第二章 结构可靠性的基本概念和原理 数学基础
数论的基本概念与定理
● 04
第四章 数论中的应用
数论在密码学中的应用
RSA算法
建立在数论概念 的加密算法
DiffieHellman密
钥交换
基于数论方法的 密钥协商协议
数论在编码理论 中的应用
编码理论是数论的一 个重要应用领域，利 用数论的知识可以设 计出高效的纠错编码 方案，确保数据传输 的完整性和可靠性。 通过数论的算法，可 以在数据传输过程中 实现对错误的自动校 正，提高数据传输的 安全性和效率。
经济学模型
许多经济学模型依赖于数 论原理的支持 为经济学家提供定量分析 的方法
总结
数论作为一门数学分支，不仅仅在理论研究中起 到重要作用，更在应用领域发挥着关键的作用。 从密码学到编码理论，从计算机科学到经济学， 数论的思想和方法贯穿其中，为各个领域的发展 和应用提供了坚实的基础。
● 05
第五章 数论中的经典问题
性陈述
费马陪定理
最简单的一个， 但也是最难证明
的
费马猜想
在证明了358年 后终于被安德鲁
·怀尔斯证明
费马定理的应用
费马定理在密码学、 编码理论等领域有着 广泛的应用。其中 RSA加密算法就是基 于费马小定理的原理 设计而成。费马定理 的应用不仅在理论研 究中有重要意义，也 在实际应用中发挥着 重要作用。
01 关于椭圆曲线的难题 02 尚未被证明 03 数论领域的难题
平凡解和非平凡解
数论中的方程和问 题
存在平凡解和非平凡解的 区分
解决难题的重要方 向
数学家们寻找非平凡解
数论中的重点问题
数论中的经典问题涉及到许多重要概念和定理， 如黄金分割比例、尼科彻定理、费马曲线猜想等。 这些问题不仅具有理论意义，还在实际生活中有 着重要的应用价值，值得深入研究和探讨。
结构可靠度分析基础和可靠度设计方法
结构可靠度分析基础和可靠度分析方法1一般规定1.1当按本文方法确定分项系数和组合值系数时，除进行分析计算外，尚应根据工程经验对分析结果进行判断并进行调整。
1.1.1从概念上讲，结构可靠行设计方法分为确定性方法和概率方法。
在确定性方法中，设计中的变量按定值看待，安全系数完全凭经验确定，属于早期的设计方法。
概率方法为全概率方法和一次可靠度方法。
全概率方法使用随机过程模型及更准确的概率计算方法，从原理上讲，可给出可靠度的准确结果，但因为经常缺乏统计数据及数值计算上的复杂性，设计标准的校准很少使用全概率方法。
一次可靠度方法使用随机变量模型和近似的概率计算方法，与当前的数据收集情况及计算手段是相适应的。
所以，目前国内外设计标准的校准基本都采用一次可靠度方法。
本文说明了结构可靠度校准、直接用可靠指标进行设计的方法及用可靠指标确定设计表达式中作用，抗力分项系数和作用组合值系数的方法。
1.2按本文进行结构可靠度分析和设计时，应具备下列条件：1具有结构极限状态方程；2基本变量具有准确、可靠的统计参数及概率分布。
1.2.1进行结构可靠度分析的基本条件使建立结构的极限状态方程和基本随机变量的概率分布函数。
功能函数描述了要分析的结构的某一功能所处的状态：Z>0表示结构处于可靠状态；Z=0表示结构处于极限状态；Z＜0表示结构处于失效状态。
计算结构可靠度就是计算功能函数Z＞0的概率。
概率分布函数描述了基本变量的随机特征，不同的随机变量具有不同的随即特征。
1.3当有两个及两个以上的可变作用时，应进行可变作业的组合，并可采用下列规定之一进行：（1）设m种作业参与组合，将模型化后的作业在设计基准期内的总时段数，按照顺序由小到大排列，取任一作业在设计基准期内的最大值与其他作用组合，得出m种组合的最大作用，其中作用最大的组合为起控制作用的组合；（2）设m种作用参与组合，取任一作用在设计基准期内的最大值与其他作业任意时点值进行组合，得出m种组合的最大作用，其中作用最大的组合为起控制作用的组合。
可靠性数学基础（ＰＤＦ）
解
P X (1) (1)
0.8413 0.1587 0.6826
P 2 X 2 (2) (2)
0.9772 0.0228 0.9544
P 3 X 3 (3) (3)
几个概念
极差
离差
方差
A max xi min xi
L xi E xi
D E xi E xi
D
标准差
协方差
2
cov xy E xi E xi yi E yi
基尼系数
例题
有一弹簧，其寿命t服从对数正态分布，即
lnt~N(13.9554，0.10352)。若将该弹簧在使用106
次载荷循环后更换，问其更换前失效的概率？若
要保证它的99%的可靠度，应在多少次载荷循环
之前更换？
解
ln t
F (t ) P T 10
ln106 13.9554
布的中心倾向；
σ：形态参数，σ的大小决定着正态分布的形状，表
征分布的离散程度；
正态分布：N(μ，σ2)
可靠性计算中常用的概率分布
当随机变量t为产品寿命时
f (t )
F (t )
1
2
t
0
e
1
2
( t 2)
2
e
( t 2)
2
0 t
2
2
R(t )
dt
0.9987 0.0013 0.9974
结构可靠度-体系可靠度
Pfi i
i 1,2,, m
其中， i 为第 i 个失效模式的可靠指标。
结构体系失效概率的宽界限为
m
max
1im
Pfi
Pfs
1 1 Pfi i1
结构体系可靠度
上式左端对应于 m 个失效模式完全相关的情形， 而右端对应于 m 个失效模式完全不相关的情形。
i
j
2
yi , y j , ij
dyidy j
其中：
2 yi , y j ij
2
1
1
2 ij
exp
1 2
yi2
2ij yi y j
1
2 ij
-----二维标准正态概率密度函数
结构体系可靠度
窄界限法估计结构体系失效概率的步骤： ⑴、确定各失效模式的可靠指标及相关系数矩阵； ⑵、计算各失效模式的失效概率和两两失效模式都
失效的概率； ⑶、估计结构体系失效概率的界限。
结构模糊可靠度
在工程结构设计与分析中，常常会遇到结构失 效界限不明确或失效准则不清晰的情况，如：在结 构变形验算时，结构变形到何种程度就不再适用并 没有明确的标准；对混凝土结构进行裂缝控制时， 裂缝宽度是多少才能使人有不良的感觉也是不尽明 确的等等。这些失效都有程度问题，应考虑结构失 效的程度，将结构失效准则不明确的事件作为一个 模糊事件。
该式实质上没有真正考虑各失效模式间的相关 性，所得的上下限较宽，只适于大致估计结构体系 的失效概率。
若： Pfi 1.0
则：
m
max
1im
Pfi
Pfs
i 1
Pfi
结构体系可靠度
结构可靠度分析与计算
ln R
1
2 S
S
1
2 R
ln（1 R2） ln（1 S2）
第一节 结构可靠度基本原理
当结构功能函数的基本变量不为正态分布或对数正态 分布时，或者功能函数为多个随机变量组成的非线性函数 时，可靠指标很难直接用包含基本变量统计参数的公式计 算。
第一节 结构可靠度基本原理
结构可靠度： 结构可靠性的概率度量
可靠概率: 失效概率:
结构能完成预定功能的概率（ps） 结构不能完成预定功能的概率（pf）
ps pf 1
失效概率pf 越小，结构的可靠性越高； 失效概率pf 越大，结构的可靠性越低。
习惯上以失效概率pf来度量结构可靠度。
第一节 结构可靠度基本原理
失效概率计算
已知R和S的联合概率密度函数为fRS（r，s），则结 构的失效概率为
p f P{Z 0} P{R S 0} fRS (r，s)drds rs
假定R、S相互独立，相应的概率密度函数为fR（r） 及fS（s），则有
pf
f（R r） f（S s）drds
[
0
s 0
f（R r）dr]
f（S s）ds
0
F（R s）f（S s）ds
rs
第一节 结构可靠度基本原理
或
pf
f（R r） f（S s）drds
[
r
f（S s）ds] f（R r）dr
rs
[1
0
r 0
f（S s）ds] f（R r）dr
[1
0
F（S r）]
f（R r）dr
式中 FR（）、FS（）——随机变量R、S的概率分布函数。
第一节 结构可靠度基本原理
数学基础到底是什么
数学基础到底是什么数学是一门独特的学科，它不仅仅是一系列公式和运算，更是一种思维方式，一种描述和解释世界的工具。
数学基础是指构成数学基础的各个分支和概念，这些基础概念是学习和理解更高级数学概念的基石。
本文将探讨数学基础的概念、重要性以及如何建立坚实的数学基础。
什么是数学基础数学基础由一系列基本概念、定义、定理和公理组成，这些构成了数学学科的基础结构。
数学基础可以分为以下几个方面：1.基本运算：加减乘除是数学最基本的运算，无论在何种数学领域，这些运算都是必不可少的。
2.基本概念：包括数学中的基本概念，例如整数、分数、小数等，这些概念是其他数学概念的基础。
3.初等代数：包括代数运算、方程、不等式等，是数学学科中最基础也是最广泛的一个分支。
4.几何：几何是研究空间和图形的学科，它包括点、线、面、体等基本概念，对于理解空间关系和图形性质非常重要。
5.微积分：微积分是研究变化和极限的数学分支，它包括导数、积分等重要概念，是自然科学和工程学科的重要基础。
数学基础的重要性建立牢固的数学基础对于学习和理解更高级的数学概念至关重要。
数学基础不仅仅是学习数学的前提，也是培养逻辑思维和解决问题能力的基础。
以下是数学基础的重要性所在：1.提高逻辑思维能力：数学是一门逻辑严谨的学科，通过学习数学基础可以提高逻辑思维和推理能力。
2.培养解决问题能力：数学基础不仅帮助我们理解基本概念和原理，更重要的是培养我们解决问题的能力，训练我们的思维方法。
3.为其他学科奠定基础：数学是其他自然科学领域的基础，建立坚实的数学基础可以让我们更好地理解物理、化学等学科。
4.提高综合分析能力：数学基础培养了我们的综合分析能力，可以帮助我们在各个领域做出更准确的决策。
如何建立坚实的数学基础要建立坚实的数学基础，需要经过系统的学习和不断的练习。
以下是一些建立数学基础的方法：1.理论学习：学习数学基础的理论知识，包括基本概念、定义、定理等，加深对数学基础的理解。
结构可靠度理论 第一章 绪论
第一章绪论第一节影响结构可靠性的不确定性及其分类为了某种使用目的而设计，在给定的环境条件下能够承受和传递可能发生的载荷作用，这种工程构造通常称为结构。
例如，钢、木、砖石、混凝土等建造的工业及民用建筑的承重结构；公路、铁路的桥梁、涵洞、港口工程的港口码头、河流及海岸筑的堤坝等工程结构；舰船和飞机的壳体、导弹的弹体及各种运载车辆这样一些军用及民用运动结构。
这些结构在其使用期内，承受设备、人群、车辆等动、静使用载荷，经受风雨、冰雪、日照等气象作用，经受波浪、水流、地震等自然作用，有的还要经受冲击、振动、过载和气动载荷等这样一些动载作用。
这些载荷作用，我们预先无法并且不可能完全确定它们。
结构可靠性就是研究结构在各种因素作用下的安全问题。
它的内容包括：结构的安全性、适用性、耐久性、可维修性、可贮存性及其组合。
对于结构可靠性，给出如下定义：结构在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的能力。
在结构工程中存在着大量的不确定性因素和信息，它们直接影响着结构的可靠性．从目前情况看，结构工程中的不确定性大致可分为以下几个方面：1.事物的随机性所谓随机性，是由于事件发生的条件不充分，使得在条件与事件之间不能出现必然的因果关系，从而导致在事件的出现上表现出不确定性，这种不确定性称为随机性.例如，我们逐年观测同一地区同一月份的平均风速．这平均风速与许多因素有关，如风向、风力及地面粗糙度等；这些因素是逐年变化的，因此平均风速也就逐年不一样．造成平均风速不同的因素虽然还可以断定，但产生这些因素的根源却往往是不可能确定的（条件不充分），以致我们并不能确切地预报平均风速值（平均风速的大小是随机的）．又例如，钢筋的强度试验，事先不能决定该试样出现什么强度数值，是随机的，但一经试验，这次试验的强度值就明确而不含糊，等等．研究这种随机性的数学方法主要有概率论、随机过程和数理统计.2.事物的模糊性事物本身的概念是模糊的，即一个对象是否符合这个概念是难以确定的，主要表现在客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”，也即“模糊性”。
可靠性工程师培训关键技能与知识的全面掌握
可靠性工程师培训关键技能与知识的全面掌握一、教学内容本节课的主题是可靠性工程师培训关键技能与知识的全面掌握。
我们将使用《可靠性工程》教材，重点讲解第二章至第四章的内容。
这包括可靠性基本概念、可靠性数学基础、可靠性模型和可靠性分析方法。
二、教学目标1. 学生能够理解可靠性基本概念，掌握可靠性数学基础。
2. 学生能够建立可靠性模型，进行可靠性分析。
3. 学生能够运用所学知识解决实际问题，提高产品的可靠性。
三、教学难点与重点重点：可靠性基本概念、可靠性数学基础、可靠性模型和可靠性分析方法。
难点：可靠性数学基础中的概率论知识，可靠性模型的建立和分析方法的运用。
四、教具与学具准备教具：PPT、黑板、粉笔。
学具：教材、笔记本、计算器。
五、教学过程1. 引入：通过讲解一个实际产品的故障案例，引出可靠性工程师的重要性和本节课的主题。
2. 讲解可靠性基本概念：介绍可靠性的定义、度量指标和提高产品可靠性的方法。
3. 讲解可靠性数学基础：包括概率论的基本概念和常用概率分布，以及如何应用这些知识进行可靠性分析。
4. 讲解可靠性模型：介绍常用的可靠性模型，如指数模型、威布尔模型等，并讲解如何建立和应用这些模型。
5. 讲解可靠性分析方法：包括故障树分析、马尔可夫分析等，并讲解如何运用这些方法解决实际问题。
6. 练习：让学生通过例题和随堂练习，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
六、板书设计板书内容主要包括可靠性基本概念、可靠性数学基础、可靠性模型和可靠性分析方法的结构图和关键步骤。
七、作业设计1. 作业题目：（1）根据给定的产品故障数据，计算可靠性指标。
（2）根据产品故障案例，建立可靠性模型，并分析其可靠性。
（3）运用故障树分析方法，分析一个复杂系统的可靠性。
2. 答案：（1）可靠性指标的计算结果。
（2）建立的可靠性模型和分析结果。
（3）故障树分析的结果。
八、课后反思及拓展延伸重点和难点解析一、教学内容本节课的主题是可靠性工程师培训关键技能与知识的全面掌握。
《工程机械可靠性》课件-第一章-可靠性概述
工程机械可靠性1981年4月12日首次发射，是美国第一架正式服役航天飞机；2003年2月1日，返航时解体。
哥伦比亚号机舱长18米，能装运36吨重的货物，外形象一架大型三角翼飞机，机尾装有三个主发动机，和一个巨大的推进剂外贮箱，里面装着几百吨重的液氧、液氢燃料。
它附在机身腹部，供给航天飞机燃料进入太空轨道；外贮箱两边各有一枚固体燃料助推火箭。
整个组合装置重约2000吨。
飞行时间7至30天，航天飞机可重复使用100次。
航天飞机集火箭，卫星和飞机的技术特点于一身像火箭：垂直发射进入空间轨道像卫星：在太空轨道飞行像飞机：大气层滑翔着陆是一种新型的多功能航天飞行器。
据宇航局的官员介绍，一架航天飞机可以反复使用75到100次，在美宇航局42年的载人飞行史上，航天飞机在返航时还未出现过事故。
原定2001年升空技术故障和航天飞机调配等原因发射日期一直被推迟到2003年1月16号“哥伦比亚”号此次飞行总共搭载了6个国家的学生设计的实验项目，其中包括中国学生设计的“蚕在太空吐丝结茧”实验。
外部燃料箱表面脱落的一块泡沫材料击中航天飞机左翼前缘的名为“增强碳碳”（即增强碳-碳隔热板）的材料。
当航天飞机返回时，经过大气层，产生剧烈摩擦使温度高达摄氏1400度的空气在冲入左机翼后融化了内部结构，致使机翼和机体融化，导致了悲剧的发生。
可靠性技术的发展与应用1964年人造卫星III号因机械故障而损坏Apollo计划被称为可靠性的充分体现美国于1961开始计划研制Apollo-11号宇宙飞船，它有720万个零件，重要零件可靠性为99.9999999％。
1969年7月登月成功。
Apollo计划的种种技术，至今仍为世界上的各种产品所应用。
其中，可靠性技术是主要技术之一。
在使用过程中得到检验和逐渐丧失。
做好的，需全行业通力协作、长期工作；目前，可靠性理论不尽成熟，基础差、需发展。
机械产品的实验周期长、耗资大、实验结果的可参考性差； 机械系统的逻辑关系不清晰，串、并联关系容易混淆。
结构可靠度基本理论
结构可靠度基本理论摘要：目前，在结构工程领域，人们越来越认识到，只有用概率和统计的方法，才能正确地处理结构设计和分析中存在的大量不确定因素，从而对结构的安全性做出科学的评估。
近三十年来，结构可靠性理论得到了迅速的发展。
它以概率论和统计学为数学工具，形成了一个相当完整的理论体系，它还发展了许多便于在工程实际中应用的计算方法，为结构安全性评估提供了强有力的手段。
关键词：疲劳失效、可靠度、可靠性指标长期以来，在船舶与海洋工程领域，对结构的疲劳现象已进行了大量的研究，并在此基础上建立了可供实际应用的疲劳设计与分析方法。
通常，结构的疲劳损伤和疲劳寿命采用Miner线性累计损伤理论和S—N曲线来计算。
近年来，更为先进的断裂力学方法也越来越受到重视，并逐步得到了应用。
目前，这两种方法已成为船舶与海洋工程结构疲劳设计与分析的两种相互补充的基本方法。
但是，这两种方法以往都是在确定性的意义上使用的，在分析过程中，有关的参数都认为有确定的数值。
而事实上，船舶与海洋工程结构的疲劳是一个受到大量因素影响的极其复杂的现象，大多数的影响因素从本质上说是随机的。
例如，海洋中的波浪无规则地运动，由此引起结构内的交变应力就是一个随机过程。
一艘船或海洋平台，用确定性方法进行疲劳分析时，若有关参数都取均值，那么计算所得的疲劳寿命可能是规定的设计寿命的数倍甚至数十倍。
从表面上看，可以认为是充分安全的。
但是，若考虑到各参赛的不确定性，在同样的条件下，疲劳寿命大于设计寿命的概率却可能很低，实际上并不能满足安全性的要求。
在结构可靠性理论中，各种影响结构安全的不确定因素都用随机变量或随机过程来描述；在充分考虑这些不确定因素的基础上，一个结构安全与否，用该结构在规定服务期内不发生破坏的概率来度量，这一概率称为结构的可靠度。
很显然，对于受到大量不确定因素影响的船舶与海洋工程结构的疲劳问题，用结构可靠度理论来加以研究是非常适当的，可以对结构在疲劳方面的安全性做出比用确定性方法更加合理的评估。