2018届高考 第二章 第1讲函数及其表示
2018届高考数学理新课标二轮专题复习课件：2-6函数的性质及图像 精品
[函数的周期性、对称性] (1)(2016·马鞍山质检)已知 f(x)是 R 上的奇函数，f(1)＝1，其 对任意 x∈R 都有 f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则 f(2 015)＋f(2 016) ＝________．
【解析】 令 x＝－3，故 f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)，又 f(－ 3)＝－f(3)，故 f(3)＝0，故 f(x＋6)＝f(x)，故 f(2 015)＝f(5)＝f(－ 1)＝－f(1)＝－1，f(2 016)＝f(0)＝0，故 f(2 015)＋f(2 016)＝－1.
【答案】 C
(5)(2016·郑州质检)已知函数 f(x)＝x＋4x，g(x)＝2x＋a，若∀x1
∈[12，1]，∃x2∈[2，3]，使得 f(x1)≥g(x2)，则实数 a 的取值范围
为( )
A．a≤1
B．a≥1
C．a≤2
D．a≥2
【审题】 对∀x1，∃x2 使 f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min.
【解析】 由题意知，mx2－6mx＋m＋8≠0 对一切实数 x 都成立，即 mx2－6mx＋m＋8＝0 在实数集上无解．当 m＝0 时， 定义域为 R，满足题意；当 m≠0 时，由 Δ＝(－6m)2－4m(m＋8)<0， 解得 0<m<1.综上，实数 m 的取值范围是[0，1)．
【答案】 [0，1)
【答案】 A
【回顾】 (1)①若 f(x＋T)＝f(x)，则 T 为周期；②若 f(x＋ a)＝－f(x)，则 T＝2a；③若 f(x＋a)＝f（1x），则 T＝2a；④若 f(x ＋a)＝－f（1x），则 T＝2a.
(2)①若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，即 f(x)＋f(2a －x)＝2b，则 y＝f(x)的图像关于点(a，b)成中心对称；②若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)成轴对称；③若 y＝f(x＋a)是偶函数， 则函数 y＝f(x)的图像关于直线 x＝a 对称，若 y＝f(x＋a)是奇函数， 则函数 y＝f(x)的图像关于点(a，0)对称．
2018届高三数学一轮复习第二章函数第一节函数及其表示课件理
②函数y=(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个; ③f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数;
④若f(x)=|x-1|-|x|,则f 1 f =0. 2
其中正确判断的序号是
.
答案 ②③
解析 对于①,由于函数f(x)= 的定义域为{x|x∈R且x≠0},而函数g(x) =
1, x 0, 的定义域是R,所以二者不是同一函数;对于②,若x=1不是y= 1, x 0
|x| x
f(x)定义域内的值,则直线x=1与y=f(x)的图象没有交点,若x=1是y=f(x)定 义域内的值,由函数的定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有一个交点, 即y=f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点;对于③, f(x)与g(t)的定义
解析 解法一:设t= x +1,则t≥1,x=(t-1)2, ∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1, ∴f(x)=x2-1(x≥1). 解法二:∵x+2 x =( x )2+2 x +1-1=( x +1)2-1, ∴f( x +1)=( x +1)2-1,∴f(x)=x2-1(x≥1).
方法技巧
求函数解析式的常见方法 (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待 定系数法. (2)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的式子,然后 以x替代g(x),便得f(x)的解析式. (3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式时可用换元法,
1.下列所给图象是函数图象的有 (
第1讲 函数及其表示
第1讲函数及其表示一、知识梳理1．函数的概念函数两集合A，B A，B是两个非空数集对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法y＝f(x)，x∈A(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．[注意] 函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[注意]分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．常用结论几种常见函数的定义域(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合． (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合． (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}． (5)指数函数的底数大于0且不等于1.(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .二、教材衍化1．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x ＋1D ．y ＝x 2＋1答案：B2．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案：[－3，0]∪[2，3] [1，5] [1，2)∪(4，5] 3．函数y ＝x －2·x ＋2的定义域是________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋2≥0，⇒x ≥2.答案：[2，＋∞)4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x 2，x <0，则f (－2)＝________，f [f (－2)]＝________．解析：f (－2)＝(－2)2＝4，f [f (－2)]＝f (4)＝4＋1＝5. 答案：4 5一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B ．( ) (2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (4)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏常见误区| (1)对函数概念理解不透彻； (2)对分段函数解不等式时忘记范围； (3)换元法求解析式，反解忽视范围．1．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 中不是函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .解析：对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，所以③不是函数．答案：③2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x <1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________．解析：因为f (x )是分段函数，所以f (x )≥1应分段求解．当x <1时，f (x )≥1⇒(x ＋1)2≥1⇒x ≤－2或x ≥0，所以x ≤－2或0≤x <1；当x ≥1时，f (x )≥1⇒4－x －1≥1，即x －1≤3，所以1≤x ≤10.综上所述，x ≤－2或0≤x ≤10，即x ∈(－∞，－2]∪[0，10]．答案：(－∞，－2]∪[0，10]3．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)． 答案：x 2－1(x ≥0)考点一 函数的定义域(基础型) 复习指导| 学习用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．核心素养：数学抽象 角度一 求函数的定义域(1)(2020·安徽宣城八校联考)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg （x ＋1）的定义域为( )A ．(－1，3]B ．(－1，0)∪(0，3]C ． [－1，3]D ．[－1，0)∪(0，3](2)(2020·华南师范大学附属中学月考)已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝f （2x －1）ln （1－x ）的定义域是( )A ．[0，1]B ．(0，1)C ．[0，1)D ．(0，1] 【解析】 (1)要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]．故选B ．(2)由函数f (x )的定义域为[－1，1]，得－1≤x ≤1，令－1≤2x －1≤1，解得0≤x ≤1，又由1－x >0且1－x ≠1，解得x <1且x ≠0，所以函数g (x )的定义域为(0，1)，故选B ．【答案】 (1)B (2)B求函数定义域的两种方法方法 解读适合题型直接法构造使解析式有意义的不等式(组)求解已知函数的具体表达式，求f (x )的定义域转移法若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域[提醒] 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．角度二 已知函数的定义域求参数若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎨⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0， 解得0<m ≤4. 综上可得0≤m ≤4. 【答案】 [0，4]已知函数的定义域求参数的取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．1．函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，2) C ．(0，2)D ．[1，2]解析：选B ．要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －x 2>0，解得1<x <2. 所以函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为(1，2)．2．如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D ．因为－2x ＋a >0， 所以x <a 2，所以a2＝1，所以a ＝2.3．(2020·山东安丘质量检测)已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫12x ＋ 8－2x 的定义域为( ) A ．[0，3]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1，3]解析：选A ．由题意，可知x 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤2，8－2x ≥0，解得0≤x ≤3，即函数g (x )的定义域为[0，3]，故选A ． 考点二 函数的解析式(基础型) 复习指导| 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．核心素养：数学运算(1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________．(2)若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为________． (3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，则f (x )的解析式为________． 【解析】 (1)(换元法)令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，因为x ＞0，所以t ＞1，所以f (t )＝lg 2t －1，即f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(2)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3.所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3.(3)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ， 所以f (x )＝2x . 【答案】 (1)f (x )＝lg2x －1(x ＞1) (2)f (x )＝x 2－x ＋3 (3)f (x )＝2x求函数解析式的4种方法1．(一题多解)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝________． 解析：法一(换元法)：令2x ＋1＝t (t ∈R )， 则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．法三(待定系数法)：因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 答案：x 2－5x ＋9(x ∈R )2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________．解析：因为－1≤x ≤0，所以0≤x ＋1≤1，所以f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x ＋1)．答案：－12x (x ＋1)考点三 分段函数(基础型) 复习指导| 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．核心素养：数学抽象、数学运算 角度一 求分段函数的函数值(1)(2020·合肥一检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11(2)(2020·山西太原三中模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1（x ≥2），log 2x （0<x <2），若f (m )＝3，则f ⎝⎛⎭⎫52－m ＝________．【解析】 (1)因为f (1)＝12＋2＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C ．(2)当m ≥2时，m 2－1＝3，所以m ＝2或m ＝－2(舍)； 当0<m <2时，log 2m ＝3，所以m ＝8(舍)． 所以m ＝2.所以f ⎝⎛⎭⎫52－m ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1. 【答案】 (1)C (2)－1分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．角度二 分段函数与方程、不等式问题(1)(一题多解)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤01，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)【解析】 (1)法一：当0＜a ＜1时，a ＋1＞1， 所以f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2a ， 所以a ＝14.此时f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1＞1，所以f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6，故选C ．法二：因为当0＜x ＜1时，f (x )＝x ，为增函数， 当x ≥1时，f (x )＝2(x －1)，为增函数， 又f (a )＝f (a ＋1)，所以a ＝2(a ＋1－1)，所以a ＝14.所以f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝6.(2)法一：①当⎩⎨⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎨⎧x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x ，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1，0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D ．法二：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)＜f (2x )． 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)． 故选D ．【答案】 (1)C (2)D有关分段函数不等式问题，要按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D ．当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0可化为a 2＋a －3a >0，解得a >2.当a <0时．不等式a [f (a )－f (－a )]>0可化为－a 2－2a <0，解得a <－2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．2．(2020·安徽安庆二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1<x <0，2x ，x ≥0.若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝________．解析：由题意得a >0.当0<a <1时，由f (a )＝f (a －1)，即2a ＝a . 解得a ＝14，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝8， 当a ≥1时，由f (a )＝f (a －1)，得2a ＝2(a －1)，无解． 答案：8考点四 函数的新定义问题(创新型)复习指导| 所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．(2020·广东深圳3月模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3； ③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x；④φ(x )＝ln x . 其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④ B ．①③④ C ．①④D ．④【解析】 对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ；对于函数h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B ．故选C ．【答案】 C本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f (x )的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1，3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C ．由x 2＋1＝1得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0, 2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个．2．若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0；(2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ； 以上三个函数中，________是“优美函数”．解析：由条件(1)，得f (x )是R 上的奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调递减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”．答案：②[基础题组练]1．函数y ＝1ln （x －1）的定义域为( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(1，2)∪(2，＋∞)D ．(1，2)∪[3，＋∞)解析：选C ．由ln(x －1)≠0，得x －1>0且x －1≠1.由此解得x >1且x ≠2，即函数y ＝1ln （x －1）的定义域是(1，2)∪(2，＋∞)．2．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74B ．74C ．43D ．－43解析：选B ．令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1， 所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.3．(多选)下列四组函数中，f (x )与g (x )是相等函数的是( ) A ．f (x )＝ln x 2，g (x )＝2ln x B ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 C ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3D ．f (x )＝x ，g (x )＝log a a x (a >0且a ≠1)解析：选CD ．对于选项A ，f (x )的定义域为{x |x ≠0}，g (x )的定义域为{x |x >0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于选项B ，g (x )的定义域为{x |x ≥0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于选项C ，g (x )＝3x 3＝x ，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数；对于选项D ，g (x )＝log a a x ＝x ，x ∈R ，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数．4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2D ．－4解析：选B ．由题意得f ⎝⎛⎭⎫43＝2×43＝83. f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝f ⎝⎛⎭⎫23＝2×23＝43. 所以f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝4.5．(多选)函数f (x )＝x 1＋x 2，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是( )A ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x B ．－f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x C ．1f （x ）＝f ⎝⎛⎭⎫1xD ．f (－x )＝－f (x )解析：选AD ．根据题意得f (x )＝x 1＋x 2，所以f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x1＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 1＋x 2，所以f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ；f (－x )＝－x1＋（－x ）2＝－x 1＋x 2＝－f (x )，所以f (－x )＝－f (x )．故AD 正确，BC 错误．6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0，1]，则函数f （2x ＋1）log 2（x ＋1）的定义域是( )A ．[1，2]B ．(－1，1]C ．⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1，0)解析：选D ．由f (2x －1)的定义域是[0，1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1，所以函数f (x )的定义域是[－1，1]， 所以要使函数f （2x ＋1）log 2（x ＋1）有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．(创新型)定义a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ×b ，a ×b ≥0，a b ，a ×b <0，设函数f (x )＝ln x ⊕x ，则f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝( ) A ．4ln 2 B ．－4ln 2 C ．2D ．0解析：选D ．2×ln 2>0，所以f (2)＝2×ln 2＝2ln 2.因为12×ln 12<0，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 1212＝－2ln 2.则f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝2ln 2－2ln 2＝0. 8．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D ．当x ＜0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D ．9．若函数f (x )在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．解析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤210．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：因为f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，所以f (a )＝－2<0，故a ≤0.依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－311．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________．解析：因为f (2)＝12，所以f (f (2))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－12－2＝－52. 当x >1时，f (x )∈(0，1)， 当x ≤1时，f (x )∈[－3，＋∞)， 所以f (x )∈[－3，＋∞)． 答案：－52[－3，＋∞)12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x ，x <1，则f (f (0))＝________，若f (m )>1，则实数m 的取值范围是________．解析：f (f (0))＝f (1)＝ln 1＝0；如图所示，可得f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x ≥1，1－x ，x <1的图象与直线y ＝1的交点分别为(0，1)，(e ，1)．若f (m )>1，则实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(e ，＋∞)．答案：0 (－∞，0)∪(e ，＋∞)[综合题组练]1．(2020·海淀期末)下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x（x >0）.其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ．①y ＝3－x 的定义域与值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝⎛⎭⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x （x >0）的定义域和值域均为R .所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B ．2．(创新型)设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )解析：选A ．对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）>0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A ．3．(2020·宁夏银川一中一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x＋1，x ≤0，－x ，x >0，则f (x ＋1)－9≤0的解集为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＋1，x ≤0，－x ，x >0，所以当x ＋1≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，2－（x ＋1）－8≤0，解得－4≤x ≤－1；当x ＋1>0时，⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，－x ＋1－9≤0，解得x >－1.综上，x ≥－4，即f (x ＋1)－9≤0的解集为[－4，＋∞)． 答案：[－4，＋∞)4．(创新型)设函数f (x )的定义域为D ，若对任意的x ∈D ，都存在y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，则称函数f (x )为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝1x －1；③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2sin x－1.其中是“美丽函数”的序号有________．解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y 所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；④中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.答案：②③。
2018高考一轮数学(课件)第2章 第1节 函数及其表示
抓
基
础
·
自
主 学
第二章 函数、导数及其应用
课
习
时
分
第一节 函数及其表示
层
明 考
训 练
向
·
题
型
突
破
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1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合 A，B
设 A，B 是两个_非__空__的__数__集___
设 A，B 是两个_非__空__的__集__合___
≤0，得(x－1)(x＋3)≤0，即－3≤x≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]． (2)由 0≤2x≤2，得 0≤x≤1，又 x－1≠0，即 x≠1， 所以 0≤x<1，即 g(x)的定义域为[0,1)．]
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[规律方法] 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不 等式(组)求解．
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4．已知函数 f(x)＝ax3－2x 的图象过点(－1,4)，则 a＝________. 【导学号：51062013】
－2 [∵f(x)＝ax3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得 a＝－2.]Fra bibliotekB．－3
C．9
D．－9
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2018高考数学(理)(全国通用) 第二章 函数 Word版含解析
第二章 函数第一节 函数的概念及其表示题型10 映射与函数的概念——暂无 题型11 同一函数的判断——暂无 题型12 函数解析式的求法 题型13 函数定义域的求解 题型14 函数值域的求解第二节 函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性题型15 函数的奇偶性 题型16 函数的单调性1.（2017山东理15）若函数()e x f x （e2.71828=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+解析 ①()e =e e 22xxxxy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；②()e =e e 33xx x x y f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3=e e xxy f x x =⋅，令()3e xg x x =⋅，则()()322e e 3e3xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e x x y f x x =⋅在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()2=e e 2x x y f x x =+.令()()2e 2x g x x =+，则()()()22e2e 2e 110xx x g x xx x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④.题型17 函数的奇偶性和单调性的综合1.（17江苏11）已知函数()312e exx f x x x =-+-， 其中e 是自然对数的底数．若()()2120f a f a -+…，则实数a 的取值范围是 ．解析 易知()f x 的定义域为R . 因为()()()312e e xx f x x x ---=---+-()312e exx x x f x =-+-+=-， 所以()f x 是奇函数． 又()2213e 3e02x x f x x x +'=-+……，且()0f x '=不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增．因为()()2120f a f a -+…，所以()()()22122f a f a f a --=-…，于是212a a --…，即2210a a +-…，解得11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故填11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．2.（2017天津理6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<解析 因为奇函数()f x 在R 上增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22l o g 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，于是()()()0.822log 5.13g g g <<，即b a c <<.故选C.3.(2017北京理5)已知函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）. A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数D.是偶函数，且在R 上是减函数解析由题知()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()113333xx x x f x f x --⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数.又因为3x 是增函数，13x⎛⎫- ⎪⎝⎭也是增函数，所以()f x 在R 上是增函数.故选A. 4.（2017全国1理5）函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()211x f --剟的x 的取值范围是（ ）. A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]解析 因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --剟等价于 ()()()121f f x f --剟，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，所以121x --剟，所以3x 1剟.故选D.题型18 函数的周期性1.（2017江苏14）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩．其中集合*1,n D x x n n ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ．解析 由题意()[)0,1f x ∈，所以只需要研究[)1,10x ∈内的根的情况． 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈N …，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈N …，且,m n 互质. 从而10n mq p =，则10mn q p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，于是lg x 不可能与x D ∈内的部分对应相等，所以只需要考虑lg x 与每个周期内x D ∉部分的交点.如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除()1,0外，其它交点均为x D ∉的部分． 且当1x =时，()1111lg 1ln10ln10x x x x =='==<，所以在1x =附近只有一个交点， 因而方程解的个数为8个．故填8．第三节 二次函数与幂函数题型19 二次函数图像及应用——暂无题型20 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题1.(2017浙江理5)若函数()2f x x ax b =++在区间[]01，上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -（ ）.A. 与a 有关，且与b 有关B. 与a 有关，但与b 无关C. 与a 无关，且与b 无关D. 与a 无关，但与b 有关解析 函数()2f x x ax b =++的图像是开口朝上且以直线2ax =-为对称轴的抛物线. ①当12a ->或02a-<，即2a <-，或0a >时，函数()f x 在区间[]0,1上单调，此时()()101M m f f a -=-=+，故M m -的值与a 有关，与b 无关；②当1122a -剟，即21a --剟时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()01f f >，此时()2024a aM m f f ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关； ③当1022a -<…，即10a -<…时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()01f f <)，此时()21124a a M m f f a ⎛⎫-=--=++ ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关.综上可得，M m -的值与a 有关，与b 无关.故选B ．题型21 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系——暂无 题型22 二次函数恒成立问题1.（2017天津理8）已知函数，设a ∈R ，若关于x 的不等式()2xf x a+…在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）.A.47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.2⎡⎤-⎣⎦D.3916⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析 解法一：易知()0f x ≥，由不等式()2x f x a +…，得()()2xf x a f x -+剟， 即()()22x x f x a f x ---剟，只需要计算()()2x g x f x =--在R 上的最大值和()()2xh x f x =-在R 上的最小值即可，当1x …时，()g x =22147473241616x x x ⎛⎫-+-=---- ⎪⎝⎭…（当1=4x 时取等号），()h x =223339393241616x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭…（当34x =时取等号），所以47391616a-剟；当1>x 时，()g x=323222x x x x ⎛⎫--=-+- ⎪⎝⎭…x =时取等号），()h x=222x x +…（当=2x 时取等号），所以2a -. 综上所述，得47216a -剟．故选A ． 解法二：分别作出函数和2xy a =+的图像，如图所示. 若对于任意x ∈R ，()2xf x a +…恒成立，则满足()212x x a x x ++>…且()2312x x x a x -+--厔恒成立，即()212x a x x +>…，又222x x +=?，当且仅当22x x=时，即2x =时取等号，所以2a …. 且()2312xa x x --+剟，则2min473216x a x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭…，即4716a -?. 综上所述，a 的取值范围为47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选A. 2.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是 . 解析 设4t x x=+，则()f t t a a =-+，[]4,5t ∈. 解法一：可知()f t 的最大值为{}max (4),(5)f f ，即(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+=⎪⎨=-+⎪⎩…或(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+⎪⎨=-+=⎪⎩…， 解得 4.55a a =⎧⎨⎩…或 4.55a a ⎧⎨⎩……，所以 4.5a …．则a 的取值范围是(],4.5-∞. 解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=…成立；当0a t <…时，()05f t a t a t =-+-=…成立；当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+…成立，即 4.5a …. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.题型23 幂函数的图像与性质——暂无第四节 指数函数与对数函数题型24 指（对）数运算及指（对）数方程1.(2017北京理8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010，则下列各数中与M N最接近的是（ ）.（参考数据：lg30.48≈）A.3310B.5310C.7310D.9310解析设36180310M x N ==，两边取对数36180lg lg3lg10361lg380x =-=⨯-，即93.28x =， 所以接近9310.故选D.2.（2017全国1理11）设x ，y ，z 为正数，且235x y z==，则（ ）.aA ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<解析 设235x y z t ===，两边取对数得ln 2ln 3ln 5ln x y z t ===，则2ln 2ln 2tx=3ln 3ln 3t y =，5ln 5ln 5t z =，ln 0t >.设()ln x f x x=，()()2ln 1ln x f x x -'=，当()0,e x ∈时， ()0f x '<，()f x 单调递减；当()e,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.而()24ln x f t =，()33ln y f t =，()55ln z f t =.由e<3<4<5，得325y x z <<.故选D.题型25 指（对）数函数的图像及应用——暂无 题型26 指（对）数函数的性质及应用第五节 函数的图像及应用题型27 识图(知式选图、知图选式) 题型28 作函数的图像——暂无 题型29 函数图像的应用1.（2017全国3理15）设函数()1020x x x f x x +⎧=⎨>⎩，，…，则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是_________.解析 因为()1,02 ,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭.由图像变换可作出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图像如图所示.由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解集为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.1141)2-)2.（2017山东理10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图像与y m 的图像有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）. A.(])0,123,⎡+∞⎣B.(][)0,13,+∞C.()23,⎡+∞⎣D.([)3,+∞解析 解法一：()222121y mx m x mx =-=-+过点()0,1且对称轴为1x m=. 当01m <<时，11m>，从而2221y mx mx =-+在区间()0,1上单调递减，函数()21y m x =-与y m 的草图如图所示，此时有一个交点；当1m >时，11m <，所以2221y m x mx =-+在区间10m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.若函数()21ym x=-与y m 有一个交点，草图如图所示，则()211m m ⨯-?，解得3m …；当1m =时，函数()21y x =-与1y =显然在区间[]0,1有且只有一个交点为()0,1.综上所述，m 的取值范围是(][)0,13+∞，.故选B. 解法二：若m =则)[]21,0,1y x =-∈的值域为[]0,1；[]0,1y x =∈的值域为+，所以两个函数的图像无交点，故排除C 、D ；若3m =，则点()1,4是两个函数的公共点.故选B.。
高考复习课件：函数及其表示
条件
结论
记法 像与 原像 一一 映射
唯一 ①A中每一个元素在B中都有_____的像与之对应； 也不同 ②A中的不同元素的像_______；
原像 ③B中的每一个元素都有_____
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
（1）对于函数f:A→B,其值域是集合B.( )
（2）利用区间可以表示任意数集.(
x 2 与g(x)=x是同一函数. ④ f x x
其中正确的有( (A)1个
) (C)3个 (D)4个
(B)2个
x 3 0， 【解析】选A.由函数的定义知①正确;因为使 2 x 0 成立的x值不存在,故②不正确;y=2x(x∈N)的图像是位于直线
x2 y=2x上的一群孤立的点,故③不正确;函数 f x 与g(x)=x的 x
成，但它表示的是一个函数.
5.映射的概念 ①两个非空集合A与B间存在着对应关系f 每一个 唯一 ②A中的_______元素x，B中总有_____的一个元素y 与它对应 对应关系f __________称为从A到B的映射 f：A→B A中的元素x B中的对应元素y ___________称为原像，_______________称为x的 x→y 像，记作f：_____
2
考向 1 求函数的定义域
2 log 5 1） （ x 【典例1】(1)(2013·赣州模拟)函数 f x 的定义 1 x
域是(
)
(A)(0,1］
(B)［1,2)
(C)(0,1)
(D)(1,2)
（2）已知函数f(2x)的定义域是［-1,1］，则f(x)的定义域为 _______.
)
（3）若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函 数.( ) )
2018版高中数学第二章函数2.3函数的应用(Ⅰ)课件新人教B版必修1
么，列什么”的原则来处理，求解过程也较简单.
跟踪训练1
商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5
元，该商店现推出两种优惠办法：
(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；
(2)按购买总价的92%付款.
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数为x(个)，
付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并指
得20＝25a＋17.5.
1 解得a＝ . 10 所以y＝0.1x2－3x＋40(10≤x≤25).
解答
(2) 已知该产品销售价为每吨 1.6 万元，那么月产量为多少时，可获最大 利润？ 解 设最大利润为Q(x)， 则Q(x)＝1.6x－y ＝1.6x－(0.1x2－3x＋40) ＝－0.1(x－23)2＋12.9(10≤x≤25). 因为x＝23∈[10,25]， 所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.
(1)当0≤x≤100时，
3 3 设 y＝kx，则 60＝100k，∴k＝ ， 5 ∴y＝5x. 1 (2)当 x≥100 时，同上例(2)，y＝ x＋10. 2 3x，0≤x≤100， 5 ∴y＝ 1 x＋10，x＞100. 2
解答
反思与感悟
一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照 “ 问什么，设什
解答
类型三 例3
分段函数模型的应用
某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元，
该厂为鼓励销售订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订 购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元. (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
答案
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第二章 函数、导数及其应用 2.1 精品
映射
按照某一个确定的对 应关系f,对于集合A中 的_任__意__一个元素x,在 集合B中都有_唯__一__确__定__ 的元素y与之对应
函数
映射
那么就称f:A→B为从 名称 集合A到集合B的一个
函数
那么就称对应f:A→B为 从集合A到集合B的一个 映射
记法
y=f(x),x∈A 对应f:A→B是一个映射
所kb 以23f92,(.x)=
2x 2. 39
【易错警示】解答本例题(1)会出现以下错误: 题目利用换元法求解析式,易忽视换元后t的取值范围, 从而造成求出的函数定义域扩大而致误.
【规律方法】求函数解析式常用的四种方法 (1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成 关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析 式. (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次 函数)可用待定系数法.
【特别提醒】 1.判断函数相同的依据 (1)两个函数的定义域相同. (2)对应关系相同.
2.分段函数的相关结论 (1)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函 数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集, 值域等于各段函数的值域的并集.
3.判断函数图象的常用结论 与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.
【解析】要使函数f(x)有意义，必须使
x 2x2 0,
x
x＞解0,得
x
x
1,
x＜ 1 . 2
所以函数f(x)的定义域为 {x | x＜ 1}.
2
答案：{x | x 1}
2
考向二 求函数的解析式
【典例2】(1)已知 f ( x 1) x 2 x，则f(x)=
2018年高考一轮江苏数学理科 第2章 热点探究课1 函数的图象与性质
热点探究课(一) 函数的图象与性质[命题解读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．热点1 函数图象的应用利用函数图象研究方程的解、不等式的解集等是高考的热点，多以填空题的形式出现，属中档题目，主要考查学生的数形结合意识以及用图象解答问题的能力．已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为________. 【导学号：62172064】⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 [画出函数f (x )的图象，如图，当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12； 当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34， 故有13≤x ≤34.因为f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.][迁移探究1] 在本例条件下，若关于x 的方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，求实数k 的取值范围．[解] 由函数f (x )的图象(图略)可知，当k ＝0或k >1时，方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，即实数k 的取值范围是k ＝0或k >1.[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，求实数k 的取值范围．[解] 函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k |x |的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k ≥2或k ＝0，即实数k 的取值范围为k ＝0或k ≥2.[规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解． [对点训练1] (2017·镇江期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0＜x ＜2，x ＋22x ，x ≥2，若0＜a＜b ＜c ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则abf (c )的范围是________． (1,2) [如图所示，∵0＜a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )， ∴－log 2a ＝log 2b ，即ab ＝1， 又由图可知12＜f (c )＜1， 故1＜1f (c )＜2， ∴ab f (c )＝1f (c )∈(1,2)．] 热点2 函数性质的综合应用对函数性质的考查，以单调性、奇偶性和周期性为主，同时融合函数的零点问题，重在考查学生的等价转化能力及数形结合意识，难度中等．熟练掌握上述性质是解此类题的关键．☞角度1 单调性与奇偶性结合(2016·天津高考改编)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 [因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.] ☞角度2 奇偶性与周期性结合(2017·南通二模)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞)，满足f (x ＋2)＝f (x )，若当x ∈[0,2)时，f (x )＝|x 2－x －1|，则函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．7 [由f (x ＋2)＝f (x )可知，f (x )在[0，＋∞)上是周期为2的函数，又x ∈[0,2)时，f (x )＝|x 2－x －1|，且f (x )为偶函数，故f (x )在[－2,4]上的图象如图所示．由图可知y ＝f (x )与y ＝1有7个交点，故函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上有7个零点．]☞角度3 单调性、奇偶性与周期性结合已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系为________．f (－25)＜f (80)＜f (11) [因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．] [规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．热点3 函数图象与性质的综合应用函数的零点、方程的根和函数图象的交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想是解答此类问题的关键所在．因此在处理此类问题时，务必要结合题设信息实现知识转化．以填空题压轴题据多，求解时务必细心．(2015·江苏高考)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎨⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为______．4 [令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝⎩⎨⎧－lnx ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x2x ＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示．由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.][规律方法] 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．[对点训练2] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________.【导学号：62172065】(－∞，1) [函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0的图象如图所示，当a <1时，函数y ＝f (x )的图象与函数f (x )＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．]热点探究训练(一)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．(2017·镇江期中)函数f (x )＝12－lg x 的定义域是________．(0，10] [由12－lg x ≥0得lg x ≤12，即0<x ≤10.]2．(2017·常州期末)函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________.【导学号：62172066】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 [∵－x 2＋22≤22，且y ＝log 2x 在(0,22]上单调递增，故log 2x ≤log 222＝log 2232＝32.]3．(2017·如皋中学高三第一次月考)若函数f (x )＝x 2(e x ＋m )e x －1(e 为自然对数的底数)是奇函数，则实数m 的值为________．1 [由f (－x )＝－f (x )得x 2(e －x ＋m )e －x －1＝－x 2(e x ＋m )e x －1，即1＋m e x ＝e x ＋m ，故m ＝1.]4．若函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋1，且f (－3)＝5，则f (π＋3)＝________.【导学号：62172067】－3 [令g (x )＝a sin 2x ＋b tan x ，则g (x )是奇函数，且最小正周期是π，由f (－3)＝g (－3)＋1＝5，得g (－3)＝4，则g (3)＝－g (－3)＝－4，则f (π＋3)＝g (π＋3)＋1＝g (3)＋1＝－4＋1＝－3.]5．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________．1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1.]6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．[－1,2) [由题意知g (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x ＞a 时有一个解．由x ＝2，得a ＜2. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2， 由x ≤a ，得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．]7．(2017·南通第一次学情检测)已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤6的解集是________. 【导学号：62172068】[－2,4] [∵f (x )为R 上的偶函数，∴当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝2－x －2， 即f (x )＝2－x －2. ∵f (x －1)≤6，∴当x －1≥0，即x ≥1时， 2x －1－2≤6， 解得1≤x ≤4；当x －1<0，即x <1时，21－x －2≤6， 解得－2≤x <1.综上可知，f (x －1)≤6的解集为[－2,4]．]8．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]9．已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________．b ＞a ＞c [由函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，得函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0,1)时，f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝|log 2x |，且x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (4)，所以b ＞a ＞c .]10．(2017·南京一模)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x ＋m2x ，设g (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞1，f (－x )，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 [由f (x )为R 上的奇函数可知，f (0)＝0，即1＋m ＝0，m ＝－1，∴f (x )＝2x－12x ，∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12x ，x ＞1，12x －2x，x ≤1.又当x ＞1时，g (x )为增函数， ∴g (x )＞g (1)＝2－12＝32， 当x ≤1时，g (x )为减函数， ∴g (x )≥g (1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝－32.要使g (x )－t ＝0有且只有一解，即函数y ＝g (x )与y ＝t 的图象只有一个交点(图略)，故－32≤t ≤32.]二、解答题11．(2017·镇江期中)已知函数f (x )＝log 2x4log 22x . (1)解不等式f (x )>0；(2)当x ∈[1,4]时，求f (x )的值域．[解] (1)函数f (x )＝log 2x 4·log 22x ＝(log 2x －log 24)(log 22＋log 2x ) ＝(log 2x )2－log 2x －2，x ∈(0，＋∞)． 令f (x )＝(log 2x )2－log 2x －2>0，则log 2x >2或log 2x <－1，故x >4或0<x <12. (2)若x ∈[1,4]，则0≤log 2x ≤2，f (x )＝(log 2x )2－log 2x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －122－94， 当log 2x ＝12即x ＝2时，f (x )min ＝－94；当log 2x ＝2即x ＝4时，f (x )max ＝0. 故f (x )值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0.12．(2017·启东中学高三第一次月考)已知函数f (x )＝－2x ＋m2x ＋1＋n(其中m ，n 为参数)．(1)当m ＝n ＝1时，证明：f (x )不是奇函数； (2)如果f (x )是奇函数，求实数m ，n 的值；(3)已知m >0，n >0，在(2)的条件下，求不等式f (f (x ))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0的解集．[解] 证明：(1)f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋1，∴f (1)＝－2＋122＋1＝－15，f (－1)＝－12＋12＝14，∵f (－1)≠－f (1)，∴f (x )不是奇函数． (2)由f (x )是奇函数得f (－x )＝－f (x )，即－2－x ＋m 2－x ＋1＋n ＝－－2x ＋m 2x ＋1＋n 对定义域内任意实数x 都成立，化简整理得关于x 的恒等式(2m －n )·22x ＋(2mn －4)·2x ＋(2m －n )＝0，∴⎩⎨⎧ 2m －n ＝0，2mn －4＝0，即⎩⎨⎧ m ＝－1，n ＝－2或⎩⎨⎧m ＝1，n ＝2.(3)由题意得m ＝1，n ＝2，∴f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋22x＋1，易判断f (x )在R 上递减，∵f (f (x ))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0， ∴f (f (x ))<－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，∴f (x )>－14， ∴2x <3，∴x <log 23，即所求不等式的解集为(－∞，log 23)．B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e [f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|f (ln x )＋f (ln x )|2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e ＜x ＜e.]2．(2017·泰州中学高三摸底考试)对于函数y ＝f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k >0)，则称y ＝f (x )为k 倍值函数．若f (x )＝ln x ＋x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋1e [由题意得ln x ＋x ＝kx 有两个不同的解，k ＝ln x x ＋1，则k ′＝1－ln x x 2＝0⇒x ＝e ，因此当0<x <e 时，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1＋1e ，当x >e 时，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e ，从而要使ln x ＋x ＝kx 有两个不同的解，需k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e .]3．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值． [解] (1)由⎩⎨⎧ f (8)＝2，f (1)＝－1，得⎩⎨⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1， 解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x . (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1)．∵x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.4．已知函数f (x )＝x 2－1，g (x )＝a |x －1|.(1)若当x ∈R 时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求函数h (x )＝|f (x )|＋g (x )在区间[0,2]上的最大值．[解] (1)不等式f (x )≥g (x )对x ∈R 恒成立，即x 2－1≥a |x －1|(*)对x ∈R 恒成立．①当x ＝1时，(*)显然成立，此时a ∈R ；②当x ≠1时，(*)可变形为a ≤x 2－1|x －1|， 令φ(x )＝x 2－1|x －1|＝⎩⎨⎧x ＋1，x >1，－(x ＋1)，x <1.因为当x >1时，φ(x )>2，当x <1时，φ(x )>－2，所以φ(x )>－2，故此时a ≤－2.综合①②，得所求实数a 的取值范围是(－∞，－2]． (2)h (x )＝⎩⎨⎧ －x 2－ax ＋a ＋1，0≤x <1，0，x ＝1，x 2＋ax －a －1，1<x ≤2.①当－a 2≤0，即a ≥0时， (－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (0)＝a ＋1，(x 2＋ax －a －1)max ＝h (2)＝a ＋3.此时，h (x )max ＝a ＋3.②当0<－a 2≤1，即－2≤a <0时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24＋a ＋1，(x 2＋ax －a －1)max ＝h (2)＝a ＋3.此时h (x )max ＝a ＋3. ③当1<－a 2≤2，即－4≤a <－2时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (1)＝0，(x 2＋ax －a －1)max ＝max{h (1)，h (2)}＝max{0,3＋a }＝⎩⎨⎧0，－4≤a <－3，3＋a ，－3≤a <－2.此时h (x )max ＝⎩⎨⎧ 0，－4≤a <－3，3＋a ，－3≤a <－2. ④当－a 2>2，即a <－4时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (1)＝0， (x 2＋ax －a －1)max ＝h (1)＝0. 此时h (x )max ＝0.综上：h (x )max ＝⎩⎨⎧3＋a ，a ≥－3，0，a <－3.。
新高考一轮复习北师大版第二章第一节 函数及其表示课件(33张)
挖掘 3 分段函数与不等式问题/ 互动探究
[例 3] (2018·高考全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝21－，x，x＞x≤0，0，则满足 f(x＋1)＜f(2x)的 x
的取值范围是( )
A．(－∞，－1]
B．(0，＋∞)
C．(－1，0)
D．(－∞，0)
[解析] ①当x2＋x≤1≤0，0，即 x≤－1 时，ƒ(x＋1)＜ƒ(2x)即为 2－(x＋1)＜2－2x， 即－(x＋1)＜－2x，解得 x＜1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]． ②当x2＋x＞1≤0 0，时，不等式组无解． ③当x2＋x≤1＞0，0，即－1＜x≤0 时，ƒ(x＋1)＜ƒ(2x)即 1＜2－2x，解得 x＜0.因此不等 式的解集为(－1，0)．
代入 f(x)＝2f1x x－1 中，可求得 f(x)＝23 x＋13. 答案：23 x＋13
考点三 分段函数及应用
挖掘 1 已知自变量求函数值/ 自主练透
[例 1] (2020·合肥一模)已知函数 f(x)＝x＋x－1 2，x＞2，则 f[f(1)]＝(
)
x2＋2，x≤2，
A．－12
B．2
C．4
存在 2 个零点，则 a 的取值范围是( )
A．[－1，0)
B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
[解析] 令 h(x)＝－x－a， 则 g(x)＝ƒ(x)－h(x)． 在同一坐标系中画出 y＝ƒ(x)，y＝h(x)图像的示意图， 如图所示．若 g(x)存在 2 个零点，则 y＝ƒ(x)的图像与 y＝h(x)的图像有 2 个交点，平移 y＝h(x)的图像，可知 当直线 y＝－x－a 过点(0，1)时，有 2 个交点，此时 1 ＝－0－a，a＝－1.当 y＝－x－a 在 y＝－x＋1 上方， 即 a＜－1 时，仅有 1 个交点，不符合题意． 当 y＝－x－a 在 y＝－x＋1 下方，即 a＞－1 时，有 2 个交点，符合题意． 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选 C. [答案] C
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函数及其表示
最新考纲
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定
义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不
同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示
函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段
不超过三段).
知识梳理 1.函数与映射的概念 函数 两个集合 设A，B是两个 映射 设A，B是两个 非空集合 ___________
解析
x >0， x － 1 (1)要使函数 f(x)有意义，应满足 解得 x>1，故 x≥0，
1
x 函数 f(x)＝ln ＋x2的定义域为(1，＋∞). x－1 (2)∵y＝f(x)的定义域为[1，2 017]，
1≤x＋1≤2 ∴g(x)有意义，应满足 x－1≠0.
017，
x2＋2ax－a
) B.(2，4] D.(－1，3)∪(3，6] －1的定义域为 R，则 a 的取值范围
解析
4－|x|≥0， 2 (1)要使函数 f(x)有意义，应满足x －5x＋6 >0， x － 3 2<x≤4，且 x≠3.
值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析
A中函数定义域不是[－2，2]，C中图象不表示函数，
D中函数值域不是[0，2]. 答案 B
1－x2 3.(2017· 青岛一模)函数 y＝ 2 的定义域为( 2x －3x－2 A.(－∞，1] C.[1，2)∪(2，＋∞)
解析
)
B.[－1，1]
1 1 D.－1，－2∪－2，1
2 1－x ≥0， 由题意，得 2 2x －3x－2≠0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 解之得－1≤x≤1 且 x≠－2.
答案 D
4.(2015· 陕西卷)设 A.－1
解析 所以
1－ x，x≥0， f(x)＝ x 则 2 ， x <0 ，
(1)函数 y＝1 与 y＝x0 是同一个函数.( ) )
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(2)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.( (3)函数 y＝ x2＋1－1 的值域是{y|y≥1}.( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.(
)
解析
(1)函数 y＝1 的定义域为 R，而 y＝x0 的定义域为
a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的
定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域.
x2－5x＋6 【训练 1】 (1)(2015· 湖北卷)函数 f(x)＝ 4－|x|＋lg 的 x－3 定义域为( A.(2，3) C.(2，3)∪(3，4] (2)若函数 f(x)＝ 2 为________.
f(f(－2))等于( 3 D.2
)
1 B.4
1 C.2
－2
1 因为－2<0，所以 f(－2)＝2 ＝4>0，
1 f(f(－2))＝f4＝1－
1 1 1 4＝1－2＝2.
答案 C
5.(2015· 全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4)，
则a＝________. 解析 由题意知点(－1，4)在函数f(x)＝ax3－2x的图象上，
{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数. (3)由于 x2＋1≥1，故 y＝ x2＋1－1≥0，故函数 y＝ x2＋1－1 的值域是{y|y≥0}. (4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函 数.
答案 (1)× (2)√
(3)× (4)×
2.(必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，
A，B
非空数集 ___________
如果按照某种确定的对应
对应关系
f：A→B
关系f，使对于集合A中的 任意 一个数x，在集合B _____ 唯一确定 的数f(x) 中都有_________ 和它对应
如果按某一个确定的对应关 任意 系f，使对于集合A中的_____ 一个元素x，在集合B中都有 唯一确定的元素y与之对应 ________
所以4＝－a＋2，则a＝－2. 答案 －2
考点一
求函数的定义域
1
x 【例 1】 (1)(2017· 郑州调研)函数 f(x)＝ln ＋x2的定义域 x－1 为( ) B.(1，＋∞) D.(0，1)∪(1，＋∞)
A.(0，＋∞) C.(0，1)
(2)若函数 y＝f(x)的定义域是[1，2 017]，则函数 g(x)＝ f（x＋1） 的定义域是____________. x－1
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因_________ 对应关系 不同而分别
用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
并集 ，其值域 (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____ 并集 ，分段函数虽由几个部分组成， 等于各段函数的值域的_____
但它表示的是一个函数.
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
∴0≤x≤2 016，且
x≠1.因此 g(x)的定义域为{x|0≤x≤2 016，且 x≠1}.
答案 (1)B
(2){x|0≤x≤2 016，且x≠1}
规律方法 求函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式
(组)求解. (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等 式(组)求解. (3)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由
名称 记法
f：A→B 为从集合A到集 f：A→B 为从集合A 称__________ 称__________
到集合B的一个函数 函数y＝f(x)，x∈A 合B的一个映射 映射：f：A→B
2.函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫 定义域 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数 做函数的________ 集合{f(x)|x∈A} 叫做函数的_______. 值的_________________ 值域 对应关系 完全一致， 定义域 相同，并且_________ (2)如果两个函数的________ 则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法 解析法 、图象法和________. 列表法 表示函数的常用方法有________