江苏省如皋中学2014届高三下学期3月阶段考试数学试题

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江苏省如皋中学高三10月阶段练习数学(理)试题

江苏省如皋中学2014-2015学年度第一学期阶段练习高三数学 (理科)（Ⅰ卷）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．． 1．复数z 1=3+i ，z 2=1-i ,则复数的虚部为___▲____．2．“x >1”是“1x<1”的__▲__条件．(如：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)3．已知集合A ＝{1,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，则A ∪B ＝ ___▲____．4．函数的定义域为___▲___．5．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为___▲____．6．已知,则___▲__．7．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于___▲____．8．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 ▲ ．9．已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)＝ ▲ ．10. 设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为___▲____．11．下列命题： ①在中，“”是“”的充分不必要条件； ②已知)1,2(),4,3(--==，则在上的投影为； ③已知，01,:2>+-∈∀x x R x q ，则“”为假命题； ④“若2,062>≥-+x x x 则”的否命题； ⑤已知函数2)6sin()(-π+ω=x x f 的导函数的最大值为，则函数的图象关于对称．其中真命题的序号为__▲__．12．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点 (－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是____▲____．13．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R ，若·＝－32，则λ＝ ___▲____．14．设m 为实数，函数m x m x x x f --+=)(2)(2，⎪⎩⎪⎨⎧=0)()(x x f x h .若对于一切，不等式≥1恒成立，则实数m 的取值范围是___▲____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤．15．已知命题：函数6)34()(23++++=x a ax x x f 在(－∞,+∞)上有极值；命题：关于x 的方程x 2-3ax +2a 2+1=0的两个相异实根均大于3．若是真命题，是假命题，求实数的取值范围．16．已知函数)()2cos sin 222xx x f x =-．（1）设，且，求的值；（2）若，求函数值域；（3）在△ABC 中，AB =1，，且△ABC 的面积为，求sin A +sin B 的值．17．如图，点B 在以P A 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知5,3,PA PB PC === 均为锐角．（1）求；（2）求的值．18．已知关于不等式．(1)若此不等式的解集为，求实数的值； (2)若，解这个关于的不等式．19．某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长米，为的中点，到的距离比的长小米，，若建筑支架各部分的材料每米的价格已确定，且部分的价格是部分价格的两倍.设米,米. (1)求关于的函数；(2)问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？20．已知函数2()ln (0,1)xf x a x x a a a =+->≠.（1）求证：函数在上单调递增；（2）若函数有三个零点，求的值；（3）若存在，使得，试求的取值范围.（Ⅱ卷）1．已知矩阵，，求满足的二阶矩阵．2．若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos(θ + π3),它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．3．已知等式252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++，其中a i （i =0，1，2，…，10）为实常数．求：（1）101n n a =∑的值；（2）101n n na =∑的值．4．某单位从一所学校招收某类特殊人才．对位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（1）求，的值；（2）从参加测试的位学生中任意抽取位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（3）从参加测试的位学生中任意抽取位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列及其数学期望．高三数学(理科)质量检测试题（Ⅰ卷）命题人:葛剑锋一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．． 1． 2; 2．充分不必要; 3． ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，－1，12; 4．; 5． 12; 6．;7． π4; 8． 0或－14; 9． 6; 10. 17250; 11．③④; 12． [－2，－1];13． 12; 14．15．解：（1）） 4分（2）{}()(3)0B x x a x a =-++> ①当时，3,2B x x R x ⎧⎫=∈≠-⎨⎬⎩⎭恒成立； 7分②当时，{}3--><=a x a x x B 或∴或解得或（舍去）所以 10分③当时，{}a x a x x B >--<=或3,34A B a ⊆∴-->-或（舍去）解得 13分综上，当，实数的取值范围是． 14分16．（1）2()2sin cos 222x x xf x =-==． 3分由()π2cos 16x +，得，于是，因为，所以． 5分（2），所以值域为 9分（3）因为，由（1）知．因为△ABC 的面积为，所以，于是. ① 10分在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理得2222π12cos 66a b ab a b =+-=+-，所以．② 11分由①②可得或于是由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()1sin sin 12A B a b +=+=+．-------------------14分 17．解（1）：因为点B 在以P A 为直径的圆周上，所以，所以34cos ,sin 55PB PA αα===．所以，cos cos()PB CPB PC αβ∠=-===，，所以，tan tan()tan tan[()]11tan tan()ααββααβααβ--=--==+-……6分，又，所以 -----------------------8分（2）：2()AC PC PC PA PC PC PA PC ⋅=-⋅=-⋅275()577249=-⨯⨯=- ．-----------------14分18．解（1）注：需验证符合 ………………………………………4分（2）①当时，由，得；……………………………6分②当时，不等式化为，解得或；………8分 ③当时，不等式化为；若，即，则；………………………………… 10分若，即，则不等式解集为；……………………………… 12分若，即，则．………………………………………14分综上所述：时，解集为；时，原不等式解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为．……………………………………………16分19．解：(1)由题,.连结，则在中，2221()2cos23y y x xy π-=+-，整理得：214.1x y x -=- ----------6分（注：不注明定义域扣2分）(2)设金属支架每米价格为元，金属支架每米价格为元，则总成本为()()224y a x a a y x ⋅+⋅=+214441x y x x x -+=+- ----------8分设 2.81,10.4,2t x t =-≥-= ---------10分则 ----------12分令，在上单调增,所以当时,即时,取得最小值.------14分答：当时，建造这个支架的成本最低.-------16分20．解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln xxf x a a x a x a a '=+-=+-…………………3分由于或，故当时，，所以，故函数在上单调递增 ………………………………………5分（Ⅱ）当时，因为，且在R 上单调递增，故有唯一解…………………………………………7分而，所以min 1(())(0)1t f x f -===，解得……………11分（Ⅲ）因为存在，使得，所以当时，max min max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-…12分由（Ⅱ）知，在上递减，在上递增，所以当时，{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-，而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=+--++=--，记1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为22121()1(1)0g t t t t'=+-=-≥（当时取等号），所以在上单调递增，而，所以当时，；当时，，也就是当时，；当时，………14分①当时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥， ②当时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a a e--≥-⇒+≥-⇒<≤，综上知，所求的取值范围为……………………………16分（Ⅱ卷）1．解：由题意得1312221-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A，…………………………………………………5分，1319411222312151-⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎣⎦⎣⎦X A B …………………………10分2．解：首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得x 2 + y 2 = 1与x 2 + y 2– x + 3y = 0……………………………………………………6分解方程组⎩⎨⎧x 2 + y 2= 1x 2 + y 2– x + 3y = 0得两交点坐标(1,0),(–12, – 32) 所以,线段AB 的长为(1 + 12)2 + (0 + 32)2= 3 -----------------------10分3．解：（1）在252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++中，令1x =-，得01a =；……………………………………………………………………2分令0x =，得5012910232a a a a a +++++==．所以101210131n n a a a a ==+++=∑．…………………………………………………… 5分（2）等式252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++两边对x 求导，得2489129105(22)(22)2(1)9(1)10(1)x x x a a x a x a x ++⋅+=+++++++．……… 7分在2489129105(22)(22)2(1)9(1)10(1)x x x a a x a x a x ++⋅+=+++++++中，令x =0，整理，得105129101291052160n n na a a a a ==++++=⋅=∑．…………………10分4．解：（1）设事件：从位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有人．则．解得．所以． …………… 3分（2）设事件：从人中任意抽取人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． …………… 6分（3）的可能取值为，，．位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为人．所以，，．所以的分布列为所以，．…………… 10分。

2014年江苏省南通市高考数学三模试卷

2014年江苏省南通市高考数学三模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B= ______ ．【答案】{1，2}【解析】解：∵A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}由A与B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知复数z满足z•i=1+i（i是虚数单位），则z= ______ ．【答案】1-i【解析】解：由z•i=1+i，得．故答案为：1-i．把给出的等式两边同时乘以i，然后由复数代数形式的除法运算化简求值．本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．3.袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为______ ．【答案】【解析】解：从五个球中取出2球，共有=10种不同情况，而且这些情况是等可能发生的，其中取出的球颜色相同，共有+=2种不同情况，∴取出的球颜色相同的概率为P==，故答案为：先计算从五个球中取出2球的基本事件总数，再计算所取2球球颜色相同的基本事件个数，代入古典概型公式，可得答案．此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．4.平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心O到平面α的距离为______ ．【答案】【解析】解：∵截面圆的面积为π，∴截面圆的半径是1，∵球O半径为2，∴球心到截面的距离为．故答案为：．先求截面圆的半径，然后求出球心到截面的距离．本题考查球的体积，点到平面的距离，是基础题．5.如图所示的流程图，输出y的值为3，则输入x的值为______ ．【答案】1【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求y=＞的值，当x＞0时，y=2x+1=3⇒x=1；当x≤0时，y=2x+1=3⇒x=1（舍去），故答案为：1．算法的功能是求y=＞的值，分当x＞0时和当x≤0时求得输出y=3时的x值．本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．6.一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是______ ．【答案】2【解析】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，∴2+x+4+6+10=5×5，解得x=3，∴此组数据的方差[（2-5）2+（3-5）2+（4-5）2+（6-5）2+（10-5）2]=8，∴此组数据的标准差S==2．故答案为：2 ．由已知条件先求出x 的值，再计算出此组数据的方差，由此能求出标准差．本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．7.在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的离心率为，且过点（1，），则曲线C 的标准方程为 ______ ．【答案】 y 2-x 2=1 【解析】解：∵曲线C 的离心率为， ∴a =b ，∴设曲线C 的方程为y 2-x 2=λ，代入点（1，），可得λ=1， ∴曲线C 的标准方程为y 2-x 2=1，故答案为：y 2-x 2=1．根据曲线C 的离心率为，设曲线C 的方程为y 2-x 2=λ，代入点（1，），可得λ=1，即可求出曲线C 的标准方程．本题考查双曲线的标准方程与几何性质，属于基础题．8.已知函数f （x ）对任意的x ∈R 满足f （-x ）=f （x ），且当x ≥0时，f （x ）=x 2-ax +1，若f （x ）有4个零点，则实数a 的取值范围是 ______ ．【答案】（2，+∞）【解析】解：∵f （-x ）=f （x ）， ∴函数f （x ）是偶函数， ∵f （0）=1＞0，根据偶函数的对称轴可得当x ≥0时函数f （x ）有2个零点，即＞＞，∴或，解得a ＞2，即实数a 的取值范围（2，+∞），故答案为：（2，+∞）由f （-x ）=f （x ），可知函数是偶函数，根据偶函数的对称轴可得当x ≥0时函数f （x ）有2个零点，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶的应用，以及二次函数的图象和性质，利用偶函数的对称性是解决本题的关键．9.已知正实数x ，y 满足（x -1）（y +1）=16，则x +y 的最小值为 ______ ．【答案】 8【解析】解：∵正实数x ，y 满足（x -1）（y +1）=16， ∴，∴x+y==8，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y的最小值为8．故答案为：8．变形利用基本不等式即可得出．本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．10.在直角三角形ABC中，C=90°，AC=6，BC=4．若点D满足=-2，则||= ______ ．【答案】10【解析】解：由=-2可知B为AD的中点，如图，在直角三角形ABC中，C=90°，AC=6，BC=4，∴，∴．在△CBD中，由余弦定理得：CD2=BC2+BD2-2BC•BD•cos CBD==100．∴CD=10．即||=10．故答案为：10．由题意作出图形，得到B为AD的中点，由已知条件求得 CBD的余弦值，在△CBD中利用余弦定理得答案．本题考查了平行向量与共线向量，考查了余弦定理的应用，是基础的计算题．11.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（2）=______ ．【答案】-【解析】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象可得•T=•=3-1，ω=．再根据五点法作图可得×1+φ=，∴φ=-，∴f（x）=sin（x-），∴f（2）=sin（-）=sin=-sin=-，故答案为：-．根据周期求出ω，再根据五点法作图求得φ，可得函数的解析式，从而求得f（2）的值．本题主要考查利用y=A sin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．12.在平面直角坐标系x O y中，圆C的方程为x2+y2-4x=0．若直线y=k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是______ ．【答案】[-2，2]【解析】解：∵C的方程为x2+y2-4x=0，故圆心为C（2，0），半径R=2．设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC=R=2，∴圆心到直线y=k（x+1）的距离小于或等于PC=2，即≤2，解得k2≤8，可得-2≤k≤2，故答案为：[-2，2]．由题意可得圆心为C（2，0），半径R=2；设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，圆心到直线y=k（x+1）的距离小于或等于PC=2，即≤2，由此求得k的范围．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．13.设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且b i=a i2（i=1，2，3），则数列{b n}的公比为______ ．【答案】3+2【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1＜a2可得d＞0，∴b1=a12，b2=a22=（a1+d）2，b3=a32=（a1+2d）2，∵数列{b n}为等比数列，∴b22=b1•b3，即（a1+d）4=a12•（a1+2d）2，∴（a1+d）2=a1•（a1+2d）①或（a1+d）2=-a1•（a1+2d），②由①可得d=0与d＞0矛盾，应舍去；由②可得a1=d，或a1=d，当a1=d时，可得b1=a12=b2=a22=（a1+d）2=，此时显然与b1＜b2矛盾，舍去；当a1=d时，可得b1=a12=，b2=（a1+d）2=，∴数列{b n}的公比q==3+2，综上可得数列{b n}的公比q=3+2，故答案为：3+2设等差数列{a n}的公差为d，可得d＞0，由数列{b n}为等比数列，可得b22=b1•b3，代入化简可得a1和d的关系，分类讨论可得b1和b2，可得其公比．本题考查等差数列与等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，属中档题．14.在△ABC中，BC=，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当 C变化时，线段CD长的最大值为______ ．【答案】3【解析】解：如右图：∵AB=BD，∴在△ABC中，由正弦定理得，∴BD sin ABC=sin ACB，在△BCD中，CD2=BD2+BC2-2BD•BC cos（90°+ABC）=AB2+2+2BD sin ABC=AC2+BC2-2AC•BC cos ACB+2+2sin ACB=5-2cos ACB+2sin ACB=5+4sin（ ACB-45°），∴当 ACB=135°时CD2最大为9，CD最大值为3，故答案为：3．在△ABC中，由正弦定理得BD sin ABC=sin ACB，在△BCD，△ABC中由余弦定理可得CD2=BD2+BC2-2BD•BC cos（90°+ABC）=AC2+BC2-2AC•BC cos ACB+2+2sin ACB，可化为5+4sin（ ACB-45°），由此可求答案．该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查三角函数的恒等变换，属中档题．二、解答题(本大题共12小题，共162.0分)15.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥EF；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．【答案】证明：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，因为AB⊄平面CDEF，CD⊂平面CDEF，所以AB∥平面CDEF．…4分因为AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF=EF，所以AB∥EF．…7分（2）因为DE⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以DE⊥BC．…9分因为BC⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE⊂平面CDEF，所以BC⊥平面CDEF．…12分因为BC⊂平面BCF，所以平面BCF⊥平面CDEF．…14分．【解析】（1）由四边形ABCD是矩形，得到AB∥平面CDEF，由此能证明AB∥EF．（2）由已知条件推导出DE⊥BC，从而得到BC⊥平面CDEF，由此能证明平面BCF⊥平面CDEF．本题考查直线平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b=4，•=8．（1）求a2+c2的值；（2）求函数f（B）=sin B cos B+cos2B的值域．【答案】解：（1）∵•=8，∴accos B=8，由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-16，∵b=4，∴a2+c2=32；（2）∵a2+c2≥2ac，∴ac≤16，∵accos B=8，∴cos B=≥，∵B∈（0，π），∴0＜B≤，∵f（B）=sin B cos B+cos2B=sin2B+（1+cos2B）=sin（2B+）+，∵＜2B+≤，∴sin（2B+）∈[，1]，则f（B）的值域为[1，]．【解析】（1）利用平面向量的数量积运算法则化简•=8，再利用余弦定理列出关系式，将化简结果及b的值代入计算即可求出a2+c2的值；（2）由基本不等式求出ac的范围，根据accos B=8表示出cos B，由ac的范围求出cos B的范围，进而利用余弦函数性质求出B的范围，f（B）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（B）的范围．此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17.某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设 BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．【答案】解：（1）由题意，AC=100cosθ，直径AB为100米，∴半径为50米，圆心角为2θ，∴=100θ，∴绿化带总长度S（θ）=200cosθ+100θ（θ∈（0，）；（2）∵S（θ）=200cosθ+100θ，∴S′（θ）=-200sinθ+100，令S′（θ）=0，可得θ=．函数在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，∴θ=时，绿化带总长度最大．【解析】（1）利用三角函数结合弧长公式，可将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；（2）求导数，确定函数的单调性，即可确定θ的值，使得绿化带总长度最大．利用导数可以解决实际问题中的最值问题，关键是确定函数解析式，正确运用导数工具，确定函数的单调性．18.如图，在平面直角坐标系x O y中，椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，AB+CD=7．（1）求椭圆的方程；（2）求AB+CD的取值范围．【答案】解：（1）由题意知，，CD=7-2a，所以a2=4c2，b2=3c2，…2分因为点，在椭圆上，即，解得c=1．所以椭圆的方程为．…6分（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知AB+CD=7；…7分②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y=k（x-1），则直线CD的方程为．将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，所以，，所以．…10分同理，．所以，…12分令t=k2+1，则t＞1，3+4k2=4t-1，3k2+4=3t+1，设，因为t＞1，所以，，所以，，所以，．综合①与②可知，AB+CD的取值范围是，．…16分．【解析】（1）由题意知，，CD=7-2a，再由点，在椭圆上，能求出椭圆的方程．（2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在时，AB+CD=7；当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为y=k（x-1），直线CD的方程为．由此能求出，从而能求出AB+CD的取值范围．本题考查椭圆的方程的求法，考查两条线段和的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．19.已知函数f（x）=（x-a）2e x在x=2时取得极小值．（1）求实数a的值；（2）是否存在区间[m，n]，使得f（x）在该区间上的值域为[e4m，e4n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）f'（x）=e x（x-a）（x-a+2），由题意知f'（2）=0，解得a=2或a=4．当a=2时，f'（x）=e x x（x-2），易知f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，符合题意；当a=4时，f'（x）=e x（x-2）（x-4），易知f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，4），（4，+∞）上为减函数，不符合题意．所以，满足条件的a=2．（2）因为f（x）≥0，所以m≥0．①若m=0，则n≥2，因为f（0）=4＜e4n，所以（n-2）2e n=e4n．设，则′，所以g（x）在[2，+∞）上为增函数．由于g（4）=e4，即方程（n-2）2e n=e4n有唯一解为n=4．②若m＞0，则2∉[m，n]，即n＞m＞2或0＜m＜n＜2．（Ⅰ）n＞m＞2时，，由①可知不存在满足条件的m，n．（Ⅱ）0＜m＜n＜2时，，两式相除得m（m-2）2e m=n（n-2）2e n．设h（x）=x（x-2）2e x（0＜x＜2），则h'（x）=（x3-x2-4x+4）e x=（x+2）（x-1）（x-2）e x，h（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，由h（m）=h（n）得0＜m＜1，1＜n＜2，此时（m-2）2e m＜4e＜e4n，矛盾．综上所述，满足条件的m，n值只有一组，且m=0，n=4．【解析】（1）通过求导直接得出，（2）构造出新函数通过求导得出方程组，解得即可．本题考察了求导函数，函数的单调性，解题中用到了分类讨论思想，是一道较难的问题．20.各项均为正数的数列{a n}中，设S n=a1+a2+…+a n，T n=++…+，且（2-S n）（1+T n）=2，n∈N*．（1）设b n=2-S n，证明数列{b n}是等比数列；（2）设c n=na n，求集合{（m，k，r）|c m+c r=2c k，m＜k＜r，m，k，r∈N*}．【答案】解：（1）当n=1时，（2-S1）（1+T1）=2，即，解得a1=1．…2分由（2-S n）（1+T n）=2，所以①当n≥2时，②①-②，得（n≥2），…4分即，即，所以，因为数列{a n}的各项均为正数，所以数列{2-S n}单调递减，所以＜．所以（n≥2）．因为a1=1，所以b1=1≠0，所以数列{b n}是等比数列． (6)分（2）由（1）知，所以，即．由c m+c r=2c k，得（*）又n≥2时，＜，所以数列{c n}从第2项开始依次递减．…8分（Ⅰ）当m≥2时，若k-m≥2，则，（*）式不成立，所以k-m=1，即k=m+1．…10分令r=m+1+i（i∈N*），则，所以r=2i+1，即存在满足题设的数组{（2i+1-i-1，2i+1-i，2i+1）}（i∈N*）．…13分（Ⅱ）当m=1时，若k=2，则r不存在；若k=3，则r=4；若k≥4时，，（*）式不成立．综上所述，所求集合为{（1，3，4），（2i+1-i-1，2i+1-i，2i+1）}（i∈N*）．…16分．【解析】（1）根据等比数列的定义即可证明数列{b n}是等比数列；（2）根据数列的递推关系即可得到结论．本题主要考查递推数列的应用，以及等比数列的定义，考查学生的计算能力，难度较大．21.如图，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F．求证：△DEF∽△EAF．【答案】证明：∵EF∥CB，∴ BCD=FED，又 BAD与 BCD是所对应的圆周角，∴ BAD=BCD∴ BAD=FED，又 EFD=EFD，∴△DEF∽△EAF．【解析】利用平行线的性质、相似三角形的判定定理即可得出．本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定定理，属于基础题．22.若矩阵M=把直线l：x+y-2=0变换为另一条直线l′：x+y-4=0，试求实数a 值．【答案】解：设直线l上任意一点P（x，y）在矩阵M作用下的点P'的坐标为（x'，y'），则′=，所以′′…4分将点P'（x'，y'）代入直线l'：x+y-4=0，得（a-1）x+2y-4=0．即直线l的方程为．所以a=3．…10分．【解析】设直线l上任意一点P（x，y）在矩阵M作用下的点P'的坐标为（x'，y'），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，代入直线l′的方程，即可求得实数a的值；本题以矩阵为依托，考查矩阵的乘法，关键是正确利用矩阵的乘法公式．23.在平面直角坐标系x O y中，直线l经过点P（0，1），曲线C的方程为x2+y2-2x=0，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求PA•PB的值．【答案】解：根据题意设直线l的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），设A，B两点对应的参数值分别为t1，t2，将代入x2+y2-2x=0，整理可得t2+2t（sinα-cosα）+1=0，则PA•PB=|t1t2|=1．【解析】设出直线l的参数方程，A，B两点对应的参数值分别为t1，t2，将表示出x与y代入圆C方程，得到关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系即可求出所求式子的值．此题考查了直线与圆相交的性质，直线的参数方程，以及韦达定理，解题的关键是设出直线的参数方程．24.已知x＞0，y＞0，a∈R，b∈R．求证（）2≤．【答案】证明：∵x＞0，y＞0，∴x+y＞0，∴要证，即证（ax+by）2≤（x+y）（a2x+b2y）．即证xy（a2-2ab+b2）≥0，即证（a-b）2≥0，而（a-b）2≥0显然成立，故．【解析】利用“分析法”和不等式的性质即可证明．本题考查了“分析法”和不等式的性质证明不等式，属于基础题．25.在平面直角坐标系x O y中，已知定点F（1，0），点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N为平面内的动点，且满足•=0，+=0．（1）求动点N的轨迹C的方程；（2）设点Q是直线l：x=-1上任意一点，过点Q作轨迹C的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k1，k2，直线QF的斜率为k0，求证：k1+k2=2k0．【答案】（1）解：设点N（x，y），M（a，0），P（0，b）．∵可知，∴点P是MN的中点，∴，即，∴点M（-x，0），，．∴，，，．…3分∵，∴，即y2=4x．∴动点N的轨迹C的方程为y2=4x．…5分（2）证明：设点Q（-1，t），由于过点Q的直线y-t=k（x+1）与轨迹C：y2=4x相切，联立方程，整理得k2x2+2（k2+kt-2）x+（k+t）2=0．…7分则△=4（k2+kt-2）2-4k2（k+t）2=0，化简得k2+tk-1=0．由题意知k1，k2是关于k的方程k2+tk-1=0的两个根，∴k1+k2=-t．又，∴k1+k2=2k0．∴k1+k2=2k0．…10分．【解析】（1）设点N（x，y），M（a，0），P（0，b），由已知条件推导出点M（-x，0），，，由此能求出动点N的轨迹C的方程．（2）设点Q（-1，t），联立方程，得k2x2+2（k2+kt-2）x+（k+t）2=0，由此利用根的判别式和韦达定理能证明k1+k2=2k0．本题考查点的轨迹方程的求法，考查斜率和相等的证明，解题时要认真审题，注意根的判别式和韦达定理的合理运用．26.各项均为正数的数列{x n}对一切n∈N*均满足x n+＜2．证明：（1）x n＜x n+1；（2）1-＜x n＜1．【答案】解：（1）因为x n＞0，＜，所以＜＜，所以＞，且2-x n＞0．因为．所以，所以＜，即x n＜x n+1．…4分（注：用反证法证明参照给分）（2）下面用数学归纳法证明：＞．①当n=1时，由题设x1＞0可知结论成立；②假设n=k时，＞，当n=k+1时，由（1）得，＞＞．由①，②可得，＞．…7分下面先证明x n≤1．假设存在自然数k，使得x k＞1，则一定存在自然数m，使得＞．因为＜，＞＞，＞＞，…，＞，与题设＜矛盾，所以，x n≤1．若x k=1，则x k+1＞x k=1，根据上述证明可知存在矛盾．所以x n＜1成立．…10分．【解析】（1）通过不等式的基本性质，化简证明即可．（2）利用数学归纳法的证明步骤，结合放缩法证明即可．本题考查数列与不等式的证明方法，数学归纳法的应用，也可以利用反证法证明．。

江苏省如皋中学2014-2015学年度第一学期阶段练习(数学理科)

江苏省如皋中学2014-2015学年度第一学期阶段练习高三数学时间:120分钟总分160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知集合A＝{1,2}，B＝{－1,0,1}，则A∪B＝ ▲ .2．如果复数2()3bib R i-∈+的实部与虚部互为相反数,则b = ▲ .3．已知直线22+=+a ay x 与1+=+a y ax 平行，则实数a 的值为 ▲ ．4．函数2sin y x x =-在（0，2π）内的单调增区间为 ▲ ．5．已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433，则它的体积为 ▲ ．6．圆心在抛物线y x 22=上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．7．已知一个等比数列前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为 ▲ ．8．设双曲线12222=-by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上一点，且214PF PF =，则此双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．9．已知p：1＜x2＜8；q：不等式42≥+-mx x 恒成立，若p是q的必要条件，求实数m 的取值范围 ▲ .10．已知偶函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，且当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，其图象与直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为1234,,,,P P P P ⋅⋅⋅，则1324P P P P ⋅ 等于 ▲ ．11． △ABC中，AB边上的中线CD等于2，动点P满足AP →＝12t ·AB →＋(1－t)·AC→（0≤t ≤1），则(PA →＋PB →)·PC →的取值范围为 ▲ ．12．从直线0843=++y x 上一点P向圆C：012222=+--+y x y x 引切线PA、PB，A、B为切点，则四边形PACB的周长最小值为 ▲ ．13．已知函数),,()(23R c b a c bx ax x x f ∈+++=，若函数)(x f 在区间[－1,0]上是单调减函数，则22b a +的最小值为 ▲ ．14．已知实数,x y 满足:3210(12,0)x xy x x +-=-≤≤≠，这个方程确定的函数为()y f x =，若函数k x f x z -+=)(23有且只有一个零点,则实数k 的取值范围是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC的面积为S，且AB →·AC →＝S． (1) 求tan2A 的值；(2) 若B＝π4，|CB →－CA →|＝3，求△ABC的面积S．16．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，已知12AA AC AB ==，︒=∠=∠6011CAA BAA ，点D ，E 分别为AB ，C A 1的中点．求证： (1) DE ∥平面C C BB 11； (2) 1BB ⊥平面BC A 1．17．如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠PAB＝θ，tan θ＝t. (1) 用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长是否为定值；(2) 问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少(平方百米)?18．已知椭圆O的中心在原点，长轴在x 轴上，右顶点A(2，0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为32．不过A点的动直线m x y +=21交椭圆O于P、Q两点．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 证明P、Q两点的横坐标的平方和为定值； (3)过点A、P、Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标．19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121==a a ，n n n a n nS b )2(++=，数列{}n b 是公差为d 的等差数列，n∈N *. (1) 求d 的值；(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3)请判断)2)(1(2)()(122121++⋅⋅⋅+n n S S S a a a n n n 和的大小关系,并证明你的结论．20．已知函数x x f ln )(=，bx x x g -=221)( (b 为常数)． (1)函数)(x f 的图象在点(1，)1(f )处的切线与函数)(x g 的图象相切，求实数b 的值；(2)设)()()(x g x f x h +=，若函数)(x h 在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围；(3) 若1>b ，对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数21,x x ，都有)()()()(2121x g x g x f x f ->-成立，求实数b 的取值范围．附加题（时间30分钟，总分40分）1．设A T 是逆时针旋转6π的旋转变换，B T 是以直线l ：y x =为轴的反射变换，求先进行A T 变换，后进行B T 变换的复合变换矩阵.2．在极坐标系中，已知圆C 经过点24P π（，），圆心为直线3sin()32πρθ-=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．3．一个袋中装有大小和质地都相同的10个球，其中黑球4个，白球5个，红球1个． (1)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布和数学期望E(X)； (2)每次从袋中随机地摸出一球，记下颜色后放回．求3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率．4．已知定点)81,0(F 和直线81:-=y l ,过定点F 与直线l 相切的动圆的圆心为点C .动点C 的轨迹记为曲线E . (1)求曲线E 的标准方程;(2)点P 是曲线E 上的一个动点, 曲线E 在点P 处的切线为1l ,过点P 且与直线1l 垂直的直线2l 与曲线E 的另一个交点为Q ,求线段PQ 的取值范围.高三阶段考试(数学试题)一卷1． {－1,0,1,2}; 2． 1; 3． 1; 4． 5(,)33ππ; 5． 233; 6． (x ±1)2＋(y-12)2=17． 10; 8． ⎥⎦⎤⎝⎛351，; 9． m ≤4; 10． 4; 11． [－2,0]; 12． 42＋2 13． 95; 14． ⎪⎭⎫⎝⎛∞+，—415 15．解：(1) 设△ABC 的角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c.∵ AB →·AC →＝S ，∴ bccosA ＝12bcsinA ，∴ cosA ＝12sinA ，∴ tanA ＝2.∴ tan2A ＝2tanA 1－tan 2A＝－43.(5分) (2) |CB →－CA →|＝3，即|AB →|＝c ＝3，∵ tanA ＝2，0＜A ＜π2，(7分) ∴ sinA ＝255，cosA ＝55.(9分)∴ sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝255·22＋55·22＝31010.(11分)由正弦定理知：c sinC ＝b sinB b ＝c sinC ·sinB ＝5，S ＝12bcsinA ＝125×3×255＝3.(14分)16．证明：(1) 取AC 中点M ，连DM ，EM ，∵D 为AB 的中点，∴ DM ∥BC ，∵ DM 平面BB 1C 1C ，BC 平面BB 1C 1C ， ∴ DM ∥平面BB 1C 1C.同理可证EM ∥平面BB 1C 1C.又DM ∩EM ＝M ，∴ 平面DEM ∥平面BB 1C 1C. ∵ DE 平面DEM ，∴ DE ∥平面BB 1C 1C.(7分) (2) 在△AA1B 中，因为AB ＝2AA 1，∠BAA 1＝60°，设AA 1＝1，则AB ＝2，由余弦定理得A 1B ＝ 3.故AA 21＋A 1B 2＝AB 2，∴ AA 1⊥A 1B, 所以BB 1 ⊥A 1B (10分)同理可得BB 1⊥A 1C. 又A 1B ∩A 1C ＝A 1，∴BB 1⊥平面A 1BC. (14分) 17．解：(1) BP ＝t ，CP ＝1－t,0≤t ≤1.∠DAQ ＝45°－θ，DQ ＝tan(45°－θ)＝1－t 1＋t ，CQ ＝1－1－t 1＋t ＝2t1＋t .(3分)∴ PQ ＝CP 2＋CQ 2＝(1－t )2＋⎝⎛⎭⎫2t 1＋t 2＝1＋t21＋t .(6分)∴ l ＝CP ＋CQ ＋PQ ＝1－t ＋2t 1＋t ＋1＋t 21＋t＝1－t ＋1＋t ＝2.(9分)(2) S ＝S 正方形ABCD －S △ABP －S △ADQ ＝1－12(1－t)－122t 1＋t ＝12(1＋t)＋11＋t －1(12分)∵ 1＋t ＞0，∴ S ≥212(1＋t )11＋t－1＝2－1.当t ＝2－1时取等号．探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至少为(2－1)平方百米．(14分)18． (1) 解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得a ＝2，e ＝32.(2分)∴ c ＝3，b ＝1，(2分)∴ 椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(4分)(2) 证明：设点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将y ＝12x ＋m 带入椭圆，化简得x 2＋2mx ＋2(m 2－1)＝0，①∴ x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2(m 2－1)，(6分)∴ x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4，∴ P 、Q 两点的横坐标的平方和为定值4.(7分)(3) 解：解法1：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2PQ 中点M ⎝⎛⎭⎫－m ，m 2，PQ 的垂直平分线的方程为y ＝－2x －32m ，(8分) 圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2满足y ＝－2x －32m ，所以－E 2＝D －32m ，②(9分) 圆过定点(2，0)，所以4＋2D ＋F ＝0，③(10分)圆过P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＋Dx 1＋Ey 1＋F ＝0，x 22＋y 22＋Dx 2＋Ey 2＋F ＝0，两式相加得x 21＋x 22＋y 21＋y 22＋Dx 1＋Dx 2＋Ey 1＋Ey 2＋2F ＝0，x 21＋x 22＋⎝⎛⎭⎫1－x 214＋⎝⎛⎭⎫1－x 224＋D(x 1＋x 2)＋E(y 1＋y 2)＋2F ＝0，(11分)∵ y 1＋y 2＝m ，∴ 5－2mD ＋mE ＋2F ＝0. ④(12分)∵ 动直线y ＝12x ＋m 与椭圆C 交于P 、Q(均不与A 点重合)，∴ m ≠－1.由②③④解得D ＝3（m －1）4，E ＝32m ＋32，F ＝－32m －52，(13分)代入圆的方程为x 2＋y 2＋3（m －1）4x ＋⎝⎛⎭⎫32m ＋32y －32m －52＝0，整理得⎝⎛⎭⎫x 2＋y 2－34x ＋32y －52＋m ⎝⎛⎭⎫34x ＋32y －32＝0，(14分) ∴ ⎩⎨⎧x 2＋y 2－34x ＋32y －52＝0，34x ＋32y －32＝0，(15分)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.(舍)∴ 圆过定点(0，1)．(16分)解法2：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将y ＝12x ＋m 代入的圆的方程：54x 2＋⎝⎛⎭⎫m ＋D ＋E 2x ＋m 2＋mE ＋F ＝0. ⑤(8分) 方程①与方程⑤为同解方程.154＝2mm ＋D ＋E 2＝2（m 2－1）m 2＋mE ＋F，(11分)圆过定点(2，0)，∴ 4＋2D ＋F ＝0.(12分)∵ 动直线y ＝12x ＋m 与椭圆C 交于P 、Q(均不与A 点重合)，∴ m ≠－1.解得D ＝3（m －1）4，E ＝32m ＋32，F ＝－32m －52.(13分)(以下相同)19． (1) 解：∵ a 1＝a 2＝1，∴ b 1＝S 1＋3a 1＝4，b 2＝2S 2＋4a 2＝8，∴ d ＝b 2－b 1＝4.(3分)(2) 解：∵ 数列{b n }是等差数列，∴ b n ＝4n ，∴ nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ，即S n ＋n ＋2n a n ＝4. ① 当n ≥2时，S n －1＋n ＋1n －1a n －1＝4. ②①－②，得(S n －S n －1)＋n ＋2n a n －n ＋1n －1a n －1＝0.∴ a n ＋n ＋2n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即a na n －1＝12·n n －1.(7分) 则a 2a 1＝12·21，a 3a 2＝12·32，…，a n a n －1＝12·n n －1. 将各式相乘得a n a 1＝12n －1·n.∵ a 1＝1，∴ a n ＝n2n －1.(9分)(3)判断:小于.(10分)证明：∵ S n ＋n ＋2n a n＝4，a n ＞0，S n ＞0，∴S n ·n ＋2n a n ≤S n ＋n ＋2n an 2＝2.则0＜a n S n ≤4·nn ＋2.(13分)∴ (a 1a 2…a n )·(S 1S 2…S n )≤4n ·1×2(n ＋1)(n ＋2). ③(15分)∵ n ＝1时，S n ≠n ＋2n a n， ∴ ③式等号不成立．则(a 1a 2…a n )·(S 1S 2…S n )＜22n ＋1(n ＋1)(n ＋2).(16分)20． (1) 因为f(x)＝lnx ，所以f ′(x)＝1x，因此f ′(1)＝1，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝x －1，(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝12x 2－bx ，得x 2－2(b ＋1)x ＋2＝0.由Δ＝4(b ＋1)2－8＝0，得b ＝－1±2.(4分) (2) 因为h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx(x ＞0)，所以h ′(x)＝1x ＋x －b ＝x 2－bx ＋1x ，由题意知h ′(x)＜0在(0，＋∞)上有解，因为x ＞0，设u(x)＝x 2－bx ＋1，因为u(0)＝1＞0，则只要⎩⎪⎨⎪⎧b 2＞0，(－b )2－4＞0，解得b ＞2，所以b 的取值范围是(2，＋∞)．(8分) (3)不妨设x 1＞x 2，因为函数f(x)＝lnx 在区间[1,2]上是增函数，所以f(x 1)＞f(x 2)，函数g(x)图象的对称轴为x ＝b ，且b ＞1.(ⅰ) 当b ≥2时，函数g(x)在区间[1,2]上是减函数，所以g(x 1)＜g(x 2)，所以|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|等价于f(x 1)－f(x 2)＞g(x 2)－g(x 1)，即f(x 1)＋g(x 1)＞f(x 2)＋g(x 2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx 在区间[1,2]上是增函数，等价于h ′(x)＝1x＋x －b ≥0在区间[1,2]上恒成立，等价于b ≤x ＋1x 在区间[1,2]上恒成立，所以b ≤2. 又b ≥2，所以b ＝2；(10分)(ⅱ) 当1＜b ＜2时，函数g(x)在区间[1，b]上是减函数，在[b,2]上为增函数．① 当1≤x 2＜x 1≤b 时，|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|等价于f(x 1)＋g(x 1)＞f(x 2)＋g(x 2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx 在区间[1，b]上是增函数，等价于h ′(x)＝1x＋x －b ≥0在区间[1，b]上恒成立，等价于b ≤x ＋1x 在区间[1，b]上恒成立，所以b ≤2.又1＜b ＜2，所以1＜b ＜2；(12分)② 当b ≤x 2＜x 1≤2时，|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|等价于f(x 1)－g(x 1)＞f(x 2)－g(x 2)，等价于H(x)＝f(x)－g(x)＝lnx －12x 2＋bx 在区间[b,2]上是增函数，等价于H ′(x)＝1x－x ＋b ≥0在区间[b,2]上恒成立，等价于b ≥x －1x 在区间[b,2]上恒成立，所以b ≥32. 故32≤b ＜2.(14分)③ 当1≤x 2＜b ＜x 1≤2时，由g(x)图象的对称性可知，只要|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|对于①②同时成立，那么对于③，则存在t 1∈[1，b]，使|f(x 1)－f(x 2)|＞|f(t 1)－f(x 2)|＞|g(t 1)－g(x 2)|＝|g(x 1)－g(x 2)|恒成立；或存在t 2∈[b,2]，使|f(x 1)－f(x 2)|＞|f(x 1)－f(t 2)|＞|g(x 1)－g(t 2)|＝|g(x 1)－g(x 2)|恒成立．因此，32≤b ＜2.综上，b 的取值范围是32≤b ≤2.(16分)附加题（时间30分钟，总分40分）1．解：A T 对应的变换矩阵为：31221322A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， …………………3分 B T 对应的变换矩阵为：0110B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ………………………6分先进行A T 变换，后进行B T 变换的复合变换矩阵是：M =13223122BA ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ……………………………10分2．解：因为圆心为直线3sin()32πρθ-=与极轴的交点，所以令0θ=，得1ρ=，即圆心是(1,0)， ………………………………2分又圆C 经过点24P π（，），所以圆的半径2122cos 14r π=+-=，……7分从而圆过原点，所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．…………………10分3．解：(1) 随机变量X 的取值为0，1，2，3，分布列是X 0 1 23 P112512512112---------(3分)X 的数学期望E(X)＝112×0＋512×1＋512×2＋112×3＝32.(5分)(2) 记3次摸球中，摸到黑球次数大于摸到白球次数为事件A ，则P(A)＝C 33⎝⎛⎭⎫4103＋C 23⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4102·510＋⎝⎛⎭⎫4102·110＋C 13⎝⎛⎭⎫4101·⎝⎛⎭⎫1102＝91250. 所以3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率为91250.(10分)4．解:(1)由抛物线定义知曲线E 的标准方程:y x 212=-------------4分 (2)设)P(a,2a 2,R a ∈,x y 4/=,所以PQ 的斜率为a41-直线2l :)(41a x aa y --=-与22x y =联立得:04822=--+a a x ax 由两根之和得:a a x Q 8182+-=,所以22)818(2a a y Q +=---------------------6分22222)2)818(2()818(a aa a a a PQ -++-+-==116162)116(222+⋅+a a a令11162≥+=a t , 则121PQ 23-=t t 令1)(23-=t t t f , 0)1()3()(2222/=--=t t t t f 得3=t 列表判断知:433≥PQ -----------------------------1011。

江苏省如皋中学高一4月阶段练习数学试题

江苏省如皋中学2014-2015学年度第二学期阶段练习高一数学一．填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为．2.若直线l 经过两点，则该直线的一般式方程为．3.若数列成等比数列，则的值为．4.两平行直线和间的距离是．5.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6 ＝12，则S 7的值是．6.已知两直线02)5(2:,0534)3(:21=+++=++++y m x l m y x m l ，当时，的值为．7.过点的所有直线中，距离原点最远的直线方程是．8.等差数列中，公差，且，数列是等比数列，且则＝．9.已知数列满足，则该数列的通项公式为．10.已知数列满足===-3711,2,5a a a a a n n n 则．11.已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是________．12.设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，其中，则的值为．13.一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得的线段的中点恰好是坐标原点，则该直线方程为．14.已知数列满足，，*1||2()n n n a a n N +-=∈，若数列单调递减，数列单调递增，则数列的通项公式为．二．解答题：15.（本题满分14分）求经过直线772400x y x y +-=-=和的交点，且与原点距离为的直线方程．16.（本题满分14分）在等比数列中，，等差数列满足3132411,,a b a b a b ===.(1) 求数列和的通项公式；(2) 记设数列的前项和，求.17.（本题满分15分）一条光线经过点,射在直线上，反射后，经过点.(1) 求点关于直线的对称点的坐标；(2) 求光线的入射线和反射线所在的直线方程．18.（本题满分15分）如图是一个面积为．．．1．的三角形,现进行如下操作.第一次操作:分别连结这个三角形三边的中点,构成4个三角形,挖去中间一个三角形(如图①中阴影部分所示),并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作:连结剩余的三个三角形三边的中点,再挖去各自中间的三角形(如图②中阴影部分所示),同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作: 连结剩余的各三角形三边的中点,再挖去各自中间的三角形,同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；……,如此下去.记第次操作后剩余图形的总面积为.(1)求、；(2)欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的,问至少经过多少次操作?(3)求第次操作后,挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和.19.（本题满分16分）已知数列是等比数列，为其前项和．（1）若，，成等差数列，证明，，也成等差数列；（2）设，，，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围．20.（本题满分16分）各项均为正数的数列中，前项和.(1)求数列的通项公式；(2)若12231111n n k a a a a a a ++++<恒成立，求k 的取值范围； (3)对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.1. 2. 3x ＋2y ＋1=0 3. 2 4. 5. 28 6. 7. 8. 169. 10. 4 11.12. 129 13. 14.15. 解法一：设所求直线方程为7724()0x y x y λ+-+-=，即(7)(7)240x y λλ++--=．…(4分)125=，解得．………(10分) ∴ 所求直线方程为0124301234=-+=-+y x y x 或．………(14分)解法二：由得交点坐标………(4分)(1)若所求直线的斜率不存在时，直线方程为，不满足题意，舍去. ……(8分)(2)若所求直线的斜率存在时，设直线方程为，即0121277=+--k y kx ，由()51277121222=+-k k得3443--=或k ∴ 所求直线方程为0124301234=-+=-+y x y x 或．………(14分)16. 解：（1）………(6分)（不设公差为，则扣1分）（2）………(14分) 17. 解：（1）设点关于直线对称点的坐标为，因此的中点在直线上，且所在直线与直线垂直，所以00003(1)12231022y x x y -⎧⨯-=-⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩，解得． …………………(6分)（2）反射光线经过两点，∴反射线所在直线的方程为．………(10分)由得反射点．入射光线经过、两点，∴入射线所在直线的方程为．…………………(15分)18．解：(Ⅰ)求, ………(4分,每个2分)(Ⅱ)因为是以为首项,以为公比的等比数列,所以= ………(6分)由,得因为102132435434,34,34,34,34>>>><,所以当n=5时, …(7分)所以至少经过5次操作,可使剩余图形的总面积不足原三角形面积的 …(8分)(Ⅲ)设第n 次操作挖去个三角形,则是以1为首项,3为公比的等比数列,即 ………………………… (10分)所以所有三角形上所贴标签上的数字的和=111233n n -⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ (12分)则3=213233n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯,两式相减,得－2=21(1333)3n nn -+++⋅⋅⋅+-⨯=,故= ………………………… (16分)19. 解：（1）设数列的公比为，因为，，成等差数列，所以， ………2分由．所以()()()qq a q q a q q a --+--=--11111127141101，因为，所以． …………………………………………4分所以，即．所以也成等差数列． ………………………………………………6分（2）设数列的公比为，因为，，由可知………7分所以，……………………①，……………………②由②①，得，所以，代入①，得．所以， …………………………………10分又因为，所以，由题意可知对任意，数列单调递减，所以，即()<+-⎪⎭⎫⎝⎛-21212n nλ，即对任意恒成立， ………………12分当是奇数时，，当，取得最大值－１，所以；当是偶数时，，当，取得最小值，所以．综上可知，，即实数的取值范围是．………16分20. 解：(1) ，2-1-11,22n n a S n +⎛⎫∴=≥ ⎪⎝⎭，两式相减得22-111,222nn n a a a n ++⎛⎫⎛⎫=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………………2分整理得()()-1-120n n n n a a a a +--=，数列的各项均为正数，，是公差为的等差数列， ……………4分. ………………5分（2）由题意得12231max111n n k a a a a a a +⎛⎫>+++ ⎪⎝⎭，()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，12231111111111123352121n n a a a a a a n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦………………10分(3)对任意，，则121112222m m n --+<<+，而，由题意可知， ………………12分于是13210112222(222)m m m m S b b b --=+++=+++-+++()2121212221222232121121233m m m m mm +++----⋅+=-=--=--，即. ………………16分。

江苏省徐州一中、如皋中学2025届高三第三次测评数学试卷含解析

江苏省徐州一中、如皋中学2025届高三第三次测评数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若直线不平行于平面，且，则（）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交 2．为得到的图象，只需要将的图象（）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位3．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（）A ．33B ．22C ．32D ．2334．已知全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =，则阴影部分表示的集合是（）A ．[1,1]-B ．(3,1]-C ．(,3)(1,)-∞--+∞D ．(3,1)--5．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（） A ．12π B ．3π C ．6π D ．9π 6．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( ) A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞7．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（）A ．2B ．5C ．23D ．838．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（）A ．4383π+B ．2383π+C ．4343π+D ．8343π+9．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos 2cos αα+=（）A 253-B 53-C 53+ D 253+10．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC 的形状为（） A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形11．已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为( )A ．B ．C ．D ．12．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( ) A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南通市2014届高三第三次调研测试数学试卷

江苏省南通市2014届高三第三次调研测试数学试卷江苏省南通市2014届高三第三次调研测试数学试卷一、填空题1.已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1,2,3,4}，则A∩B= {1,2}。

2.已知复数z满足zi=1+i，则z=1-i。

3.袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为 1/5.4.平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心O到平面α的距离为3.5.如图所示的流程图，输出y的值为3，则输入x的值为1.6.一组数据2,x,4,6,10的平均值是5，则此组数据的标准差是22.7.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的离心率为2，且过点(1,2)，则曲线C的标准方程为y^2-x^2=1.8.已知函数f(x)对任意的x∈R满足f(-x)=f(x)，且当x≥0时，f(x)=x^2-ax+1.若f(x)有4个零点，则实数a的取值范围是(2,+∞)。

9.已知正实数x,y满足(x-1)(y+1)=16，则x+y的最小值为8.10.在直角三角形ABC中，C=90°，AC=6，BC=4.若点D 满足AD=-2DB，则|CD|=10.11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象如图所示，则f(2)=-2/2.12.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x+y-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是(-2√2,2√2)。

13.设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列。

若a1<a2，b1<b2，且bi=ai^2 (i=1,2,3)，则数列{bn}的公比为3+2√2.14.在△ABC中，BC=2，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）。

当∠C变化时，线段CD长的最大值为3.15.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCDE。

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高中数学学习材料唐玲出品江苏省如皋中学2014届高三数学模拟练习四本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.选修测试历史的而考生仅需做第I 卷，共160分，考试用时120分钟.选修测物理的考生需做第I 卷和第II 卷，共200分考试用时150分钟.第I 卷（必做题共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上。

1.设集合{1,0,1}A =-，2{|0}B x x x =+≤，则A B ⋂= ▲ ．2.已知i 是虚数单位，则31ii-+的虚部为 ▲ ．3.执行右面的框图,若输出结果为21,则输入的实数x 的值是 ▲ ．4.直线:tan105l x y π++=的倾斜角α= ▲ ．5.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示, 若教练员选派两人之一参加比赛，则 ▲ 的可能性较大.6.已知)0,2(πα-∈，4cos 5α=，则=+)4tan(πα ▲ ．7.将一颗骰子投掷两次分别得到点数,a b ，则直线0ax by -=与圆()2222x y -+=相交的概率为 ▲ ．8.设向量1e 、2e 满足12||||1e e ==，非零向量12,0,0a xe ye x y =+>>，若2||x a =，则1e 、2e 的夹角θ的最小值为 ▲ ．9.在等比数列{}n a 中,1234,n a a a +=·164,n a -=且前n 项和62n S =,则项数=n ▲ ．10.在ABC ∆中，7AC =，60B =︒，BC 边上的高332h =，则BC = ▲ ．11.双曲线228xy -=的左右焦点分别是12F F ，,点n P ()()123n n x y n =，，，在其右支上,且满足2121F F F P ⊥，121F P F P n n =+,则2014x 的值是 ▲ ．12.如图所示，互不相同的点),3,2,1(,,n i C B A i i i =分别在以O 为顶点的三棱锥的三条棱上，所有平面),3,2,1(n i C B A i i i =相互平行，且所有三棱台111+++-i i i i i i C B A C B A 的体积均相等，设n n a OA =，若312=a ，22=a ，则=86a ▲ ．13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=)1(,212)10(,1)(x x x x f x ，设0≥>b a 时，有)()(b f a f =，则)(a f b ⋅的取值范围是 ▲ ．14.若函数32()f x x ax bx c =+++的三个零点可分别作为一个椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则b a的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分) 已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(,)OM a b =为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM 的伴随函数．（Ⅰ）设函数()sin()2cos 22g x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭-，试求()g x 的伴随向量OM 的模；（Ⅱ）记(1,3)ON =的伴随函数为()h x ，求使得关于x 的方程()0h x t -=在[0,]2π内恒有两个不相等实数解的实数t 的取值范围．16. (本小题满分14分)如图,菱形ABCD 的边长为4,60BAD ∠=,AC BD O =.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起,得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC 的中点,22DM =. (1)求证：//OM 平面ABD ；(2)求证：平面DOM ⊥平面ABC .A 1 Bx y F P Q O A 2 17. (本小题满分14分)已知某公司生产品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件，须另投入2.7万元，设该公司年内共生产品牌服装x 千件并全部销售完，每1千件的销售收入为()x R 万元，且()22110.8,010301081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？18. (本小题满分16分)如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2，F 为椭圆的右焦点，1A 、2A 为椭圆的左、右顶点，B 为上顶点．P 为椭圆上异于1A 、2A 的任一点，点Q 满足0=⋅FQ FP ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若BQ PB =，求F PA 1∆的面积；（Ⅲ）若P 为直线PQ 与椭圆唯一的公共点，求证：Q 点恒在一条定直线上．19. (本小题满分16分)设各项均为正实数的数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足2)1(4+=n n a S （*N n ∈）．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列}{n b 的通项公式为nn n a b a t=+，是否存在正整数t ，使1b ，2b ，m b （N m m ∈≥,3）成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为数列}{n a 中的三项1n a ，2n a ，3n a ．A C EB D O F20. (本小题满分16分)已知函数()ln f x x =，21()22g x x x =-．（Ⅰ）设)()1()(x g x f x h '-+=（其中)(x g '是()g x 的导函数），求()h x 的最大值；（Ⅱ）求证: 当0b a <<时，有()(2)2b af a b f a a-+-<；（Ⅲ）设k Z ∈,当1x >时,不等式4)(3)()1(+'+<-x g x xf x k 恒成立，求k 的最大值.第Ⅱ卷（附加题共40分）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分。

江苏省如皋中学2013-2014学年高一上学期阶段练习数学试题(无答案).pdf

一、填空题：（共14小题，每题5分）设，则=__________. 集合的子集共有________个．函数的值域是_________. 4.函数的定义域为__________. 5.已知函数的值域为_________. 6.用描述法表示平面直角坐标系中第三象限的点形成的集合____________________. 7.下列各组中两个函数表示同一函数的是 . 8.若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是_______. 9.设集合，则______________. 10.已知集合，下列对应关系中，是从到的映射的有___________(写出所有满足条件的序号) ①；②；③；④ ⑤． 11.已知函数为奇函数，则． 12.设函数，函数，则不等式的解集为___________. 13.有一批材料可以建成长为（为常数）的围墙，如果用材料在一边靠墙（墙的长度足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成3个面积相等的矩形，则围成矩形的面积的最大值为______________. 14.已知函数是定义域为的奇函数，在区间上单调递增，且.若，则的取值范围是 . 二、解答题：（共6题，请写出解题过程和必要的文字说明） 15.（14分）化简下列各式： 16.（14分）求函数在区间上的最小值17.（14分）已知集合求实数的取值范围．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知两类产品的收益分别为0.万元和0.万元（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？。

江苏省如皋中学届高三数学模拟练习四

江苏省如皋中学2014届高三数学模拟练习四本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.选修测试历史的而考生仅需做第I 卷，共160分，考试用时120分钟.选修测物理的考生需做第I 卷和第II 卷，共200分考试用时150分钟.第I 卷（必做题共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上。

如皋高三联考试卷数学答案

一、选择题1. 答案：A解析：由题意可知，函数在区间（-∞，-2）上单调递减，在区间（-2，+∞）上单调递增，所以函数的对称轴为x=-2，故选A。

2. 答案：B解析：根据复数的乘法法则，有（1+i）^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i，所以选B。

3. 答案：C解析：由等比数列的性质，有a1 a5 = a2 a4 = a3^2，代入a1 = 2，得到2a5 = 4 a4 = a3^2，所以a5 = 2a4 = 2 3^2 = 18，故选C。

4. 答案：D解析：由向量的数量积公式，有a·b = |a| |b| cosθ，其中θ为向量a和向量b的夹角。

由题意可知，|a| = 5，|b| = 3，且cosθ = -1/2，所以a·b = 5 3 (-1/2) = -15/2，故选D。

5. 答案：A解析：由不等式的性质，有-|a| ≤ -a ≤ |a|，所以-|x| ≤ -x ≤ |x|，当x < 0时，-x > 0，所以-|x| ≤ -x < 0，故选A。

二、填空题6. 答案：-1/2解析：由题意可知，|x-1| = 1/2，所以x-1 = ±1/2，解得x = 3/2 或 x = 1/2，又因为x < 0，所以x = 1/2不满足条件，故x = -1/2。

7. 答案：π解析：由圆的周长公式C = 2πr，代入C = 4π，解得r = 2，所以圆的面积S = πr^2 = π 2^2 = 4π。

8. 答案：x = 1解析：由题意可知，x^2 - 3x + 2 = 0，分解因式得(x - 1)(x - 2) = 0，解得x = 1 或 x = 2，又因为x < 1，所以x = 2不满足条件，故x = 1。

9. 答案：2/3解析：由题意可知，log2x + log2(x+1) = 2，化简得log2(x(x+1)) = 2，即x(x+1) = 2^2，解得x = 2/3 或 x = -4/3，又因为x > 0，所以x = -4/3不满足条件，故x = 2/3。

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1.设集合{1,0,1}A =-，2{|0}B x x x =+≤，则A B ⋂= ▲ ．2.已知i 是虚数单位，则31ii-+的虚部为 ▲ ．3.执行右面的框图,若输出结果为21,则输入的实数x 的值是 ▲ ．4.直线:tan105l x y π++=的倾斜角α= ▲ ．5.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示, 若教练员选派两人之一参加比赛，则 ▲ 的可能性较大.6.已知)0,2(πα-∈，4cos 5α=，则=+)4tan(πα ▲ ．7.将一颗骰子投掷两次分别得到点数,a b ，则直线0ax by -=与圆()2222x y -+=相交的概率为 ▲ ．8.设向量1e 、2e 满足12||||1e e == ，非零向量12,0,0a xe ye x y =+>> ，若2||x a = ，则1e 、2e的夹角θ的最小值为 ▲ ．9.在等比数列{}n a 中,1234,n a a a +=·164,n a -=且前n 项和62n S =,则项数=n ▲ ．10.在ABC ∆中，AC ，60B =︒，BC边上的高h =BC = ▲ ．11.双曲线228xy -=的左右焦点分别是12F F ，,点n P ()()123n n x y n = ，，，在其右支上, 且满足2121F F F P ⊥，121F P F P n n =+,则2014x 的值是 ▲ ．12.如图所示，互不相同的点),3,2,1(,,n i C B A i i i =分别在以O 为顶点的三棱锥的三条棱上，所有平面),3,2,1(n i C B A i i i =相互平行，且所有三棱台111+++-i i i i i i C B A C B A 的体积均相等，设n n a OA =，若312=a ，22=a ，则=86a ▲ ．13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=)1(,212)10(,1)(x x x x f x ，设0≥>b a 时，有)()(b f a f =，则)(a f b ⋅的取值范围是 ▲ ．14.若函数32()f x x ax bx c =+++的三个零点可分别作为一个椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则ba的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分) 已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(,)OM a b =为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM 的伴随函数．（Ⅰ）设函数()sin()2cos 22g x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭-，试求()g x 的伴随向量OM 的模；（Ⅱ）记ON = 的伴随函数为()h x ，求使得关于x 的方程()0h x t -=在[0,]2π内恒有两个不相等实数解的实数t 的取值范围．16. (本小题满分14分)如图,菱形ABCD 的边长为4,60BAD ∠=,AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起,得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC 的中点,DM =. (1)求证：//OM 平面ABD ；(2)求证：平面DOM ⊥平面ABC .17. (本小题满分14分)已知某公司生产品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件，须另投入2.7万元，设该公司年内共生产品牌服装x 千件并全部销售完，每1千件的销售收入为()x R 万元，且()22110.8,010301081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？18. (本小题满分16分)如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2，F 为椭圆的右焦点，1A 、2A 为椭圆的左、右顶点，B 为上顶点．P 为椭圆上异于1A 、2A 的任一点，点Q 满足0=⋅．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若BQ PB =，求F PA 1∆的面积；（Ⅲ）若P 为直线PQ 与椭圆唯一的公共点，求证：Q 点恒在一条定直线上．A DOF 19. (本小题满分16分)设各项均为正实数的数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足2)1(4+=n n a S （*N n ∈）．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列}{n b 的通项公式为nn n a b a t=+，是否存在正整数t ，使1b ，2b ，m b （N m m ∈≥,3）成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为数列}{n a 中的三项1n a ，2n a ，3n a ．20. (本小题满分16分)已知函数()ln f x x =，21()22g x x x =-．（Ⅰ）设)()1()(x g x f x h '-+=（其中)(x g '是()g x 的导函数），求()h x 的最大值；（Ⅱ）求证: 当0b a <<时，有()(2)2b af a b f a a-+-<；（Ⅲ）设k Z ∈,当1x >时,不等式4)(3)()1(+'+<-x g x xf x k 恒成立，求k 的最大值.第Ⅱ卷（附加题共40分）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．选修4—1 几何证明选讲在∆ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取D ，E ，F ．使得DE =BE ，FE =CE ，又点O 是△ADF 的外心．证明：D ，E ，F ，O 四点共圆．B ．选修4—2 矩阵与变换二阶矩阵ab Mcd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦有特征值5λ=，其对应的一个特征向量11e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点)2,1(-变换成点(9,0)，求矩阵M ．C ．选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，)2π，圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），判断直线l 与圆C 的位置关系．D ．选修4—5 不等式证明选讲设,,,a b c d 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，求a b c x y z++++的值．22. (本小题满分10分)如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2,6AB AC ==, 点D 在线段1BB 上，且113BD BB =，11AC AC E = ．（Ⅰ）设平面1ADC 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，若cos θ=，求1AA 的长；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设平面1ADC 平面ABC l =，求直线l 与DE 所成的角的余弦值．23．(本小题满分10分)证明：对于一切正整数n 和实数x ，均有01!(1)(1)01(1)(2)()k k n nn n n n x x x x n C C C C x x x k x n x x x n ⋅-⋅++-⋅++-=+++++++模拟练习四参考答案及评分标准1. {1,0}-；2. 2-；3. 2；4. 45π； 5. 甲；6.17； 7.512； 8. 56π；9. 5； 10. 1或2；11. 8056； 12. 8 ； 13. 3[,2)4； 14.1(2,)2--.15.（Ⅰ）∵()sin()2cos 22g x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭-2sin cos x x=+，∴(2,1)OM ==.…6分（Ⅱ）由已知可得()sin h x x x =+2sin()3x π=+，∵02x π≤≤， ∴336x ππ5π≤+≤，故[]()1,2h x ∈. ∵当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()h x 单调递增，且()2h x ⎤∈⎦；当,62x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数()h x 单调递减，且[)()1,2h x ∈.∴使得关于x 的方程()0h x t -=在[0,]2π内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围为)t ∈．…………………14分 16. (1)因为O 为AC 的中点,M 为BC 的中点,所以//OM AB .因为OM ⊄平面ABD,AB ⊂平面ABD,所以//OM 平面ABD . …………6分(2)因为在菱形ABCD 中,OD AC ⊥,所以在三棱锥B ACD -中,OD AC ⊥. 在菱形ABCD中,AB =AD =4,60BAD ∠= ,所以BD =4.因为O 为BD 的中点, 所以122OD BD ==.因为O 为AC 的中点,M 为BC 的中点,所以122OM AB ==. 因为2228OD OM DM +==,所以90DOM ∠= ,即OD OM ⊥.分因为AC ⊂平面ABC,OM ⊂平面ABC,AC OM O = ,所以OD ⊥平面ABC. 因为OD ⊂平面DOM,所以平面DOM ⊥平面ABC . ……………………14分17.（1）由题意得22110.8 2.710,010********* 2.710,103x x x x W x x x x x ⎧⎛⎫---<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪---> ⎪⎪⎝⎭⎩，即318.110,010******** 2.7,103x x x W x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩……6分（2）①当100≤<x 时，318.11030W x x =--则()()22991818.1101010x x x W x +--'=-==∵100≤<x ∴当90<<x 时，0>'W ，则W 递增；当109≤<x 时，0<'W ，则W 递减；∴当9=x 时，W 取最大值19338.65=万元． ……………………10分②当10>x 时，100098 2.73W x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭9838≤-=．当且仅当1000 2.73x x =，即100109x =>取最大值38． ………………………13分综上，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．…………………14分 18.（Ⅰ）∵椭圆22221x y a b +=的离心率为12，且经过点3(1,)2，22121914ab =∴⎨⎪+=⎪⎩，即22223401914a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a ，∴椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………4分（Ⅱ）由=知B 为PQ 的中点，故2==BF BP ，设),(11y x P ，)2,0(B，则22111432x y ⎧+=⎪，联立得0936121=-+y y ，解得6331±-=y （舍负），故3361-=y ，1113(622PAF S AF y ∆=⋅=⋅⋅-． ………………9分（Ⅲ）设),(00y x P ，则有220001(0)43x y y +=≠．当PQ 的斜率不存在时，显然不符题意；故设直线PQ 方程为00()y y k x x -=-，与椭圆22143x y +=联立，得22222000000(34)8()448120k x k y kx x k x y kx y ++-++--=，由直线PQ 与椭圆有唯一公共点，得22222200000064()16(34)(23)0k y kx k k x y kx y ∆=--++--=，化简得，2220000(4)230x k x y k y --+-=，0k =0=000200344x y x y x ==--，故有034x k y =-． ………13分故直线PQ 方程为00003()4x y y x x y -=-- ①，直线FQ 方程为01(1)x y x y -=-②， ①②联立消去y ，得220000(4)3444x x x y x -=++-，16444x x x -∴==-，即Q 点恒在直线4=x 上．……16分19.（Ⅰ）由题意，24(1)n n S a =+①，当2≥n 时，有2114(1)n n S a --=+②，②-①，得11()(2)0n n n n a a a a --+--=， }{n a 各项为正，01>+∴-n n a a ，从而21=--n n a a ，故}{n a 成公差2的等差数列．又1=n 时，211)1(4+=a a ，解得11=a ．故12-=n a n ． ………………………4分（Ⅱ）2121n n b n t -=-+，要使1b ，2b ，m b 成等差数列，须m b b b +=122，即312122121m t t m t -⨯=+++-+，整理得431m t =+-，因为m ，t 为正整数，t 只能取2，3，5．故27t m =⎧⎨=⎩，35t m =⎧⎨=⎩，54t m =⎧⎨=⎩…………9分（Ⅲ）作如下构造：2)32(1+=k a n ，)52)(32(2++=k k a n ，2)52(3+=k a n ，其中*N k ∈，它们依次为数列}{n a 中第5622++k k 项，第8822++k k 项，第131022++k k ，显然它们成等比数列，且321n n n a a a >+，所以它们能组成三角形．由*N k ∈的任意性，知这样的三角形有无穷多个． ……13分下面用反证法证明其中任意两个111C B A ∆和222C B A ∆不相似：若111C B A ∆∽222C B A ∆，且21k k ≠，则21112222(23)(25)(23)(23)(25)(23)k k k k k k +++=+++，整理得1122252325)23k k k k ++=++，所以21k k =，这与21k k ≠矛盾，因此，任意两个三角形不相似．故原命题正确． ………………………16分20.（1）/()(1)()ln(1)2h x f x g x x x =+-=+-+,1x >-所以 1()111x h x x x -'=-=++．当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<．因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减．因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =； ………………………4分（Ⅱ）当0b a <<时，102b aa--<<．由（1）知：当10x -<<时，()2h x <，即ln(1)x x +<．因此，有()(2)lnln 1222a b b a b af a b f a a a a +--⎛⎫+-==+<⎪⎝⎭． ………………………8分（Ⅲ）不等式/(1)()3()4k x xf x g x -<++化为ln 21x x xk x +<+-所以ln 21x x x k x +<+-对任意1x >恒成立．令()ln 21x x x g x x +=+-，则()()2ln 21x x g x x --'=-，令()ln 2h x x x =--()1x >，则()1110x h x x x-'=-=>，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈． ……………13分当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>，所以函数()ln 21x x xg x x +=+-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．所以()()()()()000000min001ln 122225,611x x x x g x g x x x x ++-==+=+=+∈⎡⎤⎣⎦--．所以()()0min 25,6k g x x <=+∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是5. …………………16分第Ⅱ卷附加题参考答案21B. 设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则由11311a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得33a b c d +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，即3,3a b c d +=+= 由1920a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得2920a b c d -+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦，从而29a b -+=，20c d -+=, 由3,a b +=29a b -+=，3c d +=，20c d -+=解得1,4,2,1a b c d =-===，∴1421M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ………………10分 21C. 因为直线l 上两点直角坐标为(2,0)，N ，∴直线l的方程为：30y +-=，圆心(2,，半径2r =．∴32d r ==<，故直线l 和圆C 相交． ………………10分22.依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设1AA h =，则()()()()112,0,0,0,6,0,2,0,,0,0,,0,6,,0,3,32h h B C D A h C h E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（Ⅰ）设平面1ADC 的法向量为()2,,n x y z =，则 ()()()221,,2,0,2033,,0,6,60h h n AD x y z x z n AC x y z h y hz ⎧⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩ ，取6z =-，则x y h ==，故()2,,6n h h =- ．∴121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>= ，解得h =1AA = ………………………5分（Ⅱ）在平面11BCC B 内，分别延长1CB C D 、，交于点F ，连结AF ，则直线AF 为平面1ADC 与平面ABC 的交线．∵ 1//BD CC ，1111==33BD BB CC ，∴113BF BD FC CC ==．∴ 12BF CB = ， ∴ ()()()112,0,02,6,03,3,022AF AB BF AB CB =+=+=+-=-．由（Ⅱ）知，h =故(2,3,6h DE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，∴cos ,AF DE AF DE AF DE ⋅<>==∴ 直线l 与DE所成的角的余弦值为=………………………10分23. 证明：（1）当1=n 时，左边=1111x x x -=++，右边=11x +，等式成立； ……………2分（2）假设k n =时，原等式成立，即01!(1)01(1)(2)()k k k k k x x x k C C C x x x k x x x k ⋅-⋅++-⋅=++++++ 则当1+=k n 时，左边=0111111(1)011k k k k k x x x C C C x x x k +++++⋅-⋅++-⋅++++=102111111()()(1)()(1)121k k k k k k k k k k k k x x x x C C C C C C C x x x k x k -+++-+⋅++++-++-⋅+++++ =121(1)12k k k k k x x x C C C x x x k-⋅+++-+++ 011111((1)(1))121k k k k k k k k x x x x C C C C x x x k x k -+++-⋅-+----⋅+++++ =!(1)(2)()k x x x k +++ 0111111((1)(1))1121k k k k k k k k x x x x x C C C C x x x x k x k --+++-⋅-++-+-⋅++++++ !!(1)(2)()1(2)(3)(1)k x k x x x k x x x x k =-⋅++++++++ !(1)(1)(2)()1k x x x x k x k =-+++++ (1)!(1)(2)()(1)k x x x k x k +=+++++ =右边故当1+=k n 时，等式也成立，综上所述，原等式成立。