2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3：课下能力提升(十)随机变量及其概率分布 Word版含答案
精选2018年高中数学课下能力提升十七正态分布苏教版选修2_3
课下能力提升(十七) 正态分布一、填空题1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体均值为________．2．设随机变量X～N(1，4)，若P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)，则实数a的值为________．3．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝________．4. 右图是三个正态分布X～N(0，0.25)，Y～N(0，1)，Z～N(0，4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________．5．某中学有1 000人参加高考并且数学成绩近似地服从正态分布N(100，102)，则此校数学成绩在120分以上的考生人数约为________(φ(2)≈0.977)．二、解答题6. 如图为某地成年男性体重的正态分布密度曲线图，试根据图象写出其正态分布密度函数，并求出随机变量的均值与方差．7．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？8．若随机变量X ～N (0，1)，查表求：(1)P (0<X ≤2.31)；(2)P (1.38≤x <0)；(3)P (|X |<0.5)．答案1．解析：正态曲线关于直线x ＝μ对称，当曲线关于y 轴对称时，说明μ＝0.答案：02．解析：∵P (X ≥a ＋b )＝P (X ≤a －b )，∴（a ＋b ）＋（a －b ）2＝1.∴a ＝1. 答案：13．解析：∵随机变量X 服从标准正态分布N (0，σ2)，∴正态曲线关于直线x ＝0对称，又P (X ＞2)＝0.023.∴P (X ＜－2)＝0.023.∴P (－2≤X ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：0.9544．解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”． 答案：① ② ③5．解析：用X 表示此中学数学高考成绩，则X ～N (100，102)，∴P (X >120)＝1－P (X ≤120)＝1－φ⎝ ⎛⎭⎪⎫120－10010≈0.023， ∴120分以上的考生人数约为1 000×0.023＝23.答案：236．解：由图易知，该正态曲线关于x ＝72对称，最大值为1102π，所以μ＝72.再1σ2π＝1102π得σ＝10， 于是概率密度函数的解析式是f (x )＝1102π·e －（x －72）2200，x ∈(－∞，＋∞)． 总体随机变量的均值是μ＝72，方差是σ2＝100.7．解：设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (60，100)．则μ＝60，σ＝10.(1)P (30<X ≤90)＝P (60－3×10<X ≤60＋3×10)＝0.997 4.∴P (X >90)＝12[1－P (30<X ≤90)]＝0.001 3，∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8. 设分数线为x.则P(X≥x0)＝0.022 8.∴P(120－x0<x<x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4.又知P(60－2×10<x<60＋2×10)＝0.954 4.∴x＝60＋2×10＝80(分)．即受奖学生的分数线是80分．8．解：(1)P(0<X≤2.31)＝P(X≤2.31)－P(X≤0)＝0.989 6－0.5＝0.489 6.(2)P(－1.38≤X<0)＝P(0<X≤1.38)＝P(X≤1.38)－P(X≤0)＝0.916 2－0.5＝0.416 2.(3)P(|X|<0.5)＝P(－0.5<X<0.5)＝P(－0.5<X≤0)＋P(0<X<0.5)＝2P(0<X<0.5)＝2[P(X<0.5)－P(X≤0)]＝2(0.691 5－0.5)＝2×0.191 5＝0.383 0.。
【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3：课下能力提升(十六)离散型随机变量的方
课下能力提升(十六) 离散型随机变量的方差和标准差一、填空题1．已知X 的概率分布为则V (X )＝________．2．一批产品中，次品率为14，现有放回地连续抽取4次，若抽的次品件数记为X ，则V (X )的值为________．3．已知X ～B (n ，p )，且E (X )＝7，V (X )＝6，则p ＝________. 4．已知随机变量X且E (X )＝1.1，则V (X )的值为________． 5．篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他一次罚球得分的方差为________．二、解答题6．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X ，求E (X )和V (X )．7．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别为：试评定这两个保护区的管理水平．8．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X ，求V (X )．答案1．解析：∵a ＋0.1＋0.6＝1，∴a ＝0.3. ∴E (X )＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3.∴V (X )＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81. 答案：0.812．解析：由题意，次品件数X 服从二项分布，即X ～B ⎝⎛⎭⎫4，14， 故V (X )＝np ·(1－p )＝4×14×34＝34.答案：343．解析：∵E (X )＝np ＝7，V (X )＝np (1－p )＝6， ∴1－p ＝67，即p ＝17.答案：174．解析：由随机变量分布列的性质可得p ＝1－15－310＝12.又E (X )＝0×15＋1×12＋x ×310＝1.1，解得x ＝2，可得V (X )＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49.答案：0.495．解析：设一次罚球得分为X ，X 服从两点分布，即所以V (X )＝p (1－p )＝0.7×0.3＝0.21. 答案：0.216．解：这3张卡片上的数字和X 的可能取值为6，9，12.X＝6表示取出的3张卡片上都标有2，则P(X＝6)＝C38C310＝7 15.X＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(X＝9)＝C28C12C310＝7 15.X＝12表示取出的3张卡片中两张标有5，一张标有2，则P(X＝12)＝C18C22C310＝1 15.所以X的分布列如下表：所以E(X)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.V(X)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.7．解：甲保护区违规次数X的均值和方差为E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，V(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数Y的均值和方差为E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，V(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E(X)＝E(Y)，V(X)＞V(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．相对而言，乙保护区的管理较好一些．8．解：先求X的分布列．X ＝0，1，2，3.X ＝0表示三位学生全坐错了，情况有2种， 所以P (X ＝0)＝23！＝13； X ＝1表示只有一位同学坐对了，情况有3种， 所以P (X ＝1)＝33！＝12； X ＝2表示有两位学生坐对，一位学生坐错，这种情况不存在，所以P (X ＝2)＝0； X ＝3表示三位学生全坐对了，情况有1种， 所以P (X ＝3)＝13！＝16. 所以X 的概率分布如下：所以E (X )＝0×13＋1×12＋2×0＋3×16＝12＋12＝1， V (X )＝(0－1)2×13＋(1－1)2×12＋(2－1)2×0＋(3－1)2×16＝1.。
高二数学选修2-3第二章 随机变量及其分布
§2.1.1离散型随机变量一、教学目标1.复习古典概型、几何概型有关知识。
2.理解离散型随机变量的概念，学会区分离散型与非离散型随机变量。
3. 理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.重点：离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当地定义随机变量.难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究.二、复习引入：1.试验中不能的随机事件，其他事件可以用它们来，这样的事件称为。
所有基本事件构成的集合称为，常用大写希腊字母表示。
2.一次试验中的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）。
互斥事件的概率加法公式。
3. 一次试验中的两个事件叫做互为对立事件，事件A的对立事件记作，对立事件的概率公式4.古典概型的两个特征：（１） .（２） .5.概率的古典定义：P（A）= 。
6.几何概型中的概率定义：P(A)= 。
三、预习自测：1.在随机试验中，试验可能出现的结果，并且X是随着试验的结果的不同而的，这样的变量X叫做一个。
常用表示。
2.如果随机变量X的所有可能的取值，则称X为。
四、典例解析：例1写出下列各随机变量可能取得值：（1）抛掷一枚骰子得到的点数。
（2）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数。
（3）抛掷两枚骰子得到的点数之和。
（4）某项试验的成功率为0.001，在n次试验中成功的次数。
（5）某射手有五发子弹，射击一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求这名射手的射击次数X的可能取值例2随机变量X为抛掷两枚硬币时正面向上的硬币数，求X的所有可能取值及相应概率。
变式训练一只口袋装有6个小球，其中有3个白球，3个红球，从中任取2个小球，取得白球的个数为X，求X的所有可能取值及相应概率。
例3△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，向△ABC内部随意投入一个小球，求小球落在△ADE 中的概率。
五、当堂检测1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是：（）(A)两次出现的点数之和；(B)两次掷出的最大点数；(C)第一次减去第二次的点数差；(D)抛掷的次数。
2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3：课下能力提升(十九)回归分析
课下能力提升(十九)回归分析(本卷共两页)一、填空题1．下列命题中正确的是________(填所有正确命题的序号)．①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的线性回归方程可能是没有意义的；⑤两个变量的线性相关关系可以通过线性回归方程，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．2．已知x，y从所得的散点图分析，y与x线性相关，且y∧＝0.95x＋a∧，则a∧＝________．3．从某大学随机选取8名女大学生，其身高x(cm)和体重y(kg)的线性回归方程为y∧＝0.849x－85.712，则身高172 cm的女大学生，由线性回归方程可以估计其体重为________．4．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．其中有相关关系的是____________．(填序号)5广告费用x(万元)423 5销售额y(万元)492639546万元时销售额为________万元．二、解答题6(1)将上述数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似成什么关系吗？7(t)之间的一组数据为已知∑5,i＝1x i y i＝62，∑5,i＝1x2i＝16.6.(1)画出散点图；(2)求出y对x的线性回归方程；(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)8．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7数学(x)888311792108100112物理(y)949110896104101106(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理性建议．答案1．解析：显然①是错误的；而②中，圆的周长与圆的半径的关系为C ＝2πR ，是一种确定性的函数关系．答案：③④⑤2．解析：∵x －＝2，y －＝4.5.又回归直线恒过定点(x －，y －)，代入得a ∧＝2.6. 答案：2.63．解析：y ∧＝0.849×172－85.712＝60.316. 答案：60.316 kg4．解析：由相关关系定义分析． 答案：①③④解析：样本中心点是(3.5，42)，答案：65.56．解：(1)散点图如下：(2)从图中可以发现施肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施肥量和水稻产量近似成线性正相关关系．7.解：(1)散点图如下图所示：(2)因为x ＝15×9＝1.8，y ＝15×37＝7.4，8．解：(1)∵x －＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100；y －＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100；∴σ2数学＝9947＝142，σ2物理＝2507， 从而σ2数学>σ2物理，∴物理成绩更稳定．(2)由于x 与y 之间具有线性相关关系，因为∑7x i y i ＝70 497，∑7x 2i ＝70 994， 所以根据回归系数公式得到当y ＝115时，x ＝130，即该生物理成绩达到115分时，他的数学成绩大约为130分．建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高.。
2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3教学案：复习课(二) 随机变量及其分布含解析
复习课（二）随机变量及其分布对应学生用书P50条件概率(1)在近几年的高考中对条件概率的考查有所体现，一般以选择题或填空题形式考查,难度中低档．（2)条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时,必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率．错误!条件概率的性质（1)非负性：0≤P(B|A）≤1．(2)可加性：如果是两个互斥事件，则P（B∪C｜A）＝P（B｜A)＋P(C｜A)．［典例］口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少?(3）在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少?[解] 记事件A:第一次取出的是红球；事件B:第二次取出的是红球．(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个; 第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的有4×5个，所以P（A）＝4×56×5＝错误!．（2）从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的是红球,相当于取两个球,都是红球,符合条件的有4×3个,所以P(AB）＝错误!＝错误!．（3）利用条件概率的计算公式，可得P（B｜A）＝错误!＝错误!＝35．［类题通法］条件概率的两个求解策略（1)定义法:计算P（A），P(B)，P（AB）,利用P（A|B)＝错误!或P（B|A）＝错误!求解．（2）缩小样本空间法:利用P(B｜A)＝错误!求解．其中(2）常用于古典概型的概率计算问题．错误!1．从编号为1，2，…,10的10个大小相同的球中任取4个,已知选出4号球的条件下,选出球的最大号码为6的概率为________．解析：令事件A＝{选出的4个球中含4号球｝，B＝{选出的4个球中最大号码为6}．依题意知n（A)＝C错误!＝84，n(AB)＝C错误!＝6，∴P(B|A）＝错误!＝错误!＝错误!．答案：错误!2．已知男人中有5%患色盲，女人中有0．25%患色盲,从100个男人和100个女人中任选一人．（1)求此人患色盲的概率．(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．（以上各问结果写成最简分式形式）．解：设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C．(1)此人患色盲的概率P＝P(AC)＋P（BC）＝P（A)P（C|A）＋P（B）P(C｜B）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!．（2)由(1)得P（AC)＝错误!，又因为P(C）＝错误!，所以P(A｜C）＝错误!＝错误!＝错误!．相互独立事件的概（1)相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，高考经常考查，各种题型均有可能出现，难度中低档．而二项分布也是高考考查的重点，高考以大题为主，有时也以选择、填空题形式考查．（2）解答此类问题时应分清事件间的内部联系,在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．［考点精要］(1）若事件A与B相互独立, 则事件错误!与B，A与错误!，错误!与错误!分别相互独立，且有P(A B）＝P（A)P(B)，P（A错误!)＝P（A)P（错误!），P(AB）＝P（A）P（错误!)．（2)若事件A1，A2,…，A n相互独立，则有P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2）…P(A n）．（3）在n次独立重复试验中，事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k，n p k(1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n．(4）二项分布满足的条件与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定,可从以下几个方面判定:①每次试验中，事件发生的概率是相同的．②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生,要么不发生．④随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．［典例] 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为错误!，乙当选的概率为错误!，丙当选的概率为错误!．（1)求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多有两人当选的概率．［解］设甲、乙、丙当选的事件分别为A,B，C，则有P（A)＝错误!，P（B)＝错误!，P(C)＝错误!．（1)∵A，B,C相互独立,∴恰有一名同学当选的概率为P(A·错误!·错误!）＋P（错误!·B·错误!）＋P(错误!·错误!·C）＝P(A）·P（错误!）·P(错误!）＋P(错误!）·P（B)·P(错误!)＋P(错误!)·P （错误!）·P(C）＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!．(2）至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A）·P(B）·P(C）＝1－错误!×错误!×错误!＝错误!．［类题通法]求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题（1）“P（AB)＝P（A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2）涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．(3)公式“P(A＋B)＝1－P(错误!错误!) ”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．错误!1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3"为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是________．解析：用间接法考虑，事件A,B一个都不发生的概率为P（AB)＝P（A)·P(错误!）＝错误!×错误!＝错误!，则事件A，B中至少有一件发生的概率P＝1－P（AB）＝错误!．答案：错误!2．在一次抗洪抢险中,准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相互独立的，且命中的概率都是错误!．（1）求油罐被引爆的概率；（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ不小于4的概率．解：（1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中,故该事件的概率为: P＝C15·错误!·错误!4＋错误!5，所以所求的概率为1－P＝1－错误!＝错误!．(2)当ξ＝4时记事件A，则P(A）＝C错误!·错误!·错误!2·错误!＝错误!．当ξ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中,记为事件B．则P(B)＝C14·错误!·错误!3＋错误!4＝错误!，所以所求概率为:P（A∪B)＝P（A）＋P（B)＝错误!＋错误!＝错误!．离散型随机变量的期望与方差(1)离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的特征数，它们反映了随机变量取值的平均值及其稳定性,是高考的一个热点问题，多与概率统计结合考查,难度中高档．(2）期望与方差在实际优化问题中有大量的应用，关键要将实际问题数学化，然后求出它们的概率分布列,同时，要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的期望、方差公式以及期望与方差的线性性质,如E(aX＋b）＝aE(X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）．错误!（1)求离散型随机变量的期望与方差,一般先列出分布列,再按期望与方差的计算公式计算．(2）要熟记特殊分布的期望与方差公式（如两点分布、二项分布、超几何分布）．（3)注意期望与方差的性质．（4)实际应用问题,要注意分析实际问题用哪种数学模型来表达．[典例］（全国乙卷)某公司计划购买2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件,每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2）若要求P(X≤n)≥0．5，确定n的最小值；（3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一,应选用哪个？［解] (1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10,11的概率分别为0．2,0．4,0．2，0．2．从而P（X＝16)＝0．2×0．2＝0．04；P(X＝17）＝2×0．2×0．4＝0．16;P（X＝18)＝2×0．2×0．2＋0．4×0．4＝0．24；P（X＝19）＝2×0．2×0．2＋2×0．4×0．2＝0．24；P(X＝20)＝2×0．2×0．4＋0．2×0．2＝0．2；P（X＝21)＝2×0．2×0．2＝0．08；P(X＝22)＝0．2×0．2＝0．04．所以X的分布列为(2)由(1)知P(X≤18）＝0．44，P(X≤19)＝0．68，故n的最小值为19．(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E（Y)＝19×200×0．68＋（19×200＋500）×0．2＋（19×200＋2×500）×0．08＋（19×200＋3×500)×0．04＝4 040;当n＝20时,E（Y)＝20×200×0．88＋(20×200＋500)×0．08＋(20×200＋2×500）×0．04＝4 080．可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19．[类题通法]求离散型随机变量X的期望与方差的步骤(1）理解X的意义，写出X可能的全部取值；（2)求X取每个值的概率或求出函数P（X＝k）；(3)写出X的分布列；(4)由分布列和期望的定义求出E（X)；（5）由方差的定义，求D（X），若X～B（n，p）, 则可直接利用公式求，E(X）＝np，D（X）＝np（1－p)．错误!1．一袋中装有分别标记着1，2，3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X，Y，设ξ＝Y－X，则E（ξ)＝________．解析:由题意知ξ的取值为0,1,2，ξ＝0，表示X＝Y,ξ＝1表示X ＝1，Y＝2或X＝2，Y＝3;ξ＝2表示X＝1,Y＝3．∴P（ξ＝0）＝错误!＝错误!，P（ξ＝1)＝错误!＝错误!，P(ξ＝2）＝错误!＝错误!，∴E(ξ)＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＝错误!．答案：错误!2．一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1，2，2,3,3，3六个数字）．(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列．（2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E（ξ)，D(ξ)．解：(1）由已知，随机变量η的取值为：2，3，4，5，6．投掷一次正方体骰子所得点数为X，则P（X＝1）＝错误!，P(X＝2）＝错误!，P(X＝3)＝错误!，即P(η＝2）＝错误!×错误!＝错误!，P（η＝3）＝2×16×错误!＝错误!,P(η＝4)＝2×错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!,P（η＝5)＝2×错误!×错误!＝错误!，P(η＝6）＝错误!×错误!＝错误!．故η的分布列为（2）由已知,6，设其发生的概率为p ,由(1）知，p ＝错误!，因为随机变量ξ～B 错误!，所以E （ξ）＝np ＝10×14＝错误!,D (ξ）＝np （1－p )＝10×错误!×错误!＝错误!．正态分布(1)高考主要以选择、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，在大题中主要以条件或一问呈现，难度中档．（2)注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想,因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．错误!正态变量在三个特殊区间内取值的概率（1）P (μ－σ<X ≤μ＋σ）＝0．682 6．(2)P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0．954 4．（3)P (μ－3σ〈X ≤μ＋3σ）＝0．997 4．［典例］ 已知随机变量ξ服从正态分布N （0，σ2),若P （ξ＞2)＝0．023，则P (－2≤ξ≤2）＝( )A．0．447 B．0．628C．0．954 D．0．977[解析］∵随机变量ξ服从标准正态分布N(0，σ2)，∴正态曲线关于x＝0对称．又P（ξ＞2）＝0．023，∴P（ξ＜－2)＝0．023．∴P（－2≤ξ≤2)＝1－2×0．023＝0．954．[答案］C［类题通法]根据正态曲线的对称性求解概率的三个关键点(1)正态曲线与x轴围成的图形面积为1;(2）正态曲线关于直线x＝μ对称，则正态曲线在对称轴x＝μ的左右两侧与x轴围成的面积都为0．5；(3）可以利用等式P（X≥μ＋c)＝P（X≤μ－c）（c＞0）对目标概率进行转化求解．错误!1．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1），P（ξ>1)＝p，则P（－1〈ξ〈0)等于( )A．错误!p B．1－pC．1－2p D．错误!－p解析：选D 由于随机变量服从正态分布N(0，1)，由标准正态分布图象可得P(－1〈ξ〈1)＝1－2P(ξ>1）＝1－2p．故P（－1〈ξ〈0）＝错误!P(－1〈ξ<1)＝错误!－p．2．已知X～N(μ，σ2），且P（X＞0)＋P（X≥－4）＝1，则μ＝________．解析：∵P（X＞0)＋P（X≥－4）＝1，又∵P(X＜－4)＋P(X≥－4)＝1，∴P（X＞0)＝P(X＜－4),又0与－4关于x＝－2对称,∴曲线关于x＝－2对称，即μ＝－2．答案：－21．某人进行射击，共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5” 表示的试验结果是（）A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次未击中目标D．第4次击中目标解析：选C 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，则说明前4次均未击中目标，故选C．2．甲击中目标的概率是错误!，如果击中赢10分,否则输11分,用X表示他的得分,计算X的均值为( ）A．0．5分B．－0．5分C．1分D．5分解析:选B E(X）＝10×错误!＋(－11）×错误!＝－错误!．3．甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等,每天出废品的情况如下表所列，则有结论（）A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些B．乙的产品质量比甲的质量好一些C．两人的产品质量一样好D．无法判断谁的质量好一些解析:选B ∵E(X甲)＝0×0．4＋1×0．3＋2×0．2＋3×0．1＝1,E(X乙)＝0×0．3＋1×0．5＋2×0．2＋3×0＝0．9．∵E（X甲）＞E（X乙)，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些．4．抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6时，则两颗骰子点数之和大于8的概率为( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析:选D 记事件A为“ 蓝骰子的点数为3或6"，A发生时红骰子的点数可以为1到6中任意一个,n（A）＝12,记B：“两颗骰子点数之和大于8”，则AB包含(3,6）,(6,3)，(6,4),（6，5），（6,6）5种情况，所以P（B｜A)＝错误!＝错误!．5．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E（Y)＝34，若X的分布列如下表，则m的值为（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析:选A 由Y＝12X＋7，得E（Y)＝12E(X）＋7＝34，从而E（X)＝错误!．∴E（X）＝1×错误!＋2m＋3n＋4×错误!＝错误!，即2m＋3n＝53，m＋n＝1－错误!－错误!＝错误!,解得m＝错误!．6．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0．6,0．5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（）A．0．45 B．0．6C．0．65 D．0．75解析：选D 令事件A，B分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P(A)＝0．6，P(B）＝0．5，令事件C表示目标被击中，则C＝A∪B，则P(C）＝1－P(A）P（错误!）＝1－0．4×0．5＝0．8，所以P（A|C）＝错误!＝错误!＝0．75．7．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分,设得分为随机变量X，则P（X≤6）＝________．解析：P（X≤6)＝P（X＝4）＋P(X＝6）＝错误!＝错误!．答案：错误!8．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p．若此人未能通过的科目数ξ的均值是2,则p＝________．解析：因为通过各科考试的概率为p,所以不能通过考试的概率为1－p，易知ξ～B(6，1－p),所以E(ξ）＝6(1－p)＝2，解得p＝错误!．答案：错误!9．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为错误!,身体关节构造合格的概率为错误!,从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）________．解析:设“儿童体型合格"为事件A ，“身体关节构造合格"为事件B ，则P (A ）＝15，P （B )＝错误!．又A ，B 相互独立，则错误!，错误!也相互独立，则P （错误! 错误!）＝P (错误!)P (错误!）＝错误!×错误!＝错误!,故至少有一项合格的概率为P ＝1－P （错误! 错误!）＝错误!．答案：错误!10．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案: 方案一:考三门课程至少有两门及格为考试通过;方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0．5，0．6,0．9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．（1)求该应聘者用方案一通过的概率；（2）求该应聘者用方案二通过的概率．解：记“应聘者对三门考试及格的事件”分别为A ，B ，C ．P （A ）＝0．5，P （B ）＝0．6,P （C ）＝0．9．(1)该应聘者用方案一通过的概率是P 1＝P （AB 错误!）＋P (错误!BC )＋P (A B C ）＋P (ABC )＝0．5×0．6×0．1＋0．5×0．6×0．9＋0．5×0．4×0．9＋0．5×0．6×0．9＝0．03＋0．27＋0．18＋0．27＝0．75．（2)应聘者用方案二通过的概率P2＝错误!P(AB)＋错误!P（BC)＋错误!P（AC）＝错误!（0．5×0．6＋0．6×0．9＋0．5×0．9)＝错误!×1．29＝0．43．11．为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为错误!，错误!;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为错误!，错误!；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．解：(1）若两人所付费用相同,则相同的费用可能为0元，40元,80元，两人都付0元的概率为P1＝错误!×错误!＝错误!，两人都付40元的概率为P 2＝12×错误!＝错误!， 两人都付80元的概率为P 3＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝错误!，则两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝错误!＋错误!＋错误!＝512． （2）由题意得,ξ所有可能的取值为0，40,80，120，160．P （ξ＝0)＝错误!×错误!＝错误!，P （ξ＝40)＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!,P （ξ＝80）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!，P (ξ＝120）＝12×错误!＋错误!×错误!＝错误!, P (ξ＝160)＝错误!×错误!＝错误!，ξ的分布列为E (ξ）＝0×错误!＋40×错误!＋80×错误!＋120×错误!＋160×错误!＝80．12．从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数错误!和样本方差s2（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）;（2）由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2．①利用该正态分布，求P（187．8<Z〈212．2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187．8，212．2）的产品件数．利用①的结果，求EX．附:错误!≈12．2．若Z～N（μ,σ2),则P(μ－σ〈Z〈μ＋σ)＝0．682 6,P(μ－2σ<Z<μ＋2σ）＝0．954 4．解析：(1）抽取产品的质量指标值的样本平均数错误!和样本方差s2分别为错误!＝170×0．02＋180×0．09＋190×0．22＋200×0．33＋210×0．24＋220×0．08＋230×0．02＝200，s2＝（－30）2×0．02＋（－20)2×0．09＋（－10)2×0．22＋0×0．33＋102×0．24＋202×0．08＋302×0．02＝150．(2)①由(1)知，Z~N（200,150），从而P(187．8〈Z〈212．2）＝P(200－12．2<Z<200＋12．2）＝0．682 6．②由①知，一件产品的质量指标值位于区间（187．8，212．2）的概率为0．682 6,依题意知X~B(100，0．682 6)，所以EX＝100×0．682 6＝68．26．。
2017-2018学年高中数学 选修2-3文档：第2章 2-6 正态
2.6正态分布1．了解正态密度曲线及正态分布的概念，认识正态密度曲线的特征．(重点、难点)2．会根据标准正态分布求随机变量在一定范围内取值的概率，会用正态分布解决实际问题．(重点)[基础·初探]教材整理1正态密度曲线阅读教材P75～P76第三自然段，完成下列问题．1．正态密度曲线的函数表达式是P(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈R，这里有两个参数μ和σ，其中μ是随机变量X的均值，σ2是随机变量X的方差，且σ>0，μ∈R.不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．2．正态密度曲线图象具有如下特征：(1)当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线；(2)正态曲线关于直线x＝μ对称；(3)σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡；(4)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．()(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．()(3)正态曲线是一条钟形曲线．()(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．()【解析】(1)×因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．(2)√因为离散型随机变量最多取有限个不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．(3)√由正态分布曲线的形状可知该说法正确．(4)×因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×2．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是______．(填序号)①曲线b仍然是正态曲线；②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2；④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.【解析】正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误．【答案】③教材整理2正态分布阅读教材P76第四自然段～P79部分，完成下列问题．1．正态分布：若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a<X≤b)恰好是正态密度曲线下方和X轴上(a，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2)．N(0,1)称为标准正态分布．2．正态变量在三个特殊区间内取值的概率若X～N(μ，σ2)时，(1)落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%，(2)落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%，(3)落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%.由于落在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997，落在该区间之外的概率仅为0.003，属小概率事件，因而认为X极大可能取(μ－3σ，μ＋3σ)内的值．3．中心极限定理在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是中心极限定理．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是________．(填序号)①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件；②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件；③随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件；④随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．【解析】∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4，∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6，∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．【答案】④[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]111222如图2-6-1所示，则有______________________________________________．图2-6-1①μ1<μ2，σ1<σ2；②μ1<μ2，σ1>σ2；③μ1>μ2，σ1<σ2；④μ1>μ2，σ1>σ2.(2)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是________．①P(|ξ|＜a)＝P(ξ＜a)＋P(ξ＞－a)(a＞0)；②P(|ξ|＜a)＝2P(ξ＜a)－1(a＞0)；③P(|ξ|＜a)＝1－2P(ξ＜a)(a＞0)；④P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|＞a)(a＞0)．【精彩点拨】(1)根据μ，σ对密度曲线特征的影响进行比较；(2)结合N(0,1)的图象特征逐一检验．【自主解答】(1)由两密度曲线的对称轴位置知：μ1<μ2；由曲线的陡峭程度知：σ1<σ2.(2)因为P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)，所以①不正确；因为P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＜－a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＞a)＝P(ξ＜a)－(1－P(ξ＜a))＝2P(ξ＜a)－1，所以②正确，③不正确；因为P(|ξ|＜a)＋P(|ξ|＞a)＝1，所以P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|＞a)(a＞0)，所以④正确．【答案】(1)①(2)②④1．正态密度函数中，有两个参数μ，σ.μ即均值，σ为标准差．2．在正态密度曲线中，参数μ确定了曲线的对称轴，σ确定了曲线的陡峭程度．[再练一题]1．关于正态曲线P(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈(－∞，＋∞)，σ>0有以下命题：①正态密度曲线关于直线x＝μ对称；②正态密度曲线关于直线x＝σ对称；③正态密度曲线与x轴一定不相交；④正态密度曲线与x轴一定相交；⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数；⑥曲线对称轴由μ确定，曲线的形状由σ决定；⑦当μ一定时，σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．其中正确的是________(填序号)．【解析】根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处处于最高点，并由该点向左、右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线形状由σ决定，而且当μ一定时，比较若干个不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．故①③⑥⑦正确．【答案】①③⑥⑦(1)求c的值；(2)求P(－4＜x＜8)．【精彩点拨】(1)利用对称性求c的值；(2)利用正态曲线在三个特殊区间内的概率求解．【自主解答】(1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.(2)P(－4＜x＜8)＝P(2－2×3＜x＜2＋2×3)＝0.954.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略1．充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.2．熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．3．注意概率值的求解转化：(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；(2)P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)；(3)若b＜μ，则P(X＜b)＝1－P(μ－b＜X＜μ＋b)2.[再练一题]2．若随机变量X～N(0,1)，查标准正态分布表，求：(1)P(X≤1.26)；(2)P(X>1.26)；(3)P(0.51<X≤1.2)；(4)P(X≤－2.1)．【解】(1)P(X≤1.26)＝0.896 2.(2)P(X>1.26)＝1－P(X≤1.26)＝1－0.896 2＝0.103 8.(3)P(0.51<X≤1.2)＝P(X≤1.2)－P(X≤0.51)＝0.884 9－0.695 0＝0.189 9.(4)P(X≤－2.1)＝P(X≥2.1)＝1－P(X≤2.1)＝1－0.982 1＝0.017 9.[探究共研型]探究1零件外直径的均值，标准差分别是什么？【提示】零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.探究2某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品．试问1 000件这种的零件中约有多少件一等品？【提示】P(3.5<ε≤4.5)＝P(μ－σ<ε<μ＋σ)＝0.682 6，所以1 000件产品中大约有1 000×0.682 6≈683(件)一等品．探究3某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？【提示】由于圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7∈(2.5,5.5)．这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．【精彩点拨】将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．【自主解答】μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，∴P(X－μ≤－σ)＝0.158 7，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7，即P(X≥130)＝0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．[再练一题]3．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X (单位：分)近似服从正态分布X ～N (50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率. 【导学号：29440061】【解】 ∵X ～N (50,102)，∴μ＝50，σ＝10.∴P (30<X ≤60)＝P (30<X ≤50)＋P (50<X ≤60)＝12P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＋12P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝12×0.954 4＋12×0.682 6＝0.818 5.即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.818 5.[构建·体系]1．若随机变量ξ～N (0,1)，则P (ξ＜0)＝________.【解析】 ∵P (ξ＜0)＝P (ξ＞0)，且P (ξ＞0)＋P (ξ＜0)＝1，∴P (ξ＜0)＝12.【答案】 122．设正态密度曲线P (x )＝122πe －(x －1)28，x ∈R ，则总体的均值为________，方差为________．【解析】 结合正态密度曲线的定义可知，总体的均值为1，方差为4.【答案】 1 43．若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________.【解析】 由于随机变量X ～N (μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线X ＝μ对称，故P (X ≤μ)＝12.【答案】1 24．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝________. 【导学号：29440062】【解析】由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.【答案】0.165．随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，如果P(ξ≤1)＝0.841 3，求P(－1<ξ≤0)．【解】如图所示，因为P(ξ≤1)＝0.841 3，所以P(ξ>1)＝1－0.841 3＝0.158 7，所以P(ξ≤－1)＝0.158 7，所以P(－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
2018年高中数学 课下能力提升(十一)超几何分布 苏教版选修2-3
课下能力提升(十一) 超几何分布一、填空题1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是________．2．有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛．用X 表示女生人数，则概率P (X ≤2)＝________．3．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋内各取出1个球，设取出的白球个数为X ，则P (X ＝1)＝________．4．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好生”的人数，则当X 取________时，对应的概率为C 35C 37C 612.5．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为________．二、解答题6．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有3张A 的概率．7．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．8．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的概率分布． (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的概率分布．答案1．解析：设随机变量X 为抽到白球的个数，X 服从超几何分布，由公式，得P (X ＝1)＝C 14C 25C 39＝4×1084＝1021.答案：10212．解析：P (X ≤2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝0) ＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 36C 310＝2930. 答案：29303．解析：P (X ＝1)＝C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112＝12.答案：124．解析：由题意可知，X 服从超几何分布，由概率值中的C 35可以看出“从5名三好生中选取了3名”．答案：35．解析：用X 表示中奖票数，P (X ≥1)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50>0.5.解得n ≥15.答案：15牌的张数为X ，则X 服从超几何分布，其分布列品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120， 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120.8．解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有1和0两种情况．P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的概率分布为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖． 故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23. ②Y 的所有可能取值为0，10，20，50，60，且 P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.。
(word完整版)高中数学选修2-3知识点、考点、附典型例题,推荐文档
111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A 高中数学 选修2－3知识点第一章 计数原理 知识点：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。
3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列4、排列数：从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示。
),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ5、公式：，11--=m n m n nA A6、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
7、公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m nm mm n mn-=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ;m n n m n C C -=m n m n m n C C C 11+-=+8、二项式定理：()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n+=++++++---011222…… 9、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r nr n r r+-==101() 考点：1、排列组合的运用2、二项式定理的应用★★1．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展。
2019最新高中数学 课下能力提升(十五)离散型随机变量的均值 苏教版选修2-3
课下能力提升(十五) 离散型随机变量的均值一、填空题1．已知随机变量的概率分布为则E (X )＝________．2．若随机变量X ～B (n ，0.6)，且E (X )＝3，则P (X ＝1)＝________．3．考察一种耐高温材料的一个重要指标是看其是否能够承受600度的高温．现有一种这样的材料，已知其能够承受600度高温的概率是0.7，若令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，能够承受600度高温，0，不能够承受600度高温，则X 的均值为________． 4．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________．5. (湖北高考改编)如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝________．二、解答题6．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分，2分，3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分，2分，3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士中获胜希望较大的是哪一个？7．一接待中心有A ，B ，C ，D 四部热线电话，已知某一时刻电话A ，B 占线的概率均为0.5，电话C ，D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互间没有影响，假设该时刻有X 部电话占线，试求随机变量X 的概率分布和它的均值．8．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100 m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150 m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200 m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且比赛结束．已知射手甲在100 m 处击中目标的概率为12，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．(1)求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率； (2)求射手甲在这次射击比赛中得分的均值．答案1．解析：由随机变量分布列的性质得，14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16，于是，X所以E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.答案：－17302．解析：∵X ～B (n ，0.6)，E (X )＝3， ∴0.6n ＝3，即n ＝5.∴P (X ＝1)＝C 15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44＝0.076 8. 答案：0.076 83．解析：依题意X所以X 的均值是E (X )＝0.7. 答案：0.74．解析：设取得次品数为X (X ＝0，1，2)， 则P (X ＝0)＝C 03C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 13C 17C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115，∴E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35.答案：355．解析：X 的取值为0，1，2，3且P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125， 故E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65.答案：656．解：设这次射击比赛中战士甲得分，战士乙得分，则它们的概率分布如下：根据均值公式，得E (X )＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1， E (Y )＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2. ∵E (Y )＞E (X )，∴这次射击中战士乙得分的均值较大，即获胜的希望也较大．7．解：P (X ＝0)＝0.52×0.62＝0.09，P (X ＝1)＝C 12×0.52×0.62＋C 12×0.52×0.4×0.6＝0.3，P (X ＝2)＝C 22×0.52×0.62＋C 12C 12×0.52×0.4×0.6＋C 22×0.52×0.42＝0.37，P (X ＝3)＝C 12×0.52×0.4×0.6＋C 12C 22×0.52×0.42＝0.2， P (X ＝4)＝0.52×0.42＝0.04. 于是得到X 的概率分布列为所以E (X )＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.8．解：(1)记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A ，B ，C ，三次都未击中目标为事件D ，依题意P (A )＝12，设在x m 处击中目标的概率为P (x )，则P (x )＝k x 2，且12＝k1002，∴k ＝5 000，即P (x )＝5 000x2，∴P (B )＝5 0001502＝29，P (C )＝5 0002002＝18，P (D )＝12×79×78＝49144. 由于各次射击都是相互独立的，∴该射手在三次射击中击中目标的概率P ＝P (A )＋P (A －·B )＋P (A －·B －·C )＝P (A )＋P (A －)·P (B )＋P (A －)·P (B －)·P (C ) ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12·29＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－29·18＝95144.(2)依题意，设射手甲得分为X ，则P (X ＝3)＝12，P (X ＝2)＝12×29＝19，P (X ＝1)＝12×79×18＝7144，P (X ＝0)＝49144. 所以E (X )＝3×12＋2×19＋1×7144＋0×49144＝255144＝8548.。
2017-2018学年高三数学选修2-3：课下能力提升(十三)事件的独立性 Word版
课下能力提升(十三)事件的独立性一、填空题1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是________事件．2．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为________．5．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．二、解答题6．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：(1)甲、乙两地都降雨的概率；(2)甲、乙两地都不降雨的概率；(3)其中至少一个地方降雨的概率．7．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？(2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．答案1．解析：由题意知，A 1是否发生，对A 2发生的概率没有影响，所以A 1和A 2是相互独立事件．答案：相互独立2．解析：设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A ，B 是相互独立的事件，所求概率为P (AB )．据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝710， 故P (AB )＝P (A )P (B )＝25×710＝725. 答案：7253．解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34. 答案：344．解析：P ＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.6×0.7＝0.88.答案：0.885．解析：设过第一关为事件A ，当抛掷一次出现的点数为2，3，4，5，6点中之一时，通过第一关，所以P (A )＝56.设过第二关为事件B ，记两次骰子出现的点数为(x ，y )，共有36种情况，第二关不能过有如下6种情况(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．P (B )＝1－P (B )＝1－636＝56. 所以连过前两关的概率为：P (A )P (B )＝2536. 答案：25366．解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为P 1＝0.2×0.3＝0.06.(2)甲、乙两地都不降雨的概率为P2＝(1－0.2)×(1－0.3)＝0.8×0.7＝0.56.(3)至少一个地方降雨的概率为P3＝1－P2＝1－0.56＝0.44.7．解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件．(1)由已知得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125.解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.－，B的对立事件为B－，C的对立事件为C－，“这个小时内至少有(2)记A的对立事件为A一台机器需要照顾”为事件D，则P(A－)＝0.8，P(B－)＝0.75，P(C－)＝0.5，于是P(D)＝1－P(A－B－C－)＝1－P(A－)P(B－)P(C－)＝0.7.所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.8．解：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.(2)设事件A i表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件B i表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件C i表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．∴P(A i)＝0.4，P(B i)＝0.5，P(C i)＝0.1(i＝1，2)．∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)．由事件的独立性得P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.。
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课下能力提升(十) 随机变量及其概率分布
一、填空题
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中是真命题的有________．(填写序号)
2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝5表示的随机试验结果是________．
3．设离散型随机变量X的概率分布如下：
X 1 2 3 4
P 12p 13 16 p
则p的值为________．
4．设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________．
5．随机变量X的概率分布规律P(X＝k)＝ck（k＋1）(k＝1，2，3，4，其中c是常数)，
则P12＜X＜52的值为______．
二、解答题
6．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝
0，摸出白球，
1，摸出红球，
求X的概率分布；
(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不
全是白球，求X的概率分布．
7．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的2倍，三级品是二级品的12，从
这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X，求X的概率分布及P(X>1)的值．
2
8．袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，
取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分．求所得分数X的概率分布列．
答案
1．解析：根据随机变量的概念可知，①②③④都正确．
答案：①②③④
2．解析：点数之和为5，一颗3点，一颗2点，或一颗1点，一颗4点．
答案：一颗3点，一颗2点或一颗1点，一颗4点
3．解析：∵12p＋13＋16＋p＝1，∴p＝13.
答案：13
4．解析：∵随机变量X等可能取1，2，3，…，n，∴取到每个数的概率均为1n.
∴P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝3n＝0.3，∴n＝10.
答案：10
5．解析：由P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1，
得c1×2＋c2×3＋c3×4＋c4×5＝1.
∴c1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝1，
∴c＝54.
P12＜X＜52＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝541×2＋542×3＝58＋524＝2024＝56.
答案：56
6．解：(1)由题意知P(X＝0)＝34＋3＝37，P(X＝1)＝44＋3＝47，
故X的概率分布如下表：
X 0 1
P
37 4
7
3
(2)由题意知P(X＝0)＝C23C27＝17，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝67，故X的概率分布如下表：
X 0 1
P
17 6
7
7．解：依题意得P(X＝1)＝2P(X＝2)，P(X＝3)＝12P(X＝2)．
由于概率分布的总和等于1，故
P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝72P(X＝2)＝1.
所以P(X＝2)＝27.随机变量X的概率分布如下：
X 1 2 3
P
47 27 1
7
所以P(X>1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝37.
8．解：得分X的取值为－3，－2，－1，0，1，2，3.
X＝－3时表示取得3个球均为红球，
∴P(X＝－3)＝C33C311＝1165；
X＝－2时表示取得2个红球和1个黑球，
∴P(X＝－2)＝C23C15C311＝111；
X＝－1时表示取得2个红球和1个白球或1个红球和2个黑球，
∴P(X＝－1)＝C23C13＋C13C25C311＝1355；
X＝0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，
∴P(X＝0)＝C35＋C13C13C15C311＝13；
X＝1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，
4
∴P(X＝1)＝C13C25＋C23C13C311＝1355；
X＝2时表示取得2个白球和1个黑球，
∴P(X＝2)＝C23C15C311＝111；
X＝3时表示取得3个白球，
∴P(X＝3)＝C33C311＝1165；
∴所求概率分布列为
X －3 －2 －1 0 1 2 3
P
1165 111 1355 13 1355 111 1
165