浅谈摄动理论及其工程应用
第六章 摄动方法
则称
u0 t u1 t … un t …
n
为 f t , 当 0 时，在区间 a, b 上的一致渐近 幂级数，记为
f t, ~ u0 t u1 t … un t …
n
并称
u0 t u1 t … un t
可见渐近展开式是固定 n ，考虑
x 变化，而幂级数
是固定 x ，考虑 n 时的变化。
对于前面得到的单摆问题的近似公式:
1 1 1 t , a cos t a 2 cos t cos3t t sin t 192 16 192
(*)
现在用上节课介绍的有关一致有效的 n 阶近似来
t a, b 可以是无穷区间，或闭区间， 1 ，设 f t
为连续函数; F 对 t 连续，对其余变量在其变化范 围内解析，则该问题称为摄动问题 P ， 0 时对应的问题称为退化问题 P0 ，若 P 问题的解 u t, 当 0 时，对 t a, b 有一致渐近幂级数，即
幂系数为0，
0" 0 a 1" 1 a2 2" 2 6 03 O a3 0
1
(11)
依次有
0" 0 0 1" 1 0
1 3 2 0 6
" 2
原方程(8)为非线性方程，现已化为一系列的线性方
n
为 f t , 当 0 时在区间 a, b 上一致有效的 n 阶渐近近似式。
定义2：设有 的函数序列：0 1,1 ,2 ,…,n ,…
对于任意固定的正整数 n，满足：
浅析摄影测量与遥感在工程测量中的应用
浅析摄影测量与遥感在工程测量中的应用摘要：随着我国社会经济的不断发展，人们对于工程技术提出了更高的要求。
在测绘领域工程测量数据的精确性以及操作的自动化与智能化方面，已经成为工程测量方面的重点课题。
不断提高工程测量技术，达到不仅节约人力成本同时提高测量数据的准确性和精度。
该技术的运用可以使工程的地质勘查质量得到很大的提升，而且还节省了大量的人力和物力资源，极大地提高了工程测量的准确性，提升了施工的效率。
关键词：摄影测量；遥感技术；工程测量引言对于工程项目来说，工程测量是项目建设的基础，工程测量为建设项目的设计、施工和运营各阶段提供基础支撑。
随着我国科学技术的不断发展，工程测量技术也得到了较大的发展，尤其在测量精度以及准确度方面有了很大的提升，摄影测量和遥感技术的融合应用能够提升工程测量作业的安全性和可靠性，提高工程项目的效率和质量，是非接触式测量的典型应用。
1.摄影测量与遥感技术的重要性在我国经济社会不断发展的情况下，建筑行业的发展突飞猛进，同时来自国内国外的竞争压力巨大，这对于工程公司的发展来说，既是机遇，也是挑战。
因此，在对建设工程进行施工时，要对建筑工程周围的环境和地势条件进行科学的把握，进而为建筑工程的质量和安全提供保障。
要想实现对工程结构详细把握的目标，就要利用先进的测量技术来进行测量。
在以往的建筑条件测量中，运用的是非常传统落后的测量技术，不但测量数据不够准确，而且测量难度巨大，浪费了大量的人力、物力资源，不能及时有效地为建筑工程的施工提供支持。
摄影测量和遥感技术的运用具有独特的优势，其能够非常详细、准确地解决工程施工中存在的问题。
摄影测量和遥感技术具有特殊的工程成像技术，可以对图像进行数字分析和信息记录，即使是足不出户也可以实现对目标物体的测量，得到准确客观的测量数据，克服恶劣环境的影响，使工程施工效率得到很大的提高，也使施工测量的覆盖面得到扩展。
同时，还可以将施工的数据及时进行整理，为施工建设企业的后续施工和方案制定提供准确的数据依据，提高企业的施工效率。
shedong
摄动理论科技名词定义中文名称：摄动理论英文名称：perturbation theory定义：研究天体轨道对圆锥曲线的偏离及其变化规律的理论。
应用学科：天文学（一级学科）；天体力学（二级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布研究确定摄动的大小和变化规律的理论和方法。
一个天体绕另一个天体沿二体问题的轨道运行时，因受到其他天体的吸引或其他因素的影响，天体的运动会偏离原来的轨道。
这种偏离的现象称为摄动。
对于摄动，在数学上可以通过分析方法和数值方法两种不同途径来研究。
这两种方法相应地在摄动理论中形成了普遍摄动和特殊摄动两个分支。
摄动理论不仅是研究天体运动的主要手段,而且在理论物理与工程技术上也被广泛应用,即所谓微扰理论。
目录理论发展详细内容参考书目理论发展详细内容参考书目展开编辑本段理论发展摄动理论的发展，至今已有二百多年的历史。
欧拉、拉格朗日、高斯、泊松和拉普拉斯等许多著名的学者都为它的发展作过不少贡献，先后提出过的摄动方法不下百种。
归纳起来，大致可分三类：坐标摄动法、瞬时椭圆法和正则变换。
有些方法不能明确地列入哪一类，例如著名的汉森方法就兼有一、二两类的特性。
编辑本段详细内容坐标摄动法研究天体在真实轨道上的坐标和在中间轨道上的坐标之差，这个差值称为坐标摄动。
在经典方法中，常把坐标摄动表示为某个小参量（例如摄动行星的质量）的幂级数，然后逐项进行计算。
由于计算技术的发展，微分方程近似解法中皮卡迭代法正逐步代替原来的小参量幂级数展开方法。
它的主要优点是有统一的迭代过程，使计算过程能高度自动化。
直角坐标摄动这是1858年恩克在研究彗星的运动时提出的,它讨论坐标摄动在直角坐标系中的表示式,经常用于计算短周期彗星和月球火箭的轨道。
这种方法的优点是：摄动方程的推导简单，形式对称，可以直接得到坐标，便于计算天体的历表。
它的缺点是：以直角坐标表示的摄动量难于显示出摄动的几何特性和力学含义；随着时间跨度的增长，直接坐标的三个摄动量往往同时变大，以致不能把它们所服从的方程作线性化处理，否则就要多次更换零点。
摄动法及其在流体力学中的应用PPT模板
06
第二章正则摄动问题
第二章正则摄动问题
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2.6边界层 的坐标展开
2.4稍可压 缩流体绕圆
柱的流动
2.5小粘性 的影响
2.1引言； 绕圆柱的基
本流动
2.2弱剪切 流的圆柱绕
法则
注8．大Reynolds数下的 平板，三重结构
注10．小Reynolds数下 绕圆球和圆柱的流动
注12．绕抛物面的粘性流 动
注释
1 2 3 4 5 6
注7．变形坐标法的适用 性
注9．最优坐标概念的拓 广
注11．超越小项
注释
注13．大展弦比升力机翼 注14．多重尺度法 注15．级数的分析和改进 注16．解决佯谬
16
主题索引
主题索引
17
参考文献与作者索引
参考文献与作者索 引
A
K
感谢聆听
C
N
流
2.3微小变 形圆柱的绕
流
第二章正
则摄动问
习题
题
07
第三章摄动理论的方法
第三章摄动理 论的方法
3.1引言； 极限过程
3.6渐近展
01
开 的 性 质 06
3.2标准函 数；量阶 02 符 号
3.5渐近
05
级数的收
敛性和精
确度
04
3.4渐近序 列
03 3 . 3 渐 近 表示；渐 近级数
第三章摄动理 论的方法
01
3.7逐次近似 法
02
3.8边界条件 的转移
03
3.9正坐标展 开
2008航天器动力学10-摄动理论解析
2、恩克方法（Encke,1857年） 基本思想：以开普勒轨道为基准轨道， 列写航天器偏离此轨道的动力学方程。 r r ρ r
实际 基准 轨道 轨迹 轨道 偏差
r
ρ
建立以 r为变量的动力学方程：
d 2 ( r ) f 2 dt
优点：由于轨道偏差变化缓慢，因此方程积分步长可以较 大，计算效率高。 缺点：该方程只能适用于小偏差的情况，当时间较长时， 应选用新的基准轨道。
V (r ) U () U (r ) U (r )
如直接求r，就是考威尔 方法。因此关键是把 r 表示成轨道根数的函数。
拉格朗日行星摄动方程
Page 9
mr F
r U
r r (a, e, M , , i, )
2018年10月8日星期一
如果摄动力是非有势力
例如大气阻力
z
y
vபைடு நூலகம்
YN
XN
h rv
p h
2
O
x
vr
Y
p
r v
2 2
X
2018年10月8日星期一
Page 12
p
r 2 v2
2 e 1 2 (v v ) r
2
r v
2 2
2 r
2
取乔丹速度变分： (r
0, v 0)
v 2r
p
碰撞理论的假设
d2r r 3 f 2 dt r
在惯性坐标系中，可以写成
2018年10月8日星期一
Page 3
x x r3 fx y y fy 3 r z z fz 3 r
浅析摄影测量与遥感技术在工程测量中的应用
浅析摄影测量与遥感技术在工程测量中的应用摘要：随着人类科学技术水平的不断发展，摄影测量与遥感技术在工程测量中的应用也是更加广泛，这些技术无疑会提高整体工程测量的质量与精度。
公路建设、高层建筑以及市政工程，在施工前期，需要使用多项技术，进行数据测量收集，然后根据此结果进行分析，从而设计出相应的图纸。
社会对工程建设的测量分辨率和精准度提出了更高的要求，随着科学技术的发展，工程测量技术也在不断地提高，并广泛地应用在各种工程当中。
为工程设计提供了有效的参考依据，在提升设计合理性的基础下，提升工程整体的质量。
本文主要对工程测量中摄影测量与遥感技术的应用进行详细的分析。
关键词：工程测量；摄影测量；遥感技术；应用引言由于科技发展速度不断加快，摄影测量技术结合了地理技术和信息技术，形成了一门十分复杂的地球空间信息科学，其包含的内容十分广泛，主要有遥感和全球定位等技术。
而其中摄影测量以及遥感技术主要的作用是在施工开始之前对地质进行勘察，具有工期短和效率高的优势，以此来避免多余的财力、物力以及人力方面的浪费。
并且该项技术测量结果也十分全面，拥有传统技术无法比拟的优势，在当前施工中的应用十分广泛。
一、摄影测量及遥感技术随着综合摄影技术的快速发展，摄影测量技术与遥感测量技术得到了有效地提高。
利用现有的信息技术标准平台，利用地理技术，整合形成具有综合信息平台的科学测量标准。
在施工前期，主要的测量工作是对地形数据信息进行勘查和收集。
以往地形图数字化和郊外实地收集的方法十分耗费物力和人力，并且工作周期较长，使工程建设的整体周期也随之延长。
如何精准且高效的获取到工程建设必须用到的原始数据成为勘查工作重点研究的问题，而摄影测量与遥感技术应运而生，使这一问题得到良好的解决，对于工程勘查工作高效进行起到了有效的促进作用。
摄影测量与遥感这项技术并不需要到实地进行考察，而是通过物体传输的方法，把实地数据信息传输到传感器上，再利用得到的数据信息，达到测量实地物体的目的。
高考数学应试技巧之奇异摄动理论
高考数学应试技巧之奇异摄动理论在高中数学学习过程中，很多同学都会遇到数学难题，尤其是在高考中，数学难度大、题目种类多，难免会让学生有些心慌。
面对高考数学，除了平时广泛学习、刻苦钻研外，还要了解并熟悉数学应试的技巧和方法。
其中，奇异摄动理论的应用是高考数学应试技巧的一种，下面就来详细了解一下这种技巧的应用。
1. 奇异摄动理论的基本介绍奇异摄动理论是一种研究微积分中极限过程的一种理论。
研究的对象主要是一些高维空间中不规则现象的极限。
在微积分的学习中，我们常常用极限来描述某些函数在某点的趋势问题。
奇异摄动理论主要是针对一些函数在极限被振荡的情形进行研究，它的核心思想是通过变量的变换来使定积分的计算更加简便。
在高考数学中，奇异摄动理论主要是应用于计算一些比较复杂的积分或极限，可以通过一些变量变换的方法来使计算更加简单，从而减少复杂度。
同时，对于一些题目，我们可以选择用奇异摄动理论来解题，这样可以大大减少解题的难度，从而提高我们应试的成功率。
2. 奇异摄动理论在高考数学中的应用在高考数学中，奇异摄动理论主要应用于以下几个方面：a. 计算任意阶导数在求某些函数的任意阶导数时，常常需要进行很多次运算，比较繁琐。
而如果我们选择用奇异摄动理论来解题，可以简化计算的复杂度。
例如，当我们需要求$f(x)=e^{x^2}$ 的$n$阶导数时，用通常的方法要计算$n$次，而如果用奇异摄动理论，只需要进行3次计算就可以了，从而有效提高了计算效率和速度。
b. 高维空间积分的计算对于一些多元函数的积分计算，常常需要对每个变量分别积分，这样会增加计算的难度和复杂度。
而如果我们利用奇异摄动理论，可以将它们融合在一起，从而将计算复杂度大大降低。
例如，如果我们需要计算三维空间中的球体积分，通常需要先分别计算出$x$、$y$、$z$的积分，然后再通过一系列运算来获得积分结果。
而如果我们用奇异摄动理论，只需要进行一次计算就可以得出积分的结果，计算效率显著提升。
非线性奇异摄动控制系统理论的研究及应用(孟博)
第一章 绪 论
有效的处理奇异摄动问题的工具：奇异摄动理论
主要思想： 忽略快变量降低系统阶数 引入边界层校正提高近似程度
将系统分解为慢系统和边界层系统近似原系统的动力学行为
奇异摄动理论 两个时间尺度 时标分解
其中快子系统为
dz
d
f2 (x) Q2 (x)
g2(x)K(x) z
g2 (x)u%
引进一个新的向量 y z zs , 其中
(2.13)
zs Q2 (x) g2 (x)K( x) 1 f2(x) g2(x)u%
y 是闭环系统快动态的准稳定状态, 即
慢流形
dy
d
Q2 (x)
g2(x)K(x) y
(
x)
k 1
k 1
定理 2.1 存在
1 14 22
k
1
12 (14
22 )
使得对任意的 0 ，0 k k, 闭环系统是渐近稳定的。
第二章 非线性奇异摄动系统的反馈镇定
仿真结果
系统最终控制律为
x&1 x1z x3, x&2 x1 2u1 u2 x&3 x3 u1 (2 x32 )u2 x&4 z, x&5 x1 x4
博士论文答辩
非线性奇异摄动控制系统理论 的研究及应用
答辩人： 孟 博 导 师： 刘晓平 教授
论文主要内容
1
绪论
2
主要工作
3
结论与展望
第一章 绪 论
奇异摄动理论的产生背景
x& f (t, x, z, ) z& g(t, x, z, )
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《浅谈摄动理论及其工程应用》
摘要
奇异摄动方法是求含有小参数的微分方程在整个区域上一致有效渐近解的一类近似方法的总称。
它是1892年由Poincaré倡导创立的。
奇异摄动方法自诞生之日起，便被广泛应用于力学、天文学等诸多科学领域之中。
实用性是奇异摄动方法最突出的品质。
在柔性关节机器人的控制研究中，实现定位目标的同时必须快速消除柔性振动。
根据奇异摄动方法，提出了基于慢时标子系统和快时标子系统的混合控制方法。
本文分为四个部分。
其中，第一部分为引言，对应用数学的产生做了简要介绍；第二部分对摄动理论的发展现状进行了总结，阐述了摄动理论与应用数学的关系及其在工程应用问题中的经典方法；第三部分以柔性关节机器人控制系统为工程背景，对奇异摄动方法的应用进行了详细的阐述。
通过奇异摄动方法实现了对具有鲁棒性的双时标混合控制系统的设计；第四部分是总结部分。
关键词：奇异摄动；一致有效；柔性关节；混合控制；
一、引言
数学作为研究数量关系和空间形成的一门学科，起源于人类社会生产实践的需要，并随着社会的进步和数学自身矛盾的解决而发展，以自身矛盾为研究对象的数学，人们称之为纯粹数学，其突出的特点是高度的抽象和理论的严谨。
而以现实世界的物质运动和人类社会的实际活动为背景的数学，则称之为应用数学，其突出的特点是实际的背景和具体的应用。
作为应用数学一部分的摄动法是最重要的一种求解非线性问题的近似方法，它正受到国内外学者越来越普遍的重视，已被公认为数学、物理、力学、化学、生物学以及各种工程技术科学中研究非线性问题的基本工具之一，也是现代应用数学、计算数学和力学工作者所必须掌握的基础知识。
二、摄动理论的现状与发展
2.1 应用数学的产生及其特征
在19世纪末，当时的工业落后，无论是引进技术还是自己动手搞大工业实验都力不从心，只好求助于数学，崇尚应用数学的研究蔚然成风，形成了著名的哥廷根应用数学学派。
最早使用“应用数学”这一名称是本世纪四十年代的美国数学家。
第二次世界大战期间，许多军事问题如“密码破译、潜艇的系统搜索、原子弹”都与数学有密切的关系。
数学家为战争的胜利作了重大的贡献，这也促使美国政府和军界在战后对应用数学的研究继续提供有力的支持和资助，使得应用数学在当今的美国充满生机、最优活力的学科之一。
应用数学侧重解决实际问题，来源于数学学科以外的其他学科提出的数学问题。
应用数学容许用不完全严格的推理和运算去求解数学模型。
这是因为将实际问题归结为数学模型时，人们必训抓住主要矛盾而省略次要因素。
使用的参数和数据难免不完全或有测量误差，计算时也往往会有舍入误差、截断误差和误差的积累。
而实际问题也往往容许一定程度的误差，有时一些问题虽然有严格的数学解，但实际应用时不方便，因此人们宁可要那些虽然不够严格但是简单实用的解。
2.2 摄动法的产生及其与应用数学的关系
随着经济建设和科学技术的发展，现代的工程技术人员、物理学和数学工作
者面临的许多实际问题，应用数学从这些实际问题中归结出来的数学模型，常常是非线性、变系数的微分方程，附以非线性的边界条件或初始条件，有些问题的边界形状相当复杂，有些边界本身是不确定的[1]。
这些问题绝大多数求不出精确解，或者虽可求出精确解但对于物理上或数学上不便使用。
为了解决这些问题，人们不得不求助于近似解、数值解或两者相结合的形式，从而逐步形成和发展了奇异摄动理论和各种渐近方法，亦称摄动方法。
“摄动”一词源于天体力学，而摄动方法则是近百年来由许多数学家、力学家和物理学家共同建立并发展起来的具有广泛应用的一类重要方法。
从近半个世纪来看，其发展十分迅速，摄动方法是求现代技术和科学问题分析的最有力的数学工具，应用领域尤为广泛。
现在已被公认为数学、力学、理论物理、化学、生物学及各种工程技术科学中研究非线性微分方程的基本工具之一，也是应用数学的重要学科之一。
摄动方法是寻求代数方程、超越方程、微分方程、积分方程等方程近似解的一大类方法的总称，是方程近似求解中最主要的方法。
按照这些方法，解是用一个渐近展开式的开头几项（一般不多于两项）表示。
在实际问题中，人们经常会遇到兼具快、慢变化的统一过程。
描述它们的方程多是变系数的、非线性的，定解条件可能是不确定的、非线性的，用一般参数展开得不到一致有效的近似解，而使用通常的数值解法又会出现病态矩阵，因而吸引了许多数学和其他各门科学技术工作者，他们在正则摄动理论的基础上，发展了奇异摄动理论。
应该指出，摄动方法在数学上并非十分严谨。
其处理技巧和适用性有时没有一定规律可循，需要对实际背景有相当的了解，并借助经验和直觉才能顺利地运动这种数学工具来解决实际问题。
尽管如此，人们还是在实践中不断丰富发展着这一理论。
究其原因，就在于它的实用性。
摄动方法的产生可溯源到十九世纪末期天文学家Lindstedt(1882), Bohlin(1889), Gylden(1893) 等人的工作。
它们利用小参数的幂级数来研究行星的运行问题，这些幂级数虽然是发散的，却正确地描述了客观现象，引起了人们很大的惊异。
1892年杰出的数学和力学家庞加莱(Poincaré)证明了这些发散级数是一种所谓渐近级数，当参数充分小时，它的前几项之和可以充分接近原来的问题的解。
从而为这种“小参数法”或“摄动法”。