复数的运算
复数的乘法与除法运算
复数的乘法与除法运算复数是由实部和虚部组成的数，它可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位。
复数的乘法和除法是复数运算中的重要部分，本文将就复数的乘法与除法运算进行详细介绍。
一、复数的乘法运算复数的乘法运算是根据乘法公式展开计算得出的。
设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的乘法运算可以表示为：(z1)*(z2) = (a+bi)*(c+di)使用分配律展开等式右侧的乘法运算，可得：= ac + adi + bci + bdi^2根据虚数单位的定义，i^2 = -1，将其代入上式中，得：= ac + adi + bci - bd进一步整理上式，将实部与虚部分开，可得复数乘法运算的结果为：= (ac-bd) + (ad+bc)i根据上述推导，复数的乘法运算结果的实部为(ac-bd)，虚部为(ad+bc)i。
二、复数的除法运算复数的除法运算是将被除数乘以除数的共轭值，然后再除以除数的模的平方。
设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的除法运算可以表示为：z1/z2 = (a+bi)/(c+di)首先，将分子和分母乘以除数的共轭值(c-di)，得：= [(a+bi)*(c-di)]/[(c+di)*(c-di)]根据乘法运算的规则展开等式，得：= [(ac+bd) + (bc-ad)i]/[(c^2+d^2)]根据上式，复数的除法运算结果的实部为(ac+bd)/(c^2+d^2)，虚部为(bc-ad)/(c^2+d^2)i。
三、复数乘除法运算的应用复数的乘除法运算在实际应用中有很多重要作用。
例如，在电路分析与设计中，复数常用来表示电阻、电容和电感等元件的阻抗或者阻抗的频率特性。
复数的乘法用于计算各种电路元件的等效阻抗，而复数的除法则用于计算电路的传输函数和频率响应。
此外，复数的乘除法运算也应用在信号处理、图像处理以及控制系统等领域。
复数的基本概念和运算
复数的基本概念和运算复数是数学中一个重要的概念，它是由实数和虚数构成的。
本文将介绍复数的基本概念和运算方法。
一、复数的基本概念复数是由实数与虚数相加组成的数，通常表示为a+bi，其中a 是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位，满足i²=-1。
实数部分和虚数部分都可以是正数、负数或零。
在复数的表示中，实数部分和虚数部分都是具体的数，可以是整数、小数或分数。
当虚数部分为0时，复数退化成实数。
当实数部分为0时，复数是纯虚数。
二、复数的运算1. 复数的加法复数的加法遵循实部相加、虚部相加的原则。
例如，设有两个复数a+bi和c+di，它们的和为(a+c)+(b+d)i。
2. 复数的减法复数的减法是加法的逆运算，即将减数取相反数后，按照加法的规则进行计算。
例如，设有两个复数a+bi和c+di，它们的差为(a-c)+(b-d)i。
3. 复数的乘法复数的乘法遵循分配律和虚数单位平方为-1的原则，即(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 复数的除法复数的除法是乘法的逆运算，即将除数的共轭复数作为分子和分母的乘积，然后按照乘法的规则进行计算。
例如，设有两个复数a+bi和c+di，它们的商为[(ac+bd)/(c²+d²)]+[(bc-ad)/(c²+d²)]i。
三、复数的应用复数在数学中有广泛的应用，在物理学、工程学、电子学等领域都起着重要的作用。
1. 物理学中的应用复数在波动理论、电磁场理论等物理学中有着重要的应用。
例如在波动理论中，复数可以表示波的振幅、相位等信息。
2. 工程学中的应用在工程学中，复数在信号处理、控制系统、电路分析等方面起着关键的作用。
例如在控制系统中，复数可以表示系统的稳定性、响应速度等性能指标。
3. 电子学中的应用在电子学中，复数在交流电路分析、滤波器设计等方面被广泛应用。
例如在交流电路分析中，复数可以表示电压和电流的相位关系等信息。
复数与复数的运算
复数与复数的运算在数学中，复数是由实部和虚部组成的数。
实部是一个实数，虚部则包含一个实数与单位虚数i的乘积。
复数可以进行加法、减法、乘法和除法等运算，下面将详细介绍复数与复数的各种运算。
一、复数加法与减法复数的加法和减法可以通过分别相加或相减实部和虚部来实现。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数。
1. 加法：两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
结果为(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
例子：计算(2+3i)+(4+5i)的结果。
解答：将实部2和4相加，得到6；将虚部3i和5i相加，得到8i。
因此，(2+3i)+(4+5i)=6+8i。
2. 减法：两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
结果为(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
例子：计算(5+6i)-(2+3i)的结果。
解答：将实部5和2相减，得到3；将虚部6i和3i相减，得到3i。
因此，(5+6i)-(2+3i)=3+3i。
二、复数乘法复数的乘法可以通过使用分配律和乘法公式来实现。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数。
乘法法则为：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
例子：计算(2+3i)×(4+5i)的结果。
解答：将实部2和4相乘，得到8；将虚部3i和5i相乘，得到-15。
同时，实部2和5i相乘，得到10i；将虚部3i和4相乘，得到12i。
因此，(2+3i)×(4+5i)=8-15+10i+12i= -7+22i。
三、复数除法复数的除法可以通过乘以共轭复数并进行简化来实现。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数且c+di≠0。
除法公式为：(a+bi)÷(c+di)=((a+bi)×(c-di))/((c+di)×(c-di))。
例子：计算(5+6i)÷(2+3i)的结果。
复数的运算法则
复数的运算法则（加减乘除)加法法则复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数z1,z2,z3,有：z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).减法法则复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，则它们的差是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。
乘除法乘法法则规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi^2，因为i^2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。
两个复数的积仍然是一个复数。
除法法则复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：可以把除法换算成乘法做,在分子分母同时乘上分母的共轭. 所谓共轭你可以理解为加减号的变换,互为共轭的两个复数相乘是个实常数.除法运算规则：①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.由复数相等定义可知cx-dy=a dx+cy=b解这个方程组，得x=(ac+bd)/(c^2+d^2) y=(bc-ad)/(c^2+d^2)于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i分母有理化②利用共轭复数将分母有理化得（见右图）：点评：①是常规方法；②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法。
复数的运算
记为 (a bi) (c di)或 a bi . c di
即 a bi x yi ,那么 x ? , y ?
解:原式= a2 (bi)2 = a2 b2 一步到位!
注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点.
定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z, 即 z a bi
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么z z ? z z ?
另外不难证明: z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
注:⑴复数的减法是加法的逆运算； ⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何 z1,z2,z3∈C, 有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
22
8
x 7.在复数集C内，你能将 2 y2分解因式吗？
(x+yi)(x-yi)
练习8：下列命题中正确的是 (1)如果Z1 Z2是实数，则 Z1、Z2互为共轭复数 (2)纯虚数Z的共轭复数是 Z。
(3)两个纯虚数的差还是纯 虚数 (2)
(4)两个虚数的差还是虚数 。
复 数 的 运 算 法 则
【复数的四则运算（C++）】------------------------------------------------------------------------------------------------------**复数x被定义为二元有序实数对(a,b)，记为z=a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位。
**在复数a+bi中，a=Re(z)称为实部，b=Im(z)称为虚部。
当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；**当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。
**复数的四则运算规定为：**加法法则：（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；**减法法则：（a+bi）－（c+di）=（a－c）+（b－d）i；**乘法法则：（a+bi）·（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i；**除法法则：（a+bi）÷（c+di）=[（ac+bd）-（c2+d2）]+[（bc-ad）-（c2+d2）]i.**当复数的实部和虚部都相等时，两个复数相等**只有当复数的虚部等于零的时候两个复数才可以比较大小------------------------------------------------------------------------------------------------------C++代码：-------------------------------------------头文件-----------------------------------------------------#?ifndef?__COMPLEX_H__?#?define?__COMPLEX_H__#?define?_CRT_SECURE_NO_WARNINGS?1#?include?iostream#?include?stdlib.husing?namespace?std;--声明复数类class?Complexpublic:voidComplex::Print();public:Complex(doublereal,doublep_w_picpath); Complex(constComplexZ);~Complex();boolComplex::operator(constComplexZ); boolComplex::operator(constComplexZ); boolComplex::operator==(constComplexZ); public:ComplexComplexAdd(constComplexZ); ComplexComplexSub(constComplexZ); ComplexComplexMul(constComplexZ); ComplexComplexDiv(constComplexZ);private:double_real;double_p_w_picpath;#?endif?--__COMPLEX_H__----------------------------------------------函数---------------------------------------------------- #?include?"Complex.h"--打印函数void?Complex::Print()if(!this-_p_w_picpath)if(!this-_real)cout0endl;coutthis-_realendl;elseif(!this-_real)coutthis-_p_w_picpath'i'endl;if(this-_p_w_picpath0)coutthis-_realthis-_p_w_picpath'i'endl;coutthis-_real'+'this-_p_w_picpath'i'endl;--构造函数Complex::Complex(double?real,?double?p_w_picpath)_real=real;_p_w_picpath=p_w_picpath;--拷贝构造函数Complex::Complex(const?Complex?Z)_real=Z._real;_p_w_picpath=Z._p_w_picpath;--析构函数Complex::~Complex()--这里的析构函数不需要做任何操作--操作符重载-*小于*-bool?Complex::operator?(const?Complex?Z)if(!this-_p_w_picpath!Z._p_w_picpath)if(this-_realZ._real)returntrue;returnfalse;-*大于*-bool?Complex::operator?(const?Complex?Z)if(!this-_p_w_picpath!Z._p_w_picpath)if(this-_realZ._real)returntrue;returnfalse;-*等于*-bool?Complex::operator==?(const?Complex?Z)if(!this-_p_w_picpath!Z._p_w_picpath)if(this-_real==Z._real)returntrue;elseif(this-_p_w_picpath==Z._p_w_picpath) if(this-_real==Z._real)returntrue;returnfalse;--四则运算-*加法*-Complex?Complex::ComplexAdd(const?Complex?Z) Complextmp(*this);tmp._real?+=?Z._real;tmp._p_w_picpath?+=?Z._p_w_picpath;return?tmp;-*减法*-Complex?Complex::ComplexSub(const?Complex?Z) Complextmp(*this);tmp._real-=Z._real;tmp._p_w_picpath-=Z._p_w_picpath; returntmp;-*乘法*-Complex?Complex::ComplexMul(const?Complex?Z)Complextmp(*this);tmp._real=(this-_real*Z._real)-(this-_p_w_picpath *Z._p_w_picpath);tmp._p_w_picpath=(this-_p_w_picpath*Z._real)+(thi s-_real?*?Z._p_w_picpath);returntmp;-*除法*-Complex?Complex::ComplexDiv(const?Complex?Z)Complextmp(*this);tmp._real=((this-_real*Z._real)+(this-_p_w_picpat h?*?Z._p_w_picpath))?-((Z._real*Z._real)+(Z._p_w_picpath*Z._p_w_picpa th));tmp._p_w_picpath=((this-_p_w_picpath*Z._real)-(th is-_real?*?Z._p_w_picpath))-((Z._real*Z._real)+(Z._p_w_picpath*Z._p_w_picpa th));returntmp;------------------------------------------ 测试用例-------------------------------------------------- #?include?"Complex.h"--测试四则运算-*测试加法*--*ComplexZ1(1,2);ComplexZ2(1,2);Complexret=plexAdd(Z2); ret.Print();*--*测试减法*--*ComplexZ1(-1,2);ComplexZ2(1,1);Complexret=plexSub(Z2); ret.Print();*--*测试乘法*--*ComplexZ1(1,-2);ComplexZ2(1,2);Complexret=pleMul(Z2); ret.Print();*--*测试除法*-ComplexZ1(1,2);ComplexZ2(1,1);Complexret=plexDiv(Z2); ret.Print();*---测试操作符重载boolRET;-*测试“”*---ComplexZ1(1,4); --ComplexZ2(1,4); --RET=Z1Z2;--coutRETendl;--ComplexZ3(1,0); --ComplexZ4(2,0); --RET=Z3Z4;--coutRETendl;-*测试“”*--*ComplexZ1(1,0); ComplexZ2(2,0); RET=Z1Z2; coutRETendl; ComplexZ3(3,0); ComplexZ4(2,0); RET=Z3Z4; coutRETendl;*--*测试“==”*- ComplexZ1(1,4);ComplexZ2(1,4); RET=Z1==Z2; coutRETendl; ComplexZ3(1,1); ComplexZ4(1,3); RET=Z3==Z4; coutRETendl; ComplexZ5(1,0); ComplexZ6(1,0); RET=Z5==Z6; coutRETendl;--测试拷贝构造函数void?Test2() ComplexZ1(1,3); Z1.Print(); ComplexZ2(Z1);Z2.Print();--测试构造函数void?Test1() ComplexZ1(1,3); Z1.Print();int?main()--Test1();--Test2();--Test3();Test4();system("pause");return0;----------------------------------------------------------------------------------------------------- ?C++中的空类，默认产生六个默认成员函数，分别是：构造函数，拷贝（赋值）构造函数，析构函数，赋值操作符重载，取地址操作符重载，const修饰的取地址操作符重载。
复数的基本运算与性质
复数的基本运算与性质复数是由实数与虚数部分组成的数字系统。
在数学中，复数可以进行各种基本的运算，如加法、减法、乘法和除法。
理解复数的基本运算和性质对于深入学习更高级的数学和物理学概念至关重要。
本文将详细讨论复数的基本运算与性质。
一、加法的基本运算与性质复数的加法规则是将实部和虚部分别相加。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，则它们的加法规则为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i加法的性质如下：1. 交换律：复数加法满足交换律，即a+bi + c+di = c+di + a+bi。
2. 结合律：复数加法满足结合律，即(a+bi + c+di) + (e+fi) = a+bi + (c+di + e+fi)。
二、减法的基本运算与性质复数的减法规则是将实部和虚部分别相减。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，则它们的减法规则为：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i减法的性质如下：1. 非交换律：复数减法不满足交换律，即a+bi - c+di ≠ c+di - a+bi。
2. 结合律：复数减法满足结合律，即(a+bi - c+di) - (e+fi) = a+bi -(c+di - e+fi)。
三、乘法的基本运算与性质复数的乘法规则是按照分配律进行运算。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，则它们的乘法规则为：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i乘法的性质如下：1. 交换律：复数乘法满足交换律，即(a+bi)(c+di) = (c+di)(a+bi)。
2. 结合律：复数乘法满足结合律，即[(a+bi)(c+di)](e+fi) =(a+bi)[(c+di)(e+fi)]。
四、除法的基本运算与性质复数的除法规则是通过乘以共轭复数再进行分子分母的乘法运算。
复数的乘除法总结
x3=1在复数集范围内的解是不是只有x=1，
如果不是，你能求出其他的解吗？
一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
2 2i i i 2 2 i 1 3i
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
a+bi
记作 c+di
例1、复数 z 满足(3-4i)×z = 1+2i，求z 。
1.知识
（1）复数的乘法； （2）复数的除法； （ 3）共轭复数。 通过本节课的学习，你有哪些收获？
归 纳 小 结
2.思想方新
1 3 1 3 i， ＝－ － i 练习2 设 － 2 2 2 2
2 2 3
（ 计算（ 1 ） （ ， 2） ， 3 ） ， (4) 。
1 i i. 1 i
1 i 8 ) . 练习 计算( 1 i 8 2 1 i （ 1 i ） 8 解 ( ) 1 i （ (1 i ) 1 - i）
2i 8 （ ） 2
i 1
8
2009浙江（理）
2 2 例4.设z 1 i (i是虚数单位），则 z z A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
a b2
2 2
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复数的运算
我们可以借助实数的四则运算法则来定义复数的四则运算。
复数的加减法为(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
注意到i2=-1，定义复数的乘法为
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2
=(ac-bd+(ad+bc)i
可以看到，两个复数的乘积为0当且仅当其中一个复数为0，这与实数的情况是一样的。
特别称a-bi为a+bi的共扼，两个共扼复数的乘积为实数，即
(a+bi)(a-bi)=a2+b2
当c和d不同时为零时，令分子分母同乘分母的共钜，定义复数的除法为
(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c2+d2)+[(bc-ad)/(c2+d3)]i
有了上面的定义，我们就可以求任意二次方程的解了，比如
x2-2x+20，由韦达公式可以得到两个解为x1=1+i和x2=1-i。
高斯非常认真地研究了复数，他在1801年发表地《算术研究》中考虑了复整数地问题，即复数a+bi中a和b均为整数的问题;他考虑了复素数的问题，所谓的复素数是指:不能分解为除+1和+i以外复整数乘积的形式的复数。
这样，在实数集合R中的素数在复数集合C中就不一定是复素数了，比如5在实数集合是一个素数，但在复数集合中却可以表示为两个共扼数乘积的形式，即
5=(1+2i)(1-2i)，因此，5在C中就不是素数。
特别是，高斯证明
了我们在《数的性质》一讲中提到的“任何一个整数都可以唯表示为若千个素数的乘积的形式”这个事实对于复整数也成立，于是，就开辟了今天被称为代数数论的新的研究邻域.。