双曲线及其标准方程(一)

双曲线及其标准方程（一）
教学目的：
1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．通过对双曲线标准方程的推导，提升学生求动点轨迹方程的水平； 3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；
4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）； 5．培养学生发散思维的水平
教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用
教学难点：
教 具：多媒体 教学过程： 一、复习引入： 1 椭圆定义：
平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭
圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
2.椭圆标准方程：
（1）2222=+b y a x （2）2222=+b
x a y 其中22b
c a +=二、讲解新课：
1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于2
1F F ）的动点的轨迹叫双曲线
即
a MF MF 221=-
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于2
1F F ”
2．双曲线的标准方程：
根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证
明
12
222=-b y a x ，此即为双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -，其中222
b a c
+=
若坐标系的选择不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在
y 轴上，则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将y
x ,互换，得到122
22=-b
x a y ，此也是双曲线的标准方程
3．双曲线的标准方程的特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：
焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：122
22=-b y a x (0>a ,0>b )；
焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：122
22=-b
x a y (0>a ,0>b )
(2)c b a ,,相关系式222
b a c
+=成立，且0
,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系有三种情况。

4.焦点的位置：从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2
x 、2
y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即
2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上
5.双曲线与椭圆之间的区别与联系 三、讲解范例：
例1 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F -，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程
变题1：将条件改为双曲线上一点P 到
1F ,2F 的距离的差等于6,如何?
变题2：将条件改为双曲线上一点P 到1F ,2F 的距离的差的绝对值等于10,如何? 例2
四、课堂练习： 五、小结 ：
1、双曲线的两类标准方程是)0,0(12222>>=-b a b y a x 焦点在x 轴上，)0,0(122
22>>=-b a b
x a y 焦点
在
y 轴上 c b a ,,相关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系：能够为
a b a b a ><=,,
2、焦点位置的确定方法。

3、求双曲线标准方程的关键。

4、双曲线与椭圆之间的区别与联系。

六、课后作业：习题8.3 2.3。