2.1-2随机变量的分布函数
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第2章概率
第二章
随机变量及其分布
§2.1 随机变量 离散型随机变量 §2.2 随机变量的分布函数 §2.3 连续型随机变量及其分布 §2.4 随机变量的函数的分布
1
§2.1 随机变量 量
2.1.1 随机变量的概念
离散型随机变
(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1, 2, , 6 (2)电话总机在单位时间内接到的呼唤次数 Y 0，1，2，…… (3)某电子元件的使用寿命 T [0, ) (4) 将一枚硬币抛掷两次，观察正面出现的次数 Z
X ~ ( ),
e e
3e 2
2
P{ X 3} 1 P{ X 0} P{ X 1} P{ X 2}
21 2 2 2 2 1 e 2 e e 1 5e 2 0.323 1! 2!
27
四、 超几何分布
定义4 称 X 服从参数为N, M, n (M≤N, n≤N)的 超几何分布 ( X ~ h(N, M, n)), 若 X 的分布律为
n k N M n N
C C P{ X k } C
k M
( k 0, 1, , r , r min{ M , n})
注 背景： 若N个元素分为A、B两类，A类中含有 M（M≤N）个元素．任取n个，则这n 个元素中 含有A类元素的个数 X ~ h( N, M, n).
28
§2.2 随机变量的分布函数
击, 每人射击一次，各人击中目标的概率依次为
0.7，0.6，0.5, 求目标被击中次数 X 的分布律.
解：设A, B, C分别表示甲、乙、丙击中目标，
X所有可能的取值为0, 1, 2, 3.
P{ X 0} P ( ABC ) 0.3 0.4 0.5 0.06
随机变量及其分布
§2.1 随机变量 离散型随机变量 §2.2 随机变量的分布函数 §2.3 连续型随机变量及其分布 §2.4 随机变量的函数的分布
1
§2.1 随机变量 量
2.1.1 随机变量的概念
离散型随机变
(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1, 2, , 6 (2)电话总机在单位时间内接到的呼唤次数 Y 0，1，2，…… (3)某电子元件的使用寿命 T [0, ) (4) 将一枚硬币抛掷两次，观察正面出现的次数 Z
X ~ ( ),
e e
3e 2
2
P{ X 3} 1 P{ X 0} P{ X 1} P{ X 2}
21 2 2 2 2 1 e 2 e e 1 5e 2 0.323 1! 2!
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四、 超几何分布
定义4 称 X 服从参数为N, M, n (M≤N, n≤N)的 超几何分布 ( X ~ h(N, M, n)), 若 X 的分布律为
n k N M n N
C C P{ X k } C
k M
( k 0, 1, , r , r min{ M , n})
注 背景： 若N个元素分为A、B两类，A类中含有 M（M≤N）个元素．任取n个，则这n 个元素中 含有A类元素的个数 X ~ h( N, M, n).
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§2.2 随机变量的分布函数
击, 每人射击一次，各人击中目标的概率依次为
0.7，0.6，0.5, 求目标被击中次数 X 的分布律.
解：设A, B, C分别表示甲、乙、丙击中目标，
X所有可能的取值为0, 1, 2, 3.
P{ X 0} P ( ABC ) 0.3 0.4 0.5 0.06
第二章 随机变量及其分布(第2讲)
分布函数还具有相当好的性质，有利于用数 学分析方法来处理；
引入随机变量和分布函数，在随机现象与数 学分析之间搭起了桥梁。
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
连续型随机变量（random variables of continuous type)
四、几种重要的连续型分布 均匀分1. 布均的匀实分际布背景是： 并概f ( x率且)随=与取⎪⎩⎪⎨⎧机0b这值−1变a个在量小（其x ∈X它区a取[a,,间bb值）] 的在中是 记长区一 为任度个间意成概X（小正~率aU区比密,[ab间度。,)b上内]函，的数.
利用分布函数与概率密度函数之间的关系，可以求得服从均匀 分布的随机变量 X 的分布函数
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨
1 3
,
⎪⎩0 ,
0≤ x≤3 其它
∫ ∫ 所求概率 P{0 ≤ X ≤ 2}=
2 f (x )dx =
0
2 0
1 3
dx
=
2 3
四、几种重要的连续型分布
2.指数分布
定义: 若随机变量X的概率密度函数
X
~
f
(
x)
=
⎧λ
⎨
e−λ
x
⎩0
x>0 x≤0
称 X 服从参数为λ的指数分布,记为X~E(λ) (λ>0),
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
§2.2节学习的分布律对于非离散型型随 机变量失效
引入随机变量和分布函数，在随机现象与数 学分析之间搭起了桥梁。
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
连续型随机变量（random variables of continuous type)
四、几种重要的连续型分布 均匀分1. 布均的匀实分际布背景是： 并概f ( x率且)随=与取⎪⎩⎪⎨⎧机0b这值−1变a个在量小（其x ∈X它区a取[a,,间bb值）] 的在中是 记长区一 为任度个间意成概X（小正~率aU区比密,[ab间度。,)b上内]函，的数.
利用分布函数与概率密度函数之间的关系，可以求得服从均匀 分布的随机变量 X 的分布函数
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨
1 3
,
⎪⎩0 ,
0≤ x≤3 其它
∫ ∫ 所求概率 P{0 ≤ X ≤ 2}=
2 f (x )dx =
0
2 0
1 3
dx
=
2 3
四、几种重要的连续型分布
2.指数分布
定义: 若随机变量X的概率密度函数
X
~
f
(
x)
=
⎧λ
⎨
e−λ
x
⎩0
x>0 x≤0
称 X 服从参数为λ的指数分布,记为X~E(λ) (λ>0),
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
§2.2节学习的分布律对于非离散型型随 机变量失效
概率论与数理统计教程茆诗松版二
X x1 P p1
x2 …… xn …… p2 …… pn ……
分布列的基本性质
(1) pi 0， (非负性)
(2) pi 1. (正则性)
i
注 意 点 (1)
求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率.
注 意 点 (2)
对离散随机变量的分布函数应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.
若级数绝对收敛则称该级数为x的1iiixp???数学期望记为1iiiexxp????第二章随机变量及其分布华东师范大学18december2019第28页连续随机变量的数学期望定义222设连续随机变量x的密度函数为px若积分绝对收敛则称该积分为x的xpxdx????数学期望记为exxpxdx?????第二章随机变量及其分布华东师范大学18december2019第29页例221则ex?10200110420308
= 1+3/4+6/4 = 13/4
数学期望的性质
(1) E(c) = c (2) E(aX) = aE(X) (3) E(g1(X)+g2(X)) = E(g1(X))+E(g2(X))
例2.2.3
设X~
2x,
p(x)
0,
0x<1 其它
求下列 X 的函数的数学期望.
(1) 2X1, (2) (X 2)2
绝对收敛，则称该积分为X 的
数学期望，记为
E(X)xp(x)dx
例2.2.1 X 1 0 1 2
P 0.2 0.1 0.4 0.3
概率论与数理统计课件第2章
X0
1
pk 03.5
0.25
4
625
0.0625
X的分布函数为
2 0.125
0
x0
0.5
0 x1
F
(
x)
0.75 0.875
1 x 2 2 x3
0.9375 3 x 4
Байду номын сангаас
1
x4
0.0
分布函数 是累计概率
例3 有人对随机变量X的分布列表述如下:
X -1
0 12 3
P
a 0.16
a2 2a 0.3
第2章 随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布函数 2.2 离散型随机变量及其分布律 2.3 几种常见的离散型分布 2.4 连续型随机变量及其密度函数 2.5 正态分布 2.6 随机变量函数及其分布
2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量 二、随机变量的分布函数
信息管理学院 徐晔
一、随机变量
例
包含出现1点
包含出现1,2点
包含出现1,2,3点
包含出现1,2,3,4 点 包含出现1,2,3,4,5 点包含出现1,2,3,4,5,6 点
分布函数的性质
F(x) P(X x), （ x ）
(1) F x 在 , 上是一个不减函数 ,
即对 x1 , x2 , 且 x1 x2 ,都有 F x1 F x2 ;
样本点
1， 4， 5 2， 3， 4 2， 3， 5 2， 4， 5 3， 4， 5
黑球数 X
1 2 2 1 1
由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应
着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空
间Ω上的函数：
概率论与数理统计课件第2章
2
2.2.1 随机变量 • 注意： 注意：
（1）随机变量定义于抽象的样本空间上，不是普 ）随机变量定义于抽象的样本空间上， 通的实函数。 通的实函数。 （2）随机事件可以通过随机变量的各种取值状态 ）随机事件可以通过随机变量的各种取值状态 取值范围来表示 来表示。 和取值范围来表示。
3
2.1.2 随机变量的分布函数 • 既然随机事件可以通过随机变量的各种取值状态和取值 范围来表示， 范围来表示，研究随机现象的统计规律性就转化为研究 随机变量取值的规律性，即取值的概率。 随机变量取值的规律性，即取值的概率。但概率是集合 函数，随机变量定义于抽象空间上，都不便于处理。 函数，随机变量定义于抽象空间上，都不便于处理。 • 能不能找到一种方法，使得我们研究随机变量取值的规 能不能找到一种方法， 律性可以转化为研究普通的实函数？ 律性可以转化为研究普通的实函数？
2.1 随机变量及其分布函数 在前面的讨论中，只是孤立地考虑一些事件的概率， 在前面的讨论中，只是孤立地考虑一些事件的概率， 这种研究方法缺乏一般性， 这种研究方法缺乏一般性，而且不便于分析数学工具的引 为了这一目的，随机变量的引入具有非常重要的意义。 入，为了这一目的，随机变量的引入具有非常重要的意义。 随机变量的引入是概率论发展史上的重大事件。 随机变量的引入是概率论发展史上的重大事件。它使得研 究概率论的数学工具更丰富有力，从此， 究概率论的数学工具更丰富有力，从此，概率论的研究进 入一个崭新的天地。 . 入一个崭新的天地。
P{ X ≥ 1} = 5 / 9 ，求p =
x≤0 ， 0 < x ≤1 x >1
，概率 P{0 ≤ X ≤ 0.25} =
，
；
X |< 0.5} ；2)分布函数 分布函数F(x) 分布函数
分布函数
F () lim F ( x) 1, F () lim F ( x) 0
x
x
(3) 右连续性：F(x)是右连续函数，即对任意的x0，有
lim
x
x
0F(x)F来自(x0)
➢这三个基本性质是判别分布函数的充要条件。
2
§ 2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的分布函数
➢
例1
证明F ( x) 1 [arctan x ], x
2
➢是一个分布函数。
证 显然F(x)在整个数轴上是连续、单调严增函数，且
F () lim F ( x) 1, F () lim F ( x) 0
x
x
因此它满足分布函数的三条基本性质，故F(x)是一个分布 函数。
该函数称为柯西分布函数。
3
§2.1 随机变量及其分布函数
例2 设随机变量的分布函数为：
A Bex x 0 F(x)
0 x0
其中 0 是常数。 求 A, B。
解 因为分布函数右连续，故
又由F () 1得A 1, 从而B 1
§2.1 随机变量及其分布函数
二、用分布函数求事件的概率
随机变量X 的分布函数F(x)=P{Xx}本身就是事件的概率。
容易得到 P{X a} F (a) F (a 0) 前面已得到 P{a X b} F (b) F (a)
P{a X b}
F(b) F(a)
1
二、随机变量的分布函数
2、分布函数的性质
F(x) P{X x}
容易证明分布函数F(x)具有以下三条基本性质：
(1) 单调性：F(x)是定义在整个实数轴(–，+)上的单调 非减函数，即对任意的x1 < x2，有 F(x1) F(x2)；
§2.1 随机变量的概念与离散型随机变量§2.2 随机变量的分布函数(distribution function)
求常数a.
解 由概率分布的性质得
1 . 得 15a = 1, 即 a 15
p
i 1
5
i
1
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第11页
课堂练习2 在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4 个红球。从中任取3个，求抽到红球数的概率分布。 解 用X表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为0，1，2，3。
Ω={ t | t ≥ 0}
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第4页
定义 设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于每一个 ω∈Ω，都有唯一的一个实数X(ω)与之对应，则称 X(ω)为随机变量，并简记为X。
注意： 1. X是定义在Ω上的实值、单值函数。 2. 若给定了试验的样本空间的概率分布。就可以确 定随机变量 X 取某些值时的概率，设 A 为一实数集,
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第2页
例1续 掷一枚硬币10次，观察出现正面的次数。
此时，试验的样本空间是由一系列长度为10的正反面 的序列组成，总共有 210 个元素。 定义函数 X 如下：对任意一个序列
,
定义
X ( ) 出现正面的次数。
这样的定义的函数 X 是一个随机变量。它反映了出 现正面的次数。利用它可以很容易的描述随机事件。 例如， {X≤5}= 出现正面次数不多于5次的事件.
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第9页
定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , … X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为 P { X = xi } = pi （i = 1, 2, …） 则称之为离散型随机变量X的概率分布或分布列(律). 亦可用下面的概率分布表来表示
解 由概率分布的性质得
1 . 得 15a = 1, 即 a 15
p
i 1
5
i
1
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第11页
课堂练习2 在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4 个红球。从中任取3个，求抽到红球数的概率分布。 解 用X表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为0，1，2，3。
Ω={ t | t ≥ 0}
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第4页
定义 设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于每一个 ω∈Ω，都有唯一的一个实数X(ω)与之对应，则称 X(ω)为随机变量，并简记为X。
注意： 1. X是定义在Ω上的实值、单值函数。 2. 若给定了试验的样本空间的概率分布。就可以确 定随机变量 X 取某些值时的概率，设 A 为一实数集,
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第2页
例1续 掷一枚硬币10次，观察出现正面的次数。
此时，试验的样本空间是由一系列长度为10的正反面 的序列组成，总共有 210 个元素。 定义函数 X 如下：对任意一个序列
,
定义
X ( ) 出现正面的次数。
这样的定义的函数 X 是一个随机变量。它反映了出 现正面的次数。利用它可以很容易的描述随机事件。 例如， {X≤5}= 出现正面次数不多于5次的事件.
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第9页
定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , … X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为 P { X = xi } = pi （i = 1, 2, …） 则称之为离散型随机变量X的概率分布或分布列(律). 亦可用下面的概率分布表来表示
概率论§2.1 随机变量-§2.2离散型随机变量
0, w = (b1 , b2 ), (b1 , b3 ), (b2 , b3 ) 1, w = (a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ) X = X (w ) = (a2 , b1 ), (a2 , b2 ), (a2 , b3 ) 2, w = (a1 , a2 )
18
分布函数的性质
(1) F(x)是x的不减函数 ，即
x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 )
(2)
F ( ) = lim F ( x ) = 0
x
F ( ) = lim F ( x ) = 1
x
理解：当x→+时,{X≤x}愈来愈趋于必然事件. (3)右连续性: 对任意实数 x0 ,
P ( X x ) = 1 P ( X x ) = 1 F ( x );
21
例1 设F1 ( x )与F2 ( x )分别为随机变量X 1与X 2
的分布函数，为了使 ( x ) = aF1 ( x ) bF2 ( x ) F
是某一随机变量的分布函数，则下列各组值 中应取（A）
3 2 ( A) a = , b = 5 5
连续型随机变量
如：“电视机的使用寿命”，实际中常遇到 的 24 “测量误差”等。
§2.2 离散型随机变量及其分布
定义 如果随机变量X 只取有限个或可列无限 多个不同可能值，则称X 为离散型随机变量. 例如, 抛一枚硬币，X 可取0,1有限个值。 可知X为一个离散型随机变量。 例如，电话交换台一天内接到的电话个数
F ( x0 0) = lim F ( x ) = F ( x0 )
x x0
19
如果一个函数满足上述三条性质，则一 定是某个随机变量 X 的分布函数。也就是说， 性质(1)-(3)是判别一个函数是否是某个随机 变量的分布函数的充分必要条件。
第2章 随机变量与分布函数 0.
第2章 随机变量与分布函数
【要点详解】
§2.1 随机变量与分布函数
1．随机变量
（1）定义
①设E为随机试验， {} 为其样本空间，若对任意 ，有唯一实数X（ω）与之对应，则称X（ω）为随
机变量。
②设X为一个随机变量，对任意实数x，事件“X≤x”的概率是x的函数，记为F（x）=P(X≤x），这个函数称为X
X
x1
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
说明：随机变量的分布列与随机变量的分布函数不是同一个概念，但它们可相互确定。
③离散型随机变量X的分布函数的计算公式：F (x ) P (X x )p i, x x i x
【例题2.3】设离散型随机变量X的概率分布列如下所示。
X
பைடு நூலகம்
0
1
2
3
P
0.3
0.1
a
正态密度函数式的性质：
☞f（x）关于x=μ对称；
☞
。
☞对任何a<b，当X～N（μ，σ2），有
④伽马（Gamma）分布 设α，β是正常数，由积分
定义，它有如下性质：
☞ (1)1,(12)； ☞ (1)()（用分布积分法可得），当α取整数n时， (n 1 )n (n )n ! ；
☞ x 1exdx ()/ （用变量替换法可得）。 0
x 1
x 1
P ( 0 . 3 X 0 . 7 ) F ( 0 . 7 ) F ( 0 . 3 ) 0 . 7 2 0 . 3 2 0 . 4 0
（
【 例 题 2.7】 已 知 连 续 型 随 机 变 量 X 的 密 度 函 数 为 ）。
概率论与数理统计-第二章-随机变量及其分布函数ppt课件
表格: X
x1 x2
pk
p1 p2
概率分布图：
1P
xn
pn
0.5
x4 x3
x1
x2
X
.
由概率的性质易知离散型随机变量的分布列
pk
满足下列特征性质:
k 1
① pk 0(k 1,2,) [非负性]
②
pk 1 [规范性]用于确定待定参数
k 1
③ F( x) P( X x) P(X xi ). xi x
1. 2
.
【例2】设随机变量X的分布函数为
aex b, x 0
F(x)
0,
x0
解： 因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
所以 lim F ( x) lim (ae x b) a b 0
x0
x0
又因为 F () lim (ae x b) b 1 x
1、两点分布 或（0 - 1）分布
two-point distribution
定义1 设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 pk 1 p p
其中 0<p<1
则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X ～（0 - 1）分布
F(x)
（0 - 1）分布的分布函数
0 , x0 F ( x) 1 p, 0 x 1
X = “三次试验中 A 发生的次数”，
{ X 2} A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 P{X 2} P(A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 )
P(A1A2 A3 ) P(A1A2 A3 ) P(A1A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2 )P(A3 ) C32 p2(1 p)32
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§3 随机变量的分布函数
当 1 x 2 时, 满足 X x 的 X 取值为 X = -1,
F (x) P{X x} P{X 1} 1 . 4
X
X -1 2 3
-1 x ２ ３ x
pk 1
4
11 24
当 2 x 3时, 满足 X x 的 X 取值为 X = -1, 或 2
Ck41 C150
k 5， 6， ， 10
具体写出，即可得 X 的分布律：
X 5 6 7 8 9 10
P
1
5
15
35
70
126
252
252
252
252
252
返25回2 主目录
例2
第二章 随机变量及其数字特征
将 1 枚硬币掷 3 次，令：
§1随机变量及其分 布
X：出现的正面次数与反面次数之差．
试求 X 的分布律．
X0 1
2
3
4
pk p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4
或写成 P{X= k} = (1- p)kp，k = 0,1,2,3
P{X= 4} = (1-p)4
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第二章 随机变量及其数字特征
例 5(续) 以 p = 1/2 代入得：
§1随机变量及其分 布
X0 1
2
pk 0.5 0.25 0.125
o
F (x2 ) F (x1).
x1
x2
x
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§3 随机变量的分布函数
2. 例 子
例 1 设随机变量 X 的分布律 为： 求 X 的分布函数.
X -1
pk
1 4
23
11 24
解：当 x <-1 时，满足 X x 的 X 的集合为，
F(x) P{X x} P{} 0.
X
x -1 0 ２ ３ x
设 Fx PX x是随机变量 X 的分布函数，则
PX a Fa 0 PX a PX a PX a Fa Fa 0 Pa X b PX b PX a Fb Fa
返回主目录
§3 随机变量的分布函数
用分布函数计算某些事件的概率
Pa X b PX b PX a
Fb Fa 0
第二章 随机变量及其数字特征
§1随机变量及其分 布
离散型随机变量的概念与性质
离散型随机变量的定义
•如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无 •穷个，则称 X 为离散型随机变量．
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第二章 随机变量及其数字特征
离散型随机变量的分布律
§1随机变量及其分 布
设离散型随机变 ， ， xn ，
解：（1） 若 x < 0, 则 {X x} 是不可能事件，于是
F(x) P{X x} P() 0.
（2） 若0 x 2,由题意，
X
P{0 X x} k x2,
§3 随机变量的分布函数
取x 2,由已知得P{0 x 2} 1,与上式对比
得k 1/ 4, 即 P{0 x 2} x2 . 4
⑵．P X ⑶．P X
3 F3 1 F1
0
12 11
F1 0
3 2
2 1
6 1
⑷．P
X
2 1
1
F
2 1
1
4 1
4 3
⑸．P2
X
4
F 4
0
F 2
1
12 11
12 1
⑹．P1
X
3
F3 0
F1 0
12 11
2 1
12 5
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§3 随机变量的分布函数
例 4 设随机变量 X 的分布函数为
于是，0 x 2时
F(X ) P{X x} P{X 0} P{0 X x} x2 . 4
（3） 若 x 2 , 则 {X x}是必然事件，于是
F(x) P{X x} 1.
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§3 随机变量的分布函数
0,
F
(
x)
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2,
x 2.
3
4
0.0625 0.0625
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随机变量的分布函数
1. 概 念
定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
F(x) P{X x}
称为 X 的分布函数．
X
0x
x
F(x) P{X x}
对于任意的实数 x1, x2 (x1< x2) ，有：
X
P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1}
P X xn pn n 1, 2,
X
x1
x2 ， xn
则称上式或 P
p1
p2 ， pn
为离散型随机变量 X 的分布律．
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说 明 第二章 随机变量及其数字特征
§1随机变量及其分 布
离散型随机变量可完全由其分布律来刻划． 即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这 些值的概率唯一确定．
c 1 n n
1，
2，
4
试求常数c．
解：由随机变量的性质，得
1 PX n c 1 n
n1
n1 4
该级数为等比级数，故有
1
所以
1 PX n1
c 3．
n
n1
c
1 4
n
c
1
4
1 4
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第二章 随机变量及其数字特征
例5
§1随机变量及其分 布
设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，
F (x) P{X x} P{X 1或X 2} 1 1 . 42
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§3 随机变量的分布函数
同理当 3 x 时,
F(x) P{X x} P{X 1或X 2或X 3} 1.
0, x 1,
F
(x)
1
4 3
, ,
1 x 2, 2 x 3,
1
4
1, x 3.
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§3 随机变量的分布函数
20 0 F (x) 1,且
F () lim F (x) 0; F () lim F (x) 1.
x
x
30 F(x 0) F(x), 即 F(x)是右连续的.
1
-1 0 1 2 3 x
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§3 随机变量的分布函数
用分布函数计算某些事件的概率
x
§3 随机变量的分布函数
分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,…) 处有跳跃， 其跳跃值为 pk=P{X= xk}.
X -1
pk
1 4
23
11 24
1
1
14
1
2
4
-1 0 1 2 3
x
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§3 随机变量的分布函数
例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上 任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比， 并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数.
例 3 设随机变量 X 的分布函数为
0 x 0
x
F
x
2 2
131
0 x 1 1 x 2 2 x3
12
1 3 x
试求：
⑴．P X 3 ⑵．P X 3 ⑶．P X 1
⑷．P X
1
2
⑸．P2 X 4
⑹．P1 X 3
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§3 随机变量的分布函数
解：
例 3（续）
⑴．P X 3 F3 1
Pa X b PX b PX a Fb 0 Fa
Pa X b PX b PX a
Fb 0 Fa 0
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§3 随机变量的分布函数 用分布函数计算某些事件的概率
PX b 1 PX b1 Fb PX b 1 PX b 1 Fb 0
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§3 随机变量的分布函数
-1 0 1 2
3
x
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§3 随机变量的分布函数
P{X 1} F(1) 1 , 2 24
P{3 X 5} F(5) F( 3) 3 1 1 ,
2
2 2 2 44 2
P{2 X 3}
F (3) F (2) P{X 2}
1
1 3 1 3, 42 4
-1 0 1 2 3
离散型随机变量分布律的性质:
⑴．对任意的自然数n，有
⑵． pn 1
n
pn 0
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第二章 随机变量及其数字特征
例1
§1随机变量及其分
从1～10这10个数字中随机取出5个数字，布
令 X：取出的5个数字中的最大值．
试求 X 的分布律．
解： X 的取值为5，6，7，8，9，10． 并且
P
X k
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第二章 随机变量及其数字特征
例 3（续）
§1随机变量及其分 布
PX 3 PX 4 PX 5
34 7 16 16 16
P0.5 X 3 PX 1 PX 2
31 4 16 16 16
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例4
第二章 随机变量及其数字特征
§1随机变量及其分 布
设随机变量 X
PX n
的分布律为
每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过. 以 X 表
示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的
分布律. (信号灯的工作是相互独立的).
P{X=3}=(1-p)3p
第二章 随机变量及其数字特征
例 5(续)
§1随机变量及其分 布
解： 以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则
§3 随机变量的分布函数
当 1 x 2 时, 满足 X x 的 X 取值为 X = -1,
F (x) P{X x} P{X 1} 1 . 4
X
X -1 2 3
-1 x ２ ３ x
pk 1
4
11 24
当 2 x 3时, 满足 X x 的 X 取值为 X = -1, 或 2
Ck41 C150
k 5， 6， ， 10
具体写出，即可得 X 的分布律：
X 5 6 7 8 9 10
P
1
5
15
35
70
126
252
252
252
252
252
返25回2 主目录
例2
第二章 随机变量及其数字特征
将 1 枚硬币掷 3 次，令：
§1随机变量及其分 布
X：出现的正面次数与反面次数之差．
试求 X 的分布律．
X0 1
2
3
4
pk p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4
或写成 P{X= k} = (1- p)kp，k = 0,1,2,3
P{X= 4} = (1-p)4
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第二章 随机变量及其数字特征
例 5(续) 以 p = 1/2 代入得：
§1随机变量及其分 布
X0 1
2
pk 0.5 0.25 0.125
o
F (x2 ) F (x1).
x1
x2
x
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§3 随机变量的分布函数
2. 例 子
例 1 设随机变量 X 的分布律 为： 求 X 的分布函数.
X -1
pk
1 4
23
11 24
解：当 x <-1 时，满足 X x 的 X 的集合为，
F(x) P{X x} P{} 0.
X
x -1 0 ２ ３ x
设 Fx PX x是随机变量 X 的分布函数，则
PX a Fa 0 PX a PX a PX a Fa Fa 0 Pa X b PX b PX a Fb Fa
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§3 随机变量的分布函数
用分布函数计算某些事件的概率
Pa X b PX b PX a
Fb Fa 0
第二章 随机变量及其数字特征
§1随机变量及其分 布
离散型随机变量的概念与性质
离散型随机变量的定义
•如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无 •穷个，则称 X 为离散型随机变量．
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第二章 随机变量及其数字特征
离散型随机变量的分布律
§1随机变量及其分 布
设离散型随机变 ， ， xn ，
解：（1） 若 x < 0, 则 {X x} 是不可能事件，于是
F(x) P{X x} P() 0.
（2） 若0 x 2,由题意，
X
P{0 X x} k x2,
§3 随机变量的分布函数
取x 2,由已知得P{0 x 2} 1,与上式对比
得k 1/ 4, 即 P{0 x 2} x2 . 4
⑵．P X ⑶．P X
3 F3 1 F1
0
12 11
F1 0
3 2
2 1
6 1
⑷．P
X
2 1
1
F
2 1
1
4 1
4 3
⑸．P2
X
4
F 4
0
F 2
1
12 11
12 1
⑹．P1
X
3
F3 0
F1 0
12 11
2 1
12 5
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§3 随机变量的分布函数
例 4 设随机变量 X 的分布函数为
于是，0 x 2时
F(X ) P{X x} P{X 0} P{0 X x} x2 . 4
（3） 若 x 2 , 则 {X x}是必然事件，于是
F(x) P{X x} 1.
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§3 随机变量的分布函数
0,
F
(
x)
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2,
x 2.
3
4
0.0625 0.0625
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随机变量的分布函数
1. 概 念
定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
F(x) P{X x}
称为 X 的分布函数．
X
0x
x
F(x) P{X x}
对于任意的实数 x1, x2 (x1< x2) ，有：
X
P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1}
P X xn pn n 1, 2,
X
x1
x2 ， xn
则称上式或 P
p1
p2 ， pn
为离散型随机变量 X 的分布律．
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说 明 第二章 随机变量及其数字特征
§1随机变量及其分 布
离散型随机变量可完全由其分布律来刻划． 即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这 些值的概率唯一确定．
c 1 n n
1，
2，
4
试求常数c．
解：由随机变量的性质，得
1 PX n c 1 n
n1
n1 4
该级数为等比级数，故有
1
所以
1 PX n1
c 3．
n
n1
c
1 4
n
c
1
4
1 4
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第二章 随机变量及其数字特征
例5
§1随机变量及其分 布
设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，
F (x) P{X x} P{X 1或X 2} 1 1 . 42
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§3 随机变量的分布函数
同理当 3 x 时,
F(x) P{X x} P{X 1或X 2或X 3} 1.
0, x 1,
F
(x)
1
4 3
, ,
1 x 2, 2 x 3,
1
4
1, x 3.
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§3 随机变量的分布函数
20 0 F (x) 1,且
F () lim F (x) 0; F () lim F (x) 1.
x
x
30 F(x 0) F(x), 即 F(x)是右连续的.
1
-1 0 1 2 3 x
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§3 随机变量的分布函数
用分布函数计算某些事件的概率
x
§3 随机变量的分布函数
分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,…) 处有跳跃， 其跳跃值为 pk=P{X= xk}.
X -1
pk
1 4
23
11 24
1
1
14
1
2
4
-1 0 1 2 3
x
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§3 随机变量的分布函数
例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上 任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比， 并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数.
例 3 设随机变量 X 的分布函数为
0 x 0
x
F
x
2 2
131
0 x 1 1 x 2 2 x3
12
1 3 x
试求：
⑴．P X 3 ⑵．P X 3 ⑶．P X 1
⑷．P X
1
2
⑸．P2 X 4
⑹．P1 X 3
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§3 随机变量的分布函数
解：
例 3（续）
⑴．P X 3 F3 1
Pa X b PX b PX a Fb 0 Fa
Pa X b PX b PX a
Fb 0 Fa 0
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§3 随机变量的分布函数 用分布函数计算某些事件的概率
PX b 1 PX b1 Fb PX b 1 PX b 1 Fb 0
返回主目录
§3 随机变量的分布函数
-1 0 1 2
3
x
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§3 随机变量的分布函数
P{X 1} F(1) 1 , 2 24
P{3 X 5} F(5) F( 3) 3 1 1 ,
2
2 2 2 44 2
P{2 X 3}
F (3) F (2) P{X 2}
1
1 3 1 3, 42 4
-1 0 1 2 3
离散型随机变量分布律的性质:
⑴．对任意的自然数n，有
⑵． pn 1
n
pn 0
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第二章 随机变量及其数字特征
例1
§1随机变量及其分
从1～10这10个数字中随机取出5个数字，布
令 X：取出的5个数字中的最大值．
试求 X 的分布律．
解： X 的取值为5，6，7，8，9，10． 并且
P
X k
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第二章 随机变量及其数字特征
例 3（续）
§1随机变量及其分 布
PX 3 PX 4 PX 5
34 7 16 16 16
P0.5 X 3 PX 1 PX 2
31 4 16 16 16
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例4
第二章 随机变量及其数字特征
§1随机变量及其分 布
设随机变量 X
PX n
的分布律为
每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过. 以 X 表
示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的
分布律. (信号灯的工作是相互独立的).
P{X=3}=(1-p)3p
第二章 随机变量及其数字特征
例 5(续)
§1随机变量及其分 布
解： 以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则