安徽省蚌埠市怀远二中2016-2017学年高一下学期期中数学试卷(word版含答案)

安徽省蚌埠市怀远二中2016-2017学年高一（下）期中数学试卷（解析版）一、选择题：1、数列1，﹣4，9，﹣16，25…的一个通项公式为（）A、a n=n2B、a n=（﹣1）n n2C、a n=（﹣1）n+1n2D、a n=（﹣1）n（n+1）22、等比数列{a n}中，a4=4，则a3a5=（）A、8B、﹣8C、16D、﹣163、已知实数列﹣1，x，y，z，﹣2成等比数列，则xyz等于（）A、﹣4B、±4C、﹣2D、±24、不等式2x2﹣x≤1的解集为（）A、B、C、D、5、已知数列{a n}，且a n= ，则数列{a n}前100项的和等于（）A、B、C、D、6、不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A、（﹣∞，2）B、[﹣2，2]C、（﹣2，2]D、（﹣∞，﹣2）7、已知a ＞b ＞0，则下列结论中不正确的是（ ）A 、＜B 、＞C 、＜D 、log 0.3＜log 0.38、在△ABC 中，cos 2=，（a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则△ABC 的形状为（ ）A 、正三角形B 、直角三角形C 、等腰三角形或直角三角形D 、等腰直角三角形9、已知△ABC 中，∠A=30°，2AB ，BC 分别是 、的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于（ ）A 、B 、C 、或D 、或10、设a ＞0，b ＞0．若 是3a 与3b 的等比中项，则的最小值为（ ）A 、8B 、4C 、1D 、11、设等差数列{a n }满足 =1，公差d ∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，求该数列首项a 1的取值范围（ ）A 、（，）B、[ ，]C、（，）D、[ ，]12、在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（a+b+c）（a+c﹣b）= ，则cosA+sinC的取值范围为（）A、B、C、D、二、填空题：13、已知函数f（x）=sinx+ cosx，则f（x）的最大值为________．14、已知等比数列{a n}，的前n项和为S n，且S2=2，S4=8，则S6=________．15、已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinA，则△ABC的面积为________．16、等差数列{a n}中，S n是它的前n项之和，且S6＜S7，S7＞S8，则：①此数列的公差d＜0②S9一定小于S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是S n中的最大值．其中正确的是________（填入你认为正确的所有序号）三、解答题：17、解下列不等式（组）(1)2x2﹣3x﹣5≥（）x+2(2)．18、已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（I）求{a n}的通项公式；（II）求数列{ }的前n项和．19、某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽车费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的平均费用最少？20、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）(1)求角B的大小；(2)若b=4，△ABC的面积为，求a+c的值．21、在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，角A，B，C的大小成等差数列，向量=（sin ，cos ），=（cos ，﹣cos ），f（A）= • ，(1)若f（A）=﹣，试判断三角形ABC的形状；(2)若b= ，a= ，求边c及S△ABC．22、（理科答）已知数列{a n}及等差数列{b n}，若a1=3，a n= a n﹣1+1（n≥2），a1=b2，2a3+a2=b4，(1)证明数列{a n﹣2}为等比数列；(2)求数列{a n}及数列{b n}的通项公式；(3)设数列{a n•b n}的前n项和为T n，求T n．答案解析部分一、<b >选择题：</b>1、【答案】C【考点】数列的概念及简单表示法【解析】【解答】解：经观察分析数列的一个通项公式为：a n=（﹣1）n n2，故选：C．【分析】观察分析可得通项公式．2、【答案】C【考点】等比数列的性质【解析】【解答】解：由等比数列的性质可知，a3a5=a42，∵a4=4，∴a3a5=16故选C．【分析】等比数列的性质可知，a3a5=a42，结合已知可求a4，进而可求结果．3、【答案】C【考点】等比数列的性质【解析】【解答】解：∵xz=（﹣1）×（﹣2）=2，y2=2，∴y=﹣（正不合题意），∴xyz=﹣2 ．故选C．【分析】根据等比数列的性质得到xz的乘积等于y的平方等于（﹣1）×（﹣2），开方即可求出y的值，然后利用zx的积与y的值求出xyz即可．4、【答案】A【考点】一元二次不等式的解法【解析】【解答】解：2x2﹣x≤1可化为2x2﹣x﹣1≤0，解得，故选A．【分析】先化2x2﹣x≤1为2x2﹣x﹣1≤0，根据二次函数的性质可得答案．5、【答案】A【考点】数列的求和【解析】【解答】解：∵a n= = ，∴数列{a n}前100项的和S=1﹣+ ++…+ = = ，故选：A【分析】由已知中a n= = ，利用裂项相消法，可得答案．6、【答案】C【考点】函数恒成立问题【解析】【解答】解：①当a=2时，不等式恒成立．故a=2成立②当a≠2时，要求解得：a∈（﹣2，2）综合①②可知：a∈（﹣2，2]故选C．【分析】这是一道类似二次不等式在x∈R恒成立求参数的问题，应首先考虑a﹣2是否为零．7、【答案】D【考点】不等关系与不等式【解析】【解答】解：由于a＞b＞0，则＞，即＞，故A正确，根据基本不等式的性质可得，＞，故B正确，函数y= 为增函数，由于﹣a＜﹣b，则＜，故C正确，函数y=log0.3x为减函数，由于＜，则log0.3＞log0.3，故D不正确．故选：D．【分析】根据不等式的性质判断A，B，根据幂函数和对数函数的性质判断C，D.8、【答案】B【考点】解三角形【解析】【解答】解：∵cos2= ，∴= ，∴cosB= ，∴=，∴a2+c2﹣b2=2a2，即a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．故选B【分析】利用二倍角公式代入cos2= 求得cosB= ，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．9、【答案】D【考点】等比数列的通项公式【解析】【解答】解：△ABC中，∠A=30°，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，∴，解得AB= ，BC=1，∴由余弦定理得：，解得AC=1或AC=2，当AC=1时，△ABC的面积S= = = ．当AC=2时，△ABC的面积S= = = ．故选：D．【分析】由等差中项与等比中项的定义求出AB= ，BC=1，由余弦定理得AC=1或AC=2，由此能求出△ABC的面积．10、【答案】B【考点】基本不等式，等比数列的性质【解析】【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+ ，利用基本不等式就可得出其最小值11、【答案】C【考点】数列与三角函数的综合【解析】【解答】解：∵等差数列{a n}满足=1，∴（sina3cosa6﹣sina6cosa3）（sina3cosa6+sina6cosa3）=sin（a3+a6）=（sina3cosa6+sina6cosa3），∴sina3cosa6﹣sina6cosa3=1，即sin（a3﹣a6）=1，或sin（a3+a6）=0（舍）当sin（a3﹣a6）=1时，∵a3﹣a6=﹣3d∈（0，3），a3﹣a6=2kπ+ ，k∈Z，∴﹣3d= ，d=﹣．∵= +（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴﹣=9，化为．∴= ．故选：C．【分析】由已知条件推导出sin（a3﹣a6）=1，或sin（a3+a6）=0，由仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，推导出．由此能求出该数列首项a1的取值范围．12、【答案】B【考点】余弦定理【解析】【解答】解：由：（a+b+c）（a+c﹣b）= ，可得：，根据余弦定理得：，∵B是锐角，∴．∴，即，= ，又△ABC是锐角三角形，∴，即，∴，∴，∴．故选：B．【分析】由已知利用余弦定理可求cosB，结合B是锐角，可求B，进而可得，利用三角函数恒等变换的应用化简可求cosA+sinC= ，由已知可求范围，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．二、<b >填空题：</b>13、【答案】2【考点】两角和与差的正弦函数【解析】【解答】解：∵函数=2sin（x+ ），∴f（x）的最大值为2，故答案为：2．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，正弦函数的值域，求得函数的最大值．14、【答案】26【考点】等比数列的前n项和【解析】【解答】解：由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4也成等比数列，∴（S4﹣S2）2=S2（S6﹣S4），代入数据可得36=2（S6﹣8），解得S6=26，故答案为：26．【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4也成等比数列，代入数据解关于S6的方程即可．15、【答案】【考点】三角形中的几何计算【解析】【解答】解：在△ABC中由正弦定理可知：= = =2R，由sinC=2sinA，则c=2a，cosB= ，sinB= = ，由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，即22=a2+（2a）2﹣2a•2a× ，解得a=1，c=2，△ABC的面积S= acsinB= ，故答案为：．【分析】由题意和正余弦定理可得a，c的值，由同角三角函数的基本关系可得sinB，代入三角形的面积公式计算可得．16、【答案】①②④【考点】等差数列的性质【解析】【解答】解：由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0，∴a8﹣a7=d ＜0①正确；S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，故正确；由于d＜0，所以a1最大，∴错误；由于a7＞0，a8＜0，S7最大，∴正确；故答案为：①②④．【分析】由已知可得a7＞0，a8＜0，再对选项进行判断即可．三、<b >解答题：</b>17、【答案】（1）解：2x2﹣3x﹣5≥（）x+2等价于x2﹣3x﹣5≥﹣x﹣2等价于x2﹣2x﹣3≥﹣0，即为（x﹣3）（x﹣1）≥0，解的x≥3或x≤1，故不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）（2）解：＞1，即为＞0，即为（x+4）（x﹣3）＞0，解得x＜﹣4，或x＞3，x2+x﹣20＜0，即为（x+5）（x﹣4）≤0，解得﹣5≤x≤4，故原不等式组的解集为[﹣5，﹣4）∪（3，4]【考点】其他不等式的解法【解析】【分析】（1）先根据指数函数的单调性，得到x2﹣3x﹣5≥﹣x﹣2，再利用因式分解即可求出不等式的解集；（2）分别求出每个不等式的解集，再其交集即可得到不等式组的解集．18、【答案】解：（I）由x2﹣5x+6=0，解得x=2，3．又{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．∴a2=2，a4=3．∴a1+d=2，a1+3d=3，解得a1= ，d= ．∴a n= + （n﹣1）= ．（II）= ．∴数列{ }的前n项和S n= + +…+ ．= + +…+ + ．∴= + +…+ ﹣= ﹣=1﹣．∴S n=2﹣【考点】数列的求和【解析】【分析】（I）由x2﹣5x+6=0，解得x=2，3．又{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．可得a2=2，a4=3．再利用等差数列的通项公式即可得出．（II）=．利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．19、【答案】解：由题意知维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，∴汽车使用n年的总维修费用为0.2n+ ×0.2=0.1n（n+1）万元．设汽车的年平均费用为y万元，则有y==1+0.1n+ ≥1+2 =3，当且仅当0.1n= ，即n=10时取等号，即当使用10年时年平均费用y最小【考点】基本不等式，等差数列的通项公式，等比数列的通项公式【解析】【分析】汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，从而表示出汽车的年平均费用，由基本不等式可得．20、【答案】（1）解：因为bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）所以sinBcosA=（﹣2sinC﹣sinA）cosB所以sin（A+B）=﹣2sinCcosB∴cosB=﹣∴B=（2）解：由= 得ac=4．由余弦定理得b2=a2+c2+ac=（a+c）2﹣ac=16∴a+c=2【考点】正弦定理，余弦定理的应用【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），通过两角和与差的三角函数求出cosB，即可得到结果．（2）利用三角形的面积求出ac=4，通过由余弦定理求解即可．21、【答案】（1）解：∵A，B，C成等差数列，可得：2B=A+C，又∵A+B+C=180°，∴B=60°．∵向量=（sin ，cos ），=（cos ，﹣cos ），f（A）= • =﹣，∴f（A）= • =sin cos ﹣cos cos = sinA﹣cosA﹣=sin（A﹣60°）﹣=﹣，∴可得：sin（A﹣60°）=0．∵A∈（0，60°]，可得：A﹣60°∈（﹣60°，0]，∴可得：A=60°，即A=B=C=60°．∴三角形ABC的形状为：正三角形（2）解：∵B=60°，b= ，a= ，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：3=2+c2﹣2× ，整理可得：c2﹣﹣1=0，∴解得：c= ，或（舍去），∴S△ABC= acsinB= × =【考点】三角形的形状判断，余弦定理【解析】【分析】（1）利用已知及等差数列的性质，三角形内角和定理可求B=60°，利用数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求sin（A﹣60°）=0，结合A的范围可求A=60°，即可得解．（2）利用已知及余弦定理可求c，进而利用三角形面积公式即可计算得解．22、【答案】（1）证明：a1=3，a n= a n﹣1+1（n≥2），a n﹣2= （a n﹣1﹣2），则数列{a n﹣2}为首项为1，公比为的等比数列（2）解：（由（1）可得a n﹣2=（）n﹣1，即为a n=2+（）n﹣1，a1=b2=3，2a3+a2=b4=2（2+ ）+2+ =7，可得等差数列{b n}的公差d= =2，则b n=b2+（n﹣2）d=3+2（n﹣2）=2n﹣1（3）证明：数列{a n•b n}的前n项和为T n，a n•b n=[2+（）n﹣1]（2n﹣1）=2（2n﹣1）+（2n﹣1）•（）n﹣1，设S n=1•（）0+3•（）+5•（）2+…+（2n﹣1）•（）n﹣1，S n=1•（）+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣1）•（）n，相减可得，S n=1+2[（）+（）2+（）3+…+（）n﹣1]﹣（2n﹣1）•（）n=1+2[ ]﹣（2n﹣1）•（）n，化简可得S n=6﹣，则T n=2• n（1+2n﹣1）+6﹣=2n2+6﹣【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】【分析】（1）a n= a n﹣1+1的两边减2，再由等比数列的定义即可得证；（2）运用等比数列和等差数列的通项公式，计算即可得到；（3）求得a n•b n=[2+（）n﹣1]（2n﹣1）=2（2n﹣1）+（2n﹣1）•（）n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和和错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．。