2013届高考数学一轮复习学案：第5讲函数的图像
2013届高考数学理科一轮复习课件(第11讲_函数的图象)(精品课件在线)
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【解析】由已知 y＝f(x)，x∈[－3,3]的图象如下，
由图可知，当 x>0 时，x·f(x)>0，可得 0<x<2； 当 x<0 时，由 x·f(x)>0，可得－2<x<0， 不等式的解集为(－2,0)∪(0,2)．
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一 函数图象的作法
【例 1】作出下列函数的图象： (1)y＝3log3|x|； (2)y＝|log2(x－1)|； (3)y＝x2＋－1x.
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2 对称变换：y f x与y f x的图象关于⑨ ___ 对称；y f x与y f x的图象关于⑩ ______ 对称； y f x与y f x的图象关于⑪_____ 对称；y f x 的图象可将函数y f x的图象在⑫_______________， 其余部分不变；y f | x |的图象可将函数y f x的
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【分析】 对于(1)可先在其定义域内化简，再画图象；而 对于(2)和(3)可根据其特点，找出对应的基本函数，通过 图象变换画出图象．
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【解析】 (1)由|x|>0，得函数的定义域为{x∈R|x≠0}，
且 y＝3log3|x|＝|x|＝x－x
x>0 ， x<0
则其图象如图甲．
角函数以及常用函数：y ax b y x a .(图象略)
cx d
x
2．函数图象的基本作法有两种：① ____ 和② ____.
1描点法作图的基本步骤是：③ ______、④ ______、
⑤ ______.画函数图象时有时也可利用函数的性质如 ⑥ _________________以及图象上的特殊点、线 (如对称轴、渐近线等)．
高三数学一轮复习第5讲函数的图像教案(2021年整理)
安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第5讲函数的图像教案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第5讲函数的图像教案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第5讲函数的图像教案的全部内容。
函数的图像Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到;1）y =f (x ）h左移→y =f (x +h)；2）y =f (x ） h右移→y =f （xh ）；Ⅱ、竖直平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h上移→y =f (x ）+h ；2）y =f （x ) h下移→y =f (x )h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (x ）Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = f （x )Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f （x ) 原点→y = f (x )Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到.y =f （x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f （x ） ax =→直线y =f （2a x ）。
2013版高考数学一轮复习精品学案2.8函数的图象
2013版高考数学一轮复习精品学案：函数、导数及其应用第八节函数的图象【高考新动向】一、考纲点击1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题.3.会用数形结合思想、转化与化归思想解决数学问题.二、热点提示1.知式选图、知图选式解决函数的性质问题与作图是高考的热点.2.利用数形结合思想，借助相应函数的图象研究函数的性质(单调性、奇偶性、最值、值域、交点、零点)、方程与不等式的解等问题是命题的重点，也是求解的难点3.题型以选择题、填空题为主，属中、高档题目.【考纲全景透析】1.六类基本初等函数的图象2.函数图象间的变换(1)平移变换：(2)对称变换：()f y =−−−−−→y x x 关于轴对称①=-f(x);()=−−−−−→y y f x y 关于轴对称②=f(-x);()y f y =−−−−−→x 关于原点对称③=-f(-x);④y=a x (a>0且a ≠1) =−−−−−→y x y 关于对称=log a x(a>0且a ≠1)(3)翻折变换：()=−−−−−−−→x x y f x y 保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去①=|f(x)| ()=−−−−−−−−→y y y f x 保留轴右边图象，并作其关于轴对称的图象②y=f(|x|) (4)伸缩变换：,,()><<=−−−−−−−−−−−−→1a 1a 10a 1ay f x 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变①y=f(ax),,()><<=−−−−−−−−−−−−→a 1a 0a 1a y f x 纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变②y=af(x)【热点难点全析】一、作函数的图象 1、相关链接(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的函数或解析几何中熟悉的曲线的局部(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数的奇偶性、周期性、对称性或曲线的特征直接作出.(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.(3)描点法：当函数的表达式不适合用以上两种方法时，则可采用描点法，其一般步骤为：第一步：确定函数的定义域以限制图象的范围. 第二步：化简函数表达式.第三步：讨论函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等).第四步：列表(尤其注意特殊点，如：零点、最高点、最低点及与坐标轴的交点). 第五步：描点、连线.注：当函数表达式是高次、分式、指数、对数及三角函数式等较复杂的结构时，常借助于导数探究图象的变化趋势从而画出图象的大致形状.2、例题解析【例1】作出下列函数的图象 (1)y=e lnx ; (2)y=|log 2(x+1)|; (3)y=a |x|(0<a<1);(4);-=-2x 1y x 1 (5).=--321y x x 3x 3【方法诠释】对于(1)先求定义域，化简解析式，用直接法画图象；对于(2)、(3)和(4)可通过图象变换画出图象；对于(5)可借助于导数用描点法作出其大致图象.解析：(1)∵函数的定义域为{x|x>0}且y=e lnx =x(x>0)，∴其图象如图(1).(2)将函数y=log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y=|log 2(x+1)|的图象，如图(2).(3)方法一：(),(),-⎧≥⎪=<<⎨=<⎪⎩x x xa x 0y 0a 11a x 0a ，， 所以只需作出函数y=a x (0<a<1)中x ≥0的图象和()()=<<x 1y 0a 1a中x<0的图象，合起来即得函数y=a |x|的图象.如图(3).方法二：作出y=a x (0<a<1)的图象，去掉y 轴左边图象，保留y 轴右边图象，并作关于y 轴对称的图象，即得y=a |x|的图象，如图(3).(4)=+-1y 2x 1，故函数图象可由=1y x图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图(4).(5)1,.3=--∴'=--322y x x3x y x2x3令y′=0,得x1=-1，x2=3，令y′>0，得单调增区间为(-∞,-1)和(3,+∞).令y′<0,得单调减区间为(-1，3)，所以函数在x1=-1,x2=3处取得极值分别为53和-9，由此可得其图象大致如图(5).注：要准确作出函数的大致图象，需做到：(1)熟练掌握六类基本初等函数的图象；(2)掌握平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换以及导数法等常用的方法技巧.二、识图与辨图1、相关链接<一>知图选式的方法(1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；(2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性；(3)从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；(4)从图象的循环往复，观察函数的周期性.利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项.<二>知式选图的方法：(1)从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置；(2)从函数的单调性(有时可借助导数判断)，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的极值点判断函数图象的拐点.利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项.注：注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上也能寻找突破口．2、例题解析【例1】(1)(2012·南阳模拟)函数y=x+cosx的大致图象是( )(2)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(-2，0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )()()() (),,,,-=+=++≥⎧=⎨+<⎩⎧≥⎪=⎨<⎪⎩23xxA y x1B y x12x1x0C yx1x0e x0D ye x0【方法诠释】(1)对函数求导，利用排除法求解.(2)由f(x)的奇偶性作出其在(-2，0)上的图象.由图象判断其单调性，再逐个验证选项中函数在(-2，0)上的单调性是否与f(x)在(-2，0)上的单调性不同，从而作出判断.解析：(1)选. 由y=x+cosx,得y ′=1-sinx,令y ′=0,得sinx=1，()ππ∴=+∈x 2k k Z 2，即函数y=x+cosx 有无穷多个极值点，从而排除选项，又x=0时，y=1,即图象应过(0，1)点，再排除，比较、与y 轴交点纵坐标与π2的大小知应选.(2)选.由奇偶性知函数f(x)在(-2，0)上的图象如图所示：则知f(x)在(-2，0)上为单调减函数，而y=x 2+1,y=|x|+1和,,-⎧≥⎪=⎨<⎪⎩xx e x 0y e x 0，作出其图象知在(-2，0)上均为减函数.又y=x 3+1,x<0时，y ′=3x 2>0，故y=x 3+1在(-2，0)上为增函数，与f(x)的单调性不同，故选.注：识图与辨图是一个比较综合的问题.解答该类问题的关键是要充分从解析式与图象中发现有价值的信息，最终使二者相吻合.三、函数图象的应用1、相关链接（1）利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.（2）利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x 轴的交点的横坐标，方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标.（3）利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.2、例题解析【例】已知函数f(x)=x|m-x|(x ∈R)，且f(4)=0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f(x)的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集；(5)求集合M={m|使方程f(x)=m 有三个不相等的实根}.【解题指南】求解本题先由f(4)=0,求得函数解析式，再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象，进而应用图象求解(3)(4)(5)三个小题.【规范解答】(1)∵f(4)=0，∴4|m-4|=0，即m=4；(2)∵f(x)=x|m-x|() (),,,-≥⎧⎪=-=⎨--⎪⎩x x4x4x4xx x4∴函数f(x)的图象如图：由图象知f(x)有两个零点.(3)从图象上观察可知：f(x)(4)从图象上观察可知：不等式f(x)>0的解集为：{x|0<x<4或(5)由图象可知若y=f(x)与y=m∴集合M={m|0<m<4}.注：利用函数的图象能直观地解决函数的性质问题、方程根的个数问题、函数的零点个数问题及不等式的解集与恒成立问题，但其关键是作出准确的函数图象，数形结合求解.否则若图象出现失误，将得到错误的结果.【高考零距离】1、（2012·天津高考文科·Ｔ14）已知函数2|1|=1xyx--的图像与函数=kx-2y的图像有两个交点，则实数k的取值范围是——————。
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第7课时函数的图像
答案 C
第二章 第7课时
高考调研
高三数学（新课标版·理）
解析 由1－x>0，知x<1，排除选项A、B，设t＝1 －x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝lnt为增函数，所 以y＝ln(1－x)为减函数，故选C.
第二章 第7课时
高考调研
高三数学（新课标版·理）
3．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标 系下的图像大致是( )
A．3
B．2
C．1
D．－1
答案 A
第二章 第7课时
高考调研
高三数学（新课标版·理）
解析 ∵函数f(x)图像关于直线x＝1对称，∴f(1＋x) ＝f(1－x)，∴f(2)＝f(0)．即3＋|2－a|＝1＋|a|，用代入法 知选A.
第二章 第7课时
高考调研Biblioteka 高三数学（新课标版·理）第二章 第7课时
高考调研
第二章 第7课时
高考调研
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第二步将y＝lgx的图像沿y轴对折后与原图像，同为 y＝lg|x|的图像．
第三步将y＝lg|x|的图像向右平移一个单位，得y＝ lg|x－1|的图像
第四步将y＝lg|x－1|的图像在x轴下方部分沿x轴向上 翻折，得y＝|lg|x－1||的图像，如图(c)．
高考调研
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2013届高考一轮数学复习理科课件（人教版）
第二章 函数与基本初等函数
第二章 函数与基本初等函数
高考调研
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第7课时 函数的图像
第二章 第7课时
高考调研
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2012·考纲下载
掌握作函数图像的两种基本方法：描点法和图像变换 法，并了解图像的平移变换、伸缩变换、对称变换，能利 用函数的图像研究函数的性质，以达到识图、作图、用图 的目的.
2013年高考数学一轮复习 2.2 函数的定义域及值域精品教学案(教师版)新人教版
2013年高考数学一轮复习精品教学案 2.2 函数的定义域及值域（新课标人教版，教师版）【考纲解读】1.了解函数的定义域、值域是构成函数的要素；2.会求一些简单函数的定义域和值域，掌握一些基本的求定义域和值域的方法；3.体会定义域、值域在函数中的作用. 【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.函数的最大值与最小值是历年来高考必考内容之一,选择填空题、解答题中都可能出现,解答题一般以中、高档题的形式考查,常常与不等式等知识相联系，以考查函数知识的同时，又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查函数的最值求解,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】1.函数的定义域是自变量x 的取值集合，函数的值域是因变量y 的取值集合.2.已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有:(1)分式函数,分母不为0;(2)偶次根式函数,被开方数非负数;(3)一次函数、二次函数的这定义域为R ；（4）0x 中的底数不等于0；（5）指数函数xy a =的定义域为R ；（6）对数函数log a y x =的定义域为{}|0x x >；（7）sin ,cos y x y x ==的定义域均为R ；（8）tan y x=的定义域均为|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；（9）cot y x =的定义域均为{}|,x x k k z π≠∈. 3.求抽象函数的定义域:（1）由()y f x =的定义域为D ，求[()]y f g x =的定义域，须解()f x D ∈;（2）由[()]y f g x =的定义域D ，求()y f x =的定义域，只须解()g x 在D 上的值域就是函数()y f x =的定义域;（3）由[()]y f g x =的定义域D ，求[()]y f h x =的定义域.4.实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义.5.函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是[a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围. (3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.(4)利用“分离常数”法:形如y=ax bcx d++ 或2ax bx e y cx d ++=+ (a,c 至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.(5)利用换元法:形如y ax b cx d =+±+型,可用此法求其值域. (6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域. 【例题精析】考点一 函数的定义域函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题. 例1. (2012年高考山东卷文科3)函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为( )(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]-1. (2011年高考江西卷文理科3)若()log ()f x x 121=2+1，则()f x 的定义域为( )A. (,)1-02B. (,]1-02C. (,)1-+∞2D.(,)0+∞ 【答案】A【解析】要使原函数有意义,只须12log (21)0x +>,即0211x <+<,解得x 1-<<02,故选A.考点二 函数的值域例2.（2010年高考山东卷文科3）函数()()2log 31x f x =+的值域为（ ） A. ()0,+∞ B. )0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D. )1,+∞⎡⎣2.（2010年高考重庆卷文科4）函数164x y =-的值域是（ ） （A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4) 【答案】C 【解析】[)40,0164161640,4x x x >∴≤-<∴-.【易错专区】问题：对定义域理解不全而导致错误例.已知函数(1)f x +的定义域是[-1,1],求函数(2)xf 的定义域.【课时作业】1.(广东省肇庆市中小学教学质量评估2012届高中毕业班第一次模拟)已知函数()lg f x x =的定义域为M ，函数2,231,1x x y x x ⎧>=⎨-+<⎩的定义域为N ，则M N = ( )A. (0,1)B. (2,)+∞C. (0,)+∞D. (0,1)(2,)+∞【答案】D【解析】由已知得(0,),(,1)(2,)(0,1)(2,)M N M N =+∞=-∞+∞⇒=+∞. 2．(广东省六校2012年2月高三第三次联考文科)函数1lg(1)y x x =-+的定义域为( )A ．{|1}x x ≥B ．{|11}x x -<<C ．{|1}x x >-D ．{|11}x x -<≤ 【答案】A【解析】要使函数有意义，必须满足10x -≥且10x +>，解得1x ≥，故选A. 3.(2011年高考安徽卷文科13)函数26y x x=--的定义域是 .【答案】（－3,2）【解析】由260x x -->可得260x x +-<，即()()+320x x -<，所以32x -<<.4. (北京市西城区2012年1月高三期末考试) 函数21()log f x x=的定义域是______．5．(2012年3月北京市丰台区高三一模文科)已知函数3()1+2+(0)f x x x x=>在x =a 时取 到最小值，则a =________．【答案】62【解析】本小题考查函数的最小值的求解,利用基本不等式法可以得到解决.因为3()1+2+126f x x x =≥+,当且仅当32x x=,即62x =时取等号,所以a =62. 6．（辽宁省大连市2012年4月高三双基测试文科）若函数2()(2)xf x x x e =-的最小值是00(),f x x 则值为 ．【答案】2【解析】由题意可知,本小题只能利用导数法求函数的最小值. 【考题回放】1.(2011年高考广东卷文科4)函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 （ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞2．（2010年高考湖北卷文科5）函数0.51log (43)y x =-的定义域为（ ）A.(34,1) B(34,∞)C （1，+∞）D. (34,1)∪（1，+∞） 【答案】A3．（2010年高考天津卷文科10）设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（ ）（A ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦4．（2010年高考广东卷文科2）函数)1lg()(-=x x f 的定义域是（ ） A.),2(+∞ B. ),1(+∞ C. ),1[+∞ D. ),2[+∞ 【答案】B【解析】01>-x ，得1>x ，选B. 5.(2012年高考广东卷文科11)函数1x y x+=的定义域为__________.6.(2012年高考四川卷文科13)函数()12f x x=-____________.（用区间表示）【答案】（21-，∞）【解析】由分母部分的1-2x>0，得到x∈(21-，∞）.7.（2012年高考新课标全国卷文科16）设函数f (x )=(x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M ，最小值为m，则M+m=____。
2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第五讲指数与指数函数课件
7－2－1＝98.
3212
54
(2)原式＝
a2 a
b b2
2
a6
1
a3
b6
1
b3
a3 b3
27
a3 b3
a. b
【题后反思】指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底 数是带分数的，先化成假分数. (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示， 运用指数幂的运算性质来解答.
解析：因为函数 y＝ax－b 的图象经过第二、三、四象限，所 以函数 y＝ax－b 单调递减且其图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴
上.令 x＝0，则 y＝a0－b＝1－b，由题意得01＜－ab＜＜10，，
解得0b＜＞a1＜，1， 故 ab∈(0，1). 答案：(0，1)
考点三 指数函数的性质及应用 考向 1 利用指数函数的单调性比较大小 通性通法：比较指数式的大小时，能化成同底数的先化成同 底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入 “1”等中间量比较大小.
2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理 问题.
解指数函数的概念.
2.题型一般为选择、填空
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数 题，若题型为解答题，
的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 则题目中等偏难
1.根式 (1)一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1， 且 n∈N*.
即函数 f(x)在定义域 R 上单调递增.
(3)解：f(2x－1)＋f(x－2)＞0，且 f(x)为奇函数， ∴f(2x－1)＞f(－x＋2)， ∵函数 f(x)在 R 上单调递增， ∴2x－1＞－x＋2，∴x＞1， ∴不等式的解集为(1，＋∞).
2013版高考数学一轮复习精品学案2.4二次函数
2013版高考数学一轮复习精品学案：函数、导数及其应用2.4 二次函数【高考新动向】一、考纲点击1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；2.会求二次函数在闭区间上的最值；3.运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决问题.二、热点、难点提示1.二次函数图象的应用及求最值是高考的热点.2.常将二次函数及相应的一元二次不等式、一元二次方程交汇在一起命题,重点考查三者之间的综合应用.3.题型以选择题、填空题为主,若与导数、解析几何知识交汇，则以解答题的形式出现.【考纲全景透析】1.二次函数的解析式2．二次函数的图象与性质【热点难点全析】一、求二次函数的解析式1．相关链接求二次函数解析式的方法及思路求二次函数的解析式,一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：2．例题解析【例1】设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)且图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得的线段长为求f(x)的解析式.【方法诠释】二次函数f(x)满足f(x+t)=f(t-x),则其对称轴方程为x=t;图象在x轴上截得的线段长度公式为|x1-x2|,本题可设f(x)的一般式,亦可设顶点式.解析：设f(x)的两零点分别为x1,x2,方法一：设f(x)=ax2+bx+c,则由题知：c=1,且对称轴为x=-2.,∴-=-b22a即b=4a.∴f(x)=ax 2+4ax+1.1.2∴-===⇒=12x x a ∴b=4a=2∴函数f(x)的解析式为()1.2=++2f x x 2x 1 方法二：∵f(x-2)=f(-x-2),∴二次函数f(x)的对称轴为x=-2. 设f(x)=a(x+2)2+b, 且f(0)=1,∴4a+b=1.∴f(x)=a(x+2)2+1-4a=ax 2+4ax+1,∴-===12x x ()11 (22)⇒=∴=-∴=++2a b 1f x x 2x 1【方法指导】用待定系数法求二次函数的解析式：(1)设一般式是通法；(2)已知顶点(对称轴或最值),往往设顶点式； (3)已知图象与x 轴的两交点,往往设两根式,若选用形式不当，引入的待定系数过多，会加大运算量.【例2】如图,抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上、两点，该抛物线的对称轴x=-1与x 轴相交于点,且∠ABC ＝90°,求：(1)直线AB 对应函数的解析式； (2)抛物线的解析式.【解析】(1)由已知及图形得：A(4,0),B(0,-4k),(-1,0)， 又∵∠CBA=∠BOC=90°,∴OB 2=CO ·AO. ∴(-4k)2=1×4, 1.2∴=±k 又∵由图知k ＜0, 1.2∴=-k∴所求直线的解析式为1.2=-+y x 2 (2)设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c,则,⎧⎪=++⎪=⎨⎪⎪-=-⎩016a 4b c 2c b12a 解得.⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩1a 121b 6c 2∴所求抛物线的解析式为.=--+211y x x 2126二、二次函数图象与性质的应用 1．相关链接<一>求二次函数最值的类型及解法(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．<二>二次函数单调性问题的解法结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解.注：配方法是解决二次函数最值问题的常用方法,但要注意自变量范围与对称轴之间的关系.2．例题解析【例】(2012·盐城模拟)已知函数f(x)=x 2+2ax+3,x ∈[-4,6].(1)当a=-2时,求f(x)的最值；(2)求实数a 的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数； (3)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.【方法诠释】解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系,结合图象或单调性直接求解,对于(3),应先将函数化为分段函数,再求单调区间.解析：(1)当a=-2时,f(x)=x 2-4x+3=(x-2)2-1, 则函数在［-4,2)上为减函数,在(2,6］上为增函数, ∴f(x)min =f(2)=-1,f(x)max =f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35. (2)函数f(x)=x 2+2ax+3的对称轴为,=-=-2ax a 2∴要使f(x)在[-4,6］上为单调函数,只需-a ≤-4或-a ≥6,解得a ≥4或a ≤-6. (3)当a=-1时,f(|x|)=x 2-2|x|+3()(),,⎧++=++≤⎪=⎨-+=-+⎪⎩2222x 2x 3x 12x 0x 2x 3x 12x 0＞ 其图象如图所示：注：1.影响二次函数f(x)在区间[m,n]上最值的要素有三个,即抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间；常用数形结合思想求解,但当三要素中有一要素不明确时，要分情况讨论.2.确定与应用二次函数单调性，常借助其图象数形结合求解. 三、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的综合问题 1．相关链接二次函数问题的解题思路(1)解决一元二次方程根的分布问题的方法，常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.(2)解决一元二次不等式的有关问题的策略，一般需借助于二次函数的图象、性质求解.2．例题解析【例3】设函数f(x)=ax 2-2x+2,对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f(x)＞0,求实数a 的取值范围.【方法诠释】解答本题可以有两条途径：(1)分a ＞0,a ＜0,a=0三种情况,求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min ,再令f(x)min ＞0,从而求出a 的取值范围；(2)将参数a 分离得,-+222a x x ＞然后求()=-+222g x x x的最大值即可.解析：方法一：当a ＞0时, ()(),=-+-211f x a x 2aa由f(x)＞0,x ∈(1,4)得：()⎧≤⎪⎨⎪=-+≥⎩11a f 1a 220或()⎧⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩114a11f 20a a ＜＜＞或(),⎧≥⎪⎨⎪=-+≥⎩14a f 416a 820≥⎧∴⎨≥⎩a 1a 0或12⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1a 14a ＜＜＞或,⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩1a 43a 8∴a ≥1或12a 1＜＜或Ø,即1,2a ＞当a ＜0时,()(),=-+≥⎧⎪⎨=-+≥⎪⎩f 1a 220f 416a 820解得a ∈Ø;当a=0时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意. 综上可得,实数a 的取值范围是1.2a ＞方法二：由f(x)＞0,即ax 2-2x+2＞0,x ∈(1,4),得-+222a x x＞ 在(1,4)上恒成立. 令()11(),22=-+=--+22221g x 2x x x ()()1(,),,2∈∴==max 111g x g 2x 4 所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立,只要12a ＞即可.注：1.一元二次不等式问题及一元二次方程解的确定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解，但要注意讨论.2.关于不等式的恒成立问题,能用分离参数法，尽量用.因为该法可以避开频繁地对参数的讨论.【高考零距离】1. （2012·福建高考文科·Ｔ15）已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_________．【解题指南】开口向上的抛物线，要恒正，必须和x 轴没有交点．【解析】选由题，2()80a a ∆=--<，解得(0,8)a ∈ 答案: (0,8)2. （2012·北京高考文科·Ｔ14）已知f （x ）=m （x-2m ）（x ＋m ＋3），g （x ）=2x-2。
2013版高考数学一轮复习2.2函数地单调性与最值精品学案
2013版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用2.2函数的单调性与最值【高考新动向】一、考纲点击1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值。
二、热点、难点提示1.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或应用函数值大小，是高考的热点及重点.2.常与函数的图象及其他性质交汇命题.3.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现.【考纲全景透析】一、函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2，改变量⊿x= x2- x1>0当x1< x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1< x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的（2）单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做f(x)的单调区间。
注：①单调区间是定义域的子区间②函数的单调性反映在图象上是在某一区间上是上升的或下降的；而最大（小）值反映在图象上为其最高（低）点的纵坐标的值。
二、函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I，都有f(x)≤M存在x0∈I，使得f(x0)=M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M 存在x0∈I，使得f(x0)=M结论M为最大值M为最小值注：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。
相关提示：①函数的单调区间与该函数定义域间的关系函数的单调区间是该函数定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间。
②一个函数在定义域内的单调性与在某几个子区间上的单调性的关系如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增（减）函数，不能说这个函数在定义域上是增（减）函数，如函数1()()tan.f x f x xx==及③相同单调性函数的和、差、积、商函数的单调性两个增（减）函数的和函数仍是增（减）函数，但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定。
2013高考数学(江苏专版)二轮专题课件：第一部分专题5函数的综合应用
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[典例2] (2012·苏北四市模拟)已知函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自 然数的底数，a∈R. (1)当a<0时，解不等式f(x)>0； (2)若f(x)在[－1,1]上是单调增函数，求a的取值范围； (3)当a＝0时，求整数k的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[k，k ＋1]上有解．
答案：[－1,1] 2．函数 f(x)＝x2－ax在[1，＋∞ )上的最小值是－4，则正实数 a
＝________. 解析：f′(x)＝2x＋xa2＞0，则 f(x)在[1，＋∞ )上单调递 增，f(x)min＝f(1)＝1－a＝－4，a＝5.
答案：5
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3．关于x的不等式x2＋9＋|x2－3x|≥kx在[1,5]上恒成立，则实 数k的范围为________． 解析： 两边同除以x，则k≤x＋9x＋|x－3|，x＋9x≥6，|x－ 3|≥0，当且仅当x＝3，两等式同时取得等号，所以x＝3 时，右边取最小值6.所以k≤6.
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解：(1)由 g(x)≥－x2＋(a＋2)x，得(x－ln x)a≤x2－2x.
由于 x∈[1，e]，ln x≤1≤x，且等号不能同时取得，
所以 ln x<x，x－ln x>0.
从而 a≤xx－2－ln2xx恒成立，a≤xx－2－ln2xxmin. 设 t(x)＝xx－2－ln2xx，x∈[1，e]．
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[典例1]
函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，对于任意的x∈[－2,2]总有f(x)≥0
【高考讲坛】高考数学一轮复习 第3章 第5节 函数y=Asin(ωx+ψ)的图像及三角函数的应用
【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第3章 第5节 函数y=Asin （ωx+ψ）的图像及三角函数的应用课后限时自测 理 苏教版A 级 基础达标练一、填空题1．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值是________．[解析] |MN |＝|sin a －cos a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫a －π4，∴|MN |max ＝ 2. [答案]22．(2013·江西高考)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期为________． [解析] 由于y ＝sin 2x ＋23sin 2x ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3，∴T ＝2π2＝π.[答案] π3．f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为________．[解析] f (x )＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∵x ∈R ，∴f (x )∈[－3，3]． [答案] [－3，3]4．(2014·扬州调研)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象如图357所示，则f (2)＝________.图357[解析] 由题意3T 4＝2，∴T ＝83＝2πω，∴ω＝3π4.又∵f (1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，∴φ＝2k π－π4(k ∈Z )从而f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4x －π4，∴f (2)＝sin 5π4＝－22.[答案] －225．已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f (x )≥1，则x 的取值范围为________．[解析] 由f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6≥1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≥12，∴2k π＋π6≤x －π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z6．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π12 对称且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，则ω的最小值为________．[解析] 由题意设ω·π12＋φ＝k 1π，①ω·π3＋φ＝k 2π＋π2②法一：其中k 1，k 2∈Z ，②－①得ω＝4(k 2－k 1)＋2， 又ω>0，∴ω的最小值为2.法二：(间接法)由T ＝2πω知ω最小时T 最大．由题设易知T max ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π， 故ωmin ＝2πT max ＝2ππ＝2.[答案] 27．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ，下面结论正确的有________．(填上所有正确的编号)①函数f (x )的图象可由g (x )＝2sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到；②函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称；③函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称．[解析] f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，将g (x )＝2sin 2x 错误!得h (x )＝2sin 2错误!＝2sin 错误!故①错误；∵f 错误!＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝2，故②正确．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故③正确∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋π6＝2sin π＝0，故④正确． [答案] ②③④8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图358所示，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)的值等于________．图358[解析] 由图象知A ＝2，T ＝8，ω＝2π8＝π4，φ＝0，∴f (x )＝2sin πx4，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝252(f (1)＋f (2)＋…＋f (8))＝0. [答案] 0 二、解答题9．设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (0<ω<1，a ∈R )，f (x )的图象向左平移π4个单位后得到函数g (x )，若g (x )的图象关于y 轴对称，解答以下问题：(1)求ω的值． (2)如果f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上的最小值为3，求a 的值．[解] (1)f (x )＝32(1＋cos 2ωx )＋12sin 2ωx ＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32＋a . 依题意得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋ωπ2＋32＋a ， 又g (x )的图象关于y 轴对称． ∴π3＋ωπ2＝k π＋π2，k ∈Z . 又0<ω<1， ∴ω＝13(取k ＝0)．(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3＋32＋a ， ∵3π4≤x ≤5π4，则5π6≤23x ＋π3≤7π6， ∴当23x ＋π3＝7π6，即x ＝5π4时，f (x )有最小值3－12＋a ＝3，故a ＝3＋12.10．(2014·北京高考)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图359所示．图359(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．[解] (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0. 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.[B 级 能力提升练]一、填空题1．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数；f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f 2(x )＝2sin x ＋2，f 3(x )＝sin x ，则正确说法是________．①f 1(x )、f 2(x )、f 3(x )为“同形”函数；②f 1(x )、f 2(x )为“同形”函数，且它们与f 3(x )不为“同形”函数；③f 1(x )、f 3(x )为“同形”函数，且它们与f 1(x )不为“同形”函数；④f 2(x )、f 3(x )为“同形”函数，且它们与f 1(x )不为“同形”函数．[解析] f 1(x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，f 1(x )与f 2(x )振幅相同周期相同，所以f 1(x )与f 2(x )是“同形”函数，f 3(x )与f 1(x )，f 2(x )的振幅不同，故f 3(x )与f 1(x )、f 2(x )不为“同形”函数．[答案] ②2．如图3510所示为一半径为3 m 的水轮，水轮中心O 距水面2 m ，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (单位：m)与时间x (单位：s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A >0，ω>0)，则A 、ω的取值分别为________．图3510[解析] 由于水轮每分钟旋转4圈，即水轮转一圈用15 s ，即函数周期为15 s ，易得ω＝2π15，又由于水轮的半径为3 m ，易知A ＝3.[答案] 32π15二、解答题3．(2014·盐城模拟)已知函数f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )的图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解，求实数k 的取值范围．[解] f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －32＝12sin 2ωx ＋32(1＋cos 2ωx )－32 ＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3.(1)因为直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴且|x 1－x 2|的最小值为π4，即T 2＝π4. ∴T ＝π2.∴2ω＝2πT ＝2ππ2＝4.∴ω＝2.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6.∴g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. ∵g (x )＋k ＝0，∴－k ＝g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. ∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.。
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（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；
①平移变换：
Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左
(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；
1）y =f (x )h
左移→y =f (x +h)；2）y =f (x ) h
右移→y =f (x -h)；
Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上
(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；
1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ；2）y =f (x ) h
下移→y =f (x )-h 。
②对称变换：
Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；
y =f (x ) 轴
y →y =f (-x )
Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；
y =f (x ) 轴
x →y = -f (x )
Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；
y =f (x ) 原点
→y = -f (-x )
Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y =f (x )
x
y =→直线x =f (y )
Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；
y =f (x )
a
x =→直线y =f (2a -x )。
③翻折变换：
Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到
x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；
y=f(x)
c
b a
o
y
x
y=|f(x)|
c
b a
o
y
x
Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到
y=f(x)
c
b a
o
y
x
y=f(|x|)
c
b a
o
y
x
④伸缩变换：
Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；
y =f (x )a
y ⨯→y =af (x )
Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的
1
a
倍得到。
f (x ) y =f (x )a x ⨯→y =f (ax )
（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。
四．典例解析
题型1：作图
例1．（2012沈阳二中阶段考试）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y =f (x )的图象是（ ）
A B
C D
题型2：识图
例3．某地一年内的气温()Q t (单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如图所示，已知该年
的平均气温为10℃，令()C t 表示时间段[]0,t 的平均气温，
()C t 与t 之间的函数关系用下图表示，则正确的应该是
（ ）。
例4．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图2—1所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ）
A ．气温最高时，用电量最多
B ．气温最低时，用电量最少
C ．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
D ．当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加 题型3：函数的图象变换
例5．函数y =1－1
1
-x 的图象是（ ）
点评：借助函数图像的变换规则解决实际问题。
例6．在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =和)(x g y =的图象关于直线x y =对称。
现将)(x g y =的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数)(x f 的表达式为（ ）
A ．⎪⎩⎪
⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x x x x x f
B ．⎪⎩⎪
⎨⎧≤<-≤≤--=20,220
1,22)(x x x x x f
C ．⎪⎩⎪
⎨⎧≤<+≤≤-=42,12
21,22)(x x x x x f
D ．⎪⎩⎪
⎨⎧≤<-≤≤-=42,32
21,62)(x x x x x f
例7．函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ ）
y=f(x)o
y
x
y=g(x)
o y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
A B C D
例8．已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，
求b 的范围。
题型5：函数图像变换的应用
例10．设2()|2|f x x =-，若0a b <<，且
()()f a f b =，则ab 的取值范围是（ ）
A ．(0,2)
B ．(0,2]
C ．(0,4]
D ．(0,2)
2
1o
y
x
例12．画出函数y x
x =
--323
的图象，试分析其性质。
题型7：抽象函数问题 例13．函数)(x f 的定义域为D ：}0|{≠x x 且满足对于任意D x x ∈21,，有
).()()(2121x f x f x x f +=⋅
（Ⅰ）求)1(f 的值；
（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性并证明；
（Ⅲ）如果),0()(,3)62()13(,1)4(+∞≤-++=在且x f x f x f f 上是增函数，求x 的取值范围。
例14．设函数),()(+∞-∞在x f 上满足)7()7(),2()2(x f x f x f x f +=-+=-，且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(==f f （Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。
题型8：函数图象综合问题
例15．如图，点A 、B 、C 都在函数y =x 的图象上，它们的横坐标分别是a 、a +1、a +2。
又A 、B 、C 在x 轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f (a )，△A ′BC ′的面积为g (a )。
（1）求函数f (a )和g (a )的表达式；
（2）比较f (a )与g (a )的大小，并证明你的结论。
例16．设曲线C 的方程是3
y x x =-，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (0)t ≠个单位长度后得到曲线1C ， （1）写出曲线1C 的方程；
（2）证明曲线C 与1C 关于点(,)22
t s A 对称；
（3）如果曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明：2
4
t s t =-
五．思维总结
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换。
常见的函数数字特征有： （1）函数奇偶性：
奇函数)()(x f x f -=-；
偶函数)()(x f x f =-。
（2）函数单调性： 单调递增
0)
()(2121>--x x x f x f 或0))()()((2121>--x f x f x x ；
单调递增
0)
()(2
121<--x x x f x f 或0))()()((2121<--x f x f x x 。
（3）函数周期性
周期为T ：)()(x f T x f =+或)2
()2(T x f T x f -=+； （4）对称性
关于y 轴对称：)()(x f x f =-； 关于原点对称：)()(x f x f -=-；
关于直线a x =对称：)()(x a f x a f -=+或)2()(x a f x f -=；
关于点),(b a 对称：)2(2)(x a f b x f --=或)()(x a f b b x a f --=-+。