二面角高三复习专题课件.ppt
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二面角课件
D1
C1 B1
ED1
C A1
E
A1
BD D
A
C1 B1
C
B
A
a 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，其棱
长为 ，E为AD1的中点，求平面 ACE 与面AD1 所成二面角的正切值。
C1
B1
D1
E
A1
D
ED1
C A1
B D
A
C1 B1
C
B
A
a 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，其棱
图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的 棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
l
2、二面角的表示方法
二面角－AB－ 二面角C－AB－ D 二面角－ l－
A
C
B
Dl
B
A
二面角C－AB－ E
F
E
A
B
D
C
思考:把门打开，门和墙构成二面角；把书打开， 相邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同， 可得到不同的二面角，这些二面角的区别在哪里？
D1
E
A1
C1 ED1
B1
A1
C1 B1
D A
CD BA
C
B
a 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，其棱
长为 ，E为AD1的中点，求平面 ACE 与面AD1 所成二面角的正切值。
D1
E
A1
D
A
C1
ED1
B1
A1
CD BA
C1 B1
C
B
a 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，其棱
思考1:直线上的一点将直线分割成两 部分，每一部分都叫做射线. 平面上 的一条直线将平面分割成两部分，每 一部分叫什么名称？
二面角PPT
如图所示的空间直角坐标系。 不妨设 AD 1, AB 2, DP a, 则 P(0,0, a), A(1,0,0) ，
PA BD
例2
如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E , F 分 别在 BB1 , DD1 上，且 AE A1B, AF A1D . D1 C1 (1)求证：AC 平面AEF ; 1 A1 (2)当 AB 4, AD 3, AA1 5 E 时，求平面AEF与平面D1B1BD 所成的角的余弦值。 F
• ２．求出二面角的两个半平面法向量 n1 , n2
n1 n2 • ３.求出 cos n1 , n2 | n1 || n2 |
• ４.将向量 n1 , n2 的夹角转化为二面角的大小
四．例题选讲
例１.如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD PD AB 为平行四边形， DAB 60 ， 2 AD ， 底面ABCD P （1）证明： PA BD （2）若 PD AD ，求二 面角 A PB C 的余弦值。 分析：由 DAB 60 ， D C AB 2 AD ，易证 ADB为Rt ， A B 故 AD DB 。
x1 x2 y1 y2 z1 z2 a b ３. cos a, b 2 2 2 2 | a || b | x1 y1 z1 x2 y2 2 z2 2
二．空间向量的坐标运算
三．向量法求二面角的方法与步骤
• １．建立空间直角坐标系（右手系）
例1
DA 解：以 D为原点， , DB, DP分别为x, y, z 轴建立
B(0, 3,0), D(0,0,0), PA (1,0, a), DB (0, 3,0), PADB 1 0 0 2 (a) 0=0
二面角(一)PPT课件
返回
2.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC= BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1 与底面ABC所成的角为60°. (1)求证：BC⊥平面AA1C1C； (2)求二面角B-AA1-C的大小.
【解题回顾】①先由第 (1)小题的结论易知 BC⊥AA1， 再利用作出棱AA1的垂面BNC来确定平面角∠BNC.
4.三棱锥A—BCD中，AB=AC=BC=CD=AD=a ， 要使三 棱锥A—BCD的体积最大，则二面角B-AC-D的大小是
（ A ）
（ A）
（ B）
（ C） （ D）
5.
在二面角α-a-β内，过a作一个半平面γ，使二面角 α-a-γ=45°，二面角γ-a-β=30°，则γ(
A)
(A)
(B)
(C)
(D) 返回
能力·思维·方法
1.在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE 垂直平分SC ，且分别交AC、SC于D、E，又 SA=AB= a，BC=2a， (1)求证：SC⊥平面BDE； (2)求平面BDE与平面BDC所成的二面角大小.
【解题回顾】本题是1990年全国高考题，(1)的证明关 系较复杂，需仔细分析。(2)的平面角就是∠CDE，很 多考生没有发现，却去人为作角，导致混乱.
【解题回顾】第(2)题中二面角的放置属于非常规位置 的图形 ( 同例 (1) 的变题 ) ，看起来有些费劲，但是一旦 将图形的空间位置关系看明白，即可发现解决此种问 题的基本方法仍然与常规位置时相同. 返回
延伸·拓展
4. 如图，已知 A1B1C1—ABC 是正三棱柱， D 是 AC 的中 点. (1)证明AB1∥平面DBC1. (2) 假设 AB1⊥BC1 ，求以 BC1 为棱， DBC1 与 CBC1 为面 的二面角α的度数.
二面角的有关概念-PPT课件
β
棱
面
l
α
10
知识探究（二）：二面角的平面角
思考1:把门打开，门和墙构成二面角； 把书打开，相邻两页书也构成二面角 .随着打开的程度不同，可得到不同 的二面角，这些二面角的区别在哪里？
11
思考2:我们设想用一个平面角来反映 二面角的两个半平面的相对倾斜度， 那么平面角的顶点应选在何处？角的 两边在如何分布？
2.3.2 平面与平面垂直的判定 第一课时
二面角的有关概念
1
问题提出
1.空间两个平面有平行、相交两 种位置关系，对于两个平面平行， 我们已作了全面的研究，对于两个 平面相交，我们应从理论上有进一 步的认识.坡， 常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面 与水平面成适当的角度；修筑水坝时， 为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与 水平面成适当的角度，如何从数学的观 点认识这种现象？
β
l
α
12
思考3:在二面角α-l-β的棱上取一 点O，过点O分别在二面角的两个面内 任作两条射线OA，OB，能否用∠AOB 来刻画二面角的张开程度？
β
B
O
lA
α
13
思考4:在上图中如何调整OA、OB的位 置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一确 定？这个角的大小是否与顶点O在棱 上的位置有关？
β
B
O
lA
α β
B
lO
A
α
14
思考5:上面所作的角叫做二面角的平
面角，你能给二面角的平面角下个定
义吗？
Bβ
lO
A
α
以二面角的棱上任意一点为顶点，
在两个面内分别作垂直于棱的两条
射线，这两条射线所成的角叫做二
面角的平面角.
二面角的应用PPT教学课件
二面角
13:42
二面角
一、 二面角及二面角的平面角
1 、半平面—— 平面的一条直线把平面分为两部分，
其中的每一部分都叫做一个半平面。
α
l
13:42
二面角
2、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半
α
平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
记作：
3、二面角的平面角
一个平面垂直于二面角 的棱，并与两半平 面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B
②点P在一个半平面上 —三垂线定理法
③点P在二面角内 —垂面法
β
ι
α
β
pβ
B
p
p
A
B
B
ι
α
A
O
ι
α
A
二面角
作业:
1、 A为二面角α– CD –β的棱CD上一点， AB在平面α内且与棱CD成45º角，又AB与 平面β成30º，求二面角α– CD – β的大小。
作 Bα
业
CA
D
β
2、做《状元之路》考点72
②每次烙饼，锅里都有两张饼，速度最快。
两个人合作完成三张正反面的贺卡， 要怎样分工合作好呢？
则二面角P-BC-A的平面角为:
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
B
2、已知P为二面角 内一 点，且P到两个半平面的距离都等
β
B
p
于P到棱的距离的一半，则这个二
面角的度数是多少？ 60º
O
Aα
ι
13:42
二面角
例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别
在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN ， 且 ∠ MPN=60º
13:42
二面角
一、 二面角及二面角的平面角
1 、半平面—— 平面的一条直线把平面分为两部分，
其中的每一部分都叫做一个半平面。
α
l
13:42
二面角
2、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半
α
平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
记作：
3、二面角的平面角
一个平面垂直于二面角 的棱，并与两半平 面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B
②点P在一个半平面上 —三垂线定理法
③点P在二面角内 —垂面法
β
ι
α
β
pβ
B
p
p
A
B
B
ι
α
A
O
ι
α
A
二面角
作业:
1、 A为二面角α– CD –β的棱CD上一点， AB在平面α内且与棱CD成45º角，又AB与 平面β成30º，求二面角α– CD – β的大小。
作 Bα
业
CA
D
β
2、做《状元之路》考点72
②每次烙饼，锅里都有两张饼，速度最快。
两个人合作完成三张正反面的贺卡， 要怎样分工合作好呢？
则二面角P-BC-A的平面角为:
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
B
2、已知P为二面角 内一 点，且P到两个半平面的距离都等
β
B
p
于P到棱的距离的一半，则这个二
面角的度数是多少？ 60º
O
Aα
ι
13:42
二面角
例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别
在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN ， 且 ∠ MPN=60º
课件1：1.2.4 二面角
2．用空间向量求二面角的大小 如果 n1，n2 分别是平面 α1，α2 的一个法向量，设 α1 与 α2 所成角的 大小为 θ．则 θ＝〈n1，n2〉或 θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝_s_in_〈__n_1_，__n_2_〉．
【初试身手】
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二面角的范围是0，π2．(
则nn11··AA→→BE1＝＝00，，
x1＋z1＝0， 即x1＋12y1＝0，
令 y1＝2，则 x1＝－1，z1＝1，所以 n1＝(－1,2,1)． 设平面 AD1F 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··AA→→DF＝1＝00，，
y2＋z2＝0， 即12x2＋y2＝0.
令 x2＝2，则 y2＝－1，z2＝1．所以 n2＝(2，－1,1)．
【合作探究】
类型一 用定义法求二面角 【例 1】 如图，设 AB 为圆锥 PO 的底面直径，PA 为母线，点 C 在底面圆周上，若△PAB 是边长为 2 的正三角形，且 CO⊥AB， 求二面角 P-AC-B 的正弦值．
[解] 如图，取 AC 的中点 D，连接 OD，PD， ∵PO⊥底面，∴PO⊥AC， ∵OA＝OC，D 为 AC 的中点， ∴OD⊥AC，又 PO∩OD＝O， ∴AC⊥平面 POD，则 AC⊥PD， ∴∠PDO 为二面角 P-AC-B 的平面角．
1 3
[如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，
则 D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，D→A1＝(1,0,1)，D→B＝(1,1,0)．
设 n＝(x，y，z)是平面 A1BD 的一个法向量， 则nn··DD→→BA1＝＝00，， 即xx＋＋zy＝＝00，， 令 x＝1，则 y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)． 同理，求得平面 BC1D 的一个法向量 m＝(1，－1,1)， 则 cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝13， 所以二面角 A1-BD-C1 的余弦值为13．]
二面角精选教学PPT课件
劫匪饮弹自尽。 很多人问过她到底说了什么让劫匪居然放了她，然后放弃了惟一生存的机会。她平静地说，我只说了几句话，我对我哥说的最后一句话是：“哥，天凉了，你多穿衣。”
她没有和别人说起劫匪的眼泪，说出来别人也不相信，但她知道那几滴眼泪，是人性的眼泪，是善良的眼泪。
C
α
β
O
AD
B
O
练习2：已知棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1,求二面角 C1-BD-B1的大小。
arccos 6
3
20:22
二面角
一、二面角的定义
α
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
二、二面角的平面角
小 1、定义 2、求二面角的平面角方法
ι αβ
γP
B A
结
20:22
我感恩，感恩生活，感恩网络，感恩朋友，感恩大自然，每天，我都以一颗感动的心去承接生活中的一切。 我感谢……
感谢伤害我的人，因为他磨练了我的心志； 感谢欺骗我的人, 因为他增进了我的见识； 感谢遗弃我的人, 因为他教导了我应自立； 感谢绊倒我的人，因为他强化了我的能力； 感谢斥责我的人，因为他助长了我的智慧； 感谢藐视我的人，因为他觉醒了我的自尊；
l
B
A
O B
(1) 20:22
(2)
10
二面角
二.作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
ι
α
β
p
A
B
B
ι
pβ
α
A
β
B
p
O
α
ι
A
20:22
她没有和别人说起劫匪的眼泪，说出来别人也不相信，但她知道那几滴眼泪，是人性的眼泪，是善良的眼泪。
C
α
β
O
AD
B
O
练习2：已知棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1,求二面角 C1-BD-B1的大小。
arccos 6
3
20:22
二面角
一、二面角的定义
α
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
二、二面角的平面角
小 1、定义 2、求二面角的平面角方法
ι αβ
γP
B A
结
20:22
我感恩，感恩生活，感恩网络，感恩朋友，感恩大自然，每天，我都以一颗感动的心去承接生活中的一切。 我感谢……
感谢伤害我的人，因为他磨练了我的心志； 感谢欺骗我的人, 因为他增进了我的见识； 感谢遗弃我的人, 因为他教导了我应自立； 感谢绊倒我的人，因为他强化了我的能力； 感谢斥责我的人，因为他助长了我的智慧； 感谢藐视我的人，因为他觉醒了我的自尊；
l
B
A
O B
(1) 20:22
(2)
10
二面角
二.作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
ι
α
β
p
A
B
B
ι
pβ
α
A
β
B
p
O
α
ι
A
20:22
二面角高三复习专题课件
三、继续探索，得到定义. 问题1：那么，怎样使这个角的大小唯一确定呢？ 二面角的大小用它的平面角来度量
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角.
B1 B
二面角的平面角取值范围是 [ 0°,180°）
∠A O B
l
O1 A A1 O
3、计算出此角的大小
Hale Waihona Puke 一“作”二“证”三“计算一、二面角的定义：
回 二、二面角的表示方法： 顾 三、二面角的平面角： 反 四、二面角的平面角的作法. 思
从一条直线出发的两个半 二 面 角 －AB－ 二 面 角 C－AB－ D 平面所组成的图形叫做二 1、二面角的平面角 二 面 角 － l－ 必须满足三个条件 1、根据定义作出来 面角。这条直线叫做二面 角的棱。这两个半平面叫 2、二面角的平面角 2、利用直线和平面垂 做二面角的面。 其顶点 的大小与 直作出来 在棱上的位置无关 3、借助三垂线定理或 3、二面角的大小用 其逆定理作出来 1、找到或作出二面角的平面角 它的平面角的大 2、证明 1中的角就是所求的 角 小来度量 3、计算所求的角
因此，∠FGH就是坡面FGE和水平平面 ABH的二面角的平面角，∠FGH= 30
F 100m A
60
E
0
30
0
H
B
FH=FGsin300 =EFsin600sin300 =100sin600sin300 ≈43.3(米). 答：沿直道前进100米， 升高约43.3米.
G
二面角的计算小结
1、找出或作出二面角的平面角 2、证明1中的角就是所求的角
A
E
H
G
高考中的二面角问题课件
详细描述
二面角的大小可以通过角的度量来衡 量，通常使用角度制或弧度制来表示。 角度制是以度为单位，而弧度制是以 弧长与半径之比来衡量。
二面角的性 质
总结词
详细描述
CATALOGUE
二面角的计算方法
定义法
定义法
根据二面角的定义，通过测量两个平 面的夹角来计算二面角的大小。这种 方法需要使用量角器等工具，适用于 一些简单的二面角问题。
高考中二面角问题的备考建议
熟悉题型，掌握解题思路
掌握二面角的基本概念 掌握解题思路 掌握常见题型解法
多做练习，提高解题能力
大量练习
举一反三
学会总结
注重总结，积累经验
总结解题经验 归纳题型 形成知识体系
THANKS
感谢观看
详细描述 总结词 详细描述
立体几何中的二面角问题
总结词
详细描述
。
总结词
详细描述 总结词 详细描述
CATALOGUE
高考中二面角的常见题型及解析
求二面角的度数
求二面角的平面角
。
求二面角的余弦 值
CATALOGUE
二面角问题的解题策略与技巧
掌握基础知识，理解概念
理解二面角的定义
二面角是两个半平面形成的角，通常用符号“θ”表示。二面角的大小确性，避免误差。
适用于二面角容易测量的简单几何体， 如三角形、矩形等。
垂线法
01
垂线法
02 适用范围
03 注意事项
射影面积法
射影面积法
适用范围 注意事项
向量法
向量法
利用向量的数量积、向量的外积 等性质来计算二面角的大小。这 种方法需要掌握向量的基本性质
和运算规则。
二面角的大小可以通过角的度量来衡 量，通常使用角度制或弧度制来表示。 角度制是以度为单位，而弧度制是以 弧长与半径之比来衡量。
二面角的性 质
总结词
详细描述
CATALOGUE
二面角的计算方法
定义法
定义法
根据二面角的定义，通过测量两个平 面的夹角来计算二面角的大小。这种 方法需要使用量角器等工具，适用于 一些简单的二面角问题。
高考中二面角问题的备考建议
熟悉题型，掌握解题思路
掌握二面角的基本概念 掌握解题思路 掌握常见题型解法
多做练习，提高解题能力
大量练习
举一反三
学会总结
注重总结，积累经验
总结解题经验 归纳题型 形成知识体系
THANKS
感谢观看
详细描述 总结词 详细描述
立体几何中的二面角问题
总结词
详细描述
。
总结词
详细描述 总结词 详细描述
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高考中二面角的常见题型及解析
求二面角的度数
求二面角的平面角
。
求二面角的余弦 值
CATALOGUE
二面角问题的解题策略与技巧
掌握基础知识，理解概念
理解二面角的定义
二面角是两个半平面形成的角，通常用符号“θ”表示。二面角的大小确性，避免误差。
适用于二面角容易测量的简单几何体， 如三角形、矩形等。
垂线法
01
垂线法
02 适用范围
03 注意事项
射影面积法
射影面积法
适用范围 注意事项
向量法
向量法
利用向量的数量积、向量的外积 等性质来计算二面角的大小。这 种方法需要掌握向量的基本性质
和运算规则。
高考试题中二面角的几种不同实用求法PPT课件
则 CGE 即为所求二面角的平面角．
CG AC CD 2 3 ， DG
6 ， EG
DE2 DG2
30
，
AD
3
3
3
A CE 6 ，则 cos CGE CG2 GE2 CE2 10 ，
2CG *GE
10
CGE π arccos
10
10
，即二面角
G B
10
F
C AD E 的大小 π arccos 10 ．
A
B
所以所求二面角的大小为π－arctan 3 . 2 .
C
11
【例题 2】
已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形，AB∥DC，
DAB 90 , PA 底面 ABCD，且
P
PA=AD=DC= 1 AB=1，M 是 PB 的中
M
2
点 新疆 王新敞 奎屯
A
B
（Ⅰ）证明：面 PAD⊥面 PCD；
又 AB⊥平面 SAD ，所以 AB⊥DH ，而 AB AG A ，
所以 DH ⊥面
AEFG 王新敞 特级教师 源头学子小屋
wxckt@ 新疆奎屯 ·2007·
S
取 EF 中点 M ，连结 MH ，则 HM ⊥EF 王新敞 特级教师 源头学子小屋
.
18
【例题 3】
如右图，在四棱锥 S—ABCD 中，底面 ABCD 为
正方形，侧棱 SD⊥底面 ABCD，E、F 分别为 AB、
SC 的中点。
（1）证明：EF∥平面 SAD； S
（2）设 SD=2DC，求二面角
A—EF—D 的大小。
F
D
A
E
C B
.
CG AC CD 2 3 ， DG
6 ， EG
DE2 DG2
30
，
AD
3
3
3
A CE 6 ，则 cos CGE CG2 GE2 CE2 10 ，
2CG *GE
10
CGE π arccos
10
10
，即二面角
G B
10
F
C AD E 的大小 π arccos 10 ．
A
B
所以所求二面角的大小为π－arctan 3 . 2 .
C
11
【例题 2】
已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形，AB∥DC，
DAB 90 , PA 底面 ABCD，且
P
PA=AD=DC= 1 AB=1，M 是 PB 的中
M
2
点 新疆 王新敞 奎屯
A
B
（Ⅰ）证明：面 PAD⊥面 PCD；
又 AB⊥平面 SAD ，所以 AB⊥DH ，而 AB AG A ，
所以 DH ⊥面
AEFG 王新敞 特级教师 源头学子小屋
wxckt@ 新疆奎屯 ·2007·
S
取 EF 中点 M ，连结 MH ，则 HM ⊥EF 王新敞 特级教师 源头学子小屋
.
18
【例题 3】
如右图，在四棱锥 S—ABCD 中，底面 ABCD 为
正方形，侧棱 SD⊥底面 ABCD，E、F 分别为 AB、
SC 的中点。
（1）证明：EF∥平面 SAD； S
（2）设 SD=2DC，求二面角
A—EF—D 的大小。
F
D
A
E
C B
.
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直作出来
做二面角的的大面小。与 其顶点
回 二、二3面、借角助三的垂线表定理示或方法在：棱上的位置无关
顾 反 思
三、二面角的平面角： 1其、逆找定到理或作作出出来二面角的3平、面它二角的面平角面的角大的小大用 2、证明 1中的角就是所求的小角来度量
四、二面3、角计算的所求平的面角 角的作法.
五、二面角的计算：
通过实验发现，∠AOB的大小无法 确定，因此不能用这样的角来度量二面 角的大小.
三、继续探索，得到定义.
问题1：那么，怎样使这个角的大小唯一确定呢？
二面角的大小用它的平面角来度量
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分 别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角.
二面角的平面角取值范围是 [ 0°,180°）
B1 B
？ ∠A O B
l
∠A1O1B1
O1
A A1
O
9
四、自我验证.
（1）理论证明.当顶点为棱上任意一点时，由等角定理， 此角的大小是唯一确定的，因此把这个角定义为二面角的 平面角.
（2）直观检验.要求学生作出下图的平面角，并说明其 大小与两平面倾斜程度的正相关性，从而说明此定义的合 理性.
γ` P`ι
p
O
α
ι
A
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基础练习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
B
2、已知P为二面角 内一 点，且P到两个半平面的距离都等
β
B
p
于P到棱的距离的一半，则这个二
面角的度数是多少？ 60º
O
Aα
因此，∠FGH就是坡面FGE和水平平面 ABH的二面角的00m
60 0
300 H
A
E
G
B
FH=FGsin300 =EFsin600sin300 =100sin600sin300 ≈43.3(米).
答：沿直道前进100米， 升高约43.3米.
二面角的计算小结
1、找出或作出二面角的平面角 2、证明1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
H
G
B
故FGH即为坡面和水平面成的 二面角的平面角。FGH 30,
(2)RtEFG中： FG EF • sin 60.
(3)RtFGH中： FH FG• sin 30.
解：如图所示，FH垂直于过AB的水平平面，垂 足为H，线段FH的长度就是所求的高度.
在平面ABH内，过点H作HG⊥AB，垂足是 G，连接FG.由三垂线定理FG⊥AB.
角。
面角。
边—点—边 （顶点）
面—直线—面 （棱）
表示法
∠AOB
—l—
或—AB—
请同学们举出一些二面角的实例
二面角的常用画法
A
直
立
a
式
αB β
平
α
卧
A
式a
β
B
A
a
α
B
β
α
A
a
β
B
（二）二面角的平面角
问题1: 观察以下图形，它们有什么异同？ 问题2: 能把它们的大小度量出来吗？
α
ι
β
一、类比
问题1: 我们以前碰到过类似的问题吗？ a b
一“作”二“证”三“计算
二 面 角 二 面 角 －AB－
二 面 角 C－AB－ D
从一条直线出发的两个半 平面所1、组二成面的角图的形平叫面做角二
一、二面角的定义： 二 面 角 1－、根l－据定 义作出来 面角。这必条须直满线足叫三做个二条面件 2、利用直线和平面垂角的棱2、。二这面两角个的半平平面面角叫
αa
α
问题2: 两定义的共同点是什么？ 空间角总是可以转化为平面的角，并且这个
角是唯一确定的.
问题3: 这个平面的角的顶点及两边是如何确定的？
二、提出猜想：二面角的大小也可通过平面角来定义.
问题1：这个角的顶点及两边应如何确定呢？ 顶点放在棱上，两边分别放在两个面内.
三、探索实验：
同学们可利用课本和两根铅笔作为二面角及角的模型.
（一）二面角
问题1: 我们是如何定量研究两平行平面的 相对位置的？
问题2: 我们应如何定量研究两个相交平面 之间的相对位置呢？
α
ι
β
立体几何中常用距离和角来定量描述 两个元素之间的相对位置.
图形 定义 构成
角
二面角
顶点 O
A 边
边B
A 棱l
B
面
面
从一点出发的两条射 从一条直线出发的两个半
线所组成的图形叫做 平面所组成的图形叫做二
一“作”二“证”三“计算”
作业:
1、A为二面角α– CD –β的棱CD上一点， AB在平面α内且与棱CD成45º角，又AB与 平面β成30º，求二面角α– CD – β的大小.
作
Bα
业
CA
D
β
2、课外研究题：类比平面几何中对顶角、 内错角、同位角概念，提出立体几何中对 棱二面角、内错二面角、同位二面角的概 念，并证明它们都相等.
β
B`
A`
γP
B
αA
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注： 二面角的平面角的特点：
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
A
O
l
B
A
O
B
(1)
(2)
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求二面角的平面角方法
①点P在棱上 ——定义法 ②点P在一个半平面上 ——三垂线定理法 ③点P在二面角内——垂面法
ι
α
β
p
A
B
pβ
α
B
A
ι
β
B
ι
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2、如图，一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成
二面角的度数）是30度，斜坡上有一直道，它
和坡脚水平线成60度角，沿这条直道向上行走
100米后升高多少米？（精确到0.1米）
分析：
(1)确定二面角：
D
F
C
作FH ,垂足为H，
作HG AB,垂足为G,连接FG.
因为AB FG,则AB GH ,
AE