2020年广东省肇庆市高考(文科)数学三模试卷 (Word版 含解析)

2020年高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A ＝{x |x ﹣1≥0}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣8≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[4，+∞）B ．[1，4]C ．[1，2]D ．[﹣2，+∞）2．复数z 的共轭复数z 满足(2+i)z =|3+4i|，则z ＝（ ） A ．2+iB ．2﹣iC ．l +2iD ．1﹣2i3．在等差数列{a n }中，前n 项和S n 满足S 8﹣S 3＝45，则a 6的值是（ ） A ．3B ．5C ．7D ．94．在△ABC 中，|AB →+AC →|＝|AB →−AC →|，AB ＝4，AC ＝3，则BC →在CA →方向上的投影是（ ） A ．4B ．3C ．﹣4D ．﹣35．设x ，y 满足约束条件{x −y ≥0x −2y ≤0y −1≤0，则z ＝2x +y 的最大值是（ ）A ．0B ．3C ．4D ．56．命题p ：曲线y ＝x 2的焦点为(14，0)；命题q ：曲线y 24−x 2=1的渐近线方程为y ＝±2x ；下列为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．￢p ∧qC ．p ∨（￢q ）D ．（￢p ）∧（￢q ）7．某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍，实现翻番．同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．如图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）A ．该企业2018年原材料费用是2017年工资金额与研发费用的和B ．该企业2018年研发费用是2017年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和C ．该企业2018年其它费用是2017年工资金额的14D ．该企业2018年设备费用是2017年原材料的费用的两倍8．函数f（x）=e x+1x3(e x−1)（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．9．已知x，y的取值如表：从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为y^=0.95x+a，则a＝（）x0134y 2.2 4.3 4.8 6.7A．3.25B．2.6C．2.2D．010．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π11．已知a＝2log32，b＝2﹣1.5，c＝2﹣0.5，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c12．在正三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=√2，点E在线段AB上，且AE＝2EB，过点E作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（）A．89πB．1118πC．512πD．49π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．《九章算术》中的“两鼠穿墙题“是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半“，如果墙厚643132尺，天后两只老鼠打穿城墙．14．曲线y＝x2+1x在点（1，2）处的切线方程为．15．已知α为锐角，cos(α+π4)=513，则sinα＝．16．已知点P是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)左支上一点，F2是双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF2的中垂线，则该双曲线的离心率是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，bsin B+C2=asinB．（1）求A；（2）若b＝4，c＝6，求sin B的值．18．某快递公司为了解本公司快递业务情况，随机调查了100个营业网点，得到了这些营业网点2019年全年快递单数增长率x的频数分布表：x的分组[﹣0.20，0）[0，0.20）[0.20，0.40）[0.40，0.60）[0.60，0.80）营业网点数22453147（1）分别估计该快递公司快递单数增长率不低于40%的营业网点比例和快递单数负增长的营业网点比例；（2）求2019年该快递公司快递单数增长率的平均数和标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）．（精确到0.01）参考数据：√74≈8.60219．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是边长为2的菱形，且CA＝CB1．（1）证明：面CBA1⊥面CB1A；（2）若∠BAA1＝60°，A1C＝BC＝BA1，求点C到平面A1BC1的距离．20．已知点F 1为椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左焦点，P(−1，√22)在椭圆上，PF 1⊥x 轴． （1）求椭圆的方程；（2）已知直线l ：y ＝kx +m 与椭圆交于（1，2），B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．设函数f(x)=ax 2+x+a e x(a ＞0)． （1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ＞0时，e x ﹣ax 2﹣x ﹣a ≥0成立，求正实数a 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为x 22+y 2=1．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，P 的极坐标为(√3，π3)，直线l 过点P ． （1）若直线l 与OP 垂直，求直线l 的极坐标方程： （2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA|⋅|PB|=138，求直线l 的倾斜角． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |，ab ＞0．（1）当a ＝1，b ＝1时，求不等式f （x ）＜3的解集； （2）若f （x ）的最小值为2，求|4a+1b|的最小值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，则A∩B＝（）A．[4，+∞）B．[1，4]C．[1，2]D．[﹣2，+∞）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，∴A∩B＝{x|1≤x≤4}＝[1，4]．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．复数z的共轭复数z满足(2+i)z=|3+4i|，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．l+2i D．1﹣2i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案．解：由(2+i)z=|3+4i|=5，得z=52+i=5(2−i)(2+i)(2−i)=2−i，∴z＝2+i．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是基础题．3．在等差数列{a n}中，前n项和S n满足S8﹣S3＝45，则a6的值是（）A．3B．5C．7D．9【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解．解：因为S8﹣S3＝a4+a5+a6+a7+a8＝45，由等差数列的性质可得，5a6＝45，则a6＝9．故选：D．【点评】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．4．在△ABC中，|AB→+AC→|＝|AB→−AC→|，AB＝4，AC＝3，则BC→在CA→方向上的投影是（）A．4B．3C．﹣4D．﹣3【分析】根据平面向量的数量积可得AB→⊥AC→，再结合图形求出BC→在CA→方向上的投影即可．解：∵|AB→+AC→|＝|AB→−AC→|，∴AB→⋅AC→=0，∴AB→⊥AC→，∴又AB＝4，AC＝3，∴BC→在CA→方向上的投影是|BC→|cos＜BC→，CA→＞=|BC→|•cos（π﹣∠ACB）＝﹣|BC→|•cos∠ACB＝﹣3；如图所示．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是基础题目．5．设x，y满足约束条件{x−y≥0x−2y≤0y−1≤0，则z＝2x+y的最大值是（）A．0B．3C．4D．5【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z＝2x+y对应的直线进行平移，可得最优解，然后求解即可．解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图阴影部分及其内部，其中A （2，1 ），B （1，1），O 为坐标原点设z ＝F （x ，y ）＝2x +y ，将直线l ：z ＝2x +y 进行平移， 当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值＝F （ 2，1）＝2×2+1＝5． 故选：D ．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z ＝2x +y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．6．命题p ：曲线y ＝x 2的焦点为(14，0)；命题q ：曲线y 24−x 2=1的渐近线方程为y ＝±2x ；下列为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．￢p ∧qC ．p ∨（￢q ）D ．（￢p ）∧（￢q ）【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，判断两个命题的真假，即可得到选项．解：曲线y ＝x 2的焦点为（0，14），所以P 是假命题；￢p 是真命题，曲线y 24−x 2=1的渐近线方程为y ＝±2x ；q 是真命题，所以￢p ∧q 是真命题． 故选：B ．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7．某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍，实现翻番．同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．如图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）A ．该企业2018年原材料费用是2017年工资金额与研发费用的和B ．该企业2018年研发费用是2017年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和C ．该企业2018年其它费用是2017年工资金额的14D ．该企业2018年设备费用是2017年原材料的费用的两倍【分析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解．解：由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t ，则2018年全年的收入为2t ． 对于选项A ，该企业2018年原材料费用为0.3×2t ＝0.6t ，2017年工资金额与研发费用的和为0.2t +0.1t ＝0.3t ，故A 错误；对于选项B ，该企业2018年研发费用为0.25×2t ＝0.5t ，2017年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和为0.2t +0.15t +0.15t ＝0.5t ，故B 正确；对于选项C ，该企业2018年其它费用是0.05×2t ＝0.1t ，2017年原工资金额是0.2t ，故C 错误；对于选项D ，该企业2018年设备费用是0.2×2t ＝0.4t ，2017年原材料的费用是0.15t ，故D 错误． 故选：B ．【点评】本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的合情推理，属中档题．8．函数f （x ）=e x +1x 3(e x −1)（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C．D．【分析】由函数为偶函数，排除AC；由x→+∞时，f（x）→0，排除B，由此得到答案．解：f(−x)=e−x+1(−x)3(e−x−1)=−1+exx3(1−e x)=ex+1x3(e x−1)=f(x)，故函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当x→+∞时，x3（e x﹣1）＞＞e x+1，f（x）→0，故排除B．故选：D．【点评】本题考查函数图象的确定，考查读图识图能力，属于基础题．9．已知x，y的取值如表：从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为y^=0.95x+a，则a＝（）x0134y 2.2 4.3 4.8 6.7A．3.25B．2.6C．2.2D．0【分析】本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知(x，y)在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出(x，y)，再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a值．解：∵点(x，y)在回归直线上，计算得x=0+1+3+44=2，y=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5∴回归方程过点（2，4.5）代入得4.5＝0.95×2+a∴a＝2.6；故选：B．【点评】本题就是考查回归方程过定点(x，y)，考查线性回归方程，考查待定系数法求字母系数，是一个基础题10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出外接球的半径，最后求出球的表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：该几何体为三棱锥体，所以该几何体的外接球的半径满足（2r）2＝12+22+12＝6，解得：r=√6，2所以外接球的表面积为S=4π×(√6)2=6π．2故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11．已知a＝2log32，b＝2﹣1.5，c＝2﹣0.5，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．解：a＝log34＞1，b＝2﹣1.5＜2﹣0.5＝c＜1，∴b＜c＜a，故选：C．【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．在正三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=√2，点E在线段AB上，且AE＝2EB，过点E作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（）A．89πB．1118πC．512πD．49π【分析】构造以PA，PB，PC为棱长的正方体PADB﹣CFGH，且该正方体棱长为√2，以B为原点，BP为x轴，BD为y轴，BH为z轴，建立空间直角坐标系，则该正三棱锥外接球球心为AH中点O，半径为R=AH2=√62，求出EO=√1118，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的圆心为E，从而当所得截面圆面积取最小值时截面圆的半径为r=√R2−EO2，由此能求出所得截面圆面积的最小值．解：∵在正三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=√2，∴构造以PA，PB，PC为棱长的正方体PADB﹣CFGH，且该正方体棱长为√2，以B为原点，BP为x轴，BD为y轴，BH为z轴，建立空间直角坐标系，则该正三棱锥外接球球心为AH中点O，半径为R=AH2=√62，∵点E在线段AB上，且AE＝2EB，∴E（√23，√23，0），O（√22，√22，√22），EO=(√22−√23)2+(√22−√23)2+(√22−0)2=√1118，过点E作该正三棱锥外接球的截面，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的圆心为E，∴当所得截面圆面积取最小值时截面圆的半径为：r=√R2−EO2=√(√62)2−(√1118)2=2√23，∴过点E作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值为S＝πr2=π×(2√23)2=89π．故选：A．【点评】本题考查截面圆面积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．《九章算术》中的“两鼠穿墙题“是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半“，如果墙厚643132尺，6天后两只老鼠打穿城墙．【分析】由题意，n天后两只老鼠打洞之和：S n=1×(1−2n)1−2+1×(1−12n)1−12=2n−12n−1+1，由墙厚643132，能求出结果．解：由题意，n天后两只老鼠打洞之和：S n=1×(1−2n)1−2+1×(1−12n)1−12=2n−1+2−12n−1=2n−12n−1+1，∵墙厚6431 32，∴S n=2n−12n−1+1=643132，解得n＝6．故答案为：6．【点评】本题考查等比数列的前n项和的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．14．曲线y ＝x 2+1x在点（1，2）处的切线方程为 x ﹣y +1＝0 ．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可． 解：曲线y ＝x 2+1x，可得y ′＝2x −1x 2， 切线的斜率为：k ＝2﹣1＝1．切线方程为：y ﹣2＝x ﹣1，即：x ﹣y +1＝0． 故答案为：x ﹣y +1＝0．【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力． 15．已知α为锐角，cos(α+π4)=513，则sin α＝√226． 【分析】先利用α为锐角，cos(α+π4)=513，求得sin(α+π4)=1213，又sin α=sin[(α+π4)−π4]，再利用两角差的正弦公式即可求出结果．解：∵α为锐角，cos(α+π4)=513，∴sin(α+π4)=1213，sin α=sin[(α+π4)−π4]=sin(α+π4)cos π4−cos(α+π4)sin π4=1213×√22−513×√22=7√226，故答案为：7√226． 【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．16．已知点P 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)左支上一点，F 2是双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF 2的中垂线，则该双曲线的离心率是 √5 ． 【分析】由题意，△F 1PF 2是直角三角形，PF 2的斜率为−b a，设|PF 1|＝n ，|PF 2|＝m ，则m n=ba，利用双曲线的定义，结合几何量之间的关系，即可得出结论．解：由题意，△F 1PF 2是直角三角形，PF 2的斜率为−b a， 设|PF 1|＝n ，|PF 2|＝m ，则m n=ba，∵m ﹣n ＝2a ，m 2+n 2＝4c 2， ∴m ＝2b ，n ＝2a ， ∵mn ＝2b 2，∴b＝2a，∴c=√5a，∴e=ca=√5．故答案为：√5．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查学生分析解决问题的能力，确定△PF1F2是直角三角形，PF2的斜率为−ba是关键．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，bsin B+C2=asinB．（1）求A；（2）若b＝4，c＝6，求sin B的值．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合范围0＜A＜π，0＜B＜π即可解得A的值．（2）法一：由余弦定理可得a的值，由正弦定理可求sin B的值；法二：由正弦定理及三角函数恒等变换的应用可求sin2B=37，结合范围0＜B＜π，可求sin B的值．解：（1）由bsin B+C2=a sin B及正弦定理可得sinBsin B+C2=sinAsinB，因为A+B+C＝π，所以sinBsin B+C2=sinBsinπ−A2=sinBcos A2，又sinAsinB=2sin A2cos A2sinB，所以sinBcos A2=2sin A2cos A2sinB，因为0＜A＜π，0＜B＜π，所以cos A2＞0，sinB＞0，所以sin A 2=12，因此A 2=π6，即A =π3．（2）法一：由余弦定理可得 a 2=b 2+c 2−2bccosA =16+36−2×4×6×12=28， 所以a =2√7， 由正弦定理得b sinB=a sinA，得sinB =bsinA a =√217；法二：由正弦定理及A +B +C ＝π，得b sinB =c sinC =c sin(π−B−A)=csin(2π3−B)， 代入数据得3sinB =√3cosB +sinB ，即cosB =3， 结合cos 2B +sin 2B ＝1，得sin 2B =37， 因为0＜B ＜π，可得sinB =√217．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．某快递公司为了解本公司快递业务情况，随机调查了100个营业网点，得到了这些营业网点2019年全年快递单数增长率x 的频数分布表： x 的分组 [﹣0.20，0）[0，0.20）[0.20，0.40） [0.40，0.60） [0.60，0.80）营业网点数22453147（1）分别估计该快递公司快递单数增长率不低于40%的营业网点比例和快递单数负增长的营业网点比例；（2）求2019年该快递公司快递单数增长率的平均数和标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）．（精确到0.01）参考数据：√74≈8.602 【分析】（1）根据频数分布表得，所调查100个营业网点中，快递单数增长率不低于 的营业网点的频率为0.21，快递单数负增长的营业网点的频率为0.02，由此能求出结果． （2）求出x =0.0296，S 2=742500=371250=0.0296，由此能求出2019年该快递公司快递单数增长率的平均数的估计值和标准差的估计值． 解：（1）根据频数分布表得，所调查100个营业网点中， 快递单数增长率不低于 的营业网点的频率为14+7100=0.21，快递单数负增长的营业网点的频率为2100=0.02，用样本频率分布估计总体分布得该快递公司快递单数增长率不低于40%的营业网点比例为21%，快递单数负增长的营业网点比例为2%．（2）x=−0.10×2100+0.10×24100+0.30×53100+0.50×14100+0.70×7100=0.30，S2＝（﹣0.10﹣0.3）2×2100+（0.10﹣0.3）2×24100+（0.30﹣0.3）2×53100+（0.50﹣0.3）2×14100+（0.70﹣0.3）2×7100=742500=371250=0.0296，∴s=√742500=150√74≈0.02×8.602=0.17，∴2019年该快递公司快递单数增长率的平均数的估计值为30%，标准差的估计值为17%．【点评】本题考查频率、平均数、标准差的求法，考查频数分布表的性质等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是边长为2的菱形，且CA＝CB1．（1）证明：面CBA1⊥面CB1A；（2）若∠BAA1＝60°，A1C＝BC＝BA1，求点C到平面A1BC1的距离．【分析】（1）设A1B∩AB1＝O，连接CO．证明A1B⊥AB1，CO⊥AB1，得到AB1⊥面CA1B，然后证明面CBA1⊥面CB1A．（2）说明线段CH的长就是点C到平面A1BC1的距离．然后转化求解即可．【解答】（1）证明：设A1B∩AB1＝O，连接CO．因为侧面ABB1A1是菱形，所以A1B ⊥AB1，又因为CA＝CB1，所以CO⊥AB1，又A1B∩CO＝O，所以AB1⊥面CA1B，又AB1⊂面CAB1，所以面CBA1⊥面CB1A．（2）在菱形ABB1A1中，因为∠BAA1＝60°，所以△ABA 1是等边三角形，可得A 1B ＝2，所以BC ＝2＝BB 1， 所以侧面BB 1C 1C 是菱形，故CB 1⊥C 1B ，（*）在等边三角形CA 1B 中，A 1B ⊥CO ，又A 1B ⊥AB 1，且CO ∩AB 1＝O ， 所以A 1B ⊥面CAB 1，又CB 1⊂面CAB 1，所以CB 1⊥A 1B ，结合（*）以及A 1B ∩C 1B ＝B 得CB 1⊥面A 1C 1B ，设CB 1∩C 1B ＝H ， 则线段CH 的长就是点C 到平面A 1BC 1的距离．经计算得CO =√3，OB 1=√3，CB 1=√CO 2+OB 12=√6， 所以CH =√62，即点C 到平面A 1BC 1的距离为√62．【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 20．已知点F 1为椭圆x 2a +y 2b=1（a ＞b ＞0）的左焦点，P(−1，√22)在椭圆上，PF 1⊥x 轴． （1）求椭圆的方程；（2）已知直线l ：y ＝kx +m 与椭圆交于（1，2），B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）由PF 1⊥x 轴可得c ＝﹣1，即可得椭圆的左右焦点的坐标，由椭圆的定义求出a 的值，由a ，b ，c 的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）将直线l 与椭圆的方程联立求出两根之积，由OA ⊥OB ，可得OA →⋅OB →=0，可得k ，m 的关系，求出原点到直线的距离的表达式，可得为定值． 解：（1）依题意可得F 1（﹣1，0），右焦点F 2（1，0），|PF 1|+|PF 2|=√22+3√22=2√2=2a ，所以a =√2，c =1，b 2=a 2−c 2=1，所以椭圆方程为x 22+y 2=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y =kx +m x 22+y 2=1整理可得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣2＝0， x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−22k 2+1．所以 y 1y 2＝（kx 1+m ）（kx 2+m ）＝k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2＝k 2⋅2m 2−21+2k2+km ⋅−4km 1+2k2+m 2=m 2−2k 21+2k2，由OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=2m 2−22k 2+1+m 2−2k22k 2+1=3m 2−2k 2−22k 2+1=0，得3m 2＝2（k 2+1），所以原点O 到直线l 的距离为√1+k 2=√2m 2=√63，为定值．【点评】本题可得求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．21．设函数f(x)=ax 2+x+a ex(a ＞0)． （1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ＞0时，e x ﹣ax 2﹣x ﹣a ≥0成立，求正实数a 的取值范围．【分析】（1）f′(x)=−ax 2+(2a−1)x+1−a e x =(x−1)(−ax+a−1)ex，令f '（x ）＝0，得x ＝1或x =1−1a，a ＞0，即可得出单调性． （2）由e x﹣ax 2﹣x ﹣a ≥0，可得ax 2+x+ae x≤1．对a 分类讨论，利用（1）的结论即可得出a 的取值范围．解：（1）f′(x)=−ax 2+(2a−1)x+1−a e x =(x−1)(−ax+a−1)ex令f '（x ）＝0，得x ＝1或x =1−1a ，因为a ＞0，所以当x ＜1−1a或x ＞1时，f '（x ）＜0；当1−1a＜x ＜1时，f '（x ）＞0，所以f （x ） 的单调增区间为(1−1a ，1)，减区间为(−∞，1−1a )，(1，+∞)．（2）由e x﹣ax 2﹣x ﹣a ≥0 可得ax 2+x+ae ≤1．由（1）可知，当1−1a≤0，即0＜a ≤1时，f （x ）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，f(x)max =f(1)=1+2ae依题意有1+2a e≤1，即a ≤e−12；当a ＞1时，f(1)=1+2a e＞3e ＞1，与题意矛盾． 所以a 的取值范围是(0，e−12] 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为x 22+y 2=1．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，P 的极坐标为(√3，π3)，直线l 过点P ． （1）若直线l 与OP 垂直，求直线l 的极坐标方程： （2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA|⋅|PB|=138，求直线l 的倾斜角． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦函数的值的应用求出结果．解：（1）P 的极坐标为(√3，π3)，转换为直角坐标为（√32，32），所以直线OP 的斜率为k =√3，直线l 的斜率为k 1=−√33，所以直线l 的方程为y −32=−√33(x −√32)，整理得√33x +y −2=0，（2）把直线的方程转换为参数方程为{x =√32+tcosθy =32+tsinθ（t 为参数），代入曲线C 的方程为x 22+y 2=1的方程为(cos 2θ+2sin 2θ)t 2+(√3cosθ+6sinθ)t +134=0． 所以|PA|⋅|PB|=|t 1⋅t 2|=134cos 2θ+2sin 2θ=138， 则：cos 2θ+2sin 2θ＝2，由于cos 2θ+sin 2θ＝1， 所以sin θ＝1（负值舍去）， 所以θ=π2，故直线的倾斜角为π2．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |，ab ＞0．（1）当a ＝1，b ＝1时，求不等式f （x ）＜3的解集； （2）若f （x ）的最小值为2，求|4a+1b|的最小值．【分析】（1）原不等式等价于|x ﹣1|+|x +1|＜3，然后对x 分类去绝对值，化为关于x 的一元一次不等式求解，取并集得答案；（2）f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |≥|b +a |，当且仅当（x ﹣a ）（x +b ）≤0时等号成立．可得f （x ）的最小值为|b +a |＝2．结合ab ＞0，得|b +a |＝|a |+|b |＝2，则|4a +1b |=|4a |+|1b |=12(|4a |+|1b |)(|a|+|b|)，展开后利用基本不等式求最值． 解：（1）原不等式等价于|x ﹣1|+|x +1|＜3， 当x ≥1时，可得x ﹣1+x +1＜3，解得1≤x ＜32； 当﹣1＜x ＜1时，可得﹣x +1+x +1＜3，得2＜3成立； 当x ≤﹣1时，可得﹣x +1﹣x ﹣1＜3，解得−32＜x ≤﹣1． 综上所述，原不等式的解集为{x |−32＜x ＜32}；（2）f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |≥|b +a |，当且仅当（x ﹣a ）（x +b ）≤0时等号成立． ∴f （x ）的最小值为|b +a |，即|b +a |＝2． 又∵ab ＞0，∴|b +a |＝|a |+|b |＝2，∴|4a+1b|=|4a|+|1b|=12(|4a|+|1b |)(|a|+|b|) =12(5+|4b a |+|a b |)≥12(5+2√|4b a |⋅|a b |)=92． 当且仅当|4ba |=|ab |时，等号成立，∴|4a +1b |的最小值为92．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，训练了利用基本不等式求最值，考查数学转化思想方法，是中档题．。