轴对称图形与等腰三角形专题
专题01 等腰三角形的性质与判定(十六大题型+跟踪训练)(解析版)
专题01等腰三角形的性质与判定（十六大题型+跟踪训练）题型1：等腰三角形的定义1．用刻度尺测量得出下图（）是等腰三角形．A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】分别量取各三角形的三边长，然后根据等腰三角形两腰相等，进行判断即可．【解析】解：A 中三边长分别为：1.8，2.6，2.9，不是等腰三角形，故不符合要求；B 中三边长分别为：2.2，2.2，2.2，是等腰三角形，故符合要求；C 中三边长分别为：3.4，3.2，2，不是等腰三角形，故不符合要求；D 中三边长分别为：3.3，1.8，3.7，不是等腰三角形，故不符合要求；故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形两腰相等．2．在ABC 中，若AB BC =，则ABC 是（）A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】由等腰三角形的定义：有两边相等的三角形，即可判断．【解析】解：在ABC 中，若AB BC =，则ABC 是等腰三角形．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形，关键是掌握等腰三角形的定义．3．以下列线段为边不能组成等腰三角形的是（）A ．2，2，4B ．6，3，6C ．4，4，5D ．1，1，1【答案】A【分析】根据三角形三边关系和等腰三角形的判定对所给的四个选项逐一判断、解析即可．【解析】解：A ．∵224+=，∴以2，2，4为边不能组成三角形，更不可能组成等腰三角形，故此选项符合题意；B．∵以6，3，6为边能组成三角形，且有两边相等，∴以6，3，6为边能组成等腰三角形，故此选项不符合题意；C．∵以4，4，5为边能组成三角形，且有两边相等，∴以4，4，5为边能组成等腰三角形，故此选项不符合题意；D．∵以1，1，1为边能组成三角形，且有两边相等，∴以1，1，1为边能组成等腰三角形，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的判定等知识点及其应用问题．牢固掌握三角形的三边关系、等腰三角形的判定是解题的关键．4．等腰三角形两边长分别是2cm和3cm，则周长是（）A．7cm B．8cm C．7cm或8cm D．条件不足，无法求出【答案】C【分析】分两种情况讨论：①底边为3cm时；②底边为2cm时，分别求解即可得到答案．【解析】解：分两种情况讨论：①底边为3cm时，等腰三角形的周长为3227cm++=；②底边为2cm时，等腰三角形的周长为2338cm++=，∴等腰三角形的周长为7cm或8cm，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．5．已知等腰三角形的一边长为2cm，另一边长为4cm，则它周长是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系进行分类讨论，即可得到答案．当AD AC+与BC+即115 22x x x⎛⎫+-+⎪⎝⎭解得：8x=，8，8，5能够组成三角形；当BC BD+与AD+∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵46ABD ∠=︒，∴9044A ABD ∠︒-=︒=∠，∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵46ABD ∠=︒，∴904644DAB ∠︒=︒-，【分析】根据轴对称的性质，得到ABC 是以AB 和AC 为腰的等腰三角形，再根据对称性可得结果．【解析】解：由题意可得：ABC 是以AB 和AC 为腰的等腰三角形，且不是等边三角形，∴AB AC =，∴ABC 的周长2AB AC BC AB BC =++=+，故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称图形，解题的关键是根据题意判断出ABC 是等腰三角形．13．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ，若5cm AB =，则DBE 的周长是（）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm【答案】A 【分析】根据角平分线的定义和性质可得DE CD =，CAD EAD ∠=∠，推出CDA EDA ∠=∠，可得AC AE =，证明再根据等腰直角三角形的性质求出AC BC AE ==，然后求出DBE 的周长AB =，代入数据即可得解．【解析】解：AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥，90C ∠=︒，DE CD ∴=，CAD EAD ∠=∠，CDA EDA ∴∠=∠，AC AE ∴=，又AC BC = ，AC BC AE ∴==，DBE ∴△的周长DE BD EB CD BD EB BC EB AE EB AB =++=++=+=+=，5cm AB = ，DBE ∴△的周长5cm =．故选：A ．A ．80︒B 【答案】C 【分析】根据等边对等角可得【解析】解：∵AB AC =∴B C ∠=∠，∵80B ∠=︒，∴80C ∠=︒，∵180A B C ∠+∠+∠=︒∴20A ∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质．解题的关键是掌握三角形的三个内角之和是180°．16．如图，在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠C =35°，则∠B 的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】C 【分析】首先利用等腰三角形的性质求得∠DAC 的度数，然后求得∠BDA 的度数，最后利用等腰三角形的性质求得∠B 的度数．【解析】解：∵AD =DC ，∴∠DAC =∠C ，∵∠C =35°，∴∠DAC =35°，∴∠BDA =∠C +∠DAC =70°，∵AB =AD ，∴∠BDA =∠B =70°．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等．17．如图，在ABC 中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 在BC 上，且BD BA =，则CAD ∠的度数为（）A ．30︒B ．25︒C ．22.5︒D ．21︒【答案】C 【分析】利用ABC 是等腰直角三角形先求出B ∠，再利用BDA △是等腰三角形求出BAD ∠，最后利用直【答案】50︒/50度【分析】首先根据垂直平分线的性质得到据角的和差计算求解即可．∵80ACB ∠=︒∴803050BCE ACB ACE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：50︒．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等边对等角性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．21．如图，直线a ∥b ，AB AC =，140 ∠=，则∠BAC 的度数是（）A ．100B ．110C ．120D ．130【答案】A 【分析】根据直线a ∥b ，140 ∠=，可知140ACB ∠=∠= ，由AB AC =，可得40ACB ABC ∠=∠= ，利用平行的性质即可求出∠BAC 的值．【解析】解：由题意得，∵直线a ∥b ，140 ∠=，∴140ACB ∠=∠= ，∵AB AC =，∴40ACB ABC ∠=∠= ，∴()180118080100BAC ABC ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，熟练利用平行线进行角度转化时解题的关键．22．如图，在∠ECF 的边CE 上有两点A 、B ，边CF 上有一点D ，其中BC =BD =DA 且∠ECF =27°，则∠ADF 的度数为（）A ．54°B ．91°C ．81°D ．101°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ADF 的度数．【解析】解：∵BC =BD =DA ，∴∠C =∠BDC ，∠ABD =∠BAD ，∵∠ABD =∠C +∠BDC ，∠ECF =27°，∴∠ADF =∠C +∠BAD =3∠ECF =81°．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用．23．如图，在ABC 中，DE 垂直平分BC ，若6428CDE A ∠=︒∠=︒，，则ABD ∠的度数为（）A ．100︒B ．128︒C ．108︒D ．98︒【答案】A 【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理得出答案．【解析】解：∵DE 垂直平分BC ，∴BD =DC ，∴∠BDE =∠CDE =64°，∴∠ADB =180°-64°-64°=52°，∵∠A =28°，∴∠ABD =180°-28°-52°=100°．故选：A ．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，正确掌握相关定理是解题关键．24．如图，已知D 为ABC 边AB 的中点，E 在AC 上，将ABC 沿着DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处．若70B ∠=︒，则BDF ∠等于（）键．题型5：等边对等角的解答证明26．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、E 都在边BC 上，且BE CD =，求证：AD AE =．【答案】见详解【分析】利用等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，再由SAS 证明()SAS ABE ACD ≌△△，从而得AD AE =．【解析】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABE 和ACD 中，AB AC B C BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ACD ≌△△，∴AD AE =．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．27．如图，,∥DE AB AE 平分DAB ∠，点C 在线段AE 上，AC BC AD ==，求证：AE AB =．【答案】见解析【分析】根据平行和角平分线得出AD DE =，再证△ADE ≌△ACB 即可．【解析】证明：∵AE 平分DAB ∠，∴DAE CAB ∠=∠，∵DE AB ∥，∴E BAE ∠=∠，∵AC BC =，∴B BAE ∠=∠，∴E B ∠=∠,在△ADE 和△ACB 中，E B DAE CAB AD AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ACB ，∴AE AB =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用等腰三角形的性质得出角相等．28．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，连接AD ，DE ．已知12∠=∠，AD DE =．（1）求证：ABD △≌DCE △；（2）若3BD =，5CD =，求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）根据等边对等角可得：B C ∠=∠，利用全等三角形的判定定理证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得5AB DC ==，3CE BD ==，由图形中各边的关系计算即可得出．【解析】（1）证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABD 和DCE 中，12B C AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD DCE ≅ ；（2）解：∵ABD DCE ≅ ，∴5AB DC ==，3CE BD ==，∵5AB AC ==，∴532AE AB CE =-=-=．【点睛】题目主要考查全等三角形及等腰三角形的性质，理解题意，结合图形，熟练运用各个性质是解题关键．29．如图，在ABC 中，AB AC =，延长BC 至D ，使得BD AC =，连接AD ，再延长AB 至E ，使得BE CD =，连接DE ．求证：≌BED CDA △△．【答案】见详解【分析】先证明,EBD ACD ∠=∠再根据SAS 判定证明即可．【解析】解：∵在ABC 中，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，180,180,EBD ABC ACD ACB ∠=︒-∠∠=︒-∠ ,EBD ACD ∴∠=∠BE CD = ，BD AC =，(SAS)BED CDA ≌．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．题型6：等腰三角形的“三线合一”30．等腰三角形的“三线合一”指的是（）A ．中线，高线，角平分线互相重合B ．顶角的平分线，中线，高线三线互相重合C ．腰上的中线，腰上的高线，底角的平分线互相重合D ．顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三线互相重合【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质直接选取答案即可求解．【解析】解：三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线相互重合．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质，属于中考基础题．33．下列说法错误的是（）A ．等腰三角形两腰上的高相等B ．等腰三角形两腰上的中线相等C ．等腰三角形两底角的平分线相等D ．等腰三角形高、中线和角平分线重合【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质依次判断．【解析】解：A 、等腰三角形两腰上的高相等，故正确；B 、等腰三角形两腰上的中线相等，故正确；C 、等腰三角形两底角的平分线相等，故正确；D 、等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线重合，故错误；故选：D ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．34．已知点P 到ABC 的两边AB ，AC 所在直线的距离相等，且PB PC =，则下列命题为假命题的是（）A ．若点P 在边BC 上，则AB AC=B ．若点P 在ABC 内部，则AB AC=C ．若点P 在ABC 外部，则AB AC=D ．若AB AC =，则点P 可能在边BC 上，可能在ABC 内部，也可能在ABC 外部【答案】C【分析】选项A 根据等腰三角形的性质判断；当点P 在ABC 内部时，分别作PE ，PF 垂直AB ，AC 于点E ，F ，先证明Rt Rt (HL)BEP CFP ≌ ，再证明(AAS)ABP ACP ≌可判断选项B ；若AB AC =，都有(SSS)ABP ACP ≌，可判断选项D ；选项C 有两种情况，具体见详解．【解析】∵点P 到ABC 的两边AB ，AC 所在直线的距离相等，∴点P 在BAC ∠的角平分线所在的直线上，即BAP CAP ∠=∠，如图1，当点P 在边BC 上时，即P 为BC 的中点，根据等腰三角形的“三线合一”，得到AB AC =，故选项A 是真命题；如图2，当点P 在ABC 内部时，分别作PE ，PF 垂直AB ，AC 于点E ，F ，,PE PF PB PC == ，Rt Rt (HL)BEP CFP ≌ ，得到EBP FCP ∠=∠，∵BAP CAP ∠=∠，AP AP =，(AAS)ABP ACP ∴ ≌，AB AC ∴=；故选项B 是真命题；若AB AC =，都有(SSS)ABP ACP ≌，故选项D 是真命题；当点P 在ABC 外部时，如图3所示，AB 与AC 不一定相等，故选：C ．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及直角三角形全等的判定与性质．本题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．题型7：等腰三角形的“三线合一”有关的最值问题35．如图，在ABC 中，AB AC =，=4BC ，面积是10；AB 的垂直平分线ED 分别交AC ，AB 边于E 、D 两点，若点F 为BC 边的中点，点P 为线段ED 上一动点，则PBF △周长的最小值为（）A ．7B ．9C ．10D ．14【答案】A 【分析】连接AP ，根据线段垂直平分线性质得AP BP =，PBF △周长==BP PF BF AP PF BF AF BF ++++≥+，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出AF ，BF ，即可得出答案．【解析】解：如图所示．连接AP ，∵DE 是AB 的垂直平分线，A．①②③【答案】D【分析】根据三线合一得到A．8cm B．【答案】B【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，得【答案】见解析【分析】过点A 作AM BC ⊥于点M ，由等腰三角形的性质得出2BAC BAM ∠=∠，D E ∠=∠，由三角形外角的性质得出2BAC D ∠=∠，即可推出BAM D ∠=∠，最后根据平行线的判定和性质即可证明DE BC ⊥．【解析】证明：如图，过点A 作AM BC ⊥于点M ．AB AC = ，2BAC BAM ∠∠∴=，AD AE = ，D E ∴∠=∠，2BAC D E D ∠∠∠∠∴=+=，22BAC BAM D ∠∠∠∴==，BAM D ∠∠∴=，DE AM ∴∥，AM BC ⊥ ，DE BC ∴⊥．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判断和性质，正确作出辅助线，构建等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．42．如图，在ABC 中，AB AC =，40BAC ∠︒=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD ∠的度数．【答案】(1)相等，理由见解析(2)50︒【分析】（1）连接CE ，根据中垂线的性质得到,AE CE BE CE ==，即可得到AE BE =；（2）利用等边对等角，求出ABC ∠的度数，三线合一，求出BAE ∠的度数，等边对等角得到ABE ∠的度数，利用EBD ABD ABE ∠=∠-∠，即可得解．【解析】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，∵AB AC =，AD 是BC 边上的高，∴BD CD =，∴AD 为BC 的垂直平分线，∵点E 在AD 上，∴BE CE =，又∵线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，∴AE CE =，∴AE BE =；（2）∵AB AC =，40BAC ∠︒=，【答案】见解析【分析】作EF AC ⊥于点F EA EC = ，12AF FC AC ∴==．2AC AB = ，A．3【答案】A【分析】利用等腰三角形三线合一解题即可．∠=【解析】解：∵B【解析】解：如图，在AB 上截取BE BC =，连接DE ，∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，在CBD △和EBD △中，CB BE CBD DBE BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CBD △≌EBD △()SAS ，∴CDB BDE ∠=∠，C DEB ∠=∠，∴2CDE CDB ∠=∠，∵2C CDB ∠=∠，∴CDE DEB C ∠=∠=∠，∴ADE AED ∠=∠，∴AD AE =，∴ABC 的周长＝27AD AE BE BC CD AB AB CD ++++=++=，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．题型11：等角对等边证明等腰三角形的解答证明48．已知：如图，在ABC 中，点D 在CA 边的延长线上，AE 平分DAB ∠，AE BC ∥．求证：ABC 为等腰三角形．【答案】见解析【分析】首先依据平行线的性质证明2B ∠=∠，1C ∠=∠，然后结合角平分线的定义可证明B C ∠=∠，故此可证明ABC 为等腰三角形．【解析】证明：∵AE BC ∥，∴2B ∠=∠，1C∠=∠∵AE 平分DAB ∠，∴12∠=∠∴B C∠=∠即ABC 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定定理是解题的关键．49．如图，在ABD △和ACD 中，AB AC =，BD CD =．(1)求证：ABD ACD △≌△；(2)过点D 作∥DE AC 交AB 于点E ，求证：AED △是等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据SSS 证明三角形全等即可；（2）证明EAD ADE ∠=∠即可证明AE DE =，进而得到AED △是等腰三角形．【解析】（1）证明：在ABD △和ACD 中，AB AC AD AD DB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS ABD ACD ≌；（2）证明：∵ABD ACD △≌△，∴∠=∠DAB DAC ，∵∥DE AC ，∴ADE DAC ∠=∠，∴EAD EDA ∠=∠，∴AE DE =，∴AED △是等腰三角形．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．50．已知ABC 中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，且2B C ∠=∠．(1)如图1，求证：AB BD AC +=；(2)如图2，延长CB 至点E ，使BE AB =，连接AE ，若36C ∠=︒，直接写出图中所有的等腰三角形（ABC 和ADE V 除外）．【答案】(1)证明见解析(2)ABE 是等腰三角形，ACE △是等腰三角形，ADC △是等腰三角形，ABD △是等腰三角形；【分析】（1）如图所示，在AC 上取一点E ，使得AE AB =，连接DE ，证明()SAS ABD AED ≌△△得到BD ED B AED ==，∠∠，根据三角形外角的性质结合已知条件证明EDC C ∠=∠，得到ED EC BD ==，即可证明AC AE CE AB BD =+=+；（2）根据等腰三角形的判定条件结合三角形内角和定理进行推理即可．【解析】（1）证明：如图所示，在AC 上取一点E ，使得AE AB =，连接DE ，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD EAD ∠=∠，又∵AB AE AD AD ==，，∴()SAS ABD AED ≌△△，∴BD ED B AED ==，∠∠，∵2B C ∠=∠，∴2AED C ∠=∠，∵AED C EDC ∠=∠+∠，∴EDC C ∠=∠，∴ED EC BD ==，∴AC AE CE AB BD =+=+；（2）解：∵BE AB =，∴BEA BAE ∠=∠，ABE 是等腰三角形，∵BEA BAE ABC +=∠∠∠，∴2ABC BEA =∠∠，又∵272ABE C ==︒∠∠，∴36BEA BAE C ===︒∠∠∠，∴AE AC =，即ACE △是等腰三角形，∵18072BAC C ABC =︒--=︒∠∠∠，AD 平分BAC ∠，∴36BAD CAD ∠=∠=︒，∴36DAC C ∠=∠=︒，∴72ADB C DAC =+=︒∠∠∠，ADC △是等腰三角形，∴72ADB ABD ∠∠==︒，∴ABD △是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，灵活运用所学知识是解题的关键．题型12：等角对等边证明边长相等、求边长51．如图，已知12∠=∠，B C ∠=∠，不正确的等式是（）A ．AB AC=B ．BAE CAD ∠=∠C ．BE DC =D ．BD DE=【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】解：∵B C ∠=∠，∴AB AC =，故A 选项正确，不符合题意；在ABE 和ACD 中，12B C AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABE ACD ≌，∴BE CD =，BAE CAD ∠=∠，∵BE CD =，∴BE DE CD DE -=-，∴BD CE =，故B 选项、C 选项正确，D 选项错误，故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．52．如图，ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，过点D 作DE BC ∥交AB 于点E ，若12AB =，7DE =，则AE 的长为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】由角平分线的定义和平行线的性质，得到ABD EDB ∠=∠，则7BE DE ==，即可求出答案．【解析】解：∵在ABC 中，BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∵DE BC ∥，∴CBD EDB ∠=∠，∴ABD EDB ∠=∠，∴7BE DE ==，∴1275AE AB BE =-=-=；故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是掌握所学的知识进行计算．53．如图，点P 是AOB ∠的角平分线OC 上一点，点Q 是OA 上一点，且PQ OB ∥，若2PQ =，则线段OQ 的长是（）A ．1.8B ．2.5C ．3D ．2【答案】D 【分析】利用角平分线的定义以及平行线的性质推出QPO QOP ∠=∠，据此即可求解．【解析】解：∵点P 是AOB ∠的角平分线OC 上一点，∴QOP POB ∠=∠，∵PQ OB ∥，∴QPO POB ∠=∠，∴QPO QOP ∠=∠，∴2OQ PQ ==，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，等角对等边，掌握“两直线平行内错角相等”是解题的关键．54．如图，在ABC 中，BE 平分ABC ∠，DE BC ∥．若8DE =，5AD =，则AB 的长为（）A ．13B ．12C ．10D ．9【答案】A 【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义证明DBE DEB ∠=∠，得到8DE DB ==，则13AB AD BD =+=．【解析】解：∵BE 平分ABC ∠，∴DBE CBE ∠=∠，∵DE BC ∥，∴DEB CBE ∠=∠，∴DBE DEB ∠=∠，∴8DE DB ==，∴8513AB AD BD =+=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，证明DBE DEB ∠=∠是解题的关键．55．如图，在ABC 中，45AB AC ==，，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥分别交AB AC ，于M ，N ，则AMN 的周长为（）A ．8B ．9C ．10D ．不确定【答案】B 【分析】根据角平分线的定义和MN BC ∥可以得出MB ME =，NC NE =，继而可以得出AMN 的周长AB AC =+，从而可以得出答案．【解析】解：∵MN BC ∥，∴∠∠=MEB EBC ．∵BE 平分ABC ∠，∴MBE EBC =∠∠，∴MEB MBE ∠=∠．∴MB ME =．同理，NC NE =，∴9AMN C AM ME EN AN AB AC =+++=+=△．故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等角对等边，利用角平分线及平行线的性质得出MEB MBE ∠=∠是解题的关键.56．如图，ABC DEF ≌△△，点E 在AC 上，B ，F ，C ，D 四点在同一条直线上．若40,35A CED ∠=︒∠=︒，则下列结论正确的是（）A ．,EF EC AB FC==B ．,EF EC AE FC ≠=C ．,EF EC AE FC=≠D ．,EF EC AE FC≠≠【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到ACB DFE ∠=∠，40D A AC DF ==︒=∠∠，，则EF EC =，由于D CED ∠≠∠，则CE CD ≠，则AE CF ≠，由此即可得到答案．【解析】解：∵ABC DEF ≌△△，∴ACB DFE ∠=∠，40D A AC DF ==︒=∠∠，，∴EF EC =，∵4035D CED ∠=︒≠∠=︒，∴CE CD ≠，∴AE CF ≠，∴四个选项中只有C 选项符合题意，故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性质是解题的关键．57．如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．(1)若37B ∠=︒，求CAD ∠的度数；(2)若点E 在边AC 上，EF AB ∥交AD 的延长线于点F ．求证：AE FE =．【答案】(1)53︒(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形底角相等，再根据直角三角形的性质即可求得CAD ∠；（2）根据两直线平行内错角相等，再根据AD 是BAC ∠的角平分线即可得到DAC F ∠=∠，从而证得AE FE =．【解析】（1）解：AB AC = ，AD BC ⊥，37B C ∴∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，9053CAD C ∴∠=︒-∠=︒；（2）证明：E F A B ∥ ，BAF F ∴∠=∠，AB AC = ，AD BC ⊥，AD ∴是BAC ∠的角平分线，BAF DAC ∴∠=∠，DAC F ∴∠=∠，AE FE ∴=．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形、平行线、直角三角形的相关知识．58．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，连接DE 并延长交CB 的延长线于点F ，点G 在边BC 上，且GDF ADF ∠=∠．连接EG ，判断EG 与DF 的位置关系，并说明理由．【答案】EG 与DF 的位置关系是EG DF ⊥；理由见解析【分析】证明()AAS ADE BFE ≌△△，得出DE EF =，证明GDF BFE ∠=∠，得出GD GF =，根据垂直平分线的判定得出GE 垂直平分DF ，即可得出答案．【解析】解：EG 与DF 的位置关系是EG DF ⊥；理由见如下：∵AD BC ∥，∴ADE BFE ∠=∠，E 是AB 的中点，AE BE ∴=，又∵FEB DEA ∠=∠，∴()AAS ADE BFE ≌△△，DE EF ∴=，∵GDF ADF ∠=∠，ADE BFE ∠=∠，∴GDF BFE ∠=∠，GD GF ∴=，DE EF = ，∴GE 垂直平分DF ，∴EG DF ⊥．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，得出ADE BFE V V ≌．题型13：直线上与已知两点组成等腰三角形的点59．如图，ABC ，点P 为直线AC 上的一个动点，若使得ABP 是等腰三角形．则符合条件的点P 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【解析】解：作AB 垂直平分线与AC 的交点，可得22P A P B =，以A 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 有两个交点，13P A AB P A ==，以B 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 有一个交点，4P B AB =，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据等腰三角形的判定定理解答．60．如图，线段AB 的一个端点B 在直线m 上，直线m 上存在点C ，使ABC 为等腰三角形，这样的点C 有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】以A 为圆心，以BA 的长为半径画弧与直线m 交于点D ，此时BA AD =，同理以B 为圆心以BA 的长为半径画弧与直线m 交于E 、C ，此时BC BA =，BE BA =，再作BA 的垂直平分线与直线m 交于点F ，此时BF AF =，据此可得答案．【解析】解：如图所示，以A 为圆心，以BA 的长为半径画弧与直线m 交于点D ，此时BA AD =，同理以B 为圆心以BA 的长为半径画弧与直线m 交于E 、C ，此时BC BA =，BE BA =，再作BA 的垂直平分线与直线m 交于点F ，此时BF AF =，∴直线m 上存在4个点C ，使ABC 为等腰三角形，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的定义．61．如图，直线a b ，相交于点O ，150∠=︒，点A 在直线a 上，直线b 上存在点B ，使以点O A B 、、为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B 点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】分别以点O A B 、、为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为OA OB =，OA AB =，OB AB =，从这三方面考虑点B 的位置即可；【解析】解：当OA OB =时；以点O 为圆心，OA 的长为半径作圆，与直线b 在O 点两侧各有一个交点，此时B 点有2个；当OA AB =时；以点A 为圆心，OA 的长为半径作圆，与直线b 有一个交点，此时B 点有1个；当OB AB =时；作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个；∴满足条件的B点总共有4个；故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键．题型14：等腰三角形有关的尺规作图62．如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法，认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（）①已知等腰三角形的底边和底边上的高；②已知等腰三角形的底边和腰；③已知等腰三角形的底边和一底角．A．①②③B．②①③C．③①②D．②③①【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质即可求解．【解析】解：图形①的作图依据是“②已知等腰三角形的底边和腰”；图形②的作图依据是“①已知等腰三角形的底边和底边上的高”；图形③的作图依据是“③已知等腰三角形的底边和一底角”．故选：B ．【点睛】本题主要考查尺规作图等腰三角形，掌握等腰三角形的性质，作图的方法是解题的关键．63．如图（1），锐角ABC 中，AB BC AC >>，要用尺规作图的方法在AB 边上找一点D ，使ACD 为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（）A ．甲、乙、丙都正确B ．甲、丙正确，乙错误C ．甲、乙正确，丙错误D ．只有甲正确【答案】A【分析】根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可．【解析】解：甲图：以点A 为圆心，AC 为半径作弧，交AB 于点D ，∴AD AC =，∴ACD 为等腰三角形，乙图：作AC 的垂直平分线，交AB 于点D ，∴AD DC =，∴ACD 为等腰三角形，丙图：∵所作的A DCA ∠=∠，∴AD DC =，∴ADC △是等腰三角形，∴甲、乙、丙都正确，故选A ．【点睛】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键．64．已知锐角40AOB ∠=︒，如图，按下列步骤作图：①在OA 边取一点D ，以O 为圆心，OD 长为半径画 MN，交OB 于点C ．②以D 为圆心，DO 长为半径画 GH， GH 与OB 交于点E ，连接DC 并延长，使DC 的延长【答案】见解析【分析】以AB为腰和底两种情况作图即可．【解析】如图，以AB为腰，AO为对称轴；如图，以AB为底作等腰三角形，CM为对称轴；【点睛】本题考查利用网格作图，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．66．图1，图2均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：=；(1)在图1中，连接MA，MB，使MA MB==．(2)在图2中，连接MA，MB，MC，使MA MB MC【答案】(1)见解析(2)见解析=；【分析】（1）根据勾股定理得MA MB==．（2）连接AC，取AC中点M，MA MB MC【解析】（1）解：如图1正确画图．（2）如图2正确画图．【点睛】本题主要考查尺规作图，熟练根据题意作出符合题意的图形是解题的关键．67．如图，在每个小正方形的边长均为方形的顶点上．(1)在方格纸中画出以AB为底的等腰ABC(2)在方格纸中画出以DE为一边的等腰DEF直接写出DC的长度．【答案】(1)图见解析；(2)图见解析，22DC ．（2）如图所示，DEF 即为所求；CD =【点睛】本题考查的是作图：应用与设计作图，根据题意找出符合条件的点是解题的关键．题型16：等腰三角形的性质和判定综合题68．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB 90EDF ∠=︒，下列结论：①BED AFD △≌△积，则1211142S S S ≤≤；④EF AD =；所有正确的结论是（。
轴对称图形与等腰三角形教案
第十五章:轴对称图形与等腰三角形第一课时:轴对称图形以及轴对称图形的性质知识点1、把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线叫做对称轴。
2、把一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么这两个图关于这条直线成轴对称。
这条直线叫做对称轴。
区别与联系：3、轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。
如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
考点：能够区分什么是轴对称图形和轴对称，会分析什么是轴对称图形，能够找到图形的所有对称轴，会画一些简单的轴对称图形，关于x轴对称和y轴对称和原点对称的坐标规律。
例题1、小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词在镜子中呈现“”的样子，请你判断这个英文单词是（）A、APPLEB、AQQLEC、ELQQAD、ELPPA2、以下是部分常用的交通标志图，仔细观察哪些是轴对称图形？3、△ABC与△DEF关于直线L成轴对称，则∠C是多少度？4、如图8，在正方形网格上有一个△ABC．（1）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；（2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．5、如图，画出所示图形关于直线l的对称图形。
6、如果点P（m+n,3）与点Q（2，m+n）关于x轴对称，则m=————n=————第二课时：线段的垂直平分线知识点：1、定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线。
2、定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
3、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
考点：运用线段的垂直平分线求周长，求角的度数，线段长度，证明线段相等，解决实际问题。
例题：1、如图：在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是2、如图，已知AD是BC的中垂线，你能根据现有条件，推得∠ABD=∠ACD吗?4、某开发区新建了两片住宅区:A区、B区（如图）。
轴对称图形与等腰三角形资料讲解
56789
想一想：下列英文字母中，
哪些是轴对称图形？
ACDEFGHI JLMNOPQR STUVWXYZ
你知道吗中国的汉字也
十分注重对称美。
中目王 申 木呈土 美
3.国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗 哪些是轴对称图形？找出它们的对称轴。
美国
澳大利亚
乌拉圭
加拿大
瑞典
挪威
英国
以色列
对于这部分的处理我借助了多媒体。我 把它定位四个部分 ：
1、赏轴对称 2、识轴对称 3、辨轴对称 4、做轴对称
自然界物体
北京天坛祈年殿
中外建筑
北京故宫
美国白宫
欧洲风情
艾 菲 尔 铁 塔
剪纸艺术
车标设计
交通标志
这些图形有什么共同特征？
（1）它们都是对称的。 （2）它们沿着某条直线折叠后， 直线两旁的部分能完全重合。
线段、角、等腰三角形 、长方形、正方形、菱
形、圆、椭圆等
想一想：圆有几条对称轴?
圆有无数条对称轴!对称轴是经过圆心的直线
找一找：
有的图形的对称轴这么多哇！
以后找对称轴我可得好好想想呀！
下面的图形是轴对称图形吗？如果 是，有几条对称轴？
6条
12条
2条
1条
想一想：0-9十个数字中，
哪些是轴对称图形？
做一做： 你能利用轴对称知识
为校运动会设计一个会 徽吗？
下面介绍用尺规作图，
作出线段AB的垂直平分线：
做法：
1、分别以点A、B为圆
心，大于
1 2
AB长为
半径（为什么？）画
弧交于点E、F。
2、过点E、F做直线。
则直线EF就是线段AB 的垂直平分线。
沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形和等腰三角形 含答案
沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形和等腰三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，三组互相垂直的线段，已知AD=2，BC=8，BF=4，那么AC的长度等于（）A.2B.3C.4D.52、如图，在中，，，，，和的平分线交于点，于点，则的长为（）A.1B.2C.3D.43、如图，在△ABC中，AB＝AC=6，BC=4，AD是BC边上的高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线.以点D为圆心，适当长为半径画弧，交DA于点G，交DC于点H.再分别以点G、H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ADC内部交于点Q，连接DQ并延长与AM交于点F，则DF的长度为（）.A.6B.C.D.84、已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A.7B.10C.11D.10或115、如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA＝5，DB＝4，DC＝3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD'，下列结论：①点D与点D'的距离为5；②∠ADC＝150°；③△ACD'可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得＝6+ ，其中正确的有( ) 到；④点D到CD'的距离为3；⑤S四边形ADCD′A.2个B.3个C.4个D.5个6、如图，将沿翻折，使其顶点均落在点O处，若，则的度数为（）A. B. C. D.7、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP （P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A.78°B.75°C.60°D.45°8、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE. 下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个9、如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm10、如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A.108°B.72°C.90°D.100°11、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A.1B.C.D.12、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )A. B. C. D.13、自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识.下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A. B. C. D.14、下列命题中，错误的是（）．A.平行四边形的对角线互相平分B.菱形的对角线互相垂直平分C.矩形的对角线相等且互相垂直平分D.角平分线上的点到角两边的距离相等15、将两个底边相等的等腰三角形按照如图所示的方式拼接在一起（隐藏互相重合的底边）的图形俗称为“筝形”.假如“筝形”下个定义，那么下面四种说法中，你认为最能够描述“筝形”特征的是（）A.有两组邻边相等的四边形称为“筝形”B.有两组对角分别相等的四边形称为“筝形”C.两条对角线互相垂直的四边形称为“筝形”D.以一条对角线所在直线为对称轴的四边形称为“筝形”二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在平行四边形中，，.以点为圆心、为半径画弧交于点，若，则图中阴影部分的面积是________.17、如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，现将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，已知AP=4，则PP′长度为________．18、如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是________点.19、如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为________．20、已知等边三角形ABC是边长为4，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC的长的最小值是________．21、如图，四边形中，，且，则四边形周长的最小值是________.22、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB，AC、BD的中点，若BC＝8，则△PMN的周长是________．23、如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB上一点，将△BCE沿CE翻折至△FCE，EF与AD相交于点G，且AG=FG，则线段AE的长为________．24、如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为________．25、如图，在正方形ABCD 中，AC＝6 ，E是BC边的中点，F是AB边上一动点，则FB＋FE 的最小值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，中，于D．求及的长．27、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD．28、如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内一点，PO=8，在∠AOB的两边分别有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值．29、如图，在△ABC中，D，E是BC边上两点，AD=AE，∠BAD=∠CAE．求证：AB=AC．30、如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BD，连结AE、DE、DC.①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、B3、D4、D5、B6、B7、B8、D9、A10、B11、C12、A13、D14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、。
最新2019-2018秋沪科版八年级数学上册第15章教学课件：15.3 第1课时 等腰三角形的性质定理及推论(共36张PPT
系，∠ABC、∠C呢？
x
⌒
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含
2x B
x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 ° ∴x+2x+2x=180 °,
D 2x
C
解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 __7_5_°, 3_0_°；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 _7_2_°__,_7_2_°__或__3_6_°__,1_0_8_°_；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 30°，30°.
5.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC 所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为 __7_0_°__或__2_0_°_． A
B
DC
BD=DC（作图），
应用格式：
AD=AD（公共边），
∵AB=AC（已知）
∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠B=∠C（等边对等角）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.
证法2： 证明：作顶角∠BAC的平分线AD， 交BC于点D.
∵AD平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（已证）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）， ∴ ∠B＝∠C.
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
5.3.1简单的轴对称图形等腰三角形
解决：
A小区
B小区
P
煤气主管道
5. 如果ΔABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（
A. 某一条边上的高。
B. 某一条边上的中线。
C. 平分一角和这个角的对边的直线。
D. 某一个角的平分线。
6.
如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以
OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直
线a上，这样的等腰三角形能画多少个? Ｄ
150°
Ｈ
Ｏ
3. 在等腰三角形△ABC中，有一个角为50°， 那么另外两个角分别是多少？
4. 下列结论叙述正确的个数为（
）
（ 1）等腰三角形高、中 线、角平分线重合； （ 2）等腰三角形两底角 的外角相等； （ 3）等腰三角形有且只有一条对称轴；
（ 4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
（ A ） 0个 （B）1个 （ C ） 2个 （ D ） 3个 ）
Ｃ
Ｅ
Ｆ a
7.已知等腰三角形一腰上的中线将三角
形周长分成２：１两部分，已知三角形
底边长为５，求腰长？
Ａ
2x
x
Ｄ
x
Ｂ
5
Ｃ
课堂提升
1. 已知等腰三角形的腰长比底边长多2cm,并且它的 周长为16cm,求这个等腰三角形的各边长。 解：设三角形的底边长为xcm,则其腰长为 (x+2)cm，根据题意得： 2(x+2)+x=16
全等吗？边AB与AC相等吗？
B
D
C
如果一个三角形有两个角相等， 那么它们所对的边也相等。
1.已知:如图,AD∥BC,BD平分
∠ABC,试判断△ABD的形状,并说明
结论等腰三角形是轴对称图形课件
自然界中的对称美
等腰三角形是轴对称图形这一结论也可以帮 助人们更好地理解自然界中的对称美，如雪 花、蜂巢等自然现象。
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PART 02
轴对称图形的定义与性质
轴对称图形的定义
轴对称图形
如果一个图形关于一条直线对称，那 么这个图形被称为轴对称图形。
轴对称性质
轴对称图形具有对称性，即图形关于 对称轴对称，其形状和大小完全相同。
轴对称图形的性质
对称轴的性质
对称轴是一条直线，它将图形分为两 个完全相同的部分。
对称性的应用
等腰三角形具有明显的轴对称性，这使得它在几何图形中具有独特的地位。通 过对称轴，我们可以轻松地找到等腰三角形的其他重要性质，如高、中线等。
基础教学
在几何教学中，等腰三角形是讲解轴对称概念的重要工具。通过研究等腰三角 形，学生可以深入理解轴对称图形的性质和特点。
在建筑设计中的应用
结构稳定性
在建筑设计中，等腰三角形经常被用作结构元素，以增加结 构的稳定性。例如，在桥梁和高层建筑中，等腰三角形的设 计可以有效地分散压力和重量。
总结词：旋转对称
详细描述：将等腰三角形绕着底边中点旋转180度，观察旋转后的图形是否与原 图形重合，如果重合则证明是轴对称图形。
证明方法二：通过折叠证明
总结词：折叠对称
详细描述：将等腰三角形沿底边中线折叠，观察折叠后的两部分是否完全重合，如果重合则证明是轴 对称图形。
证明方法三：通过坐标证明
总结词：坐标对称
等腰三角形的对称性
等腰三角形是一种特殊的轴对称图形， 它具有两条对称轴，分别是底边上的 高和中线。因此，等腰三角形可以被 视为轴对称图形。
轴对称图形在几何、建筑、艺术等领 域中有着广泛的应用，因为它们具有 优美的外观和独特的性质。
轴对称图形与等腰三角形(知识点汇总 沪科8上)
第15章轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点34.轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。
①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
①轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
①如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：1.在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______.点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______.2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等四、（等腰三角形)知识点回顾1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（三线合一） （3）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°①等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
①等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ①等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为①A ，底角为①B 、①C ，则①A=180°—2①B ，①B=①C=2180A∠-︒ 2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
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第15章轴对称图形与等腰三角形
15.1 轴对称图形
专题一轴对称性质的应用
1.如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）
2.已知，如图（1），Rt△ABC ≌Rt△ADE，∠ABC =∠ADE =90°．试以图中标有字母的
点为端点，连结出新的线段，并请你把满足相等、或垂直、或平行关系的线段找出来，然后
选择一种关系予以证明．
专题二规律探究题
3.通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形.
4.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐
标是（a，b），则经过第2019次变换后所得的A点坐标是________．
专题三操作题
5.小华将一张如图1所示矩形纸片沿对角线剪开，他利用所得的两个直角三角形通过图
形变换构成了下列四个图形，这四个图形中不是
．．轴对称图形的是( ).
6.将16个相同的小正方形拼成正方形网格，并将其中的两个小正方形涂成黑色，请你
用两种不同的方法分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形.
C
A
B
D
F
E
y
x
O
A
B C
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
第1次
关于x轴对称
第2次
关于y轴对称
第3次
关于x轴对称
第4次
关于y轴对称
B
Ａ
D
C
图甲 图乙
专题四 图案设计题
7.用四块如图a 的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形，请你在图b 、图c 、图d 中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.
15.2 线段的垂直平分线
专题一 线段垂直平分线知识的应用
1.如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且DE ⊥DF ， 求证：BE +CF ＞EF ．
2.△ABC 中，∠A =90°,AB =AC ,D 、E 、F 分别在AB ，AC ，BC 上，且AD =AE ，CD 为EF 的中垂线，求证BF =2AD .
3.已知，如图所示，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，DE =DF ．求证：AD 垂直平分EF ．
合作学习小组的两位同学在证明以上结论时的过程如下：
学生甲：因为DE =DF ，所以点D 在线段EF 的垂直平分线上（•到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），所以AD 垂直平分EF ．
学生乙：因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，DE =DF ，AD =AD ，•所以Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ）,所以AE =AF （全等三角形的对应边相等），所以A
点在图 a 图c 图 d 图b M
线段EF 的垂直平分线上，又因为DE =DF ，所以点D 在线段EF 的垂直平分线上，所以AD 垂直平分EF ．
分析两位同学的证明过程，指出谁对谁错，并说明错误的原因．
专题二 作图与实际问题
4.如图，A 、B 、C 三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站,要求变电站到三镇的距离相等,请你作出变电站的位置（用P 点表示），并说明你的理由.
5.A 、B 两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A 的坐标是（2，2），点B 的坐标是（7，3）．
（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C ，使C 点到A 、B 两校的
距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．
（2）若在公路边建一游乐场P ，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P 的位置，并求出它的坐标．
6.如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB 上由A 向B 行驶，M ，N 分别是位于公路AB 两侧的村庄．
（1）设汽车行驶到公路AB 上点P 的位置时，距离村庄M 最近，行驶到点Q 的位置时，•距离村庄N 最近，请在公路AB 上分别画出P ，Q 的位置（保留作图痕迹）．
（2）当汽车从A 出发向B 行驶时，在公路AB 的哪一段上距离M ，N 两村都越来越近？在哪一段上距村庄N 越来越近，而离村庄M 越来越远（分别用文字表述你的结果，•不必证明）？
（3）在公路AB 上是否存在这样一点H ，使汽车行驶到该点时，与村庄M ，N •的距离相等？如果存在，请在图中AB 上画出这一点（保留作图痕迹，不必证明）；如果不存在，•请简要说明理由．
·A
·B ·C。