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2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)

2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。

如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。

第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.已知$x,y,z$满足$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，则$\frac{y+2z}{3x-y-z}$的值为（）A) 1.(B) $\frac{5}{3}$。

(D) $-\frac{3}{5}$.答】B.解：由$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，得$5x-3y=3xz-3xz^2$，即$y=\frac{5}{3}x-\frac{3}{3}z+\frac{3}{3}xz^2$，所以$\frac{y+2z}{3x-y-z}=\frac{\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}z}{\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}z}=\frac{5}{3}$，故选（B）。

注：本题也可用特殊值法来判断。

2.当$x$分别取值$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}$时，计算$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}$代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）A) $-1$。

(B) $1$。

(D) $2007$.答】C.解：$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}=\frac{1}{21}\left(\frac{21}{ 2007}+\frac{21x}{21+x^2}\right)=\frac{1}{21}\left(\frac{1}{1+x ^{-2}}\right)$，所以当$x=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{200 6},\frac{1}{2007}$时，计算所得的代数式的值之和为$0$，故选（C）。

2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

a 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案： π3★解析:记圆锥的顶点P 在底面的投影为O ，则O 为底面中心，且1tan ≤=∠OQOPOQP ，即1≥OQ ，故所以区域的面积为πππ31222=⨯-⨯。

2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：101 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=。

2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-★解析:易知直线l 的方程为x y 3-=，因此对任意正整数n ，有n n a a 311-=+，故{}n a 是以31-为a 公比的等比数列.于是23123-=-=a a ，由等比数列的性质知325354321-==a a a a a a2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为◆答案： 47-★解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2018B 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为 ◆答案：21★解析:设直线l 与MN 的斜率为k ，:l 11-=y k x ，:MN 211-=y k x 分别联立抛物线方程得到：0222=+-y k y （*），和0122=+-y ky （**）对（*）由0=∆得22±=k ；对（**）得2442=-=-k y y NM所以2121=-⋅⋅=-==∆∆∆∆N M KBAN BAM BMN KMN y y AB S S S S2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为a[]ππ--4,622018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则133221z z z z z z ++的实部是（用含有r 的式子表示） ◆答案： 232-r★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，331z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。

2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）qfRgF4dw271．设1a =，则代数式32312612a a a +--的值为( >.<A ）24 <B ）25 <C ）10 <D ）122．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：<a b ，）△<c d ，）＝<ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，，都有<u v ，）△<x y ，）＝<u v ，），那么<x y ，）为( >.qfRgF4dw27<A ）<0，1） <B ）<1，0） <C ）<﹣1，0） <D ）<0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y x xy x x y==，，则x y +的值为( >.<A ）1 <B ）2 <C ）92<D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( >.<A ）1324S S S S < <B ）1324S S S S = <C ）1324S S S S > <D ）不能确定5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( >. <A ）4 <B ）5 <C ）6 <D ）7 二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .NW2GT2oy018．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=<x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .NW2GT2oy019．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .NW2GT2oy01三、解答题<共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线<第8题）<第10题）<第12题）223y x =于P ，Q 两点. <1）求证：∠ABP =∠ABQ ；<2）若点A 的坐标为<0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解读式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-，所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得<x y ，）=<1，0）．3．C<第13题）<第14题）解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=，故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，<第4题）解之得 3＜m ≤4.7．19解：在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.NW2GT2oy01 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，）因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-，又因为2BD AC =，于是 22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+．由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =．所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则<第8题）22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49<另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. <第10题）因为AB 为⊙1O 的直径，所以∠ADB =∠BDQ =90°，故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：<1）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　.设点A 的坐标为<0，t ），则点B 的坐标为<0，-t ）.设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,并设P Q，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，，得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是 222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为PQx PCQD x =-，所以BC PC BDQD=.因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ，故∠ABP =∠ABQ .<第12题）<第13题）<2）解法一设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由<1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，所以AC 2-，AD =2.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PCACDQAD =，即a b =，所以a b +=．由<1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=，于是可求得2a b =将2b =代入223y x =，得到点Q 的坐标，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解读式为1y x =+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解读式为1y x =+，或1y +. 解法二设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,其中1t =. 由<1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x = 将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1>得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若32Q x =，代入上式得 3P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =，可得32P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解读式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒．于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

[实用参考]2018年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷).doc

2016年全国高中数学联赛（B 卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为．2.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为．3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为．4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为．5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++-+=则直线l 的方程为．7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为．8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．这样的n 的个数为．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100l g l g 100x x =的两个不同的解，求12100a a a 的值．10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足：（1）221,1,2,,2016k k x y k +==；（2）122016y y y +++是奇数．求122016x x x +++的最小值．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠QGPD CBA四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为．答案：6．解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,aa +>故24 6.a a +=另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因()()()()()22252132********2223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a q a q a q a q aa =++=⋅+⋅+=+⋅⋅+=+=+而240a a +>，从而24 6.a a +=2.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为．答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为133227.2MRSMNPQ S S-=⨯-⨯⨯=正方形3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为．答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知，222i 22i i,a b ab a b a b -+++=-比较虚、实部得220,230.a b a ab b -+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =-，进而23b a a =±+于是，满足条件的复数z 的积为33 3.22⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为．答案：2016. 解：由条件知()()002,f g +=①()()22818190.f g +=++=②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=-结合①知，()()()()22400 2.f g f g --=+=③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =⨯=另解：因为()()391x f x g x x +=++，①所以()()2290.f g +=②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以()()2.f x f x =-③又因为()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x -=-，()()1212g x g x ⎡⎤-++=-++⎣⎦，从而()()2 4.g x g x =---④将③、④代入①，再移项，得()()3229 5.x f x g x x ---=++⑤在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g -=⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g =5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为223560.C P ⨯=过所求的概率为6012.12525p == 6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++-+=则直线l 的方程为．答案：2450.x y -+= 解：12,C C 的标准方程分别为()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++-=-2故12,C C 12O O 7.是侧棱 xA建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V ----由条件知111112,,,,,222333M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此311442,,,,,.222333AM BN ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设异面直线,AM BN 所成的角为θ，则cos 11AM BN AM BNθ⋅-===⋅ 8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．这样的n 的个数为．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．解：由于对任意整数n ，有135113,2461224612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++≤+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭ 等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡-，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =-=共有168个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()mod x y m ≡，则.x y m m ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故 .x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧⎫=-=-=+-+=-=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，11112222.2461224612n n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=+++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭才成立．而201612168=⨯，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭正整数n 的个数为168. 二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100lg lg 100x x =的两个不同的解，求12100a a a 的值．解对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.k k a a --=因此，5051lg ,lg a a 是一元二次方程210020t t --=的两个不同实根，从而()505150511lg lg lg ,100a a a a =+=即1100505110.a a =由等比数列的性质知，()5015010012100505110a a a a a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅ （1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．解（1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB AC cb A +-⋅==同理得，222222,.22a cb a b cBA BC CA CB +-+-⋅=⋅=故已知条件化为()()22222222223,b c a a c b a b c +-++-=+-即22223.a b c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得()2222222123cos 2236a b a ba b c C ab ab a b b a+-++-===+≥ 等号成立当且仅当因此cos C 11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,PQ 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．解过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C 交于点((00,,P a Q a （注意这里1a >），2l 与C 交于点()()001,0,1,0,R S -由条件知00002PQ R S ===，解得a这意味着符合条件的a 下面验证a =事实上，当12,l l中有某条直线斜率不存在时，则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设((()121:,:0,l y k x l y x k k==-≠ 注意这里1k ≠±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l 与C 只有一个交点）．联立1l 与C 的方程知，(22210,x k x ---=即()22221210,k xx k ----=这是一个二次方程式，其判别式为2440k ∆=+>．故1l 与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,.R S 由弦长公式知，2212.1k PQ k +==⋅-用1k -代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k --+-+=⋅=---于是.PQ RS= 综上所述，a =加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足：（1）221,1,2,,2016k k x y k +==；（2）122016y y y +++是奇数．求122016x x x +++的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,k k x y k ≤≤=于是（注意0i x ≥）()2016201620162016201622211111120162016.kkkkk k k k k k x xy yy =====≥=-=-≥-∑∑∑∑∑①不妨设112016,,0,,,0,02016,m m y y y y m +>≤≤≤则201611,2016.m kk k k m ym y m ==+≤-≤-∑∑若11m k k y m =>-∑，并且201612015,k k m y m =+->-∑令2016111,2015,m kk k k m ym a y m b ==+=-+-=-+∑∑则0,1,a b <<于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=-+--+=-+-∑∑∑由条件（2）知，20161k k y =∑是奇数，所以a b -是奇数，这与0,1a b <<矛盾．因此必有11m k k y m =≤-∑，或者201612015,k k m y m =+-≤-∑则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=-≤∑∑∑于是结合①得201611.k k x =≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x x x x y y y y ==========时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅的不超过k 的正约数的集合是.A B若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d '=，则|d n '，d '是奇数，又2kd k '≤<，故,d A '∈从而B ≤ABD 直线.PAQCB此，点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠=，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知.PM MQ GM MC ⋅=⋅①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有1,2OC GC AG ==因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅②结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆．又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．解：先证明17.B ≥考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数．设1211a a a <<<是A 中的全部元素，这里120,0,a a ≥>于是1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,k b b b 是A 中的全部非负元素，12,,,l c c c 是A 中的全部负元素．不妨设110,l k c c b b <<<≤<<其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ≥，故 6.k ≥于是有111212,k k l k c b c b c b c b c b >>>>>>它们是B 中的110k l +-=个元素，且非正数；又有23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<<它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ≥+=由此可知，17.B ≥另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =-±±±±±-是个17元集合．。

2018年全国中学生数学能力竞赛(决赛)试题(七年级)

2018年全国中学生数学能力竞赛（决赛）试题七年级（初一）组（试题总分120分；答题时间120分钟）一、画龙点睛(本大题共8小题，每小题3分，总计24分)1.现在儿子的年龄是8岁，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，（）年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍。

2.如果（a＋5）x|a＋4|＋8＝0是关于x的一元一次方程，那么a2＋a－x＝（）。

3.已知a2＋bc＝14，b2－2bc＝－6，则3a2＋4b2－5bc＝( )。

4.一串有黑有白其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分（如图所乐），则这串珠子被盒子遮住的部分有（）颗。

第4题图5.探究数字“黑洞”:“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”。

满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌。

譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方，再求和……重复运算下去，就能得到一个固定的数T＝（）。

我们称之为数字“黑洞”。

6.如图，4个半径为1cm的圆相靠着放在一个正方形内，则阴影部分的面积是( )cm2。

（π取3.14）.第6题图7.已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，ABCD＋EEE＝2018，则ABCD•EEE的最大值等于（）。

8.已知三角形的内角和是180°，如果一个三角形的三个内角的度数都是小于120的质数，则这个三角形三个内角的度数分别是（）。

二、一锤定音（本大题共4道小题，每小题3分，总计12分）9.甲、乙、丙三个人，一个姓张，一个姓李，一个姓王。

他们一个是银行职员，一个是计算机程序员，一个是秘书。

已知甲既不是银行职员也不是秘书；丙不是秘书；张不是银行职员；王不是乙，也不是丙。

请问：甲、乙、丙三人的姓氏依次是（）。

A.李，王，张B.张，王，李C.王，李，张D.王，张，李10.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连。

2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

{}{}{}{}∈⎢,3⎥，即OQ∈[1,3]，6⨯6=36种，从而abc+def为奇数的概率为722018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018A1、设集合A=1,2,3, ,99，集合B=2x|x∈A，集合C=x|2x∈A，则集合B C 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，B C=2,4,6, ,48，故B C的元素个数为24。

2018A2、设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于300且不大于600，则这样的点Q所构成的区域的面积为◆答案：8π★解析：设点P在平面α上的射影为O，由条件知tan∠OQP=OP⎡3⎤OQ⎣3⎦所以区域的面积为π⨯32-π⨯12=8π。

2018A3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为◆答案：9 10★解析：先考虑abc+def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6⨯6=36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有119=，故所求为1-=6!1010102018A4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F,F，12椭圆C的弦ST与U V分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则∆PF F的面积为12★解析：由对称性，不妨设点 P x , y在第一象限，则 x = PT -PS 即 P 2,1 。

进而可得 U2,2 ， S 4,1 ，代入椭圆方程解得： a 2 = 20 ， b 2 = 5 ，从而 2 2[ ]◆答案： π - 2,8 - 2π ][ ] [ ][ ] 所以 π - 2 < x < 8 - 2π ，即不等式的解集为 π - 2,8 - 2π ] ⎩bx 2 - 2bx = 0◆答案： 15()2 = 2 ，y 0 =PV - PU2= 1( ) ( ) ( )S ∆PF 1F2=1 1F F ⨯ y = ⨯ 2 15 ⨯ 1 = 15 。

2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(B卷)word版含解析

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（B 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。

1．设集合{2,0,1,8}A =，{2|}B a a A =∈，则A B 的所有元素之和是__________．解：易知B ={4,0,2,16}，故AB ={0,1,2,4,8,16}.AB 的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31．2．已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于45︒，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为__________．答案：3π．解：圆锥顶点P 在底面上的投影即为底面中心，记之为O ．由条件知，3．将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是奇数的概率为__________．解：当abc +def 为奇数时，abc ,fde 必为一奇一偶，若abc 为奇数，则a,b,c 为1,3,5的排列，d,e,f 为2,4,6的排列，这样有3!×3!=36种情况．由对称性可知，满足条件的情况数为36×2=72种．从而所求概率为72721==672010！ 4．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过原点，(3,1)=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点1(,)n n a a +均在l 上．若26a =，则12345a a a a a 的值为________5．设,αβ满足πtan()33α+=-，πtan()56β-=，则tan()αβ-的值为__________．6．设抛物线22C y x=：的准线与x轴交于点A，过点(1,0)B-作一直线l与抛物线C相切于点K，过点A作l的平行线，与抛物线C交于点M，N，则KMN△的面积为__________．=2x7．设()f x是定义在R上周期为2的偶函数，在[1,2]严格递减，且满足(π)1f=，(2π)0f=，则不等式组01,0()1,xf x⎧⎨⎩≤≤≤≤的解集为__________．8．已知复数123,,z z z 满足123||||||1z z z ===，123||z z z r ++=，其中r 是给定实数，则312231z z z z z z ++的实部是__________（用含有r 的式子表示）．二、解答题：本大题共3小题，共56分。

2018年全国数学竞赛试卷及解答

2018年全国数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（）（Ａ）bc ab >;（Ｂ）c b b a +>+;（Ｃ）c b b a ->-;（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（）（Ａ）2;（Ｂ）4;（Ｃ）3;（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABCN 的面积等于（）（Ａ）12;（Ｂ）14;（Ｃ）16;（Ｄ）184、已知0≠abc ，并且p ba c a cbc b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（）象限（Ａ）一、二;（Ｂ）二、三;（Ｃ）三、四;（Ｄ）一、四5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（）（Ａ）17个;（Ｂ）64个;（Ｃ）72个;（Ｄ）81个二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。

7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。

8、已知圆环内直径为acm ，外直径为bcm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。

9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。

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2018年全国初中数学竞赛试题
（2018年4月7日上午 9：30——11：30）
一、选择题（每小题5分，共30分）
1、设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则
b
a b
a -+的值为 A 、3 B 、6 C 、2 D 、3 2、已知a ＝1999x ＋2000，
b ＝1999x ＋2001，
c ＝1999x ＋2018，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3 3、如图，点
E 、
F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点
G ，则
ABCD
AGCD S S 矩形四边形等于
A 、6
5 B 、5
4 C 、4
3 D 、3
2 4、设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋
3
π
，y ＝b 2－2c ＋
3
π
，z ＝c 2－2a ＋
3
π
，则x 、y 、
z 中至少有一个值
A 、大于0
B 、等于0
C 、不大于0
D 、小于0
5、设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是
A 、72-＜a ＜52
B 、a ＞52
C 、a ＜72-
D 、11
2
-＜a ＜0 6、A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于
A 、22b a +
B 、22b ab a ++
C 、
()b a +2
1
D 、a ＋b 二、填空题（每小题5分，共30分）
7、设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，
A
B
C D
F G
则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为。

8、已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c )(x －c －d )－2与x 轴交点的横坐标，
a ＜
b ，则b
c c a -+-的值为。

9、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝。

10、如图，大圆O 的直径AB ＝acm ，分别以OA 、OA 为直径作 ⊙O 1、⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形O 1O 2O 3O 4的面积为 cm 2。

11、满足(n 2－n －1)n ＋2＝1的整数n 有个。

12、某商品的标价比成本高p %，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d %，则d 可以用p 表示为。

三、解答题（每小题20分，共60分）
13、某项工程，如果由甲、乙两队承包，5
2
2天完成，需付180000元；由乙、丙两队
承包，433天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，7
6
2天完成，需付160000元。

现
在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？
14、如图，圆内接六边形ABCDEF 满足AB ＝CD ＝EF ，且对角线AD 、BE 、CF 交于一
A
B
C
P
A B
点Q ，设AD 与CE 的交点为P 。

（1）求证：EC AC ED QD =（2）求证：2
2
CE AC PE CP =
15、如果对一切x 的整数值，x 的二次三项式ax 2＋bx ＋c 的值都是平方数（即整数的平方）。

证明：（1）2a 、2b 、c 都是整数；
（2）a 、b 、c 都是整数，并且c 是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x 的整数值，x 的二次三项式ax 2＋bx ＋c 的值都是平方数？
A
B
C
D E
F
P
Q。