A 、如果点0x 是函数()x f 的极值点，则有()0x f '=0 ；B 、如果()0x f '=0，则点0x 必是函数()x f 的极值点；C 、如果点0x 是函数()x f 的极值点，且()0x f '存在， 则必有()0x f '=0 ；D 、函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值。
2、函数()x f 在点0x 处连续但不可导，则该点一定（ ）。
.\A 、是极值点B 、不是极值点C 、不是拐点D 、不是驻点3、函数23++=x x y 在其定义域内（ ）。
A 、单调减少B 、单调增加C 、图形下凹D 、图形上凹4、设在区间(),a b 内()0f x '>,()0f x ''<,则在区间(),a b 内曲线()f x 的图形（ ）。
.A 沿x 轴正向下降且为凹的 .B 沿x 轴正向上升且为凹的 .C 沿x 轴正向下降且为凸的 .D 沿x 轴正向上升且为凸的5、曲线()311y x =--的拐点为（ ）。
().2,0A ().1,1B - ().0,2C - .D 不存在6、当()00>''<x f x x 时， ；当()00<''>x f x x 时，，则下列结论正确的是（ ）。
A 、点0x 是函数()x f 的极小值点；B 、点0x 是函数()x f 的极大值点C 、点（0x ，()0x f ）必是曲线()x f y =的拐点D 、点0x 不一定是曲线()x f y =的拐点7、当()00>'>x f x x时， ；当()00<'<x f x x 时，，则点0x 一定是函数()x f 的（ ）。
A 、极大值点B 、极小值点C 、驻点D 、以上都不对 8、设()f x 的导数在x =2连续，又2'()lim12x f x x →=--, 则A 、 x =2是()f x 的极小值点B 、 x =2是()f x 的极大值点C 、 (2, (2)f )是曲线()y f x =的拐点D 、 x =2不是()f x 的极值点, (2,(2)f )也不是曲线()y f x =的拐点.9、点(0,1)是曲线32y ax bx c =++的拐点，则( ). A 、 a ≠0，b =0，c =1 B 、 a 为任意实数，b =0，c =1 C 、 a =0，b =1，c =0 D 、 a = -1，b =2, c =110、设()y f x =为方程240y y y '''-+=的一个解，若0()0f x >，且0()0f x '=，则()f x 在0x 处（ ）A 、取得极大值 B 、取得极小值C 、在某邻域内单调增加 D 、在某邻域内单调减少 11、曲线32x y x =+的铅直渐近线是 。
12、函数221y x kx =++在1x =-处取得极小值，则k = 。
13、曲线422xy =在点（，）处的曲率为 ，曲线sin xy x e =+的弧微分为 。
14、函数()xf x xe =带皮亚诺余项的n 阶麦克劳林公式。
15、确定函数y=x-ln(1+x 2)的单调增减区间。
16、确定函数32()29123f x x x x =-+-的单调增减区间。
17、求函数arctan y x x =-的极值。
18、求曲线43341y x x =-+的凹凸区间与拐点。
19、求函数y=x 2e -x 在区间[-1,3] 上的最大值与最小值。
20、 判别曲线32)1()(x x x f -=的凹凸性，求拐点的坐标、极值，以及在[-1，1]上的最值。
21、铁路上 AB 段的距离为100 km ，工厂C 距A 处20 km ，AC ⊥AB ，要在AB 线上选定一点D 向工厂修一条公路，已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5，为使货物从B 运到工厂C 的运费最省，问D 点应如何选取？22、证明： 当1x ≥时,xxx x +≤-1212。
23、证明：π=++212arcsin arctan 2x xx 。
24、设)(x f 在],[b a 上二阶可导，0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f 。
证明（1）存在 ),(b a ∈ξ，使得0)(=ξf 。
（2）存在),(b a ∈η，使得0)(=''ηf 。
25、设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：存在 (,)a b ξ∈，使得()()()0f f g ξξξ''+=。
（四） 不定积分一、填空与选择：1. 函数()25x x f =的通过点()35,3的积分曲线为_____________________________.2. 若()x f 的导数是x sin ，则()x f 的所有原函数为_______________________________.3. 设某平面曲线经过点()0,1且曲线上每一点()y x P ,的切线斜率为22-x ，则此曲线的方程为____________________________.4. 已知()x f 的一个原函数是()21ln x x ++，则()⎰'dx x f x =______________________.5. 设()x x f 2tan sin 2='，则()x f =______________________________.6. 设()x x f ln =，则()⎰-'dx e e f xx=_________________________________.7.()()⎰'dx x f x x f ln ln =____________________.8. 设()()112112222+++++=++++x x CBx x A x x x x ，则()C B A ,,=________________.9. 下列函数不是21xx -的原函数的是_____________________.(A) ()12arcsin -x (B) ()x 21arccos - (C) xx-1arctan 2 (D) ()1ln 2-+x x 10. 设()1+='x e f x，则()x f 等于____________________________(A)C x x ++221 (B) C xe x + (C) C x +2 (D) C x x +ln 二、计算下列不定积分：11. ⎰-+-dx xx x 105211 12. ⎰++-dx xx x 344213. ⎰⋅dx x x x22sin cos 2cos14.⎰-dx ex x2 15. ⎰xdx x arctan 216. ⎰-dx xx 22917.⎰-dx xx 251 18. ⎰+dx x x 12 19.⎰dt t tsin20. ⎰xdx x 7sin 5sin 21. ⎰-dx xx 431 22. ()()⎰-+34211x x dx23.⎰xdx e x 2sin sin 24.()112>-⎰x x x dx 25. ⎰-dx x x 23126.⎰⋅xdx x 2cos 27. ⎰+12x xdx 28.⎰-dx ex 1229. ⎰+⋅dx xxx 23sin 1sin cos 30. ⎰+--dx x x x 12722 31. ⎰+-+dx x x x 521232.⎰+4xx dx三、综合题： 33. 设()xxx f sin =，求()⎰''dx x f x 34．设()xxe x f =，求()⎰'xdx x f ln35. 设()x F 为()x f 的一个原函数，当0≥x 时有 ()()x x F x f 2sin =，且()(),0,10≥=x F F 求()x f 36. 设Λ,3,2,tan ==⎰n xdx I n n ，（1）证明：21tan 11----=n n n I x n I （2）计算：⎰dx 4tan（五） 定积分1 计算dt t xxdx d )cos(sin cos 2⎰π 2 计算⎰⎰→xt x t x dttedt e 0202022)(lim3 计算⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=)1(21)1(1)(2x x x x x f 求dx x f )(20⎰4计算22ππ-⎰5计算dx x x ⎰+10241 6计算⎰-102dx xe x7计算dt t⎰+4118计算dx e e xx ⎰∞+-+019 计算 22311xxdx +⎰10 计算xx dxe ln 121+⎰11 计算xdx x arctan 10⎰12计算⎰-1121dx x13计算1212dx -⎰14 211()t f x dt I -==⎰设，求计算 2()[,]()()0,()1,()()bbaaf x a b f a f b f x dx xf x f x dx '===⎰⎰15. 若在上具有连续的导数，且又求3()(,)()()sin ,(),[0,),()f x f x f x x f x x x f x dx ππππ-∞+∞=-+=∈⎰16.设函数在内满足且计算17.设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导且0)(≤'x f ， ⎰-=xa dt t f ax x F )(1)(，证明在),(b a 内恒有0)(≤'x F18. 设)(x f 在],[a a -0>a 上连续，证明：⎰-+=⎰-aa a dxx f x f dx x f 0)]()([)( 并求积分：dx e x x ⎰+--4421sin ππ19设()f x 在[,]a b 上连续，且单调增加，证明()d ()d 2bba aa b tf t t f t t +≥⎰⎰20．设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且3414()(0)f x dx f =⎰．证明在(0,1)内存在一点c ，使()0f c '=．212320 01 () [0,1] ,:()() (a 0)2aa f x x f x dx xf x dx =>⎰⎰若函数在上连续证明。