两角差的余弦公式说课稿

《两角差的余弦公式》说课稿

繁昌县第一中学卢成

一、教材分析

“两角差的余弦公式”是课标教材人教版必修4第三章《三角恒等变换》第一节第一课时的内容。学生已经学习了三角函数的基本关系和诱导公式以及平面向量，在此基础上，本章将学习任意两个角和、差的三角函数式的变换。作为本章的第一节课，重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。由于两角差的余弦公式推导方法有很多，书本上出现两种证明方法——三角函数线法和向量法。课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。

二、学情分析

学生在第一章已经学习了三角函数的基本关系和诱导公式以及平面向量，但只对有特殊关系的两个角的三角函数关系通过诱导公式变换有一定的了解。对任意两角和、差的三角函数知之甚少。本课时面对的学生是高一年级的学生，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望，但应用已有知识解决问题的能力还处在初期，需进一步提高。

三、教法学法分析

（一）、说教法

基于新课标的理念中“学生主体性和教师主导性”的原则以及本班学生的实际情况，我采取如下教学方法：

1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为公式学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲，调动学生的主体参与的积极性。

2、突破教材，引导学生利用较为简洁的两种方法——两点间距离公式和向量法，在鼓励学生主体参与、乐于探究、勤于思考公式推导的同时，充分发挥教师的主导作用。

3、采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增强教学简易性和直观性。

4、通过有梯度的练习、变式训练、分层作业，学生对知识掌握逐步提高。

（二）、说学法

从学生已有的认知水平、认知能力出发，经过观察分析、自主探究、推导证明、归纳总结等环节，理解公式的推导过程，通过有梯度的练习、变式训练、分层作业，学生逐步提高对知识掌握。

四、教学目标

（根据新课程标准和本节知识的特点，以及本班学生的实际情况，确立以下教学目标）

（一）、知识目标

1、理解两角差的余弦公式的推导过程，并会利用两角差的余弦公式解决简单问题。

（二）、能力目标

通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，学生体会利用已有知识解决问题的一般方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

（三）、情感目标

使学生经历数学知识的发现、探索和证明的过程，体验成功探索新知的乐趣，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。

五、教学重难点

（由于本节课主要内容是公式的推导，所以教学重难点如下：）

教学重点：两角差的余弦公式的推导过程及简单应用；

教学难点：两角差的余弦公式的推导。

六、 教学流程

创设情境，导入新课

思考探索，建构新知

例题讲解，知识迁移

变式训练，深化认识

开放小结，归纳提升

分层作业，巩固提高

七、 教学过程

(一) 创设情境，导入新课

问题1：任意角的三角函数是如何定义的？

（⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===

x y r x r y αααtan cos sin 1=r ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧===x y x y αααtan cos sin ，回顾旧知，角α的终边与单位圆交于)sin (cos αα，A 是两

角差的余弦公式推导的基础）

（从实际问题出发，引导学生思考，从任意角的三角函数定义考虑能否求出

75tan 15tan 、，，从而引入本节课的课题----两角差的余弦公式）

问题2：我们在初中时就知道一些特殊角的三角函数值。那么大家验证一下，

)cos(βα-=βαcos cos -吗？，下面我们就一起探究两角差的余弦公式。

（引导学生利用特殊角检验，产生认知冲突，从而激发学生探究两角差的余

弦公式的兴趣。）

（二）探索公式，建构新知

（由于两角差的余弦公式推导方法有很多，本节课突破教材，引导学生利用较为简洁的两种方法——两点间距离公式和向量法，书本上出现三角函数线法留给学生参照书本课下探究。公式得出后，生成点的动画，让学生进一步感知两角差的余弦公式对任意角βα，均成立，并启发学生观察公式的特征。）

方法一（两点间距离公式）：如图，角α的终边与单位圆交于)sin (cos αα，A ;角β的终边与单位圆交于)sin (cos ββ，B ;角βα-的终边与单位圆

交于))sin()(cos(βαβα--，P ;),01(，T 则： AB PT =,所以： []2222)sin (sin )cos (cos )(sin 1)cos(βαβαβαβα-+-=-+--2)sin sin cos (cos 22)cos(2++-=+--βαβαβα

βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-∴。

方法二（向量法）：在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ， βα≥，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则

)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==OB OA

由向量数量积的坐标表示，有：

βαβαββααsin sin cos cos )

sin ,(cos )sin ,(cos +=•=•OB OA

向量OB OA ,的夹角就是βα-，由数量积的定义，有

)cos()cos(βαβα-=-=•OB OA OB OA

于是 βαβαβαsin sin cos cos )cos(

+=- 由于我们前面的推导均是在[]π

,0,∈βα，且βα≥的条件下进行的，因此（1）式还不具备一般性。

若[]πβα,0∉-，（1）式是否依然成立呢？

当[]πβα,0∉-时，设OA 与OB 的夹角为θ，则