矩阵理论与线性代数的对比
线性代数是什么
4
解的线性方程组; 3. 确定方程组 (determinate system): 有惟 一解的线性方程组; 4. 不定方程组(indeterminate system):有多 于一解的线性方程组. 值得注意的是,每一个不定线性方程组有 无穷多个解.这与次数超过 1 的方程组形成 鲜明对照. 在 m=n 时, 线性方程组(1)是确定的 ⇔ 系 数行列式非零 . 在这种情况下 , 方程组的惟一 解可按 Cramer 法则(Cramer rule,1750)求 出. 当系数行列式等于零或 m≠n 时,上述方 法失效.这时,要确定线性方程组的类型,须使 用关于矩阵的核心概念-秩(Frobenius,1877). 一个矩阵的秩表达了其所代表的线性方程组 所含独立方程的个数 ( 或使用线性代数的术 语,该矩阵的线性无关的行或列的最大个数). 矩阵的线性无关的行的最大个数称为矩阵的 行秩 ; 矩阵的线性无关的列的最大个数称为 矩阵的列秩. 关于矩阵的秩有下述结论:
10
于 n-r,其中 n 是未知量的个数,而 r 是方程组 矩阵 A 的秩.如果 r<n,那么子空间 U 是非零 的 , 且它的基亦称为线性方程组 (2) 的基本解 组或基本解系 . 由此产生一系列研究矩阵的 巧妙且高效的方法 , 其中最简洁易懂且常考 者为: (1) 设 A,B 均为 n 阶矩阵,AB=0,则 r(A)+r(B)≤n. (2) r(ATA)=r(A); (3) 设 A 是 n 阶矩阵,则 r(An+1)=r(An). 其中包含的 ” 智慧 ” 乃是线性方程组 ( 特 别是齐次方程组)矩阵与线性空间之”三位一 体 ”, 代数与几何之融会贯通 .(2) 与 (3) 的证明 的关键在于认识到线性方程组 ATAx=0 与 Ax=0 同解以及 An+1x=0 与 Anx=0 同解.对前 者而言,Ax=0 的解显然是 ATAx=0 的解;反之, 若 y 是 ATAx=0 的 解 , 则 ATAy=0, 于 是 yTATAy=0;从而(Ay)T(Ay)=0,此即向量 Ay 的 长等于 0，ok.对于后者,由于 A=0 或 A 可逆 时结论显然成立,故可设 A 的秩介于 1 与 n1 之间,于是 A,A2,…,An 这 n 个矩阵必有两个 秩 相 等 ， 设 为 As,At, 其 中 s<t. 这
线性代数知识点梳理
线性代数知识点梳理一、行列式与矩阵第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型;主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。
对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。
二、向量与线性方程组向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。
相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节;后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
解线性方程组可以看作是出发点和目标。
线性方程组(一般式)还具有两种形式：(1)矩阵形式(2)向量形式。
齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立;印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解;同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。
秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。
经过“秩→ 线性相关无关→ 线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。
非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。
三、特征值与特征向量相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。
其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容，既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。
本章知识要点如下：1.特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。
矩阵理论在高等数学中的应用与发展
矩阵理论是高等数学的一个重要分支，它的应用领域广泛，不仅在数学学科中发挥着重要的作用，还在物理学、工程学等学科中有许多实际的应用。
本文将探讨矩阵理论在高等数学中的应用与发展。
首先，矩阵在线性代数中的应用是最为广泛的。
在线性代数中，矩阵被用来表示线性方程组，通过矩阵的运算可以得到线性方程组的解。
矩阵的加法、减法和乘法等运算规则为线性方程组的求解提供了便利，使得计算更加简单高效。
此外，矩阵在线性变换中也有重要应用，通过矩阵的乘法运算，可以表示线性变换的组合和复合操作，这对于研究线性变换的性质和应用具有重要意义。
其次，矩阵理论在微积分中也有广泛运用。
微积分中的矩阵函数是一类在矩阵上定义的函数，它可以将矩阵作为输入并输出一个新的矩阵。
矩阵函数的导数和高阶导数等概念在微积分中也得到了相应的推广，矩阵导数的研究对于优化算法、控制理论等领域具有重要意义。
此外，矩阵理论还广泛应用于微分方程的研究中，矩阵微分方程是一类以矩阵形式表示的微分方程，它在描述一些物理过程、生物系统以及经济模型等方面具有重要的应用价值。
此外，矩阵理论在信号处理和图像处理等领域也发挥着重要作用。
在信号处理中，矩阵能够表示和处理多维信号，如图像和音频信号。
矩阵的特征值和特征向量等概念可以用于图像和音频信号的分析与处理，如图像的压缩、降噪和特征提取等。
在图像处理中，矩阵的运算和分解方法可以用于图像的变换与恢复等操作，从而提高图像处理的效率和质量。
在矩阵理论中，特征值和特征向量是一个重要的基础性概念。
它们不仅在线性代数和微积分中有广泛的应用，还在其他学科中发挥着重要作用。
矩阵的特征值和特征向量可以用于描述和分析系统的稳定性和动态特性。
在控制理论中，矩阵的特征值和特征向量可以用于判断一个系统的稳定性，并通过控制设计的方法来实现系统的稳定和优化控制。
在量子力学中，矩阵的特征值和特征向量与量子态和量子测量等概念相联系，为理解和描述微观粒子的行为提供了重要的工具。
“线性代数”教学改革的实践和思考
“线性代数”教学改革的实践和思考作者：王军霞郭艳凤来源：《教育教学论坛》2023年第27期［摘要］从“线性代数”课程的内容特点和教学现状以及中国地质大学的办学特色出发，在教学内容方面，除了重视基础理论以外，提出了加强代数与几何的联系、重视应用实例在引入新教学内容时的作用，以及强调矩阵初等变换和向量组理论的重要性等举措。
在教学方法和教学手段方面，从渗透数学思想方法、加强与高等数学的联系、善于类比和联系以及积极开展第二课堂等方面进行教学改革，以期增强教学效果，进而提高学生的学习兴趣，锻炼学生解决实际问题的能力，提升学生的数学素养。
［关键词］线性代数；教学内容；教学方法和教学手段［基金项目］ 2020年度中国地质大学（武汉）教改项目“线性代数金课建设”（2020G24）；2022年度高等学校大学数学教学研究中心项目“面向新时代地质创新育人的大学数学课程教学新模式的研究与实践”（CMC202202预02）［作者简介］王军霞（1977—），女，河南南阳人，理学博士，中国地质大学（武汉）数学与物理学院副教授，主要从事有限群表示论研究；郭艳凤（1976—），女，河南新乡人，理学博士，中国地质大学（武汉）数学与物理学院教授（通信作者），主要从事偏微分方程理论研究。
［中图分类号］ G642.0 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2023）27-0017-04 ［收稿日期］ 2022-08-12“线性代数”课程是理工科乃至某些文科专业的一门重要基础理论课，具有逻辑严密、高度抽象、符号独特、应用广泛等特点，其理论知识也是做离散化处理的重要基础。
因此，线性代数理论是学生将来从事各项科学研究所必须具备的数学基础，其中蕴含的数学思想和理论方法也是理工科学生学习后续课程的基础。
一、“线性代数”的内容特点与教学现状“线性代数”课程的主要内容包括行列式、矩阵、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵与二次型等基本理论知识，其教学内容承前启后，语言论述严谨科学，逻辑推理环环相扣，因此，一些学生学习时感到概念抽象、内容繁杂，学习上存在较大困难。
矩阵论-线性代数引论
无限维空间很多，如
n
K={ ai i | ai Q, n N}, （为圆周率） i0
K为Q上的无限维线性空间.
设V是数域F上得线性空间， x1, , xr V ,若满足
1)x1, , xr线性无关, 2)V中任一x均可由x1, , xr线性表示. 则称x1, , xr为V的一个基底（基）.
二、维数，基底与坐标
设V为F上线性空间,xi V (i 1, , m), x V .若有ci F,
使得
x
=c 1
x1
c 2
x2
c m
xm
,
则称
x为
x1,
, xm的线性
组合,或者说x可由 x1, , xm线性表示.如果存在一组不
m
全为零的数k1, , km ,使得 ki xi ,则称向量组x1, , i 1
m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi ,则 i 1
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无
下都构成加群.
数域：若一个数集中任意两个数的和， 差，积，商（除数不为0）仍在该数集 中，则称该数集为数域.
如：有理数域，实数域，复数域等
线性空间：设(V, +)是一个加群，F 是一个数域，若 有 F 对 V 的数乘规则，使得 F,u V , 有V中唯
一元与之对应，记为 u ，且此规则满足：
3)存在零元 V 使得 u V , u u; 4)u V , 存在V中唯一负元-u,使得u+(-u)= .
矩阵理论与线性空间的关系
矩阵理论与线性空间的关系矩阵理论和线性空间是线性代数中两个重要的概念。
矩阵理论是研究矩阵的性质和运算规律的数学分支，而线性空间则是研究向量空间的性质和结构的数学概念。
尽管它们是不同的概念，但是它们之间存在着密切的联系和相互依存的关系。
首先，矩阵可以看作是线性空间中的一个重要工具。
线性空间是指具有加法运算和数乘运算的集合，并满足一定的运算规则。
矩阵可以表示线性空间中的向量，它们可以进行加法和数乘运算。
通过矩阵的运算，我们可以更方便地进行线性空间的计算和推导。
例如，通过矩阵的加法和数乘运算，我们可以求解线性方程组，计算线性变换的复合等。
其次，线性空间的概念也为矩阵理论提供了基础。
线性空间中的向量可以表示为矩阵的形式，而线性空间的运算规则也可以通过矩阵的运算来描述。
例如，线性空间中的向量可以表示为一个列向量或行向量，而向量的加法和数乘运算可以通过矩阵的加法和数乘运算来实现。
线性空间的基和维度也可以通过矩阵的秩和特征值来描述。
此外，矩阵理论和线性空间的关系还体现在矩阵的特殊性质和线性空间的结构之间的联系上。
例如，矩阵的秩可以表示线性空间的维度，矩阵的特征值可以表示线性空间的基等。
矩阵的特征向量和特征值可以用来描述线性变换的特征和性质，而线性变换又是线性空间的重要内容之一。
通过矩阵理论，我们可以更好地理解线性空间的结构和性质。
最后，矩阵理论和线性空间的关系还体现在它们在实际问题中的应用上。
矩阵理论和线性空间的概念和方法广泛应用于数学、物理、工程等领域。
例如，在图像处理中，矩阵可以用来表示图像，而线性空间的概念和方法可以用来处理图像的特征提取、图像压缩等问题。
在机器学习和数据分析中，矩阵和线性空间的理论也被广泛应用于数据降维、聚类分析等问题。
综上所述，矩阵理论和线性空间是线性代数中两个重要的概念。
它们之间存在着密切的联系和相互依存的关系。
矩阵可以看作是线性空间中的一个重要工具，而线性空间的概念和方法也为矩阵理论提供了基础。
研究生矩阵论第讲 线性空间
矩阵论1、意义随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其应用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容《矩阵论》与工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二与第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数与条件数、广义逆与分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵与特殊运算等,内容十分丰富．3、方法在研究的方法上，矩阵论与线性代数也有很大的不同：线性代数：引入概念直观，着重计算．矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用．第1讲线性空间内容： 1.线性空间的概念；2.基变换与坐标变换；3.子空间与维数定理；4.线性空间的同构线性空间与线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．§1 线性空间的概念1. 群，环，域代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．代数运算：假定对于集A中的任意元素a与集B中的任意元素b，按某一法则与集C中唯一确定的元素c对应，则称这个对应为A、B的一个（二元）代数运算．代数系统：指一个集A满足某些代数运算的系统．1.1群定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群．1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα；2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；3）在V 中有一个元e ，若,V ∈β有 βββ=+=+e e ；e 称为单位元；4）对于,V ∈β有 e =+=+αββα．称α为β的逆元．注：对V 任意元素βα,，都有αββα+=+，则称V 为交换群或阿贝尔群．1.2 环定义1.2 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”与“*”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素α,β，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为α,β的和与积，记为βαν+=（βαν*=）．满足下列三个条件，则称V 为一个环． 1）V 在“+”下是阿贝尔群；2) V 在“*”下是可结合的．即，)()(νβανβα**=**；3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于V 中任意元素α，β，ν，有 βνανβαν**)(*+=+，νβνανβα*+*=*+)(．注：对V 任意元素βα,，都有αββα*=*，则称V 为交换环．1.3 域定义 1.3 设V 满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称V 为域．例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最常见的数域有有理数域Q 、实数域R 、复数域C ．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．此外，还有其它很多数域.如{}.,2)2(Q b a b a Q ∈+=，不难验证，)2(Q 对实数四则运算封闭的，所以)2(Q 也是一个数域.而整数集合Z 就不是数域. 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1．2. 线性空间定义 1.4 设V 是一个非空集合，P 是一个数域．在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“•”：即，对于数域P 中任一数k 和V 中任一元α，在V 中都有惟一的一个元δ与它们对应，称δ为k 与α的数乘，记为αδ•=k ．如果加法与数乘这两种运算在V 中是封闭的，且满足如下八条规则：⑴ 交换律αββα+=+；⑵ 结合律)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；⑶ V V ∈∃∈∀0,α，有αα=+0，（0称为零元素）；⑷ V V ∈∃∈∀βα,，有 0=+βα，（β称为的α负元素，记为α-）； ⑸ P V ∈∈∀1,α，有 αα=•1；⑹ αα•=••)()(kl l k ，P l k ∈,；⑺ ααα•+•=•+l k l k )(；⑻ βαβα•+•=+•k k k )(，则称集合V 为数域P 上的线性空间.当数域P 为实数域时，V 就称为实线性空间；P 为复数域，V 就称为复线性空间．例 1.按通常向量的加法与数乘运算，由全体实n 维向量组成的集合，在实数域R 上构成一个实线性空间，记为n R ；由全体复n 维向量组成的集合，在复数域C 上构成—个复线性空间，记为n C ．例 2.按照矩阵的加法及数与矩阵的乘法，由数域P 上的元素构成的全体n m ⨯矩阵所成的集合，在数域P 上构成一个线性空间，记为n m P ⨯．而其中秩为)0(>r r 的全体矩阵所成的集合rR 则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵r R O ∉）．例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间[]b a ,上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间[]b a C ,．例4. 设+R ＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy y x =+, k x x k = 。
线性代数中的矩阵理论及其应用
线性代数中的矩阵理论及其应用线性代数是近年来非常热门的学科，它广泛应用于物理和工程等领域，包括机器学习、图像和信号处理、网络分析和优化，数学建模等等。
而矩阵理论是线性代数中的重要分支，是许多应用的基础。
本文将介绍矩阵理论的基本概念和应用，以及其中一些重要的定理和算法。
一、矩阵的基本概念在矩阵理论中，矩阵是指一个由m行n列元素组成的矩形阵列，通常用A=[aij]表示，其中i代表行号，j代表列号，aij代表矩阵A中的第i行第j列的元素。
当m=n时，矩阵A称为方阵，元素aij对应于A的第i个行向量和第j个列向量的内积。
对于矩阵A和B，它们的和C=A+B是一个矩阵，其中C的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之和。
同样地，矩阵的差和数乘分别为D=A-B和E=kA，其中D的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之差，E的每个元素都等于A的对应元素乘以k。
此外，矩阵的转置AT是一个矩阵，其中AT的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
二、矩阵的应用矩阵理论的应用非常广泛，以下介绍一些常见的应用。
1.线性方程组的求解线性方程组的求解是矩阵理论的基础应用之一。
对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个n行n列的矩阵，x和b都是n 维列向量，x的每个元素都代表方程组的一个未知数，b的每个元素都代表方程组的一个常数项。
则方程组的解为x=A-1b，其中A-1是矩阵A的逆矩阵。
若A没有逆矩阵，则方程组无解或有无穷解。
2.特征值和特征向量特征值和特征向量也是矩阵理论中的重要概念之一。
对于一个n阶方阵A，若存在一个非零向量x，以及一个标量λ，使得Ax=λx，则λ是矩阵A的一个特征值，x是对应的特征向量。
特征值和特征向量可以用来描述矩阵的几何特性和运动轨迹，以及在状态空间中的扭曲和伸缩等现象。
3.奇异值分解奇异值分解（SVD）是矩阵理论中的另一个重要概念，可以用来分析矩阵的结构和性质。
对于一个m行n列的矩阵A，它的奇异值分解为A=UΣVT，其中U是一个m行m列的正交矩阵，VT是一个n行n列的正交矩阵，Σ是一个m行n列的矩形对角矩阵。
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问题三 矩阵的分析运算
• 在线性代数中，我们学习的多是矩阵的代数运算， 能否定义矩阵的分析运算呢？如矩阵序列的极限、 矩阵级数的和、矩阵函数及其微积分等。
•分析运算的关键是确定矩阵大小的一种度量，称 为矩阵范数。
7
问题四 矩阵的简单形式
• 矩阵运算常常要求矩阵在各种意义下的简单形 式，以简化矩阵运算过程。这就要求讨论 矩 阵的标准形和矩阵分解问题。
y1 (a11b11 a12b21 a13b31 )t1 (a11b12 a12b22 a13b32 )t2 y2 (a21b11 a22b21 a23b31 )t1 (a21b12 a22b22 a23b32 )t2
x1 y1 x , T t1 , A a11 Y , X 2 a t y2 2 21 x3 a12 a22 b11 b12 a13 , B b21 b22 a23 b31 b32
(B + C)A = BA + CA.
(iv) 数乘矩阵满足:
( k + l)A = kA +lA; k(A + B) = kA + kB;
k(lA) = (kl)A; k(AB) = (kA)B = A(kB).
25
3) 方阵的幂
设 A 是 n 阶方阵, 定义
A1 = A, A2 = A· … , Ak+1 = Ak · A, A,
(AT)T = A ; (A + B)T = AT + BT ;
(A)T = AT ; (AB)T = BTAT .
27
2)、共轭பைடு நூலகம்置矩阵
当 A = (aij) 为复矩阵时, 用
复数, 记
a ij 表示 aij 的共轭
A
H
(a ij ) .
T
AH 称为 A 的共轭转置矩阵 .
28
共轭转置矩阵有以下运算规律(设 A ,B 为复矩阵, 为复数, 且运算都是可行的):
当 m = 1 时, A 称为行矩阵.
当 n = 1 时, A 称为列矩阵.
17
3) 同型矩阵和相等矩阵
两个矩阵的行数相等、列数也相等时, 就称 它们是同型矩阵.如果 A = (aij) 与 B = (bij) 是同型 矩阵, 并且它们的对应元素相等,即 aij = bij (i=1,…,m;j=1,…n), 那么就称 A 与 B 相等, 记作 A=B.
定义 1 由 m×n 个数aij ( i = 1, ...,m;
j = 1, …,n)排成 m 行 n 列的数表
15
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am 2
a1n a2n a mn
(1)
叫做 m 行 n 列矩阵, 简称 m×n 矩阵. 这 m×n 个
矩 阵 理论
1
前言
随着科学技术的迅速发展,矩阵的理论和方法业已 成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、 优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、 电子学、网络等学科，甚至在经济管理、金融、保险、 社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的 应用。当今电子计算机及计算技术的迅猛发展为矩阵理 论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵 的理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。 矩阵被认为是最有用的数学工具之一，既适用于 应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。
cij aik bkj
k 1
n
( i = 1,2, … , s ; j = 1, 2, … , m),
AB 称为 A 与 B 的积. 设 k 为实数, 定义
kA = (kaij)
则称 kA 为 A 与数 k 的乘积.
22
矩阵乘法的定义源于二个线性变换的复合运算
y1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 y2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 x1 b11t1 b12t2 x2 b21t1 b22t2 x b t b t 31 1 32 2 3
(1)
( A B) A B ;
H H H
(2) (A)
H
A ;
H
(3)
(4)
( AB) B A ;
H H H
(A ) A
H H
29
3)设 A (aij ) Cnn ，如果 AH A ，则称 A 是Hermite矩阵，如果 A 是反Hermite矩阵。
H
A ，则称 A
数叫做矩阵的元素, aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列
元素. 元素是实数的矩阵叫做实矩阵,元素是复数 的矩阵叫做复矩阵, (1)式也简记为 A = (aij)m×n 或 A = (aij) , m×n 矩阵 A 也记作 Am×n .
16
2) 方阵
对 (1) 式,
列矩阵
行矩阵
当 m = n 时, A 称为 n 阶方阵.
18
4) 零矩阵 单位矩阵
元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作 O.
主对角线上的元素都是 1 , 其它元素都是 0
的 n 阶方阵, 叫做 n 阶单位方阵, 简记作 E 或 I.
19
5) 主对角线以下(上)元素全为零的方阵称 为上(下)三角矩阵. 6) 除了主对角线以外, 其它元素全为零的
方阵称为对角矩阵.
答 AB 不一定等于 BA .若要 AB = BA , 首
先要使 AB 和 BA 都存在,此时A、Ｂ应为同阶方
阵. 其次矩阵的乘法不满足交换律. 在一般情况
下, AB BA . 但对同阶方阵 A、B , |AB| = |BA| 是一定成立的. 因为对于数的运算, 交换律 是成立的, 即 |AB| = |A||B | = |B||A| = |BA| .
A Rnn ，如果 AT A ，则称 A 设
是（实）对称矩阵，如果 AT A ，则称 A 是（实）反对称矩阵。
30
4) 设 A 为 n 阶方阵,若满足 A2 = A, 则称 A 为幂等矩阵. 若满足 A2 = E, 则称 A 为对合矩阵.
若满足 AAT = ATA = E, 则称 A为正交矩阵.
二个线性变换为 则它们的复合为
Y AX , X BT
Y ABT
23
2) 矩阵的运算性质
(i) 矩阵的加法满足
交换律: A + B = B + A,
结合律: (A + B) + C = A + (B +C).
(ii) 矩阵的乘法满足结合律:
(AB)C = A(BC).
24
(iii) 矩阵的法和加法满足分配律 A(B + C) = AB + AC;
即 AB = BA.
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4. 逆阵的概念
1) 设 A 为 n 阶方阵,如果存在矩阵 B , 使 AB = BA = E, 则称矩阵 A 是可逆的(或非奇异的、 非退化的、满秩的），且矩阵 B 称为 A 的逆矩阵. 若有逆矩阵,则 A 的逆矩阵是唯一的,记作 A-1 .
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复数基本知识
• • • • • 称下列形式的数为复数 z=a +bi 其中a , b 都是实数，i 2 = -1; 称a 是复数z的实部， b i 是复数z的虚部； Z的共扼复数为
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代数基本定理
• 任意n次多项式必有n个复根。即
•其中
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线性代数的有关知识
1. 矩阵的概念
1) 矩阵的定义
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常用记号一
• 用R 表示实数域，用C表示复数域。 • R n 表示n维实向量集合； • C n 表示n维 复向量集合； • 表示 实矩阵集合； • 表示 复矩阵集合；
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常用记号二
• • • • • • n阶单位矩阵 n阶矩阵的行列式 矩阵 A的范数 向量b的范数 n阶矩阵A的 逆矩阵A-1 ; 矩阵A的广义逆矩阵A+ , A-
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5) 行列式 |A| 的各元素的代数余子式 Aij 所 构成的方阵
A11 A21 A12 A22 * A A A 2n 1n
叫做方阵 A 的伴随矩阵.
An1 An 2 , Ann
伴随矩阵具有重要性质: AA* = A*A =|A|E.
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3. 若 AB = AC 能推出 B = C 吗?
答 不能. 因为矩阵的乘法不满足消去律.
例如
1 0 0 0 0 0 A 0 0 , B 0 1 , C 0 0 ,
则 AB = AC , 但 B C.
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4. 非零矩阵相乘时, 结果一定不是零矩 阵吗? 答 非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵. 例如
其中 k 为正整数.
4) 方阵的行列式
由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式, 叫做
方阵 A 的行列式, 记作 |A| 或 detA.
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3.
一些特殊的矩阵
1) 设 A 为 m×n 阶矩阵,把它的行换成同序
号的列得到的新矩阵,叫做 A 的转置矩阵, 记作 A
或 AT 矩阵的转置也是一种运算,若运算可行,则有
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问题一 线性方程组的求解
• 给定一个m个方程n个变量的线性方程组
记A表示系数矩阵，B表示常数向量，X表示未 知向量， 则线性方程组可表示为
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其中
解的形式：
（1）当m=n，且 A可逆时，线性方程组AX=B 的解可表示为 •当m=n，且 A不可逆时，或者当 时，线 性方程组的解又如何表示呢？
•特别地，在讨论矛盾方程AX=B时，如何定 义线性方程组的解。 广义逆矩阵问题