2.3.1双曲线及其标准方程学案(人教A版选修2-1)
高中数学 2.3.1 双曲线及其标准方程学案 新人教A版选修2-1
§2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标：1、初步会按特定条件求双曲线的标准方程；2、理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形。
一、主要知识：1、双曲线的定义：2、双曲线方程的推导：3、双曲线的标准方程：二、典例分析：〖例1〗：（1）判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出其焦点的坐标。
①12422=-y x ；②12222=-y x ；③12422-=-y x ；④369422=-x y（2）已知方程221410x y k k+=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为 。
〖例2〗：（1）已知焦点12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上的一点P 到12,F F 的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
（2）求与椭圆221255x y +=共焦点且过点(的双曲线的方程。
〖例3〗：已知ABC ∆的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使A C B sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹。
三、课后作业：1、双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是（ ）A 、4B 、C 、8D 、与m 无关2、椭圆222134x y n +=和双曲线222116x y n -=有相同的焦点，则实数n 的值是（ ） A 、5±B 、3±C 、5D 、93、双曲线2255x ky +=的一个焦点是)，那么实数k 的值为（ ） A 、25- B 、25 C 、1-D 、1 4、过双曲线221169x y -=左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长是（ ） A 、28 B 、22 C 、14 D 、125、设12,F F 是双曲线2214x y -=的焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ∠=，则点P 到x 轴的距离为（ ）A 、1BC 、2 D6、（1）已知a =()2,5-，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为 。
人教版数学选修2-1新课导学案：2.3.1双曲线及其标准方程
一、自学指导，阅读P45-P47，回答以下问题
（一）、概念
[1]动手操作教材P45的“拉链实验”。
其轨迹，并用集合表示出该曲线满足的条件
[2]类比椭圆定义,尝试概括出双曲线的定义。你认为定义中哪些地方比较关键?
椭圆定义：平面内到两定点F1,F2的距离之和为常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。
学校年级学科导学案
主备：戴海燕审核授课人授课时间班级姓名小组
课题：双曲线的标准方程课型：新课课时：一
【学习目标】
1、通过与椭圆类比学习，探究双曲线的定义以及其标准方程；
2、通过对日常生活的体验和画双曲线的过程，理解双曲线上的点所要满足的条件；
3、掌握双曲线标准方程的各种形式及a、b、c的关系；掌握椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的联系和区别。
1．建立合适的平面直角坐标系
2．设双曲线上任意一点的坐标为M(x、y),｜F1F2｜=2c，M点与F1、F2的距离的差的绝对值等于，则F1、F2坐标分别是、
3. 由两点间距离公式，得｜MF1｜=，｜MF2｜=
由双曲线定义｜｜MF1｜-｜MF2｜｜=2a，得
去掉绝对值，得
4. 化简方程
=,
两边平方，得(x+c)2+y2=
③、若a=25，经过点A(2,-5)，焦点在y轴上.
④、
3、已知方程 分别表示
①椭圆，
②焦点在x轴上的双曲线，
③焦点在y轴上的双曲线，
求m的取值范围。
4、若椭圆 和双曲线 有共同的焦点，则n=
5、已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程。
四、课堂小结
五、课后作业
（教师“复备”栏或学生笔记栏）
高中数学选修2-1精品学案：2.3.1 双曲线及其标准方程
§2.3双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标 1.掌握双曲线的定义.2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.知识点1双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.【预习评价】思考双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.知识点2双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2ca，b，c的关系c2＝a2＋b2【预习评价】已知双曲线的焦点为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，双曲线上一点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程是________.[解析] 由题知c ＝4，a ＝1，故b 2＝15，所以双曲线的标准方程为x 2－y 215＝1.[答案] x 2－y215＝1题型一 求双曲线的标准方程【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5；(2)c ＝6，经过点(－5，2)，焦点在x 轴上.解 (1)方法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154和Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9， (舍去).若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.方法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0). ∵P ，Q 两点在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)方法一 依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0).则有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. 方法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6).∵双曲线经过点(－5，2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去).∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂.若双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m ，n ，避免了讨论，从而简化求解过程.【训练1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22).解 (1)由双曲线的定义知，2a ＝8，所以a ＝4， 又知焦点在x 轴上，且c ＝5， 所以b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， 所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. (2)因为焦点在x 轴上，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 将点(4，－2)和(26，22)代入方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－4b 2＝1， ①24a 2－8b 2＝1， ②解得a 2＝8，b 2＝4，所以双曲线的标准方程为x 28－y 24＝1.考查 方向题型二 双曲线定义的应用方向1 利用双曲线的定义求轨迹(方程)【例2－1】 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________.[解析] 如图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |.因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝2，这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8， ∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).[答案] x 2－y 28＝1(x ≤－1)方向2 双曲线中的焦点三角形问题【例2－2】 已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)如图，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积.解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1， 故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002×32＝0，且0°＜∠F 1PF 2＜180°，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a ).(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.【训练2】 已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积. 解 由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5. 由双曲线的定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.题型三与双曲线有关的轨迹问题【例3】如图，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三个内角A，B，C满足2sin A ＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.解以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－22，0)，B(22，0).由正弦定理得sin A＝|BC|2R ，sin B＝|AC|2R，sin C＝|AB|2R(R为△ABC的外接圆半径).∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，从而有|AC|－|BC|＝12|AB|＝22<|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点). ∵a＝2，c＝22，∴b2＝c2－a2＝6，即所求轨迹方程为x22－y26＝1(x>2).规律方法(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.【训练3】如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1；圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝32，c＝5，于是b2＝c2－a2＝914.∴动圆圆心M的轨迹方程为x294－y2914＝1(x≤－32).课堂达标1.已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支C.不存在D.一条射线[解析]因为|PF1|－|PF2|＝4，且4<|F1F2|，由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支.[答案] B2.若椭圆x234＋y2n2＝1和双曲线x2n2－y216＝1有相同的焦点，则实数n的值是() A.±5 B.±3 C.5 D.9[解析]由题意知，34－n2＝n2＋16，∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.[答案] B3.双曲线x210－y22＝1的焦距为()A.3 2B.42C.3 3D.4 3[解析]由标准方程得a2＝10，b2＝2，所以c2＝a2＋b2＝12，c＝23，所以焦距2c＝4 3.[答案] D4.已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为______________________.[解析]当焦点在x轴上时，方程为x225－y224＝1，当焦点在y轴上时，方程为y225－x224＝1.[答案]x225－y224＝1或y225－x224＝15.P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________.[解析]将x2－y2＝16化为标准形式为x216－y216＝1，所以a2＝16，2a＝8.因为P点在双曲线左支上，所以|PF1|－|PF2|＝－8.[答案]－8课堂小结1.双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线.2.在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1 (mn<0)的形式求解.。
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亲爱的同学:经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！那今天就来小试牛刀吧！注意哦：在答卷的过程中一要认真仔细哦！不交头接耳，不东张西望！不紧张！养成良好的答题习惯也要取得好成绩的关键！祝取得好成绩！一次比一次有进步!-X J7< -JTS'rj 2 52 2 55 J -* 45 -* 48 JA/L-l-l ----- A i-z复习1:椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程4 + 4 = 1中，a,b,c有何关系？若a = 5,b = 3,则c = ?写出符合条件a b 的椭圆方程.二、新课导学探学习探究问题1:把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图2-23,定点耳，场是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|M引-笃|是常数，这样就画出一条曲线；由\MF2\-\MF t\是同一常数，可以画出另一支.新知1：双曲线的定义：图2-23平面内与两定点奸，巧的距离的差的____ 等于常数(小于|耳笃|)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点耳,瑪叫做双曲线的________ ，两焦点间的距离冈坊|叫做双曲线的__________ -反思：设常数为2a ,为什么2°<|耳笃|?2a =|耳场|时，轨迹是___________________ ；2a>\F t F2\时，轨迹______________________ .试试：点A(1,O), B(-1,O),若\AC\-\BC\=1,则点C 的轨迹是___________________ .新知2：双曲线的标准方程：2 2r务一冬= l,(d>0上>0疋=；+方2)(焦点在兀轴)a' b 其焦点坐标为耳(-c,0),场(c,0).思考：若焦点在y轴，标准方程又如何？探典型例题例1已知双曲线的两焦点为耳(-5,0),笃(5,0),双曲线上任意点到坊，巧的距离的差的绝对值等于6 ,求双曲线的标准方程.2 2变式：已知双曲线--丄=1的左支上一点P到左焦点的距离为10,则点P到右焦点的距离16 9为____ - _____例2已知A, B两地相距800/7；,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2$ ,且声速为340"〃s ,求炮弹爆炸点的轨迹方程.变式：如果人B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置.探动手试试练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：(1)焦点在兀轴上，d = 4, b = 3 ；(2)焦点为(0,-6),(0,6),且经过点(2,-5).A. -25 B. 25 C.-1D.1练2.点人B的坐标分别是(-5,0), (5,0),直线AM ,相交于点M,且它们斜率之积是4试求点M的轨迹方程式，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状.9三、总结提升探学习小结1•双曲线的定义；2.双曲线的标准方程.探知识拓展GPS(全球定位系统)：双曲线的一个重要应用.在例2中，再增设一个观察点C,利用B, C两处测得的点P发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点P的准确位置.心学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为( ).A.很好B.较好C. 一般D.较差探当堂检测(时豊5分钟满分：10分)计分：1.动点P到点M(l,0)及点N(3,0)的距离之差为2,则点P的轨迹是().A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D. 一条射线2.双曲线5川+炒2=5的一个焦点是(V6,0),那么实数丘的值为().=1表示双曲线，则加的取值1.求适合下列条件的双曲线的标准3. 双曲线的两焦点分别为耳(-3,0),耳(3,0),若a = 2,则0=( ).A. 5B. 13C. V5D. V134. 己知点M(-2,0),N(2,0),动点P 满足条件\PM\-\PN\=2y/2.则动点P 的轨迹方程 (1) 焦点在x 轴上，a = 2厉，经过点4(-5,2)；(2) 经过两点 A(-7,-6V2), B(2A /7,3).2.相距1400m A,B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ,已知声速是340m/s ，问炮弹爆炸 点在怎样的曲线上，为什么？ 为。
高中数学人教A版选修(2-1)2.3 教学设计 《双曲线及其标准方程》(人教)
《双曲线及其标准方程》
本课教学双曲线及其标准方程。
学生之前已经学过椭圆及其标准方程，本课则是在椭圆的基础上引入双曲线的概念。
全课的内容分成两大部分：
先引入双曲线的定义，再推导双曲线的标准方程。
【知识与能力目标】
1、理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的概念。
2、熟练掌握双曲线的标准方程，会根据所给条件画出双曲线的草图并确定双曲线的方程。
【过程与方法目标】
学生经历定义的归纳、发现，和标准方程的推导过程，进一步体会类比和数形结合的思想方法，提高观察能力和探究分析能力。
例题教学让学生熟练掌握双曲线的标准方程，会根据所给条件画出双曲线的草图并确定双曲线的标准方程。
【情感态度价值观目标】
1、学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题。
2、培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
3、在教师的指导下进行交流探索，能用联系的观点认识问题，对数学学科方法有所认识，
能对数学学科产生兴趣。
【教学重点】
双曲线的定义和标准方程
【教学难点】
双曲线的标准方程的推导
多媒体课件
一、新课导入（课件2-3页）
1、悲伤的双曲线
谈话：前面我们学习了椭圆的概念，生活中还有许多美妙的数学图形，今天我们要学习的双曲线就是其中之一。
首先让我们通过一首小诗来认识双曲线。
（显示课件第2页）
2、认识生活中的双曲线。
谈话：双曲线在生活中的应用十分广泛，许多大型建筑的设计外观都采用了双曲线，如图中所展示的法拉利主题公园和巴西利亚大教堂。
人教A版数学高二选修2-1学案2.3第1课时双曲线及其标准方程
第1课时 双曲线及其标准方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 52～P 55的内容，回答下列问题． (1)观察教材P 52－图2.3－1，思考下列问题：①在点M 移动的过程中，|||MF 1|－|MF 2|的值发生变化吗？ 提示：不变.|||MF 1|－|MF 2|＝|FF 2|． ②动点M 的轨迹是什么？ 提示：双曲线．(2)利用教材P 53－图2.3－2所建立的坐标系，类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？提示：设M (x ，y )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由|||MF 1|－|MF 2|＝2a ，可得x 2a 2－y 2c －a 2＝1，令b 2＝c 2－a 2，则双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 2．归纳总结，核心必记 (1)双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(2)双曲线的标准方程焦点位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)(1)双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？提示：双曲线的一支．(2)在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示：①如果定义中常数等于|F 1F 2|，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)．②如果定义中常数大于|F 1F 2|，此时动点轨迹不存在．③如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．(3)如何判断方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点位置？提示：若x 2的系数为正，则焦点在x 轴上，若y 2的系数为正，则焦点在y 轴上． (4)方程x 2m ＋y 2n＝1表示哪种曲线呢？提示：当m ＝n >0时表示圆；当m >n >0或n >m >0时表示椭圆；当mn <0时表示双曲线． (5)椭圆标准方程和双曲线标准方程中的a ，b ，c 之间的关系有什么区别？ 提示：在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)双曲线的定义是： ；(2)双曲线的标准方程是： ； (3)如何由双曲线方程确定焦点的位置？．[思考] 要求双曲线的标准方程，应确定哪些条件？ 名师指津：(1)确定焦点的位置；(2)确定a 和b 的值． 讲一讲1．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5，2)，焦点在x 轴上．[尝试解答] (1)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 2 9－x 216＝1.法二：设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一：依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二：∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5，2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．练一练1．求满足下列条件的双曲线方程：(1)焦点在y 轴上，且过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5； (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解：(1)由已知可设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9， ∴双曲线的方程为y 216－x 29＝1.(2)法一：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意易求得c ＝2 5. 又双曲线过点(32，2)， ∴（32）2a 2－4b2＝1.又∵a 2＋b 2＝(25)2， ∴a 2＝12，b 2＝8.故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.法二：设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.讲一讲2．如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． [尝试解答] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得|||MF 1|－|MF 2|＝2a ＝6， 又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M 到另一个焦点的距离等于x ， 则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22. 故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|||PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|||PF 1|－|PF 2|＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|||PF 1|－|PF 2|＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．练一练2．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解：由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，则S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.讲一讲3．如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．[尝试解答] 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．因为2sin A ＋sin C ＝2sin B ，所以2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2，从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． 因为a ＝2，c ＝22，所以b 2＝c 2－a 2＝6， 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．练一练3．如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5，0)，半径r 1＝1；圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5，0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32. ——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是双曲线的定义及标准方程的求法，难点是双曲线定义的应用． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)双曲线标准方程的求法，见讲1；(2)利用双曲线的定义解决与焦点有关的三角形问题，见讲2；(3)求与双曲线有关的轨迹问题，见讲3.|PF1|－|PF2|＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表3．双曲线定义中||示两条射线．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.这是本节课的两个易错点．。
2.3.1双曲线及其标准方程_教案(人教A版选修2-1)
2、3、1双曲线及其标准方程•三维目标1、知识与技能理解双曲线得概念，掌握双曲线得定义，会用双曲线得定义解决问题；了解双曲线标准方程得推导过程及化简无理方程得常用方法.2. 过程与方法通过定义及标准方程得挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法得运用，提高学生得观察与探究能力.3. 情感、态度与价值观通过教师指导下学生得交流探索活动，激发学生得学习兴趣，培养学生用联系得观点认识问题.•重点难点重点：理解与掌握双曲线得定义及其标准方程.难点：双曲线标准方程得推导.由于双曲线得定义与标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆得经验，所以本节课用“启发探究”式得教学方式，重点突出以下两点：①以类比思维作为教学得主线；②以自主探究作为学生得学习方式，并结合多媒体辅助教学，进而实现重点、难点得突破.在教法上，宜采用探究性教学法与启发式教学法.让学生根据教学目标得要求与题目中得已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题.以启发、引导为主，采用设疑得形式，逐步让学生进行探究性得学习.通过创设情境，充分调动学生已有得学习经验，让学生经历“观察一一猜想一一证明一一应用”得过程，发现新得知识，把学生得潜意识状态得好奇心变为自觉求知得创新意识. 又通过实际操作，使刚产生得数学知识得到完善，提高了学生动手动脑得能力与增强了研究探索得综合素质.•教学流程复习椭圆定义，提出问题：与两定点距离得差为常数得轨迹就是什么? ?引导学生结合试验分析，得出满足条件得曲线形状，给出双曲线定义并探究特殊情形、通过例2及其变式训练，使学生掌握用待定系数法求双曲线得标准方程、【问题导思】1 •我们知道，与两个定点距离得与为非零常数（大于两定点间得距离）得点得轨迹就是椭圆，那么与两定点距离得差为非零常数得点得轨迹就是什么？【提示】 双曲线得一支.2.若定义中得常数大于或等于|F 1F 2|时，轨迹就是什么？ 【提示】 当常数等于|F 1F 2| 时，轨迹为以F 1, F 2为端点，在直线F 1F 2上反向得两条射线 F 1A , F 2B （包括端点），如图所 示.\~A Ti K F当常数大于|F 1F 2|时，轨迹不存在.把平面内与两个定点 F 1, F 2得距离得差得绝对值等于常数 （小于|F 1F 2|）得点得轨迹叫 做双曲线，这两个定点叫做双曲线得焦点，两焦点间得距离叫做双曲线得焦距.【问题导思】类比椭圆标准方程得建立过程，您能说说怎样选择坐标系，建立双曲线得标准方程吗？【提示】 以经过两焦点 F i 、F 2得直线为x 轴，线段F 1F 2得垂直平分线为y 轴建坐标 系.焦点在x 轴上焦点在y 轴上 标准 方程 羊二£=l(a > 0, b > 0)v 2 x 2y 二x =l (a > 0, b > 0) 焦占 八 '、八\、 F 1(-C ,0), F 2(C ,0)F 1(0, - C ) , F 2(0 , C )焦距|F 1F 2|= 2C , C 2= a 2 + b 2合作究区X 2 y 2咧已知双曲线石一16= 1得左、右焦点分别就是F l 、F 2，若双曲线上一点/ F 1PF 2= 60 ° 求厶 F 1PF 2 得面积.【思路探究】 (1)在厶PF 1F 2中，由余弦定理能得到|F 1F 2|、|PF 1|、|PF 21三者满足怎样得 关系式？⑵结合双曲线得定义，能否求出 |PF 1| |PF 2|得值进而求出△ F 1PF 2得面积?x 2 v 2【自主解答】 由x -話=1, 得 a = 3, b = 4, c = 5、由定义与余弦定理得|PF 1|- |PF 2|= ±5, |F 1F 2|2= |PF 1|2+ |PF 2|2- 2|PF 1||PF 2|COS 60 , 所以 102 = (|PF 1|- |PF 2|)2+ |PF 1| |PF 2|, 所以 |PF 1| |PF 2|= 64,,-S^F 1PF 2 =》PF 1| |PF 2| sin ZF 1PF 2双曲线定义得应用P 使得=64 X ~^3= 16 3、II 规律方法I求双曲线中焦点三角形面积得方法：法一：⑴根据双曲线得定义求出||PF i |—|PF 2||= 2a ; (2)利用余弦定理表示出|PF I |、|PF 2|、 |F i F 2|之间满足得关系式；(3)通过配方，整体得思想求出|PF i | |PF 2得值；⑷利用公式S^F i F 2 1 1=2X |PF 1| |PF 2|sin/F 1PF 2求得面积•法二：利用公式S^F 1F 2=|F 1F 2|X |y p |求得面积.卜□动］1聽本例中若/ F 1PF 2= 90 °其她条件不变，求△ F 1PF 2得面积. 【解】 由双曲线方程知a = 3, b = 4, c = 5 由双曲线得定义，||PF 1|— |PF 2||= 2a = 6, •••|PF 1|2+ |PF 2|2— 2|PF 1| |PF 2|= 36①在 Rt △Z 1PF 2 中，由勾股定理 |PF 1|2+ |PF 2|2= |F 1F 2|2= (2c)2 = 100②将②代入①得：|PF 1| |P F 2|= 32,.•S^1PF 2= 2|PF 1| |PF 2|= 16、►fill(1) a = 4 (2) 经过点 P 1 (— 2, 3 ,5)与 P 2(； . 7, 4)两点.【思路探究】 (1)所求曲线得焦点位置确定吗？ (2)如何求出a 2、b 2得值？ 【自主解答】(1)①若所求双曲线得标准方程为 a 2 —岸=1(a >0, b >0),则将a =4代入，得X6—y 2=1、求适合下列条件得双曲线得标准方程.,且经过点 A(1,丝^)；又•••点A(1 ,—亍)在双曲线上，•■•16 —衆=1、由此得b2v 0,•••不合题意，舍去.丄 1 a 2=9解得，即 a 2= 9, b 2= 16、1 1 b 2=16y 2 x 2故所求双曲线方程为9—16=1、法二 因为双曲线得焦点位置不确定，所以设曲线方程为代入点A （1 ,冷®）,得b 2 = 9, 一 y 2 x 2•双曲线得标准方程为16—-9 = 1、（2）法一当双曲线得焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为 x 2 孑—子=1(a > 0, b > 0).••卩1、P 2在双曲线上, 3厂2—2 2 2 5 h — b^=1• 4 2，3 7 42厂—11 1 了=—16解得（不合题意舍去）.1 1 产-9当双曲线得焦点在 y 轴上时，y 2 x 2设双曲线得方程为 當一了= 1（a > 0, b > 0）. ••P1、P2在双曲线上,mx 2+ ny 2= 1(mn v 0)，因为②若所求双曲线方程为2xb 2= 1(a > 0, b > 0），则将a = 4代入得2• 1 b 2=1,a 23P1、P2在双曲线上,45 4m +才门=1 所以有16 ,9 x 7m + 16n = 11m =_16解得n =9II 规律方法I1.求双曲线标准方程得两个关注点:(1) 定位：就是指确定与坐标系得相对位置，在标准方程得前提下，确定焦点位于哪条 坐标轴上，以确定方程得形式.(2) 定量：就是指确定 a 2、b 2得数值，常由条件列方程求解. 2.若焦点得位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2 + ny 2= 1得形式，为简单起见，常标明条件mn v 0、3E fl Oil S求适合下列条件得双曲线得标准方程. (1) 一个焦点就是(0, - 6)，经过点 A( — 5,6); (2) a = 5, c = 7、【解】(1)由已知c = 6,且焦点在y 轴上，另一焦点为(0,6). 由双曲线定义2a =「，‘ — 5— 0 2+ 6 + 6 2— ' — 5 — 0 2+ 6— 6 2|= 8、 •'a = 4,「.b 2 = c 2 — a 2 = 20、y 2 x 2•所求双曲线得标准方程为16— 20= 1、所求双曲线方程为一 16 ' 9=1'即 9162X=1、(2)由已知a= 5, c= 7,「・b2= c2—a2= 24,焦点不确定2 2 2 2•所求双曲线得标准方程为25—24= 1或25—24= 1、得实际应用咧“神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心（记为A, B，C）, A在B得正东方向，相距6千米，C在B得北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P得求救信号，由于B, C两地比A距P远，在此4秒后，B, C两个救援中心才同时接收到这一信号•已知该信号得传播速度为1千米/秒•求在A处发现P得方位角.【思路探究】由“ A接收到P得求救信号得时间比其她两个救援中心早 4 s”能否得到|PB|与|FA|得差为定值？就是否说明点P在以A、B为焦点得双曲线得一支上？【自主解答】因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC得垂直平分线上•又因为|PB|—|PA|=4,所以P在以A, B为焦点得双曲线得右支上.以线段AB得中点为坐标原点，AB得垂直平分线所在直线为y轴，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示.则A(3,0), B(—3,0),C( —5, 2 .3).x2 y2所以双曲线方程为 -—y = 1(x> 0),4 5BC得垂直平分线方程为x—,3y+ 7= 0、联立两方程解得x= 8, y= 5 . 3,所以P(8,5 .3),k PA= tan/FAx = 3，所以/ FAx = 60 °所以P点在A点得北偏东30方向.II««方法I解答此类题首先应建立平面直角坐标系，取两定点所在得直线为x轴，以两定点为端点得线段得中点为坐标原点；然后根据双曲线得定义求出标准方程，再由标准方程解有关问题•本题得解法主要运用了数形结合思想与函数与方程思想.K Dll £某工程要挖一个横断面为半圆得柱形得坑，挖出得土只能沿道路AP, BP运到P处（如图2-3 —1所示）,|PA|= 100 m , |PB|= 150 m，/ APB = 60° 试说明怎样运土才能最省工.【解】设M就是分界线上得任意一点，则有:|MA|+ |PA|= |MB|+ |PB|,于就是|MA—|MB|=|PB|—|PA|= 150—100 = 50、在APAB中，由余弦定理得，|AB2 = |FA|2+ |PB2 —2|FA||PB| cos 60 °1=1002+ 1502—2 X 100X 150 X 2= 17 500、•••以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，则分界线就是双曲线, x2y即625 — 3 750= 1（x> 25）.故运土时，将此双曲线左侧得土沿AP运到P处，右侧得土沿BP运到P处最省工、混淆a 、b 、c 得关系致误典俺 双曲线8kx 2— ky 2= 8得一个焦点坐标为（0,3），求k 得值.【错解】 将双曲线得方程化成标准形式为 、 2 8 2 1 因为双曲线得焦点在y 轴上，所以a =匚，b = k 、 8 【错因分析】 上述解法有两处错误：一就是 a 2, b 2值确定错误，应该就是 a 2 = — k ,1 b 2=— 1；二就是基本量 a 、b 、c 得关系错误，在双曲线中基本量 a 、b 、c 得关系应该就是 kc 2= a 2+ b 2、【防范措施】 在椭圆中，a 、b 、c 得关系就是c 2= a 2— b 2;而在双曲线中，a 、b 、c 得关系就是c 2 = a 2+ b 2,二者极易混淆，要注意区分，以防错误.k【正解】 将双曲线得方程化成 kx 2— 8y 2= 1、因为双曲线得一个焦点坐标就是 （0,3），所以焦点在y 轴上，且c = 3、所以 a 2= — 8， b 2=—匚、所以一［—1 = 9，解得 k =— 1、1•理解双曲线定义应注意以下三点：①定义中得动点与定点在同一平面内；②距离得 3，即k = 9,所以k = 9x 21k 02 1- k - 8- k差要加绝对值，否则只表示双曲线得一支；③距离差得绝对值必须小于焦距，否则不就是双曲线，而就是两条射线或无轨迹.2 •利用待定系数法可以求双曲线得标准方程， 求解步骤包括“定位”与“定量 ”两步、1.动点P 到点M(1,0)，N(— 1,0)得距离之差得绝对值为 2,则点P 得轨迹就是( )A •双曲线B •双曲线得一支C .两条射线D •一条射线【解析】 •••||PM —|PN||= 2=|MN|,「.点P 得轨迹就是两条射线.【答案】 C2. (2013徐州高二检测)双曲线方程为x 2— 2y 2= 1，则它得右焦点坐标为() A .迸,0) B •閉 0)C .(中，0)D • ( .3, 0)【解析】 将双曲线方程化为标准形式 所以 a 2= 1, b 2= 2,.・.c = 'a 2+ b 2 = ^,•••右焦点坐标为, 0) •【答案】 C3•满足条件a = 2, 一个焦点为(4,0)得双曲线得标准方程为(2 2 x _ — y_16 4【解析】 由a = 2, c = 4,得b 2= c 2— a 2= 12,又一焦点(4,0)在x 轴上,【答案】 A当¥双垄达标砸童综生生車功遂“取样x 2C、 4 12y 2=1D 、•双曲线得标准方程为-X2 y24•已知双曲线乔一9 = 1得左支上一点M到其左焦点F1得距离为10,求点M到该曲线左焦点F2得距离.2 2【解】由X6 —£ =1得a = 4,：•点M在双曲线得左支上•••|MF2|> |MF I|,「.|MF2|—|MF I|= 2a = 8,又v|MF i|= 10,.・.|MF2|= 18、方甸能枪jlilil* AH |Ji& ｛温1 需r 删 l 考从 升区1、选择题1. (2013东营高二检测 2 2)方程y — 1表示双曲线，则m 得取值氾围() A . — 2v m v 2B . m > 0C . m >0D . |m|>2 【解析】 •••已知方程表示双曲线，••• (2 + m)(2 — m)> 0、--—2 v m v 2、【答案】 AA( — 5,0)得距离与它到 B(5,0)距离得差等于6,贝U P 点得轨迹方程就是最小值就是(2 .设动点P 到( )x 2「A 、9 — 16 =2 2 2 2 y -—乞=1 9 16C 、 3 — h = 1(x W — 3)D 、 9 162 29 -16= g 3) 【解析】 由题意, 应为以 A( — 5,0), B(5,0)为焦点得双曲线得右支.由 c = 5, a = 3，知b 2= 16, 【答案】 D2 2 x_ y _ 161(x > 3).3. (2013泉州高二检测 )已知定点 A 、B 且 |AB|= 4，动点 P 满足 |PA|— |PB|= 3，则 |PA|得【解析】 C、 由题意知，动点 B 为焦点得双曲线得一支(如图)从|PA|得最小值就是图中AP '得长度，即a + c= 7、图上不难发现,【答案】4 •若椭圆m + yn = 1（m > n >o ）与双曲线a - yb =1（a > 0，b > 0）有相同得焦点 F i 、F 2, P 就是两曲线得一个交点，则|PF i | |PF 2|得值就是（）1A . m — aB 、2（m — a ）C . m 2— a 2D 、 m — a【解析】 由椭圆定义知|PF i |+ |PF 2|= 2 .m 、①由双曲线得定义知||PF i |— |PF 2||= 2 a 、②① 2—② 2得 4|PF i | |PF 2|= 4(m — a),【答案】 A5. 已知双曲线得两个焦点分别为F i （— 5, 0）, F 2（ 5, 0）,P 就是双曲线上得一点,且PF i 丄PF 2, |PF i ||P F 2|= 2,则双曲线得标准方程就是 （ ）弓—学i B 、x 2—挙i2 3 3 2C . x 2—弓=1D 、琴-y 2=1【解析】 设 |PF i |= m , |PF 2|= n ,在 Rt △D F i F 2中,m 2 + n 2= (2c)2= 20, m n = 2,由双曲线定义，知|m — n|2= m 2 + n 2— 2mn = 16、••4a 2= 16、「・a 2 = 4, b 2= c 2— a 2= 1、x 2•双曲线得标准方程为——y 2= 1、【答案】 D、填空题 2 x 6. 双曲线m 2+ 12【解析】 c 2= m 2 + 12+ 4 — m 2= 16,：c = 4,2c = 8、【答案】 8 2亠—4 —m 2 得焦距为x2y27. （2013郑州高二检测）设点P就是双曲线-—16=1上任意一点，F i, F2分别就是其左、右焦点，若|PF i|= 10,则|PF2|= __________ 、【解析】由双曲线得标准方程得， a = 3, b= 4、于就是c= - a2+ b2= 5、(1) 若点P在双曲线得左支上，则|PF2|- |PF1|= 2a = 6,.・.|PF2|= 6+ |PF1|= 16;(2) 若点P在双曲线得右支上，则|PF1 —|PF2|= 6,•••|PF2|= |PF1|-6 = 10-6= 4、综上，|PF2|= 16 或4、【答案】16或4X 2& (2013泰安高二检测)方程4—k+k-1 = 1表示得曲线为C,给出下列四个命题：①曲线C不可能就是圆；②若1v k v 4,则曲线C为椭圆；③若曲线C为双曲线，则k v 1或k>4;④若曲线C表示焦点在x轴上得椭圆，则1v kv|、其中正确命题得序号就是_________ (写出所有正确得命题得序号)【解析】当4—k = k- 1>0时，即k=号时，曲线C就是圆，•命题①就是假命题•对5于②，当1v k v 4且k M 5时，曲线C就是椭圆，则②就是假命题.根据双曲线定义与标准方程，③④就是真命题.【答案】③④三、解答题9. 求与双曲线X4 —专=1有相同焦点且过点P(2,1)得双曲线得方程.【解】双曲线2 2 x_y_4 - 2 =1得焦点在x轴上.依题意，设所求双曲线为a2-y2=1(a>0，b>0).又两曲线有相同得焦点,•'a2+ b2= c2= 4+ 2= 6、①x2 y2又点P(2,1)在双曲线孑一詁=1上,4 1 -•訐亡=1②由①、②联立，得a2= b2= 3, 故所求双曲线方程为彳—y3=1、10. 已知方程kx2+ y2= 4，其中k为实数，对于不同范围得k值分别指出方程所表示得曲线类型.【解】(1)当k= 0时，y= 12，表示两条与x轴平行得直线；(2)当k= 1时，方程为x2+ y2= 4，表示圆心在原点，半径为2得圆;x2(3)当k v 0时，方程为4~ = 1,表示焦点在y轴上得双曲线;一k2 2⑷当0 v k v 1时，方程为4+ ；= 1,表示焦点在x轴上得椭圆;kx2 y2⑸当k> 1时，方程为~ + 4 = 1,表示焦点在y轴上得椭圆.k11. 某部队进行军事演习，一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A,B, C得报告：正西、正北两个观测点同时听到了炮弹得爆炸声，正东观测点听到爆炸声得时间比其她两观测点晚 4 s,已知各观测点到该中心得距离都就是 1 020 m，试确定该枚炮弹得袭击位置.(声音得传播速度为340 m/s，相关各点均在同一平面内).【解】如图，以指挥中心为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴得正方向建立平面直角坐标系，则A(— 1 020,0), B(1 020,0), C(0,1 020).设P(x，y)为袭击位置，则|PB|—|PA= 340X 4v AB|、由双曲线定义，知点P在以A，B为焦点得双曲线得左支上，且a= 680，c= 1 020，所以 b 2= 1 0202-6802= 5X 3402、又|PA|= |PC ,因此P 在直线y = — x 上,把y = — x 代入①式，得x =— 680,5、所以 P(— 680 5, 680_；5), |OP|= 680 . 10(m).故该枚炮弹得袭击位置在北偏西45 °距指挥中心680 10 m 处、 教岬备课资源 2麼囲卄戦嚴W 严匱兽（教师用书独具） >3 iSHIS如图所示，已知定圆 F 1： x 2+ y 2+ 10x + 24= 0,定圆 F 2： x 2 + y 2— 10X + 9 = 0,动圆 M【自主解答】 圆F 1：（x + 5）2 + y 2= 1,•••圆心 F 1(— 5,0)，半径 n= 1、圆 F 2： (x — 5)2 + y 2= 42,•圆心 F 2（5,0），半径 r 2= 4、设动圆M 得半径为 R ,则有|MF 1|= R + 1 , |MF 2|= R + 4, •••|MF 2— |MF 1|= 3V IF 1F 2I 、•••点M 得轨迹就是以F 1, F 2为焦点得双曲线（左支）, □ 3 ,2 2 2 91且 a = 2， c = 5, b = c — a = 4、•双曲线方程为 討—9fy 2= 1(x < — § .>9 iSSg.所以双曲线方程为 x 268^ y 2 2 5 X 3402 1(x w — 680).① 与定圆F 1, F 2都外切，求动圆圆心已知动圆M 与圆C l ：（X + 4）2+ y 2= 2外切，与圆C 2：（X — 4）2 + y 2 = 2内切，求动圆圆心M 得轨迹方程.又 C i （ — 4,0）, C 2（4,0）,•••|C i C 2|= 8,「.2 .2v |C i C 2|、M 得轨迹就是以C i （— 4,0）, C 2（4,0）为焦点得双曲线得右支. '•'a = 2, c = 4,「.b 2= c 2— a 2= i4、x 2 y 2故点M 得轨迹方程为2 — i4= i （x > 一2）、 【解】 设动圆M 得半径为 r ，则由已知 |MC i |=r + 2, |MC 2|= r —. 2（如图所示）. 根据双曲线得。
高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程教学设计 新人教A版选修2-1
2.3.1双曲线及其标准方程
教学设计
教学目标
（一）知识与技能目标
掌握双曲线的定义，焦点，焦距的概念和标准方程；理解双曲线标准方程的推导；并能初步运用定义和标准方程解决有关问题.
（二）过程与方法目标
通过学生自主探索，亲身经历双曲线的定义及其标准方程的获得过程，体验数形结合的思想在处理几何问题中优越性；培养学生观察、比较、分析、归纳、概括等思维能力，形成良好的思维品质.
（三）情感态度与价值观目标
通过实例，激发学生对数学的好奇心，引导学生从数学的角度发现和提出问题，正确使用数学语言表达问题、进行交流，形成用数学的意识.让学生在自主探索，合作交流中获得新知识，培养学生实事求是的科学态度，锲而不舍的探索精神以及对数学学科的热爱，坚定学好数学的信心，形成正确的数学观.
教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用
教学难点：双曲线标准方程的推导。
教法学法
（一）教学方法引导探索、发现法
（二）学习方法自主探索、合作交流．
（三）教学手段多媒体辅助教学．
（四）学具毛线一根，钥匙环一个.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学情境设计。
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§2.3.1 双曲线及其标准方程
1．掌握双曲线的定义；
2．掌握双曲线的标准方程．
5255，文P 45~ P 48找出疑惑之处）
复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？
复习2：在椭圆的标准方程22
221x y a b
+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程．
二、新课导学
※ 学习探究
问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？
如图2-23，定点12,F F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时， 12MF MF -是常数，这样就画出一条曲线；
由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．
新知1：双曲线的定义：
平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F
F )的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,F F 叫做双曲线的 ，
两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．
反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？
2a =12F F 时，轨迹是 ；
2a >12F F 时，轨迹 ．
试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ．
新知2：双曲线的标准方程：
2222222
1,(0,0,)x y a b c a b a b -=>>=+（焦点在x 轴）
其焦点坐标为
1(,0)
F c-，
2(,0)
F c．
思考：若焦点在y轴，标准方程又如何？※典型例题
例1已知双曲线的两焦点为
1(5,0)
F-，
2(5,0)
F，双曲线上任意点到
12
,F F的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
变式：已知双曲线
22
1
169
x y
-=的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距
离为．
例2 已知,A B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340/
m s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
变式：如果,A B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？
小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置．
※ 动手试试
练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在x 轴上，4a =，3b =；
（2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．
练2．点,A B 的坐标分别是(5,0)-，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们斜率之积是49
，试求点M 的轨迹方程式，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状．
三、总结提升
※ 学习小结
1 ．双曲线的定义；
2 ．双曲线的标准方程．
※ 知识拓展
GPS(全球定位系统)： 双曲线的一个重要应用．
在例2中，再增设一个观察点C ，利用B ，C 两处测得的点P 发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点P 的准确位置．
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）．
A. 双曲线
B. 双曲线的一支
C. 两条射线
D. 一条射线
2．双曲线2255x ky +=的一个焦点是，那么实数k 的值为（ ）．
A ．25-
B ．25
C ．1-
D ．1
3．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b =（ ）
．
A. 5
B. 13
C.
D.
4．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程为 ．
5．已知方程22
121
x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围 ．
1． 求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在x 轴上，a =(5,2)A -；
（2）经过两点(7,A --，B ．
2．相距1400m ,A B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340/m s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？。