2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练68离散型随机变量及其分布列理北师大版

课时分层训练(六十八) 离散型随机变量及其分布列
A 组 基础达标
一、选择题
1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( ) A ．0 B.12 C.1
3
D.23
C [由已知得X 的所有可能取值为0,1， 且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，
由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1，得P (X ＝0)＝1
3.]
2．若离散型随机变量X 的分布列为
则常数c 的值为( ) A.23或13 B.23 C.13
D ．1
C [根据离散型随机变量分布列的性质知 ⎩⎪⎨⎪
⎧
9c 2
－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，
得c ＝1
3
.]
3．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 6
8
C 1015
的是( )
【导学号：79140369】
A ．P (X ＝2)
B ．P (X ≤2)
C ．P (X ＝4)
D ．P (X ≤4)
C [X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k
8
C 1015
，k ＝4.]
4．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i
2a
(i ＝1,2,3,4)，则P (2＜X ≤4)等于( )
A.910
B.710
C.35
D.12
B [由分布列的性质知， 12a ＋22a ＋32a ＋4
2a ＝1， 则a ＝5，
所以P (2＜X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝310＋410＝7
10.]
5．若随机变量X 的分布列为
则当P (X <a )＝0.8A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2]
D ．(1,2)
C [由随机变量X 的分布列知P (X <－1)＝0.1，
P (X <0)＝0.3，P (X <1)＝0.5，P (X <2)＝0.8，P (X ＝2)＝0.1，则当P (X <a )＝0.8时，
实数a 的取值范围是(1,2]．]
二、填空题
6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．
4
5
[设所选女生人数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝6，M ＝2，n ＝3， 则P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 3
4C 36＋C 12C 2
4C 36＝4
5
.]
7．已知随机变量X 的概率分别为p 1，p 2，p 3，且依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－13，13 [由已知得p 1＝p 2－d ，p 3＝p 2＋d ，由分布列性质知
(p 2－d )＋p 2＋(p 2＋d )＝1，得p 2＝13
，
又⎩⎪⎨⎪⎧
1
3
－d ≥0，13＋d ≥0，
得－13≤d ≤13
.]
8．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为________．
[X 的可能取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝C 35＝10，P (X ＝4)＝C 2
3C 35＝310，P (X ＝5)＝C 2
4C 35＝3
5.
所以随机变量X 的分布列为
] 三、解答题
9．有编号为1,2,3，…，n 的n 个学生，入坐编号为1,2,3，…，n 的n 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ，已知X ＝2时，共有6种坐法．
(1)求n 的值；
(2)求随机变量X 的概率分布列.
【导学号：79140370】
[解] (1)因为当X ＝2时，有C 2
n 种坐法， 所以C 2
n ＝6，即
n (n －1)
2
＝6，
n 2－n －12＝0，解得n ＝4或n ＝－3(舍去)，所以n ＝4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ， 由题意知X 的可能取值是0,2,3,4， 所以P (X ＝0)＝1A 44＝1
24，
P (X ＝2)＝C 2
4×1A 44＝624＝1
4，
P (X ＝3)＝C 34×2A 44＝824＝1
3
，
P (X ＝4)＝1－124－14－13＝38
，
所以X 的概率分布列为
10.个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3
个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列.
【导学号：79140371】
[解] (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 1
5C 310＝14
.
(2)X 的所有可能值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝7
15，
P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝7
15，
P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝1
15.
综上知，X 的分布列为
11．若P (X ≤x 2)＝1－β，P (X ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤X ≤x 2)等于( )
A ．(1－α)(1－β)
B ．1－(α＋β)
C ．1－α(1－β)
D ．1－β(1－α)
B [显然P (X >x 2)＝β，P (X <x 1)＝α.由概率分布列的性质可知P (x 1≤X ≤x 2)＝1－P (X >x 2)－P (X <x 1)＝1－α－β.]
12．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．
[η的所有可能值为0,1,2.
P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 1
1×2C 12C 12＝1
2，
P (η＝2)＝C 11C 1
1C 12C 12＝1
4.
所以η的分布列为
]
13．(2017·江南名校联考)PM2.5是指悬浮在空气中的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3 095—2 012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
从某自然保护区2015年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
到一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．
[解] (1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，则 P (A )＝C 13C 2
7C 310＝2140
.
(2)依据条件，ξ服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.
P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k
7
C 310
(k ＝0,1,2,3)．
所以P (ξ＝0)＝C 03C 3
7C 310＝724，P (ξ＝1)＝C 13C 2
7C 310＝21
40，
P (ξ＝2)＝C 23C 1
7C 310＝740，P (ξ＝3)＝C 33C 0
7C 310＝1
120.
因此ξ的分布列为。