理解原线圈电流与电压的相位关系

位”的结论是矛盾的！在上述整个分析过程中没有
任 何 计 算 错 误 ，那 么 难 道 是 教 科 书 的 结 论 有 问 题 ？
接下去我们用矢量分析方法，更清晰直观地研究各
物理量之间的相位关系．
３ 用矢量法分析各物理量的相位关系
在讨论交流电路的稳态问题时，矢量分析方法 所涉及到的复有效值矢量在复平面上是不动的，因 此更容易分析各简谐量的相位和有效值．理想变压 器原、副线圈端压的复有效值分别为：
·
Ｕ１
·
＝ －Ｅ １
＝ Ｎ１
ｄФ１ ｄｔ
·
＝ ｊωＮ１ Ф１
（１１）
·
Ｕ２
＝
·
－Ｅ ２
＝
－Ｎ２
ｄФ２ ｄｔ
·
＝ ｊωＮ２ Ф２
（１２）
其 生
中 的
··
、 Ｅ １ Ｅ ２ 电动势．
分别为 理想变
磁 压
通 器
·
Ф
没
·
有、漏 １ Ф２
在原、副线 磁 ，因 此 通
圈 过
中 每
感 匝
线圈的
磁
通
１ 变压器负载为纯电阻时原线圈电流与电 压的相位差
根据简谐交流电的基本性质可知，纯电阻电路 中的电流和电压是同相位的．因此，当变压器的负载 为纯电阻时，副线圈中的电流和电压应该同相．又由 于理想变压器原、副线圈中的电流相位差为 π，电压 相位差也是 π，因此原线圈中的电流和电压也应该 同相．但是，不少读者在阅读教科书的过程中，对常 用的复数法分析过程不甚理解，因此有人试图用更 为熟悉的电流、电压瞬时值表达式来验证其相位关 系 ，得 到 的 结 果 却 完 全 不 同 ，从 而 产 生 了 更 大 的 困 惑．以下我们先给出当理想变压器连接纯电阻负载
１０００ ０７１２ ２０１９ ０４ ０００４ ０４
【 】 ＤＯＩ １０．１６８５４ ／ ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．１８０４９６
变压器用于改变交流电压、电流，其输入、输出 关系极为简单易用．然而，由于主线圈和副线圈之间 相互激发交变的磁通量和交变的电流，因此这种简 单关系的推导过程却并不简单，而且不易理解，尤其 是电流与电压的相位关系．当理想变压器连接纯电 阻负载时，其原线圈的电压和电流应该是同相的，但 由于人们常常过于简单地理解电流的相位关系，不 恰当地忽略了变压器空载时原线圈中的电流，因此 会推导出其相位差为 π／２ 这个显然错误的结论．本 文利用矢量法对变压器原理给出直观的分析，并在 此基础上指明不正确地用瞬时值分析得出错误结果 的疏漏所在．
２第０１３９８年卷４第月４ 期
大 学 物 理
ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳ
Ｖｏｌ．３８ Ｎｏ．４ Ａｐｒ． ２０１９
櫍殻
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櫍教櫍学櫍讨櫍论櫍 殻
櫍殻
理解原线圈电流与电压的相位关系
涂 泓，方 伟
（上海师范大学 数理学院，上海 ） ２００２３４
摘要：当理想变压器连接纯电阻负载时，原线圈的电压与电流是同相的，但不少初学者对于这一点存有误解和困惑，因此
在用瞬时值分析时容易出现疏漏，得出两者相位差等于 π／ ２ 的错误结论．本文用矢量法分析理想变压器各物理量之间的相位
关系，并给出正确的瞬时值分析过程，从而指出上述错误结论的来源．
关键词：变压器；相位；磁通；空载电流
： ： （ ） 中图分类号： 文献标识码 文章编号 Ｏ ４４１．１
Ａ
wk.baidu.com（９）
ｕ２ ＝ Ｌ２ ωＩ２ｍ ｓｉｎωｔ－ＭωＩ１ｍ ｓｉｎωｔ ＝
（ ） Ｌ２ ωＩ２ｍ －ＭωＩ１ｍ ｓｉｎωｔ
（１０）
比 较 式 （１）与 式 （９ ）、式 （２ ）与 式 （１０ ）发 现 ，原 线 圈
中的电流与电压之间存在着的 π ／ ２ 的相位差，这与
“变压器负载为纯电阻时，原线圈电流与电压同相
都
相
同，即
·
Ф１
＝
·
Ф２
＝
·
Ф１．
由
此
二
式
可
知，输入端
电
压
·
Ｕ１
的
相
位
比
Ф
超
前
π
／
２，输
出
端
电 论
压，以Ｕ·Ф２
的相位 为参考
比 矢
Ф
量
落后 ，可画
π／
出
２．
图
结
１
合 所
矢量法来讨 示的矢量图．
由图可知原副线圈电压有效值相位差为 π，由式
（１１）、式（１２）还 可 得 出 它 们 的 定 量 关 系 与 匝 数
( )π
ｉ１ ＝ Ｉ１ｍ ｓｉｎ
ωｔ＋ ２
（１）
( ) ｉ２ ＝ Ｉ２ｍ ｓｉｎ
ωｔ－ π ２
（２）
在忽略各种损耗，将原、副线圈都看成纯电感的情况
下，理想变压器端压 ｕ１、ｕ２分别为：
ｕ１
＝ －Ｅ１
＝ Ｎ１
ｄΦ１ ｄｔ
（３）
ｕ２
＝ Ｅ２
＝ －Ｎ２
ｄΦ２ ｄｔ
（４）
其中 Φ１、Φ２为原副线圈每匝的磁通， 、 Ｅ１ Ｅ２ 分别为
时，用瞬时值验证其各物理量相位关系容易出现的、 与教科书矛盾的结论．
２ 用瞬时值分析各物理量相位关系所导致 的矛盾
假设理想变压器原、副线圈中的电流分别为 ｉ１、 ｉ２，两端电压分别为 ｕ１、ｕ２．两线圈的匝数分别为 Ｎ１、 Ｎ２，自感系数分别为 Ｌ１、Ｌ２，两线圈间的互感系数为 Ｍ．根据“电磁学”教材可知，原线圈、副线圈中的电 流有效值与匝数成反比，相位差为 π．由此可以假定 原、副线圈中的电流分别为：
理方面的研究工作．
第４期
涂 泓，等：理解原线圈电流与电压的相位关系
５
因此将式（５）、（６）分别代入式（３）、（４）可得：
ｕ１
＝ Ｌ１
ｄｉ１ ＋Ｍ ｄｔ
ｄｉ２ ｄｔ
（７）
ｕ２
＝ －Ｌ２
ｄｉ２ －Ｍ ｄｔ
ｄｉ１ ｄｔ
（８）
再将式（１）、（２）代入式（７）、（８）可得
（ ） ｕ１ ＝ －Ｌ１ ωＩ１ｍ ｓｉｎωｔ＋ＭωＩ２ｍ ｓｉｎωｔ ＝ ＭωＩ２ｍ －Ｌ１ ωＩ１ｍ ｓｉｎωｔ
成正比：
又由于
·
Ｕ１
·
Ｕ２
＝
－Ｎ１ Ｎ２
（１３）
· · · ··
Ｎ１ Ф １ ＝ Ｎ１ Ф １１ ＋Ｎ１ Ф ２１ ＝ Ｌ１ Ｉ １ ＋ＭＩ ２
（１４）
· · · ··
Ｎ２ Ф ２ ＝ Ｎ２ Ф ２２ ＋Ｎ２ Ф １２ ＝ Ｌ２ Ｉ ２ ＋ＭＩ １
Φ１、Φ２在原、副线圈中感生的电动势．又由于：
Ｎ１ Φ１ ＝ Ｎ１ Φ１１ ＋Ｎ１ Φ２１ ＝ Ｌ１ ｉ１ ＋Ｍｉ２
（５）
Ｎ２ Φ２ ＝ Ｎ２ Φ２２ ＋Ｎ２ Φ１２ ＝ Ｌ２ ｉ２ ＋Ｍｉ１
（６）
； 收稿日期： 修回日期：
２０１８ － ０９ － ０４
２０１８ － １０ － ３０
作者简介：涂泓（ — １９７６ ），女，浙江嘉兴人，上海师范大学副教授，博士，主要从事电磁学、电动力学的教学工作，以及课程与教学论、天体物