矩阵理论与线性代数的对比

答 AB 不一定等于 BA .若要 AB = BA , 首
先要使 AB 和 BA 都存在,此时A、Ｂ应为同阶方
阵. 其次矩阵的乘法不满足交换律. 在一般情况
下, AB BA . 但对同阶方阵 A、B , |AB| = |BA| 是一定成立的. 因为对于数的运算, 交换律 是成立的, 即 |AB| = |A||B | = |B||A| = |BA| .
(1)
( A B) A B ;
H H H
(2) (A)
H
A ;
H
(3)
(4)
( AB) B A ;
H H H
(A ) A
H H
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3)设 A (aij ) Cnn ，如果 AH A ，则称 A 是Hermite矩阵，如果 A 是反Hermite矩阵。
H
A ，则称 A
A2 - B2 = (A + B)(A - B)
成立的充要条件是什么？
答 A2 - B2 = (A + B)(A - B) 成立的充要条件
是AB = BA . 事实上，由于
(A + B)(A - B) = A2 + BA - AB - B2,
故 A2 - B2 = (A + B)(A - B) 当且仅当 BA - AB = 0，
其中 k 为正整数.
4) 方阵的行列式
由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式, 叫做
方阵 A 的行列式, 记作 |A| 或 detA.
26
3.
一些特殊的矩阵
1) 设 A 为 m×n 阶矩阵,把它的行换成同序
号的列得到的新矩阵,叫做 A 的转置矩阵, 记作 A
或 AT 矩阵的转置也是一种运算,若运算可行,则有
(AT)T = A ; (A + B)T = AT + BT ;
(A)T = AT ; (AB)T = BTAT .
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2)、共轭转置矩阵
当 A = (aij) 为复矩阵时, 用
复数, 记
a ij 表示 aij 的共轭
A
H
(a ij ) .
T
AH 称为 A 的共轭转置矩阵 .
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共轭转置矩阵有以下运算规律(设 A ,B 为复矩阵, 为复数, 且运算都是可行的):
9
课程教学要求
通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段 线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理 论的相关知识。 要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明 简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。 要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、 矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。
2
问题一 线性方程组的求解
• 给定一个m个方程n个变量的线性方程组
记A表示系数矩阵，B表示常数向量，X表示未 知向量， 则线性方程组可表示为
3
其中
解的形式：
（1）当m=n，且 A可逆时，线性方程组AX=B 的解可表示为 •当m=n，且 A不可逆时，或者当 时，线 性方程组的解又如何表示呢？
•特别地，在讨论矛盾方程AX=B时，如何定 义线性方程组的解。 广义逆矩阵问题
(B + C)A = BA + CA.
(iv) 数乘矩阵满足:
( k + l)A = kA +lA; k(A + B) = kA + kB;
k(lA) = (kl)A; k(AB) = (kA)B = A(kB).
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3) 方阵的幂
设 A 是 n 阶方阵, 定义
A1 = A, A2 = A· … , Ak+1 = Ak · A, A,
y1 (a11b11 a12b21 a13b31 )t1 (a11b12 a12b22 a13b32 )t2 y2 (a21b11 a22b21 a23b31 )t1 (a21b12 a22b22 a23b32 )t2
x1 y1 x , T t1 , A a11 Y , X 2 a t y2 2 21 x3 a12 a22 b11 b12 a13 , B b21 b22 a23 b31 b32
矩 阵 理论
1
前言
随着科学技术的迅速发展,矩阵的理论和方法业已 成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、 优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、 电子学、网络等学科，甚至在经济管理、金融、保险、 社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的 应用。当今电子计算机及计算技术的迅猛发展为矩阵理 论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵 的理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。 矩阵被认为是最有用的数学工具之一，既适用于 应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。
20
2.
矩阵的运算
1) 矩阵运算的定义
设 A = (aij)s×n , B = (bij)t×m 为两个矩阵, 当 s=t, n=m 时,它们为同型矩阵, 其加法运算定义为
A + B = (aij + bij)
A + B 称为 A 与 B 的和.
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当 n = t 时可以作乘法: AB = (cij)s×m , 其中
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5) 行列式 |A| 的各元素的代数余子式 Aij 所 构成的方阵
A11 A21 A12 A22 * A A A 2n 1n
叫做方阵 A 的伴随矩阵.
An1 An 2 , Ann
伴随矩阵具有重要性质: AA* = A*A =|A|E.
6
问题三 矩阵的分析运算
• 在线性代数中，我们学习的多是矩阵的代数运算， 能否定义矩阵的分析运算呢？如矩阵序列的极限、 矩阵级数的和、矩阵函数及其微积分等。
•分析运算的关键是确定矩阵大小的一种度量，称 为矩阵范数。
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问题四 矩阵的简单形式
• 矩阵运算常常要求矩阵在各种意义下的简单形 式，以简化矩阵运算过程。这就要求讨论 矩 阵的标准形和矩阵分解问题。
二个线性变换为 则它们的复合为
Y AX , X BT
Y ABT
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2) 矩阵的运算性质
(i) 矩阵的加法满足
交换律: A + B = B + A,
结合律: (A + B) + C = A + (B +C).
(ii) 矩阵的乘法满足结合律:
(AB)C = A(BC).
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(iii) 矩阵的法和加法满足分配律 A(B + C) = AB + AC;
4
问题二 矩阵的算术运算
矩阵的加法与减法定义为
矩阵的乘法运算
5
如何定义矩阵的除法运算
• 在线性代数中，我们对于可逆矩阵A可定义 矩阵“除法”，称为矩阵A的逆矩阵，记为 A -1 • 即当矩阵A的秩等于其行数和列数时，矩阵 A称为满秩矩阵，才能定义“矩阵除”，并 由此得到矩阵方程AX = B的解为 • X = A-1 B • 问题：我们能否定义一般矩阵的“除法”。
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思考
1. 任何两个矩阵 A、B 都能进行加(减), 相乘
运算吗?
答 不是. (1) 只有当 A,B 为同型矩阵时, 才能 进行加(减)运算. (2) 只有当第一个矩阵 A 的列数与 第二个矩阵 B 的行数相同时, A 与 B 才能相乘, 这 时 AB 才存在.
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2. 两个矩阵 A、B 相乘时, AB = BA 吗? |AB| = |BA| ?
cij aik bkj
k 1
n
( i = 1,2, … , s ; j = 1, 2, … , m),
AB 称为 A 与 B 的积. 设 k 为实数, 定义
kA = (kaij)
则称 kA 为 A 与数 k 的乘积.
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矩阵乘法的定义源于二个线性变换的复合运算
y1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 y2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 x1 b11t1 b12t2 x2 b21t1 b22t2 x b t b t 31 1 32 2 3
0 A 0
但
0 AB 0
1 0 O, B 0 0 0 . 0
0 O , 1
0 0 0 1 2 又如 A O, 但 A A A 0 0 . 0 0
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5. 设 A 与 B 为 n 阶方阵, 问等式
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常用记号一
• 用R 表示实数域，用C表示复数域。 • R n 表示n维实向量集合； • C n 表示n维 复向量集合； • 表示 实矩阵集合； • 表示 复矩阵集合；
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常用记号二
• • • • • • n阶单位矩阵 n阶矩阵的行列式 矩阵 A的范数 向量b的范数 n阶矩阵A的 逆矩阵A-1 ; 矩阵A的广义逆矩阵A+ , A-
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3. 若 AB = AC 能推出 B = C 吗?
答 不能. 因为矩阵的乘法不满足消去律.
例如
1 0 0 0 0 0 A 0 0 , B 0 1 , C 0 0 ,
则 AB = AC , 但 B C.
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4. 非零矩阵相乘时, 结果一定不是零矩 阵吗? 答 非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵. 例如
数叫做矩阵的元素, aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列
元素. 元素是实数的矩阵叫做实矩阵,元素是复数 的矩阵叫做复矩阵, (1)式也简记为 A = (aij)m×n 或 A = (aij) , m×n 矩阵 A 也记作 Am×n .
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2) 方阵
对 (1) 式,
列矩阵
行矩阵
当 m = n 时, A 称为 n 阶方阵.
当 m = 1 时, A 称为行矩阵.
当 n = 1 时, A 称为列矩阵.
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3) 同型矩阵和相等矩阵
两个矩阵的行数相等、列数也相等时, 就称 它们是同型矩阵.如果 A = (aij) 与 B = (bij) 是同型 矩阵, 并且它们的对应元素相等,即 aij = bij (i=1,…,m;j=1,…n), 那么就称 A 与 B 相等, 记作 A=B.
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复数基本知识
• • • • • 称下列形式的数为复数 z=a +bi 其中a , b 都是实数，i 2 = -1; 称a 是复数z的实部， b i 是复数z的虚部； Z的共扼复数为
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代数基本定理
• 任意n次多项式必有n个复根。即
•其中
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线性代数的有关知识
1. 矩阵的概念
1) 矩阵的定义
A Rnn ，如果 AT A ，则称 A 设
是（实）对称矩阵，如果 AT A ，则称 A 是（实）反对称矩阵。
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4) 设 A 为 n 阶方阵,若满足 A2 = A, 则称 A 为幂等矩阵. 若满足 A2 = E, 则称 A 为对合矩阵.
若满足 AAT = ATA = E, 则称 A为正交矩阵.
即 AB = BA.
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4. 逆阵的概念
1) 设 A 为 n 阶方阵,如果存在矩阵 B , 使 AB = BA = E, 则称矩阵 A 是可逆的(或非奇异的、 非退化的、满秩的），且矩阵 B 称为 A 的逆矩阵. 若有逆矩阵,则 A 的逆矩阵是唯一的,记作 A-1 .
•常见形式有：Jordan标准形、行最简标准形、 Hermite标准形；矩阵的UR（酉矩阵U与正线上三 角矩阵R）分解、QR（正交矩阵Q与三角矩阵R ） 分解、谱分解、满秩分解、奇异值分解等。
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课程教学内容
• 一 线性空间及线性映射（变换） 内积 空间 相似矩阵 • 二 范数理论 • 三 矩阵分析 • 四 矩阵分解 • 五 特征值的估计及对称矩阵的极性 • 六 广义逆矩阵 • 七 若干特殊矩阵类介绍(自学)
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4) 零矩阵 单位矩阵
元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作 O.
主对角线上的元素都是 1 , 其它元素都是 0
的 n 阶方阵, 叫做 n 阶单位方阵, 简记作 E 或 I.
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5) 主对角线以下(上)元素全为零的方阵称 为上(下)三角矩阵. 6) 除了主对角线以外, 其它元素全为零的
方阵称为对角矩阵.
定义 1 由 m×n 个数aij ( i = 1, ...,m;
j = 1, …,n)排成 m 行 n 列的数表
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a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am 2
ห้องสมุดไป่ตู้
a1n a2n a mn
(1)
叫做 m 行 n 列矩阵, 简称 m×n 矩阵. 这 m×n 个