【人教A版】2021年高中数学选修2-1(全集)同步单元检测卷汇总

（人教A版）高中数学选修2-1（全册）同步单元检

测卷汇总

第一章单元综合检测(一)

(时间120分钟满分150分)

一、选择题(本大题共12小题, 每小题5分, 共60分)

1．给出下列语句: ①二次函数是偶函数吗? ②2>2; ③sin π

2＝1; ④x

2－4x＋4＝0.其中是

命题的有()

A．1个B．2个

C．3个D．4个

解析: 只有②和③是命题, 语句①是疑问句, 语句④含有变量x, 不能判断真假．

答案: B

2．下列命题是真命题的是()

A．实数的绝对值是正数

B．一切自然数都有倒数

C．垂直于同一条直线的两条直线平行

D．偶数的平方是4的倍数

解析: 实数的绝对值是非负数, 不是正数, A不正确; 0没有倒数, B不正确; 垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面, C不正确．

答案: D

3．[2014·保定高二检测]下列命题是真命题的是()

A．“若x＝0, 则xy＝0”的逆命题;

B．“若x＝0, 则xy＝0”的否命题;

C．若x>1, 则x>2;

D．“若x＝2, 则(x－2)(x－1)＝0”的逆否命题

解析: A中逆命题为: 若xy＝0, 则x＝0错误; 选项B中, 否命题为: 若x≠0, 则xy≠0, 错误; 选项C中, 若x>1, 则x>2显然不正确; D选项中, 因为原命题正确, 所以逆否命题正确．

答案: D

4．已知命题s为“p∧q”是真命题, 那么命题“p∨q”及命题?s的真假是()

A．真、真B．假、假

C．真、假D．以上都不对

解析: p∧q为真, 则p、q均为真．所以p∨q为真, ?s为假．

答案: C

5．若“p∧q”与“(?p)∨q”均为假命题, 则()

A．p真q假B．p假q真

C．p与q均真D．p与q均假

解析: “p∧q”为假, 则p, q中至少有一假; “(?p)∨q”为假, 则?p, q均为假．∴p真, q 假．

答案: A

6．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的()

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

解析: “a＝1”时两直线垂直, 两直线垂直时a＝1, 故为充要条件．

答案: C

7．[2014·湖南师大附中月考]“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于()

A. ?x0∈R, 使得f(x0)>0成立

B. ?x0∈R, 使得f(x0)≤0成立

C. ?x∈R, 使得f(x)>0成立

D. ?x∈R, f(x)≤0成立

解析: 本题主要考查特称命题．“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于“存在实数x0, 使得f(x0)>0成立”, 故选A.

答案: A

8．命题: “?x∈R, x2－x＋2≥0”的否定是()

A．?x∈R, x2－x＋2≥0

B．?x∈R, x2－x＋2≥0

C．?x∈R, x2－x＋2<0

D ．?x ∈R , x 2－x ＋2<0

解析: 全称命题的否定是特称命题, “≥”的否定是“<”． 答案: C

9．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( ) A. x <0 B. x ≥0 C. x ∈{－1,3,5} D. x ≤－1

2

或x ≥3

解析: ∵2x 2－5x －3≥0的解集为{x |x ≥3或x ≤－1

2},

∴x ∈{－1,3,5}是不等式成立的一个充分不必要条件． 答案: C

10．[2013·湖北高考]在一次跳伞训练中, 甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”, q 是“乙降落在指定范围”, 则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )

A. (?p )∨(?q )

B. p ∨(?q )

C. (?p )∧(?q )

D. p ∨q

解析: ?p 表示甲没有降落在指定范围, ?q 表示乙没有降落在指定范围, 命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”, 也就是“甲没有降落在指定范围”或“乙没有降落在指定范围”．故选A.

答案: A

11．[2013·四川省成都七中月考]已知a , b 是不共线的向量, 若AB →＝λ1a ＋b , AC →＝a ＋λ2b (λ1, λ2∈R ), 则A , B , C 三点共线的充要条件是( )

A. λ1＝λ2＝－1

B. λ1＝λ2＝1

C. λ1λ2＝1

D. λ1λ2＝－1

解析: 本题主要考查向量中三点共线的条件．依题意, A , B , C 三点共线 ?AB →＝λAC →?λ1a

＋b ＝λa ＋λλ2b ??

????

λ1＝λλλ2＝1, 故选C.

答案: C

12．已知函数f (x )＝?????

|x ＋1x |，x ≠0

0，x ＝0, 则关于x 的方程af 2(x )＋f (x )－2c ＝0有5个不同实

数解的充要条件是( )

A.－1

20

B. a ≥－1

2且c <0

C.－1

2

D. a ≥－1

2

且c ＝0

解析: 本题主要考查含参数的函数方程解的个数问题以及充要条件的知识．令t ＝f (x ), 则方程af 2(x )＋f (x )－2c ＝0可转化为at 2＋t －2c ＝0.令g (t )＝at 2＋t －2c , 因为|x ＋1

x |≥2且原方

程有5个不同实数解, 所以方程g (t )＝at 2＋t －2c ＝0应该有一个大于2的根与一个零根, 则

?????

－1

2a >0

g (2)＝4a ＋2－2c >0c ＝0

,

解得－1

2

答案: C

二、填空题(本大题共4小题, 每小题5分, 共20分)

13．“任一不大于0的数的立方不大于0”用“?”或“?”符号表示为__________． 解析: 该命题为全称命题, “不大于”即“≤”． 答案: ?x ≤0, x 3≤0

14．命题: “若ab 不为零, 则a , b 都不为零”的逆否命题是__________． 解析: “都不为零”的否定是“至少一个是零”． 答案: 若a , b 至少有一个为零, 则a ·b 为零

15．“对顶角相等”的否定为__________, 否命题为__________________________． 解析: “对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”, 否命题为“若两个角不是对顶角, 则它们不相等”．

答案: 对顶角不相等 若两个角不是对顶角, 则它们不相等

16．已知命题p : |x －1|0); 命题q : |x －5|>2, 且p 是q 的既不充分也不必要条件, 则c 的取值范围是__________．

解析: 由|x －1|

∴命题p 对应的集合A ＝{x |1－c 0}, 同理命题q 对应的集合B ＝{x |x <3或x >7}, 若p 是q 的既不充分也不必要条件,

应有?

????

7>1－c 3<1＋c , 即c >2.

答案: (2, ＋∞)

三、解答题(本大题共6小题, 共70分)

17．(10分)写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0, 则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断它们的真假．

解: 逆命题: 若x ＝2且y ＝－1, 则x －2＋(y ＋1)2＝0, 真命题． 否命题: 若x －2＋(y ＋1)2≠0, 则x ≠2或y ≠－1, 真命题． 逆否命题: 若x ≠2或y ≠－1, 则x －2＋(y ＋1)2≠0, 真命题． 18．(12分)写出下列命题的否定并判断真假: (1)所有自然数的平方是正数;

(2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根; (3)?x ∈R , x 2－3x ＋3>0; (4)有些质数不是奇数．

解: (1)所有自然数的平方是正数, 假命题; 否定: 有些自然数的平方不是正数, 真命题． (2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根, 假命题; 否定: ?x 0∈R,5x 0－12≠0, 真命题． (3)?x ∈R , x 2－3x ＋3>0, 真命题; 否定: ?x 0∈R , x 20－3x 0＋3≤0, 假命题． (4)有些质数不是奇数, 真命题; 否定: 所有的质数都是奇数, 假命题．

19．(12分)如右图所示的电路图, 设命题p : 开关K 闭合, 命题q : 开关K 1闭合, 命题s : 开关K 2闭合, 命题t : 开关K 3闭合．

(1)写出灯泡A 亮的充要条件; (2)写出灯泡B 不亮的充分不必要条件; (3)写出灯泡C 亮的必要不充分条件． 解: (1)灯泡A 亮的充要条件是“p ∧q ”;

(2)灯泡B 不亮的充分不必要条件是“?p ”, 或“?s ”; (3)灯泡C 亮的必要不充分条件是p , 或t .

20．(12分)已知ab ≠0, 求证: a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明: 必要性: ∵a ＋b ＝1, ∴b ＝1－a , ∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2

＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2

＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2 ＝0.

充分性: ∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0, 即(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0, ∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0, 又ab ≠0, 即a ≠0且b ≠0, ∴a 2－ab ＋b 2＝(a －

b 2)2＋3b 2

4

≠0, 只有a ＋b ＝1. 综上可知, 当ab ≠0时,

a ＋

b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.

21．(12分)已知p : “?x ∈[1,2], x 2－a ≥0”, q : “?x 0∈R , 使x 20＋2ax 0

＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题, 求实数a 的取值范围．

解: p 为真时: x 2－a ≥0即a ≤x 2.

∵x ∈[1,2]时, 上式恒成立, 而x 2∈[1,4], ∴a ≤1.

q 为真时: Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0 即a ≥1或a ≤－2.

∵p 且q 为真命题, ∴p , q 均为真命题． ∴a ＝1或a ≤－2. 即实数a 的取值范围是 {a |a ＝1或a ≤－2}． 22．(12分)已知p : |1－

x －1

3

|≤2, q : x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)．若“?p ”是“?q ”的充分而不必要条件, 求实数m 的取值范围．

解: 由p : |1－

x －1

3

|≤2, 解得－2≤x ≤10, ∴“?p ”: A ＝{x |x <－2或x >10}． 由q : x 2－2x ＋1－m 2≤0, 解得1－m ≤x ≤1＋m (m >0),

∴“?q ”: B ＝{x |x <1－m 或x >1＋m , m >0}． 由“?p ”是“?q ”的充分而不必要条件可知: A B , 则????

?

m >0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，

解得0

∴满足条件的m 的取值范围为{m |0

第一章 单元综合检测(二)

(时间120分钟 满分150分)

一、选择题(本大题共12小题, 每小题5分, 共60分) 1．下列语句中, 不能成为命题的是( ) A ．指数函数是增函数吗? B ．2010>2011 C ．若a ⊥b , 则a ·b ＝0 D ．存在实数x 0, 使得x 0<0

解析: 疑问句不能判断真假, 因此不是命题．D 是命题, 且是个特称命题． 答案: A

2．下列命题是真命题的是( ) A ．若1x ＝1

y , 则x ＝y

B ．若x 2＝1, 则x ＝1

C ．若x ＝y , 则x ＝y

D ．若x

解析: A 显然是真命题; 对于B, 由x 2＝1, 得x ＝±1, 故B 是假命题; 对于C, 令x ＝y ＝－1, 则x , y 无意义, 故C 是假命题; 对于D, 令x ＝－3, y ＝－1, 则(－3)2>(－1)2, 故D 是假命题．故选A.

答案: A

3．命题“若x ＝1, 则x 2－3x ＋2＝0”以及它的逆命题、否命题和逆否命题中, 真命题的个数是( )

A ．0

B ．2

C ．3

D ．4

解析: ∵原命题为真命题, ∴逆否命题也是真命题．∵它的逆命题是: 若x 2－3x ＋2＝0, 则x ＝1, 是假命题, ∴它的否命题也是假命题, 故选B.

答案: B 4．下列命题:

①至少有一个实数x 0使x 20－x 0＋1＝0成立; ②对于任意的实数x 都有x 2－x ＋1＝0成立;

③所有的实数x都使x2－x＋1＝0不成立;

④存在实数x0使x20－x0＋1＝0不成立．

其中全称命题的个数是()

A．1B．2

C．3D．4

解析: 由全称命题的定义知②③为全称命题．

答案: B

5．[2013·重庆高考]命题“对任意x∈R, 都有x2≥0”的否定为()

A. 存在x0∈R, 使得x20<0

B. 对任意x∈R, 都有x2<0

C. 存在x0∈R, 使得x20≥0

D. 不存在x∈R, 使得x2<0

解析: 本题主要考查全称命题的否定．根据定义可知命题的否定为存在x0∈R, 使得x20 <0, 故选A.

答案: A

6．已知条件p: m>3, 条件q: 点P(m,1)在圆x2＋y2＝4外, 则p是q的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析: 对q: m2＋1>4, ∴m2>3,

即m>3或m<－3,

∴p?q反之q p.

答案: A

7．设p: x2－x－2<0, q: 1＋x

|x|－2

<0, 则p是q的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析: p: x2－x－2<0?－1

|x|－2

<0?x<－2或－1

条件．

答案: A

8．[2014·人大附中月考]下列命题的否定为假命题的是()

A. ?x∈R, x2＋2x＋2≤0

B. 任意一个四边形的四个顶点共圆

C. 所有能被3整除的整数都是奇数

D. ?x∈R, sin2x＋cos2x＝1

解析: 本题主要考查特称、全称命题的真假性判断, 以及命题与其否定之间的真假关系．A中, 当x∈R时, x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0, 所以A中命题是假命题, 该命题的否定是真命题, 所以A不是; B中, 由平面几何的知识可知该命题是假命题, 所以其否定是真命题, 所以B不是; C中, 由于6能被3整除, 但6是偶数, 不是奇数, 所以C中的命题是假命题, 该命题的否定是真命题, 所以C不是; D中, 由同角三角函数基本关系式可知该命题是真命题, 其否定是假命题, 所以D是, 故选D.

答案: D

9．[2013·湖北省襄阳五中月考]已知命题p: 若(x－1)(x－2)≠0, 则x≠1且x≠2; 命题q: 存在实数x0, 使2x0<0.下列选项中为真命题的是()

A. ?p

B. ?p∨q

C. ?q∧p

D. q

解析: 本题主要考查含有逻辑联结词的命题和特称命题的真假性判断, 以及指数函数．很明显命题p为真命题, 所以?p为假命题; 由于函数y＝2x, x∈R的值域是(0, ＋∞), 所以q是假命题, 所以?q是真命题．所以?p∨q为假命题, ?q∧p为真命题, 故选C.

答案: C

10．以下判断正确的是()

A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题

B．命题“?x∈N, x3>x2”的否定是“?x0∈N, x30>x20”

C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件

D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数”的充要条件

解析: “负数的平方是正数”即为“?x <0, x 2>0”, 是全称命题, 所以A 不正确; 因为

全称命题“?x ∈N , x 3>x 2”的否定为“?x 0∈N , x 30≤x 20”, 所以B 不正确; 因为f (x )＝cos 2

ax

－sin 2ax ＝cos2ax , 当最小正周期为π时, 有

2π

|2a |

＝π, 则|a |＝1?a ＝±1.故“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件, 所以C 不正确, 故选D.

答案: D

11．(2011·湖北高考)若实数a , b 满足a ≥0, b ≥0, 且ab ＝0, 则称a 与b 互补．记φ(a , b )＝a 2＋b 2－a －b , 那么φ(a , b )＝0是a 与b 互补的( )

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件 解析: 由

a 2＋

b 2＝a ＋b ,

可得

a 2＋

b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ,

即?

??

??

ab ＝0，

a ＋

b ≥0即

?

????

ab ＝0，

a ≥0，

b ≥0反之亦可推, 故φ(a , b )＝0是a 与b 互补的充要条件． 答案: C

12．下列命题正确的是( )

A. 在△ABC 中, 角A , B , C 的对边分别是a , b , c 则a >b 是cos A

B. 命题p : 对任意的x ∈R , x 2＋x ＋1>0, 则?p : 对任意的x ∈R , x 2＋x ＋1≤0

C. 已知p :

1x ＋1>0, 则?p : 1

x ＋1

≤0 D. 存在实数x ∈R , 使sin x ＋cos x ＝π

2

成立

解析: 对于选项A, 在△ABC 中大边对大角, 由a >b 得A >B , 又余弦函数在(0, π)上单调递减, 所以cos A B , 故a >b , 所以选项A 正确．

对于选项B, 命题p 的否定?p 应为: 存在实数x ∈R , 使x 2＋x ＋1≤0, 故选项B 不对． 对于选项C, p :

1

x ＋1

>0?p : x >－1, 故?p 为x ≤－1而不是1

x ＋1

≤0, 故C 不正确．

对于选项D, cos x ＋sin x 的最大值为2, 小于π

2, 因而选项D 也不正确．

答案: A

二、填空题(本大题共4小题, 每小题5分, 共20分)

13．命题“若ab ＝0, 则a ＝0, 或b ＝0”的否命题是________．

解析: 据否命题的定义知, 命题“若ab ＝0, 则a ＝0, 或b ＝0”的否命题是“若ab ≠0, 则a ≠0, 且b ≠0”．

答案: 若ab ≠0, 则a ≠0, 且b ≠0

14．设A ＝{x |x －1

x ＋1<0}, B ＝{x ||x －b |

b 的取值范围是________．

解析: A ＝{x |x －1

x ＋1

<0}＝{x |－1

＋1|且A ∩B ≠?, 即?

????

b ＋1>－1，

b －1<1?－2

答案: (－2,2)

15．[2013·人大附中月考]等差数列{a n }的首项为a , 公差为d , 其前n 项和为S n , 则数列{S n }为递增数列的充要条件是________．

解析: 本题考查数列问题中充要条件的判断．由S n ＋1>S n (n ∈N *)?(n ＋1)a ＋n (n ＋1)

2d >na

＋n (n －1)2d (n ∈N *)?dn ＋a >0(n ∈N *)?d ≥0且d ＋a >0.因此数列{S n }为递增数列的充要条件

是d ≥0且d ＋a >0.

答案: d ≥0且d ＋a >0 16．给出下列四个命题:

①函数f (x )＝x |x |＋ax ＋m 是奇函数的充要条件是m ＝0; ②若函数f (x )＝lg(ax ＋1)的定义域是{x |x <1}, 则a <－1; ③若log a 2b 一定成立;

④圆: x 2＋y 2－10x ＋4y －5＝0上任一点M 关于直线ax －y －5a ＝2的对称点M ′也在该圆上．

所有正确命题的序号是__________． 解析: ①f (x )为奇函数?f (－x )＝－f (x ) ?－x |－x |＋a (－x )＋m ＝－x |x |－ax －m ?m ＝－m ?m ＝0.∴①正确． ②由已知x <1时, ax ＋1>0恒成立． 显然当a ≥0时, 上式不成立． 当a <0时, 只需a ＋1>0, ∴a >－1. ∴－1

③当00, log a 2b 不成立．

∴③不正确．

④∵圆的圆心为(5, －2),

直线ax －y －5a ＝2过定点(5, －2)．

∴圆上任一点M 关于直线的对称点M ′仍在该圆上． ∴④正确． 答案: ①④

三、解答题(本大题共6小题, 共70分)

17．(10分)写出命题“若x 2＋7x －8＝0, 则x ＝－8或x ＝1”的逆命题、否命题、逆否命题, 并分别判断它们的真假．

解: 逆命题: 若x ＝－8或x ＝1, 则x 2＋7x －8＝0. 逆命题为真．

否命题: 若x 2＋7x －8≠0, 则x ≠－8且x ≠1. 否命题为真．

逆否命题: 若x ≠－8且x ≠1, 则x 2＋7x －8≠0. 逆否命题为真．

18．(12分)某人投篮, 设命题p : 第一次投中; q : 第二次投中．试用p , q 及逻辑联结词“且”“或”“非”表示下列命题:

(1)两次都投中; (2)两次都没有投中; (3)恰有一次投中; (4)至少有一次投中． 解: (1)两次都投中: p ∧q . (2)两次都没有投中: (?p )∧(?q )． (3)恰有一次投中: (p ∧(?q ))∨((?p )∧q )． (4)至少有一次投中: p ∨q .

19．(12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题, 并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数;

(2)至少有一个整数, 它既能被11整除, 又能被9整除; (3)?x ∈{x |x >0}, x ＋1

x ≥2;

(4)?x 0∈Z , log 2x 0>2.

解: (1)本题隐含了全称量词“所有的”, 其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”, 是全称命题, 且为真命题;

(2)命题中含有存在量词“至少有一个”, 因此是特称命题, 真命题;

(3)命题中含有全称量词“?”, 是全称命题, 真命题;

(4)命题中含有存在量词“?”, 是特称命题, 真命题．

20．(12分)求证: 关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

解: 充分性: ∵a＋b＋c＝0,

∴c＝－a－b, 代入方程ax2＋bx＋c＝0中得

ax2＋bx－a－b＝0, 即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.

∴方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.

必要性: ∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1,

∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.

∴有a×12＋b×1＋c＝0, 即a＋b＋c＝0.

故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要是a＋b＋c＝0.

21．(12分)设p: 实数x满足x2－4ax＋3a2<0, 其中a<0, q: 实数x满足x2－x－6≤0, 或x2＋2x－8>0, 且?p是?q的必要非充分条件, 求a的取值范围．

解: 设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0(a<0)}＝{x|3a

B＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}

＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}

＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}

＝{x|x<－4或x≥－2}．

∵?p是?q的必要非充分条件,

∴?q??p, 且?p?q.

则{x|?q}{x|?p},

而{x|?q}＝?R B＝{x|－4≤x<－2},

{x|?p}＝?R A＝{x|x≤3a, 或x≥a(a<0)},

∴{x|－4≤x<－2}{x|x≤3a, 或x≥a(a<0)},

则????? 3a ≥－2a <0或?

????

a ≤－4a <0, 即－2

3

≤a <0或a ≤－4.

22．(12分)已知条件p : 5x －1>a 或5x －1<－a 和条件q :

1

2x 2－3x ＋1

>0, 请选取适当的实

数a 的值, 分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题: “若A 则B ”, 并使得构造的原命题为真命题, 而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么? 并说明为什么这一命题是符合要求的命题．

解: 条件p 即x <1－a 5或x >1＋a

5, 条件q 即2x 2－3x ＋1>0,

∴x <1

2

或x >1;

令a ＝4, 则p 即x <－3

5或x >1,

此时必有p ?q 成立, 反之不然．

故可以选取一个实数是a ＝4, A 为p , B 为q , 对应的命题是若p 则q , 由以上过程可知这一命题的原命题为真命题, 但它的逆命题为假命题．

第二章 单元综合检测(一)

(时间120分钟 满分150分)

一、选择题(本大题共12小题, 每小题5分, 共60分)

1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上, 长轴长是短轴长的两倍, 则m 的值是( ) A.14 B.12 C ．2

D ．4

解析: 由题意可得21m ＝2×2, 解得m ＝14

. 答案: A

2．若直线mx ＋ny ＝4与圆O : x 2＋y 2＝4

没有交点, 则过点P (m , n )的直线与椭圆x 29＋y 2

4

＝

1的交点个数为( )

A ．至多一个

B ．2

C ．1

D ．0

解析: ∵4m 2＋n 2>2, ∴m 2＋n 2

<2, m 29＋n 24

4<1,

∴点P (m , n )在椭圆x 29＋y 2

4

＝1的内部,

∴过点P (m , n )的直线与椭圆x 29＋y 2

4＝1有两个交点．

答案: B

3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0, b >0)的一条渐近线方程为y ＝4

3x , 则双曲线的离心率为

( )

A.5

3 B.43 C.54

D.32

解析: 双曲线焦点在x 轴, 由渐近线方程可得b a ＝43, 可得e ＝c

a ＝32＋423＝53.

答案: A

4．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0, b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x , 它的一个焦点在抛物

线y 2＝24x 的准线上, 则双曲线的方程为( )

A.x 236－y 2

108＝1 B.x 29－y 2

27＝1 C.x 2108－y 2

36

＝1 D.x 227－y 2

9

＝1 解析: 抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6, 故双曲线中c ＝6. ①

由双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝3x ,

知b

a ＝3, ② 且c 2＝a 2＋

b 2.

③

由①②③解得a 2＝9, b 2＝27. 故双曲线的方程为x 29－y 2

27＝1, 故选B.

答案: B

5．以P (2,2)为圆心的圆与椭圆x 2＋2y 2＝a 相交于A , B 两点, 则AB 的中点M 的轨迹方程为( )

A. xy －2x －4y ＝0

B. xy ＋2x ＋4y ＝0

C. xy －2x ＋4y ＝0

D. xy ＋2x －4y ＝0

解析: 本题主要考查由曲线求方程的方法．设M (x , y ), A (x －m , y －n ), B (x ＋m , y ＋n ), 易知AB 的斜率必存在, 又A , B 都在椭圆上, 则

????

?

(x －m )2＋2(y －n )2＝a (x ＋m )2＋2(y ＋n )2＝a k AB ·

k PM ＝－1?????

?

4mx ＋8ny ＝0n m

＝－x －2

y －2 ?x 2y ＝x －2

y －2, 即xy ＋2x －4y ＝0为所求轨迹方程, 故选D. 答案: D

6．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y 轴上, 则α的取值范围是( ) A.????34π，π B.????π4，34π C.????π2，π

D.????π2，34π

解析: 椭圆方程化为x 21sin α＋y 2－1

cos α＝1.

∵椭圆焦点在y 轴上, ∴－1cos α>1

sin α>0.

又∵0≤α<2π, ∴π2<α<3π

4.

答案: D

7．[2013·人大附中月考]已知F 1、F 2为双曲线的焦点, 以F 1F 2为边作正三角形, 若双曲线恰好平分另外两边, 则双曲线的离心率为( )

A. 1＋3

B. 1－ 3

C.

1＋3

2

D. 1－3

2 解析: 本题考查了双曲线的定义及数形结合的方法．设以F 1F 2为边的正三角形与双曲线右支交于点M , 在Rt △MF 1F 2中可得, |F 1F 2|＝2c , |MF 1|＝3c , |MF 2|＝c , 由双曲线的定义有|MF 1|－|MF 2|＝2a , 即3c －c ＝2a , 所以双曲线的离心率e ＝c a ＝2

3－1

＝3＋1, 故选A.

答案: A

8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1, 到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2, 则d 1＋d 2的最小值是( )

A.12

5 B.65 C ．2

D.55

解析: 如图所示过点F 作FM 垂直于直线3x －4y ＋9＝0, 当P 点

为直线FM 与抛物线的交点时, d 1＋d 2最小值为|3＋9|5＝12

5

.

答案: A

9．[2013·湖南省雅礼中学期中考试]如图, 定点A , B 都在平面α内, 定点P ?α, PB ⊥α, C 是α内异于A , B 的动点, 且PC ⊥AC , 那么动点C 在平面α内的轨迹是( )

A. 一条线段, 但要去掉两个点

B. 一个圆, 但要去掉两个点

C. 一条直线, 但要去掉两个点

D. 半圆, 但要去掉两个点

解析: 本题主要考查曲线的特征分析．由PB ⊥α, 得PB ⊥AC , 又PC ⊥AC , 所以AC ⊥平面PBC , 从而AC ⊥BC .由于A , B 是平面α内的两个定点, 则AB 为定长, 因此, 动点C 在以AB 为直径的圆周上, 但不包含A , B 两个点, 故选B.

答案: B

10．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分, 光源位于抛物线的焦点处, 已知灯口的直径为60 cm, 灯深40 cm, 则抛物线的标准方程可能是( )

A ．y 2＝25

4x

B ．y 2＝45

4x

C ．x 2＝－45

2

y

D ．x 2＝－45

4

y

解析: 若设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0), 则抛物线过点(40,30), 302＝2p ·40,2p ＝45

2,

所以所求抛物线方程为y 2＝

452

x . 选项中没有y 2＝452x , 但C 中的2p ＝45

2符合题意．

方程不同主要是因为讨论的焦点不同．

答案: C

11．[2013·北京市东城区联考]设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0, b >0)的左、右焦点．若

在双曲线右支上存在点P , 满足|PF 2|＝|F 1F 2|, 且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长, 则该双曲线的渐近线方程为( )

A. 3x ±4y ＝0

B. 3x ＋5y ＝0

C. 5x ±4y ＝0

D. 4x ±3y ＝0

解析: 本题主要考查双曲线的定义、等腰三角形的性质、双曲线中基本量之间的关系及应用．由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c , 所以△PF 1F 2为等腰三角形, 所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线, 因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a , 所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b , 又|PF 1|－|PF 2|＝2a , 所以4b －2c ＝2a , 所以2b －a ＝c , 两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2, 所以3b 2＝4ab , 所以4a ＝3b , 从而b a ＝4

3, 所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0,

故选D.

答案: D

12．[2013·广东省中山一中月考]已知点A (2,0), 在圆x 2＋y 2＝4上任取两点B , C , 使∠BAC ＝60°, 则△ABC 的垂心H 的轨迹方程是( )

A. (x ＋2)2＋y 2＝4

B. x 2＋(y －2)2＝4

C. (x －2)2＋(y ＋2)2＝4

D. (x －2)2＋y 2＝4

解析: 本题主要考查求曲线的方程．设H (x , y ), BD ⊥AC 于D , AE ⊥BC 于E , 得 ∠CBD ＝∠EAC , 所以△CBD 与△HAD 相似, 则有|AH ||BC |＝|AD ||BD |?|AH |＝|AD |·|BC ||BD |, 而∠BAC ＝60°, 得

|AD ||BD |＝3

3

.又∠BOC ＝2∠BAC ＝120°, OB ＝OC ＝2, 所以|BC |＝22＋22－2×2×2cos120°＝23, 得|AH |＝23×

3

3

＝2.故垂心H 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4, 故选D. 答案: D

二、填空题(本大题共4小题, 每小题5分, 共20分) 13．方程(x ＋y －1)·x －1＝0所表示的曲线是__________．

解析: 由方程(x ＋y －1)·x －1＝0得?

????

x ＋y －1＝0，

x －1≥0或x －1＝0,

∴x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.

答案: 直线x ＝1或射线x ＋y －1＝0(x ≥1)

14．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上, 且动圆恒与直线x ＋2＝0相切, 则动圆必过点

__________．

解析: 直线x ＋2＝0为抛物线的准线, 由于动圆恒与直线x ＋2＝0相切,

所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离, 由抛物线的定义可知, 定点为抛物线的焦点(2,0)．

答案: (2,0)

15．设椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2, 线段F 1F 2被点????b 2，0分成3∶1的两段, 则此椭圆的离心率为__________．

解析: 由题意, 得b

2＋c c －b 2＝3?b 2＋c ＝3c －32b ?b ＝c , 因此e ＝c

a ＝

c 2a 2

＝c 2

b 2＋

c 2

＝12

＝22. 答案:

22

16．[2013·河南省实验中学月考]抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F , 过焦点F 倾斜角为30°的直线交抛物线于A , B 两点, 点A , B 在抛物线准线上的射影分别是A ′, B ′, 若四边形AA ′B ′B 的面积为48, 则抛物线的方程为____．

解析: 本题考查点斜式, 抛物线的几何性质, 直线与抛物线的位置关系及梯形的面积公式．因为抛物线的焦点为F (p 2, 0), 所以直线AB 的方程为y ＝33(x －p 2), 代入y 2＝2px (p >0), 整

理得,

x 2－7px ＋

p 2

4

＝0.设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), 则由方程的根与系数之间的关系得x 1＋x 2＝7p , x 1·x 2＝p 24, y 1－y 2＝33(x 1－x 2), 又四边形AA ′B ′B 是梯形, 其面积为48, 所以12(x 1＋x 2＋p )|y 1

－y 2|＝48, 即12(x 1＋x 2＋p )|33(x 1－x 2)|＝3

6(x 1＋x 2＋p )(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝48, 解得p 2＝3, p ＝

3, 故抛物线的方程为y 2＝23x . 答案: y 2＝23x

三、解答题(本大题共6小题, 共70分)

17．(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y 2

9＝1上, MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线, 垂足为P ′,

并且M 为线段PP ′的中点, 求P 点的轨迹方程．

解: 设P 点的坐标为(x , y ), M 点的坐标为(x 0, y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上, ∴x 2036＋

y 20

9＝1.

∵M 是线段PP ′的中点,