2007年高考数学试题(江西理)含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简

2

24(1)i

i ++的结果是（ ）

Ａ．2i +

Ｂ．2i -+

Ｃ．2i -

Ｄ．2i --

2．32

1lim 1

x x x x →--（ ）

Ａ．等于0

Ｂ．等于1

Ｃ．等于3

Ｄ．不存在

3．若πtan 34α??

-= ???

，则cot α等于（ ） Ａ．2-

Ｂ．1

2

-

Ｃ．

12

Ｄ．2

4．

已知n

展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ）

Ａ．4 Ｂ．5

Ｃ．6

Ｄ．7

5．若π

02x <<

，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3

sin πx x >

Ｃ．224sin πx x < Ｄ．2

24sin π

x x >

6．若集合{}012M =，，，{}

()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，，则N 中元素的个数为（ ）

Ａ．9 Ｂ．6

Ｃ．4

Ｄ．2

7．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．AH 垂直平面11CB D Ｃ．AH 的延长线经过点1C

1

1

1B

Ｄ．直线AH 和1BB 所成角为45o

8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）

Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >>

Ｃ．324h h h >>

Ｄ．241h h h >>

9．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1

e 2

=，右焦点为(0)F c ，，方程

20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）

Ａ．必在圆2

2

2x y +=内 Ｂ．必在圆22

2x y +=上 Ｃ．必在圆2

2

2x y +=外

Ｄ．以上三种情形都有可能

10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ） Ａ．

19

Ｂ．

112

Ｃ．

115

Ｄ．

118

11．设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15

-

Ｂ．0

Ｃ．

15

Ｄ．5

12．设2

:()e ln 21x

p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）

Ａ．充分不必要条件

Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充分必要条件

Ｄ．既不充分也不必要条件

2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

理科数学 第II 卷

注意事项：

第II 卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷题上作答，答案无效．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为

．

14．已知数列{}n a 对于任意*

p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若11

9

a =

，则36a = ．

15．如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交

直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，

若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r

，则m n +的值为

．

16．设有一组圆2

2

4

*

:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题：

Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．

相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知函数2

1(0)()2(1)x c cx x c f x k c x -+<

=??+

≤在区间(01)，内连续，且29()8f c =．

（1）求实数k 和c 的值； （2

）解不等式()18

f x >

+． 18．（本小题满分12分）

如图，函数π2cos()(0)2

y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y

轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-． （1）求θ和ω的值；

（2）已知点π02A ??

???

，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA

的中点，当02y =

，0ππ2x ??

∈????

，时，求0x 的值． 19．（本小题满分12分）

某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经

过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 20．（本小题满分12分）

右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知

11111A B B C ==，11190A B C ∠=o ，14AA =，12BB =，13CC =．

（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小； （3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分）

设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，

2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．

（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；

（2）过点B 作直线双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范

围，使OM ON =0u u u u r u u u r

g

，其中点O 为坐标原点． 22．（本小题满分14分）

设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*

n ∈N ，有1111

1122111

n n n n

a a a a n n ++++<<+-+． （1）求1a ，3a ；

（3）求数列{}n a 的通项n a ．

2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

理科数学参考答案

一、选择题 1．C 2．B

3．A 4．C 5．D 6．C 7．D

8．A

9．A

10．B

11．B 12．B

11

y

二、填空题 13．[5)+，∞ 14．4 15．2 16．B D ，

三、解答题

17．解：（1）因为01c <<，所以2

c c <， 由2

9()8f c =

，即3

918c +=，12

c =． 又因为4111022()1212x x x f x k x -??

?+<< ????

?=???

?+< ?????

≤在12x =处连续，

所以2

15224f k -??=+=

???

，即1k =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -??

?+<< ????

?=???

?+< ?????

≤

由()1f x >+得，当1

02

x <<

12x <<． 当

112x <≤时，解得1528

x <≤，

所以()18f x >

+

的解集为58x ????

<

． 18．解：（1）将0x =

，y =2cos()y x ωθ=+

得cos θ=

因为02θπ≤≤

，所以6

θπ=． 又因为2sin()y x ωωθ'=-+，0

2x y ='=-，6

θπ

=

，所以2ω=， 因此2cos 26y x π??=+

???． （2）因为点02

A π

?? ???

，

，00()Q x y ，是PA

的中点，02

y =， 所以点P

的坐标为022x π?-

?

．

又因为点P 在2cos 26y x π??=+ ???

的图象上，所以05cos 462x π??-= ??

?． 因为

02x ππ≤≤，所以075194666

x πππ

-≤≤

， 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ

-=

． 即023x π=或034

x π=．

19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， （1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则

123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++g g g g g g 0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=??+??+??=．

（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =， 所以~(30.3)B ξ，， 故30.30.9E np ξ==?=．

解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则

()()()0.3P A P B P C ===，

所以3

(0)(10.3)0.343P ξ==-=，

2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==?-?=， 2(2)30.30.70.189P ξ==??=， 3(3)0.30.027P ξ===．

于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=?+?+?=． 20．解法一：

（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．

则11OD BB CC ∥∥． 因为O 是AB 的中点， 所以1111

()32

OD AA BB CC =

+==． 则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥．

11

A 2

1C D ?平面111C B A 且OC ?平面111C B A ，

则OC ∥面111A B C ．

（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ． 作22BH A C ⊥于H ，连CH ．

因为1CC ⊥面22BA C ，所以1CC BH ⊥，则BH ⊥平面1A C ．

又因为AB =

BC =

222AC AB BC AC =?=+．

所以BC AC ⊥，根据三垂线定理知CH AC ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角．

因为2BH =

，所以1sin 2

BH BCH BC ==∠，故30BCH =o ∠， 即：所求二面角的大小为30o

．

（3

）因为2

BH =

，所以

22221111

(12)3322

B AA

C C AA C C V S BH -==+=g g ．

1112211111

212

A B C A BC A B C V S BB -===g g △．

所求几何体体积为

22111223

2

B AA

C C A B C A BC V V V --=+=．

解法二：

（1）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，

则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ?

? ???

，，， 1102OC ??

=- ???

u u u r ，，．

易知，(001)n =r

，

，是平面111A B C 的一个法向量． 因为0OC n =u u u r r

g

，OC ?平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ． （2）(012)AB =--u u u r ，

，，(101)BC =u u u r

，，，

1

x

设()m x y z =u r

，，是平面ABC 的一个法向量，则

则0AB m =u u u r u r g ，0BC m =u u u r u r g 得：20

0y z x z --=??+=?

取1x z =-=，(121)m =-u r

，

，． 显然，(110)l =r

，，为平面11AAC C 的一个法向量．

则cos m l m l m l

==

=u r r u r r g u r r g ，，结合图形可知所求二面角为锐角． 所以二面角1B AC A --的大小是30o

． （3）同解法一．

21．解法一：（1）在PAB △中，2AB =，即222

121222cos 2d d d d θ=+-，

2212124()4sin d d d d θ=-+

，即122d d -==<（常数），

点P 的轨迹C 是以A B ，

为焦点，实轴长2a =的双曲线．

方程为：

22

11x y λλ

-=-． （2）设11()M x y ，，22()N x y ，

①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．

即

2111101λλλλλ-=?+-=?=-，因为01λ<<

，所以λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．

由22

11(1)x y y k x λλ?-=?-??=-?

得：2222

(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ??--+---+=??

， 由题意知：2

(1)0k λλ??--≠??，

所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122

(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22

2

12122

(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．

因为0OM ON =u u u u r u u u r

g

，且M N ，在双曲线右支上，所以

2121222

122212(1)0(1)1210112310

01x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-?+=?-?=?>???+-+>???

<<+--??????>+->>???-?

．

由①②知，

12

23

λ<≤． 解法二：（1）同解法一

（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，2

21101MB λ

λλλλ

=-=?+-=-，

因为01λ<<

，所以1

2

λ=

； ②当12x x ≠时，22

11022

2211111MN x y x k y x y λλλ

λλλ

?-=??-?=?-?-=?-?g ． 又001

MN BE y k k x ==

-．所以22

000(1)y x x λλλ-=-； 由2MON π=∠得2

22

002MN x y ??+= ???，由第二定义得2

2

12()222MN e x x a ??+-??= ????

???

2

20001(1)21x x x λλ

==+---． 所以222

000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．

于是由22

000

222

000(1)(1)2(1)(1)

y x x y x x λλλλλλλ?-=-??-=--+-??得20(1)23x λλ-=- 因为01x >，所以

2

(1)123λλ

->-，又01λ<<，

解得：

1223λ<<

．由①②知12

23

λ<≤．

22．解：（1）据条件得111111

2(1)2n n n n n n a a a a ++??+

<++<+ ?

??

① 当1n =时，由21211111

222a a a a ??+<+<+ ???

，即有1112212244a a +<+<+，

解得

128

37

a <<．因为1a 为正整数，故11a =． 当2n =时，由331111

26244a a ??+

<+<+ ???

， 解得3810a <<，所以39a =．

（2）方法一：由11a =，24a =，39a =，猜想：2

n a n =．

下面用数学归纳法证明．

1o 当1n =，2时，由（1）知2

n a n =均成立； 2o 假设(2)n k k =≥成立，则2

k a k =，则1n k =+时

由①得22

111111

2(1)2k k k k a k

a k ++??+

<++<+ ??? 2212(1)(1)

11k k k k k k a k k k +++-?<<-+- 22

212(1)1(1)(1)11

k k k a k k k ++?+-<<+++-

因为2k ≥时，2

2

(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]2

2

(1)011

k k +∈+，． 11k -≥，所以

(]1

011

k ∈-，． 又1k a +∈*N ，所以22

1(1)(1)k k a k +++≤≤． 故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2

n a n =成立． 由1o ，2o

知，对任意n ∈*N ，2n a n =．

（2）方法二：

由11a =，24a =，39a =，猜想：2

n a n =．

下面用数学归纳法证明．

1o 当1n =，2时，由（1）知2

n a n =均成立； 2o 假设(2)n k k =≥成立，则2

k a k =，则1n k =+时

由①得22111111

2(1)2k k k k a k

a k ++??+

<++<+ ??? 即21111(1)122k k k k k a k a k

+++++

<+<+ ② 由②左式，得21

11k k k k k a +-+-<

，即32

1(1)k k a k k k +-<+-，因为两端为整数， 则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-+--=+-≤．于是2

1(1)k a k ++≤ ③

又由②右式，2222

1(1)21(1)1

k k k k k k k k a k k +++-+-+<=

． 则23

1(1)(1)k k k a k k +-+>+．

因为两端为正整数，则243

1(1)1k k k a k k +-+++≥，

所以4321221(1)11

k k k k

a k k k k k +++=+--+-+≥．

又因2k ≥时，1k a +为正整数，则2

1(1)k a k ++≥ ④

据③④21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2

n a n =成立． 由1o ，2o 知，对任意n ∈*

N ，2n a n =．