中国矿业大学徐海学院12徐海概率试卷(A)

中国矿业大学徐海学院2011～2012学年第1学期
《概率论与数理统计》试卷（A）卷
一 填空题
1、设0.4, 0.6, |0.9PAPBPBA，则|_____.PAB 0.6

2、设事件,AB相互独立，()0.6PA，()0.2PAB，则()______.PB23
3、设袋中放有10个球，其中7个白球，3个黄球，依次不放回的取出一球，则直至第三
次取得黄球的概率为_______.（用分式表示）740

4、设X为随机变量，10.7PX，20.6PX，则12___.PX0.3
5、设随机变量X服从二项分布(2,)Bp，随机变量Y服从二项分布(3,)Bp且
5
{1}9PX
，则{1}PY . 19/27

2
{1}1(0)1(1)59PXPXp
， 123p，

3
{1}1(0)1(1)18271927PYPYp

6、设随机变量X的概率密度函数为220()00xexpxx,则2()_____.EX0.5
7、设~(2,1),~(0,2)XNYU，且YX,独立，记632YXZ，则____,EZ
____.DZ
；-5,7；
8、设(,)XY的联合分布列为
Y
X
0

1 2

1
115 b 15

1
a
15 310

若X与Y相互独立，则_____,_____.ab110,215.ab
二 计算题
1、一道单项选择题同时列出5个答案，一个考生可能真正理解而选对答案，也可能乱猜
一个.假设他知道正确答案的概率为13，乱猜选对答案的概率为15.如果已知他选对了，

求他确实知道答案的概率。
解 .设事件A表示考生选对了，事件B表示考生知道正确答案.由全概率公式，得

()()()()()1217133515PAPBPABPBPAB

再由贝叶斯公式，得 ()()()()1155377PBPABPBAPA.
2、设随机变量X的概率密度函数为01()0axbxpx其他，且1133PXPX，
求（1）,ab的值；（2）分布函数()Fx；（3）2.EX
解 （1）由()()()PXPXPX1111333可得(),PX1132从而有

()().130111131832PXaxbdxab
由密度函数的归一性可有()()1012apxdxaxbdxb，
上面两式联立，可得,.ab3724
(2) 当x0时，()Fx0， 当x1时，()Fx1， 当x01时，
()()()2037372444xxFxptdttdtxx
（3）()()()12220373752481224EXxpxdxxxdx
3.（8分）设X服从(0,1)内的均匀分布，求2lnYX的概率密度函数()Ypy.

解101()0Xxpxother，随机变量Y的取值范围为0,，2,yxe

212ydxedy


，，21,0()20,0yYeypyy
4、某箱装有100件产品，其中一等、二等和三等品分别为80，10和10件，现在从中随
机抽取一件，记1,0,iXi抽到等品其他1,2,3i，试求12(,)XX的联合分布列。

解 由题意可得
(,).120001PXX (,).120101PXX

(,).121008PXX (,),PXX12110
(,)XX
12
的联合分布列为

X
1

X
2

0 1

0
.01 .08
1 .01 0

5．设(,)XY的密度函数为 ,(,)0,Apxy 02,xyx其他，

试求：(1)常数A; (2)()Xpx; (3)X与Y的协方差。
解 （1）由 (,)1pxydxdy，故2041xxAdxdyA，所以14A.

（2）,()102420其他xxXxdxxpx
（3）()20104xxEXYdxxydy，(),201443xxEXdxxdy
20104xx
EYdxydy
，于是(,)().0CovXYEXYEXEY

三、综合题
1、设()px为连续型随机变量X的概率密度函数，令YaXb，其中0a，证明

1.XY
解 (,)(,)(,)CovXYCovXaXbaCovXXaDX
()2DYDaXbaDX
，于是(,)1XYCovXYDXDY

2、设X服从区间(0,)内均匀分布，12(,,,)nXXX是总体X中抽取的简单随机样本，
求的矩估计和极大似然估计。

解 10(,)0xpx其他(1)总体分布中含有未知参数利用一阶矩：1AEX，解

得2X，于是矩估计量为ˆ2X
(2)
设123(,,,,)nxxxx 为一组样本观测值。似然函数10()0inxL其他

当(1,2,,)iaxbin时，1()nL而10ndLnd，即()L关于变量的
单调递减函数，可得的最大似然估计量为12max,,,nXXX。