线性代数中的若干个充要条件
线性代数第四章第二节
第 二 节 向量组的线性相关性
主要内容
线性相关与线性无关的定义 向量组线性相关的充要条件 向量组的线性相关性的判定定理
一 ,线性相关与线性无关的定义
1. 定义 定义 4 给定向量组 A: a1 , a2 , , am , 如果存
在不全为零的实数 k1 , k2 , , km , 使 k1a1 + k2a2 + + kmam = 0, 则称向量组 A 是线性相关的, 否则称它线性无
关.
2. 两个特殊向量组线性相关的充要条件
1) 由一个向量构成的向量组 A: a 线性相关 的充要条件是 a = 0. 2) 由两个向量构成的向量组 A : a1 , a2 线性 相关的充要条件是 a1 , a2 的分量对应成比例. 如 的分量对应成比例.
向量组 A:
1 3 a1 = 1 , a 2 = 3 , 2 6
图 4.3
从几何上讲, 从几何上讲 若 4 维向量组所对应的平面组 中至少有三个平面共线, 中至少有三个平面共线 即至少有三个平面交于 同一直线则该向量组一定线性相关. 同一直线则该向量组一定线性相关
二 ,向量组线性相关的充要条件
定理 向量组线性相关的充要条件是该向量
组中至少有一个向量可由其余向量线性表示. 组中至少有一个向量可由其余向量线性表示
图 4.1
(2) 由三个 3 维向量构成的向量组线性相关的 几何意义是这三个向量共面. 几何意义是这三个向量共面. 如给定平面 π : x+y+z 上取三点: =3. 在 π 上取三点 M1(1,1,1) , M2(2,0,1) , M3(0,2,1) , 作三个向量: 作三个向量 z R3 M3 O M1 M2 x 3 3
线性代数(同济六版)知识点总结
1. 二阶行列式--------对角线法则:2. 三阶行列式 ①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用 表示，= n ！ 逆序数：对于排列…，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.其中： 是1,2,3的一个排列，t()是排列的逆序数5.下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式： 副对角行列式：6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。
D= ②互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。
互换两行： ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。
第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。
如：⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
如第j 列的k 倍加到第i 列上：333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j jt (j 33a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a = n...λλλλλλ21n 21= n21λλλn 2121)n(n λλλ1)( --=n n n j n jn 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a+++n n n j n 2n 12n2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a +=n n n j n j n in 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a+++n nn j n i n 12n2j 2i 211n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a =7. 重要性质：利用行列式的性质或，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶 行列式的值。
线性代数-知识点总结part 2
线性代数知识点总结—part 2三、向量组的线性相关与线性方程组（1）n 维向量记为a=(a 1,a 2……a n )第i 个a i 称为a 的得i 个分量或坐标有几个向量就是几维向量。
（2）向量加减法按照对应项相加减。
（3）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组0 ,0 ,,,;,0 ,,,,,,, 3.42122112122112121。
可以推出称为线性无关，如果由一向量组则称该向量组线性相关使全为零的数如果存在不给定向量组定义=====+++=+++m m m m mm m m k k k k k k k k k k k k ΛρΛΛρΛΛΛαααααααααααα（4）向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其他向量线性表示。
（5）部分向量组线性相关，则整个向量组线性相关；整个向量组线性无关，则部分向量组线性无关。
（6）线性无关组添加相同数量个分量所得的向量组仍线性无关；线性相关组减少相同位置相同数量个分量所得的向量组仍线性相关。
唯一表示。
可由线性相关，则，线性无关，而设mm m αααββαααααα,,,,,,,,, 212121ΛΛΛ向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛=n n T T a a aa a a A M MML L M 222211121121αα（7）若（8）若向量组A 和B 能相互线性表示就称A 和B 等价；(9)一个向量组T ，从中选出r 个向量a 1，a 2，…..a r 满足它们线性无关，并且T 中任意一个向量都可以用a 1，a 2…..a r 线性表示 那么我们就称a 1，a 2，…..a r 是T 的最大向量无关组（10）向量组的最大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩. （11）矩阵A 的秩等于它的列向量组的秩，也等于行向量组的秩 （12）设向量组(I)的秩为r1，向量组(II)的秩为r2，且(I)能由(II)线性表示，则r1<=r2(13)等价的向量组有相同的秩。
线性代数期末复习要点
注：一般而言， 1o ( AB)k Ak Bk ， 正确： ( AB)k (AB)(A B)( AB) ；
k个
2o ( A B)(A B) A2 B2， 正确： ( A B)(A B) A2 AB BA B2 ；
3o ( A B)2 A2 2AB B2 ， 正确： ( A B)2 A2 AB BA B2 。
A22
An
2
A2n
Ann
称为
A
的伴随矩阵。
2、n 阶方阵可逆的充要条件：
A
0
A 可逆，且 A1
1 A
A 。
3、逆矩阵的性质： 1o ( A1 )1 A ； 3o ( AT )1 ( A1 )T ；
4、伴随矩阵的性质：
2o ( AB)1 B1 A1 ；
4o
(kA)1
1 k
A1
（k
1、 Ax 0的基础解系：解向量组的一个极大无关组。
2、 Ax 0解的定理：只有当 R( A) r n 时，才存在基础解 系，且 n r 个线性无关的解向量组成的向量组 v1、v2、、vnr 是 Ax 0的基础解系，其线性组合
v c1v1 c2v2 cnrvnr 是 Ax 0的全部解。 3、基础解系的求法：
组有且仅有唯一解，且
xj
Dj D
（ j 1,2,, n ）
注：齐次线性方程组有非零解 D 0。 （逆否命题：齐次线性方程组仅有零解 D 0。）
第二章 矩阵
一、矩阵的定义：矩形数表。
二、矩阵的运算
1、矩阵的加法、减法：只有同型矩阵才可以进行加减运算。
2、数与矩阵的乘法：数与矩阵的乘法是数与矩阵每一个元 素相乘；而数与行列式的乘积是数与行列式中某一行（列） 的每一个元素相乘。
工程数学线性代数
参考书：线性代数(第二版) 居余马 清华大学出版社概要&总结 一、线性代数的基础内容：1、行列式——行列式的定义及计算性质(7条)，克莱姆法则；2、矩阵——运算(包括相等、加法、数乘；转置，乘法，逆)；矩阵的行列式、伴随矩阵；初等变换(包括行、列变换及与矩阵乘法的关系，求逆等)；行等价标准形(行阶梯形、行简化阶梯形)及标准形；矩阵的秩；分块矩阵例1：设A 是m n ⨯矩阵，设B 是n m ⨯矩阵，且AB E =，其中E 是m 阶单位矩阵，则： ()()(); ()(),(); ()(),(); ()(A r A r B m B r A m r B n C r A n r B m D r A r B n======== 3、向量——线性组合、表示、相关性；秩及极大无关组例2：设123(1,2,1,0),(1,0,2),(2,1)TTTa ααα=-==，若123,,ααα形成的向量组为2，则___a = 特别的，除理解概念外，尽可能深刻的理解初等变换在解决矩阵相关问题中的作用；初等变换与矩阵乘积运算的关系；矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；如何借助矩阵的初等行变换去求向量组的秩及其极大无关组二、线性代数的应用性内容1、线性方程组求解：i)齐次的0Ax =，讨论有不全为零解的条件，解的性质和基础解系(不唯一)—格式化的求基础解系的步骤；ii)非齐次的Ax b =，讨论有解的条件(唯一解、无穷多解)，解的性质和结构—格式化的解题步骤例3：设11010,1111a A b λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，已知线性方程组AX b =存在两个不同的解。
(I)求,a λ；(II)求AX b =的通解2、向量空间：基、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式；特殊的基，自然基和标准正交基及施密特正交化方法；正交矩阵3、特征值特征向量：i)特征值、特征向量——格式化的求解步骤，关键是在理解这组概念及其性质；ii)矩阵对角化：矩阵可对角化的条件；特征向量的性质；相似矩阵iii)实对称矩阵正交对角化：实对称矩阵特征值特征向量的性质(特征值都为实数，属于不同特征值的特征向量正交)——格式化的对角化步骤例4：设A 是四阶实对称矩阵，且20A A +=，若()3r A =则A 相似于：11111111();();();()11110000A B C D -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4、二次型：i)二次型与对称矩阵的关系ii) 利用正交变换的方法化二次型为标准型相当于实对称矩阵的正交对角化；配方法化二次型为标准形；合同矩阵(与等价、相似的关系)iii)二次型的规范形与惯性定理：正惯性指数与负惯性指数唯一确定iv)正定二次型与正定矩阵：如何判别？——四个等价的条件(正定；正惯性指数为n ；存在P 使T P P A =；所有特征值大于零)例5：设二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +，且Q的第三列为)22T 。
线性代数概要2
第四章线性方程组一．线性方程组的各种表达形式及相关概念二．基础解系的概念及其求法三．齐次方程组有非零解的判定定理4.1设A是m×n矩阵，齐次方程组Ax=0有非零解的充要条件是r（A）<n，即A的列向量线性相关定理4.3 Ax=0有非零解的充分条件是m<n,即方程个数小于未知数个数四．非齐次线性方程组有解的判定设A是m×n矩阵，线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩，即Or b可由A的列向量线性表出Or 与是等价向量组注意！！Ax=b有唯一解，则Ax=0只有零解Ax=0只有零解是，Ax=b可能无解，也可能只有唯一解五．非齐次线性方程组解的结构六．线性方程组解的性质1.如果是Ax=b的两个解，则是Ax=0的解2.如果是Ax=0的两个解，则其线性组合仍是Ax=0的解3.如果是Ax=b的解，是Ax=0的解，则仍是Ax=b的解题型一线性方程组解的基本概念注意！！！基础解系一定线性无关题型二线性方程组求解题型三含有参数的方程组解的讨论题型四关于线性方程组公共解、同解问题解法：1.将两个方程组联立后的方程组求解，所得解为公共解2.把一个方程组的解带入另一个方程组3.两个方程的基础解系都知道时，令两个解系相等，解方程组题型五有关基础解系的证明要证是Ax=0的基础解系，应证明三点：1. 是Ax=0的解；2. 线性无关；3.解向量个数t=n-r（A）或可表示Ax=0的任一解题型六有关线性方程组的证明题第五章矩阵的特征值与特征向量一．矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法1. 注意！！！特征向量是非零向量——在证明题中常用2. 特别的，0是A的特征值|A|=0 A不可逆。
Ax=0的基础解系就是λ=0的线性无关的特征向量3.若r（A）=1则|λE-A|=可见，若r（A）=1，则A的n个特征值是4.特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于矩阵A的行列式的值，即5.n阶矩阵A和它的转置矩阵有相同的特征值6.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是，他的任意特征值均布等于07.若λ是矩阵A的特征值，则对任何正整数k，是的特征值二．相似矩阵的概念与性质设A、B是n阶矩阵，如存在可逆矩阵P，使，则称矩阵A与B相似，记为1.相似矩阵的性质，如①②③④注意！！这些都只是必要条件2.3.4.5.三．矩阵可相似对角化的充分必要条件及解题步骤1. 矩阵可相似对角化的充分必要条件（1）A有n个线性无关的特征向量（2）对于矩阵A的每一个重特征值，其线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数，即秩2.A与对角矩阵相似的充分条件（1）A有n个不同的特征值；（2）A是实对称矩阵3.【解题步骤】第一步先求出A的特征值第二步再求所对应的线性无关的特征向量第三步构造可逆矩阵4.实对称矩阵的特性（1）实对称矩阵必可对角化（2）特征值全是实数，特征向量都是实向量（3）不同特征值的特征向量相互正交（4）重特征值必有个线性无关的特征向量，或者说必有5.用正交矩阵化A为相似标准形的解题步骤注意！！（1）当A的特征值互不相同是，仅需把特征向量单位化就可用来构造矩阵P（2）当特征值有重根时，要检查特征向量是否正交，否则必须对的特征向量用Schmidt正交化方法处理，才能构造出正交矩阵P（3）仅实对称矩阵才能用正交变换化为对角形！！题型一求矩阵的特征值和特征向量解题思路：（1）有|λE-A|=0求特征值，再由（λE-A）x=0求得基础解系得特征向量（2）用定义法（3）用相似题型二 n阶矩阵A能否相似对角化的判定解题思路：先求特征值，若特征值不同，则；若特征值有重根，则求秩r（λE-A），检查n-r（λE-A）= ？题型三求相似时的可逆矩阵解题思路：如果，那么求出矩阵A的线性无关的特征向量就可构成可逆矩阵P题型四求矩阵A中的参数题型五用特征值和特征向量反求矩阵A题型六相似对角化的应用——求题型七有关实对称矩阵的问题题型八有关特征值与特征向量的证明第六章二次型一．二次型的概念及其标准形1.二次型的概念2.二次型的标准形注意！！正交变换化二次型为标准形时，标准形中平方项系数必是矩阵A的n个特征值，而配方法没有这个属性3.二次型的规范形二．正定二次型与正定矩阵1.二次型正定的充分必要条件定理6.3 n元二次型正定的正惯性指数p=nA与E合同，即有可逆矩阵C，使A的所有特征值全大于零A的顺序主子式全大于零存在可逆矩阵C，使得注意！！正定的必要条件——三．合同矩阵1.概念：两个n阶实对称矩阵A和B，如存在可逆矩阵C，使得，则称矩阵A和B合同，记作2．两个矩阵合同的充分必要条件：实对称矩阵的充要条件是，二次型与有相同的正、负惯性指数3.两矩阵合同的充分条件——两矩阵合同的必要条件——题型一有关二次型基本概念的问题题型二化二次型为标准形【解题思路】1．用正交变换化二次型为标准形的解题步骤为：第一步，把二次型表示为矩阵形式第二步，求A的特征值及相应的特征向量(当时，最好检验所求是否正交第三步，若特征值有重根，则对重根所求的特征向量要注意，若不正交，则需用Schmidt 正交化第四步，把特征向量单位化为第五步，构造正交矩阵第六步，令x=Cy，得2.用配方法化二次型为标准形注意！！如二次型中不含平方项，只有混合项，不妨设，则可令经此坐标变换，二次型中出现后，再配方题型三判别或证明二次型的正定性【常用思路】（1）用定义（2）正惯性指数p=n（3）顺序主子式全大于0（4）特征值全大于0注意！！！正定的必要条件可帮助排除非正定的二次型题型四合同矩阵。
考研数学《线性代数》考点知识点总结
n
aki Akj
k 1
Dij
D, 0,
当i 当i
j, n
j;
或
k 1
aik
Ajk
Dij
D, 0,
当i 当i
j, j; 其中ij
1, 0,
当i j, 当i j.
1 1 1 1
范德蒙德 行列式：
x1 Dn x12
x2 x22
x3 x32
x n 1 1
x n 1 2
x n 1 3
xn xn2 ＝ (xi x j ) ．证明用数学归纳法．
A
0
A2
0
A11
，若
A
0 ，则 A1
As
0
A
1 2
0
A
1 s
性质： A A1 A2 As ，且 Ai 0 (i 1,2, , s) ，则 A 0 ．
行向量：
α1T
A mn
α
T 2
，
α
T m
αiT (ai1, ai2, , ain )
列向量：
A (a1, a2 , , an )
线性方程组有解，称它相容；无解，就称 它不相容．
（iii）有无限多解的充分必要条件是 R( A) R( A, b) n ．
线性方程组 Ax b 有解的充要条件是 R(A) R(A, b) ．
n 元齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是 R(A) n ．
矩阵方程 AX B 有解的充要条件是 R(A) R(A, B) ．
定理 2： n 阶行列式可定义为 D (1)t a a p11 p2 2 apnn = (1)t a1p1 a2 p2 anpn ．
1．D=DT，DT 为 D 转置行列式．(沿副对角线翻转，行列式同样不变)
好用的线性代数教材所有定理
1, 2 ,, n线性相关
T T T r (1 , 2 , , n ) n 向量组中的向量个数
a1 j a2 j j a nj
定理3.5推论1:设n个n维向量
( j 1, 2, , n)
(1 2
a11 a21 n) A an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
n 1 2 n 1 1 2 2 n n
定理1.4 n阶行列式D =|aij|等于它的任一行(列)的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D=
+ …+
+ …+
i =1,2,3,…,n j =1,2,3,…,n
定理1.5 n阶行列式 D aij 某一行(列)的元素与另一行(列) 对应元素代数余子式乘积的和等于0,即:
a11 a1, j 1 b1 a1, j 1 a1n
其中Dj是把系数行列式D中第j列 D j 的元素用方程组右端的常数项代替 an1 an, j 1 bn an, j 1 ann 后所得到的n阶行列式，
定理1.8 如果齐次线性方程组(1.13) 的系数行列式 xj=0 j=1,2,..,n) D≠0,则它仅有零解. (D≠0
设n阶矩阵A (aij )nn , A的全部特征值为 1，2 ,, n
(其中可能有重根、复根），则 即： (1) 1 2 n a11 a22 ann ;
( 2) 12 n A .
定理4.5 若n阶矩阵 A与B相似,则A与B的特征多项式相同
,
从而A与B的特征值相同. 定理4.5推论 若n阶方阵A与对角阵
1 2 n
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线性代数中的若干个充要条件
一、n 阶方阵可逆的充要条件
A 是n 阶可逆方阵
⇔E BA AB ==)(
⇔0det ≠A （非奇异）
⇔n A =rank （满秩）
⇔A 的最高阶非零子式的阶数等于n
⇔E A ~（等价）
⇔A 的伴随矩阵*A 可逆
⇔)rank()rank(B AB =
⇔存在n 阶可逆矩阵P ,使E AP =
⇔存在n 阶可逆矩阵Q ,使E QA =
⇔存在有限个初等方阵s i P i ≤≤1 , ,使s P P P A 21= ⇔0=Ax 只有零解
⇔0=Ax 解空间的维数是零
⇔ββ=∈∀Ax R n ,总有唯一解
⇔A 的行（列）向量组线性无关
⇔
ββ ,n R ∈∀总可以由n ααα,,,21 唯一的线性表示 ⇔A 的特征值均不为零
实对称
A ⇔A 的正、负惯性指数的和n q p =+
⇔A A T 是正定矩阵
⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基
⇔A 的列向量组与单位向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,,010,00121 n εεε等价 ⇔A 是n R 的某两组基之间的过渡矩阵
二、β=⨯x A n m 有(无)解的充要条件
β=⨯x A n m 有（无）解
⇔),rank(rank βA A = （),rank(rank βA A <） ⇔向量β可以（不能）被A 的列向量组n ααα,,,21 线性表示
三、β=⨯x A n m 有唯一（无穷多）解的充要条件
β=⨯x A n m 有唯一（无穷多）解
⇔)(),rank(rank n n A A <==β
⇔A 的列向量组n ααα,,,21 线性无关，且β可以被n ααα,,,21 唯一线性表示（n ααα,,,21 线性相关，β的表示法不唯一）
四、0=⨯x A n m 只有零（有非零）解的充要条件
0=⨯x A n m 只有零（有非零）解
⇔n A =rank （n <）
⇔A 列满秩（列亏秩）
⇔A A T 可逆 (A A T 不可逆)
⇔A A T 正定 (A A T 非负定)
⇔存在矩阵m n Q ⨯，使n n E QA ⨯=
⇔A 的列向量组n ααα,,,21 线性无关（线性相关） ⇔n ααα,,,21 中每一个（至少有一个）都不能（可以）由其余1-n 个线性表出
⇔向量组n ααα,,,21 与n 维单位向量组n εεε,,,21 （不）等价 ⇔解空间维数0=s （A n s rank -=）
⇔没有基础解向量（基础解系中有A n rank -个基础解向量）
五、ββ=∈∀⨯x A R n m m ,总有解的充要条件
ββ=∈∀⨯x A R n m m ,总有解
⇔m A =rank (行满秩)
⇔0)det(≠T AA (0)det(=T AA )
⇔T AA 可逆 (T AA 不可逆)
⇔存在矩阵m n P ⨯，使m m E AP ⨯=
⇔A 的行向量组T m T T βββ,,,21 线性无关
⇔m n =),,,(rank 21ααα （若n m <，A 的列向量组线性相关） ⇔A 的列向量组n ααα,,,21 可线性表示任意一m 维列向量
⇔m R ∈∀β，存在常数n k k k ,,,21 使()βααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n n k k k 2121,,, ⇔向量组n ααα,,,21 与m 维单位向量组m εεε,,,21 等价
六、n n A ⨯ 可以相似对角化的充要条件
n n A ⨯ 可以相似对角化
⇔存在可逆矩阵P ，使Λ=-AP P 1（对角矩阵） ⇔A 有n 个线性无关的特征向量
⇔A 的任一特征值的重数与该特征值线性无关特征向量的个数相等 ⇔对A 的任一k 重特征值0λ，0)(0=-x A E λ有k 个基础解向量 ⇔对A 的任一k 重特征值0λ，k n A E -=-)(rank 0λ
附1：n n A ⨯ 可以相似对角化的充分条件
n n A ⨯ 有n 个不同的特征值⇒A 可以相似对角化
n n A ⨯ 是实对称矩阵⇒A 可以相似对角化
附2：两个n 方阵A 与B 相似的必要条件
B A ~（相似）
⇒)(det )(det B E A E -=-λλ（特征值相同）
⇒B A tr tr =∑==n i i 1λ（等迹且等于特征值的和，∑==n
i ii a A 1
tr ）
⇒B A rank rank =（等秩）
⇒B A det det =（行列式相等）
七、n 元二次型Ax x T 正定的充要条件
n 元二次型Ax x T 正定
⇔ 0 ,≠∈∀x R x n ，0>Ax x T
⇔A 是正定矩阵
⇔A 的正惯性指数n p =
⇔E A ~（合同）
⇔存在可逆矩阵D ，使D D A T = ⇔A 的特征值均为正数
⇔A 的顺序主子式均大于零
附：n 元二次型Ax x T 正定的必要条件 A 是正定矩阵
⇒A 的主对角元n i a ii ,,2,1 , 0 => ⇒ 0det >A
八、矩阵合同的充要条件
B A ~（合同）⇔A 与B 有相同的正、负惯性指数 B A ~（合同）⇒B A rank rank =，反之未必. A 实对称⇒Λ~A （与对角阵合同），反之未必.。