人教九年级数学上册-点和圆的位置关系(附习题)

●C
B
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆
叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个
三角形的外心.
●A
想一想：
一个三角形有 一 个外接圆，
而一个圆有 无数 个内接三角形.
●
B
●O ●C
不能
过同一直线上的三点可以作圆吗？
怎么证明？
●
●
●
知识点3 反证法
证明：过同一直线上的三点不能作圆.
如图，已知点A、B、C在直线m上.
故∠A+∠B+∠C >180°,
这与三角形的内角和定理矛盾，
所以∠B,∠C不是钝角. 综上所述，∠B,∠C不是直角也不是钝角， A
即∠B,∠C是锐角，
所以等腰三角形的底角一定是锐角. B
C
随堂演练
基础巩固
1.判断下列说法是否正确：
(1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆.(√ ) (2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形.( × ) (3) 经过三点一定可以确定一个圆.( × ) (4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( √ )
三角形内部 三角形斜边 三角形外部 中点处
综合应用
5.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索 的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域，已知这 个导火索的长度为18cm，点导火索的人以每秒6.5m的 速度撤离是否安全？为什么？ 解：由题意可知，导火索燃烧完需18÷0.9=20(S). 又点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离， 则导火索燃烧完时撤离的最大距离为6.5×20=130(m). ∵130＞120，∴安全.
推进新课
知识点1 点和圆的位置关系
观察图中点A，B，C与圆的位置关系.设⊙O半 径为 r , 说出A，B，C到圆心O的距离与半径的关系：
点A在圆内 点B在圆上 点C在圆外
OA < r OB = r OC > r
A
O·
C
r
B
反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能 否判断点和圆的位置关系？
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，
已知：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B,∠C一定 是锐角.
证明：假设∠B,∠C不是锐角，则∠B,∠C是直角
或钝角.
（1）若∠B,∠C是直角，即∠B=∠C=90°， A
故∠A+∠B+∠C >180°,
这与三角形的内角和定理矛盾，
所以∠B,∠C不是直角.
BHale Waihona Puke C（2）若∠B,∠C是钝角，即∠B=∠C >90°，
点在圆内 d﹤r 点在圆上 d＝r
点在圆外 d > r
的
位 置
确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
关
系 反证法：①反设，②推导出矛盾，③下结论
如图所示，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A=
30°，AC=3cm.以C为圆心， 半
3
径为 3 cm画⊙C，请指出点A、
30°
B、D与⊙C的位置关系.
解：在Rt△ACD中，∠A=30°，
∴CD= 1 AC= 1×3=1.5(cm).
2
2
∵CD＜ 3 cm，∴点D在⊙C内;
由勾股定理得，AB=2 3cm，BC= 3cm. 3
2.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分 别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置 关系是：点A在 圆内；点B在 圆上；点C在 圆外．
3.若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状
为( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
4.如图，分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角 三角形的外接圆，它们的外心位置有什么特点？
无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上.
以线段AB的垂直平 分线上的任意一点为圆 心，以这点到A或B的距 离为半径作圆.
● ●
●
●
O OO O
3. 经过同一平面内三个点作圆，情况会怎样呢？
经过不在同一直线上的三点A、B、C能作 出几个圆？圆心在哪里？
●A
不在同一直线上的三个 点确定一个圆.
●
┏●O
则有：
PP
d ＜ r 点P在圆内
P
d= r
点P在圆上
O·
d＞r
点P在圆外
r
A
点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则
点在圆内 d﹤r
●
点在圆上 d＝r
●
●
O
点在圆外 d > r
●
符号“ ”读
作“等价于”， 它表示符号 “ ”的左右
两端可以互相 推出.
位置关系 数量关系
【对应训练】
l2 C
反证法的步骤：
（1）假设原命题不成立； （2）以此为依据进行推理，产生矛盾（与公 理、定理或条件矛盾）；
（3）得出假设不成立，从而原命题成立.
【对应训练】
用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角.
分析：由题目分析，“一定是锐角”的反面 就是“不是锐角”，即是直角或钝角，因此 应分两种情况讨论.
求证：过点A、B、C不能作圆.
mm A
B
C
证明：假设过同一直线上的三点可以作圆.
则即该圆圆心的是圆线心段到ABA、、BBC、垂C直三平点分的线距的离交都点相. 等l1，
分别作AB、BC垂直平分线l1、l2.
显然l1∥l2，
A
B
l1与l2无交点，故产生矛盾.
所以假设不成立.
即过同一直线上的三点不能作圆.
拓展延伸
6.某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该
瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出
瓷盘的圆心．
解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；
(2)连接AB、BC；
B
C
(3)分别作出AB、BC的垂直平分线； A
(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.
课堂小结
点 和 圆
点和圆的 位置关系
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
新课导入
问题：你玩过掷飞镖吗？ 下图中A、B、C、D、E分 别是落点，你认为哪个成 绩最好？你是怎么判断出 来的？
BC
AD E
(1)知道点和圆的三种位置关系及其判定方法. (2)知道不在同一直线上的三点确定一个圆，
能过不在同一直线上的三点作圆. (3)知道三角形外心的概念及其性质. (4)了解反证法的证明思想及一般步骤.
∴点B在⊙C上；
30°
AC=3cm＞ 3cm，∴点A在⊙C外.
知识点2 确定圆的条件
已知圆心和半径，可以作一个圆.
1. 作经过已知点A的圆，你
能作出多少个圆？圆心在哪 里？半径多大？
无数个，圆心为点A以 外任意一点，半径为这点与
●
O
●
●O O
●A
●O
●
O
点A的距离.
2. 作经过已知点A、B的圆，你能作出多少个？圆心 在哪里？