九年级数学上册-圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径学案(新版)新人教版
人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》公开课教学设计
人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》公开课教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》这一节主要讲述了圆中垂直于弦的直径的性质。
通过这一节的学习，学生能够理解并掌握垂直于弦的直径的性质，并能运用这一性质解决相关问题。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对圆的基本概念和性质有所了解。
但是，对于圆中垂直于弦的直径的性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步探究和理解新知识。
三. 教学目标1.理解并掌握圆中垂直于弦的直径的性质。
2.能够运用垂直于弦的直径的性质解决相关问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.如何运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导探究法：通过引导学生观察、思考和讨论，让学生自主发现和理解垂直于弦的直径的性质。
2.例题讲解法：通过讲解典型例题，让学生掌握运用垂直于弦的直径的性质解决问题的方法。
3.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.准备典型例题和练习题。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过回顾圆的基本性质和概念，引导学生进入新的学习内容。
2.呈现（10分钟）展示圆中垂直于弦的直径的性质，引导学生观察和思考。
3.操练（15分钟）讲解典型例题，让学生掌握运用垂直于弦的直径的性质解决问题的方法。
4.巩固（10分钟）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识。
5.拓展（5分钟）通过解决实际问题，让学生运用所学知识解决实际问题。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，引导学生理解垂直于弦的直径的性质。
7.家庭作业（5分钟）布置课后作业，巩固所学知识。
8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和重点。
九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径教案2 新人教版(2021年最新整理)
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24．1．2 垂直于弦的直径教学目标1、知识目标:(1）充分认识圆的轴对称性。
（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质,掌握垂径定理。
（3)运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：让学生经历“实验—观察—猜想-验证—归纳”的研究过程,培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。
让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
3、情感目标：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。
教学重点垂直于弦的直径的性质及其应用。
教学难点1、垂径定理的证明。
2、垂径定理的题设与结论的区分。
教学辅助多媒体、可折叠的圆形纸板。
教学方法本节课采用的教学方法是“主体探究式”。
整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用,注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。
令学生参与到“实验—-观察—-猜想--验证-—归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理.学生不再是知识的接受者,而是知识的发现者，是学习的主人。
教学过程教学教师活动学生活动设计目环节的情景创设情景创设情景问题：赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长)为37。
人教版九年级数学24.1.2：垂径定理(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对垂径定理的理解普遍较好，他们能够通过观察和实验操作，发现直径与弦的关系。但在定理的证明部分，有些学生显得有些吃力，需要我通过图示和步骤分解来逐步引导。这让我意识到，在今后的教学中，我应该更加注重培养学生的逻辑推理能力和几何直观。
在讲授垂径定理的应用时，我尽量用生活中的实例来说明，让学生感受到数学知识在实际生活中的重要性。这一点从学生的反馈来看，效果还是不错的，他们能够主动思考定理在生活中的应用。但我也注意到，部分学生在解决综合性较强的题目时，还是显得有些力不从心。这说明在今后的教学中，我需要进一步加强学生对知识综合运用能力的培养。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《垂径定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在画圆或者观察圆的时候，有没有注意过直径与弦的关系？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂径定理的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决与圆相关的几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂径定的证明，我会通过图示和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂径定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际画圆和测量，学生可以直观地看到直径和弦的关系。
九年级数学上册24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径课件2(新版)新人教版
是
不是
是
不是
垂径定理的几个基本图形：
C
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
A
O C B
C
CD过圆 心 CD⊥AB
于E
AE=BE BC AC=
BD AD=
1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦， CD⊥AB于E，则下列结论中不成立 的是（ ）
A、 ∠COE=∠DOE B、CE=DE C、OE=AE D、BD=BC
解：过点 O作OE⊥AB于 3cm，求⊙ O的半径。 E， ∴ OA 1 连接 AE AB 4cm 圆心到弦的距 E 2 A OE 3cm 离、半径、弦 · 2 2 ∴ AO AE OE 构成直角三角 O 形，便将问题 42 32 5cm 转化为直角三 即⊙O的半径为 角形的问题。 弦心距：圆心到弦的距离 5cm.
1：判断下列说法的正误：
①平分弧的直径必平分弧所 对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心 且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ⑧圆是轴对称图形，直径是它的对称轴
24.圆
赵州桥主桥拱的半径是 多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多 年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国 古代人民勤劳与智慧的结晶．它的 主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦 的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径 CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1） 这个图形是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？（2）你能发现 图中有哪些相等的线段和弧？为什 C （1）是轴对称图形．直 么？ 径CD所在的直线是它的 对称轴 O （2） 线段： · AE=BE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ E 弧：ＡＣ＝ＢＣ, ＡＤ B A ＝ＢＤ 垂直于弦的直径平分这条
数学人教版九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教案
1.教学重点
-理解垂直于弦的直径的定义：通过直观演示和实际操作，让学生明确什么样的直径是垂直于弦的，并能够准确地描述这一概念。
-掌握垂直于弦的直径的性质：分析并理解垂直于弦的直径所具有的性质，如平分弦、垂直平分弦等，并能够运用这些性质解决具体问题。
-应用垂直于弦的直径解决实际问题：培养学生将理论知识应用于解决实际问题的能力，如通过垂直于弦的直径的性质来求解圆的相关问题。
-与其他圆的性质的综合应用：在综合问题中，学生需要将垂直于弦的直径的性质与其他圆的性质结合起来，这对于学生来说是一个挑战。
举例：在讲解垂直于弦的直径的证明过程时，教师可以使用直观的动画或模型，逐步引导学生通过观察和思考，理解证明过程中的每一步。对于难点内容，如灵活运用性质，教师可以通过以下方法帮助学生突破：
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的空间观念和几何直观：通过观察、操作、推理等过程，使学生理解并掌握圆的基本性质，提高对圆的认识，发展空间想象力。
2.提升学生的逻辑推理能力：在学习垂直于弦的直径定义和性质的过程中，引导学生运用逻辑思维进行推理和证明，增强分析解决问题的能力。
举例：讲解垂直于弦的直径定义时，教师可以借助图形，如一个圆和一条弦，通过动画或实物演示，让学生观察并总结出垂直于弦的直径的特点。
2.教学难点
-理解垂直于弦的直径的证明过程：学生往往难以理解为什么垂直于弦的直径会具有平分弦的性质，以及如何通过几何证明来证实这一点。
-灵活运用垂直于弦的直径的性质：在解决具体问题时，学生可能难以迅速找到垂直于弦的直径，并有效地利用其性质来简化问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是经过圆中心并且垂直于弦的线段。它在圆的性质中占有重要地位，因为它可以平分弦，并在几何图形中起到关键作用。
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆24.1.2垂直于弦的直径》公开课教学设计_1
<<垂径定理>>的教学设计一、教材分析1、教材的地位和作用：垂径定理既是前面圆的性质的体现，又是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。
通过“实验—观察—猜想—证明”的途径，培养学生的动手能力，分析、联想能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。
2、教学目标：知识与技能：(1)、会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理；(2)、能利用垂径定理进行相关的计算和证明；(3)、掌握垂径定理的推论。
过程与方法：(1)、通过观察、比较、操作，推理、归纳等活动发展空间观念，推理能力及概括问题的能力。
(2)、利用圆是轴对称图形，独立探究垂径定理及其推论。
情感态度与价值观：培养学生积极探索数学问题态度及方法。
二．教学重点、难点及教学方法重点重点、垂径定理的证明与简单应用教学难点：垂径定理及其推论的证明与简单应用，有关的添加辅助线的方法教学方法：“高效课堂”教学法三、教学过程首先复习“轴对称图形的定义”（目的是让学生进一步巩固所学知识，为学习后面内容做铺垫）；接下来是展示学习目标.让学生知道本课的要求和方法等；最后学生合作学习，设计了3个探究。
探究1：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？（目的是培养学生的动手能力，同时为找圆的对称轴和对称轴的条数作铺垫。
并设计了五道练习来加深对探究1的理解）探究2：如图，AB是⊙O的一条弦（非直径），做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？（目的是通过电脑演示让学生初步感知垂径定理，通过论证培养学生思维逻辑能力，体验探究知识的过程，能用严谨的语言归纳结论。
）探究3：如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的结论呢？我只引导研究推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径优秀教学案例
五、案例亮点
1. 情景创设贴近生活：本节课通过现实生活中的实例和数学故事导入新课，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发了学生的学习兴趣，使他们愿意主动参与到课堂学习中。这种情境创设的方式，不仅提高了学生的学习积极性，还使他们更容易理解和掌握知识。
二、教学目标
（一）知识与技能
1. 让学生掌握垂直于弦的直径的性质，并能灵活运用这一性质解决相关问题。
2. 引导学生探索并证明垂直于弦的直径的性质，培养学生的逻辑思维能力和证明能力。
3. 通过对垂直于弦的直径性质的研究，让学生进一步理解圆的性质，提高他们分析问题和解决问题的能力。
（二）过程与方法
1. 采用自主探索、合作交流的教学方式，引导学生积极参与课堂讨论，提高他们的数学思维能力。
2. 设计具有挑战性的小组任务，如证明其他垂直于弦的直径的性质，让学生在完成任务的过程中，深入探究垂直于弦的直径的性质。
3. 教师要关注小组合作的过程，引导学生正确处理小组内部的矛盾，培养他们的团队精神。
（四）总结归纳
1. 引导学生总结垂直于弦的直径的性质，明确其在圆的性质中的重要地位。
2. 让学生谈谈自己在学习垂直于弦的直径性质过程中的收获和感悟，培养他们的反思能力。
2. 讲解垂直于弦的直径性质的定义和证明过程，引导学生理解并掌握这一性质。
3. 通过几何画板等教学辅助工具，直观地展示垂直于弦的直径性质，帮助学生更好地理解和掌握知识。
4. 设计具有梯度的练习题，让学生在实践中运用所学知识，提高他们进行小组讨论，让他们在合作中交流思想，共享成果，提高团队协作能力。
3. 创设问题情境，让学生在解决问题的过程中自然地引入垂直于弦的直径的性质，从而激发他们的求知欲。
九年级数学上册第24章圆24-1圆的有关性质24-1-2垂直于弦的直径作业课件新版新人教版
EB＝1，则⊙O的半径为 5
.
7.如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直于弦AB于点C，∠AOB ＝120°，则弦AB的长为 4 3 .
8.如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的 截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm ，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm ，则该脸盆的半 径为 25cm .
洞会刚刚被灌满.
18.如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下 水面宽为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘 宽3 m，船舱顶部为正方形并高出水面2 m的货 船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥 吗？请说明理由.
解：能通过.理由如下：依题意得AB＝7.2，CD ＝2.4.
设⊙O的半径为RO，N在2－RHNt△2＝A3O.9D2－中1.5，2＝OD＝R－ 2.4，AD＝3.6，R2＝(R－2.4)2＋3.62，∴R＝3.9， OD＝1.5.在Rt△OHN中，
解：(1)∵直径AB＝26
1
m，12∴OD＝
AB＝13
m.∵O2E⊥CD，∴DE＝ CD.∵OE∶CD＝
5∶24，∴OE∶ED＝5∶12.
(设2)由O(1E)得＝O5Ex＝，1E×5D＝＝5(m1)2，x延，长在OREt△交⊙OOD于E点中F，，(∴5ExF)2＋ ＝(1O2Fx－)2O＝E＝13123，－5＝8(m)，∴84＝2(小时)，即经过 2 小时桥
13.如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，
∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为
23
半径的圆交AB于点D，则BD的长为
.
14.如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆
弧恰好经过圆心O2 ，3 则折痕AB的长为
24.1.2 垂直于弦的直径 教学案
拓展思考： （1）如图，AB、CD 是⊙O 的两条平行弦，AC 与 BD 相等吗？ 为什么？
（2）已知，如图在⊙O 中，弦 AB⊥CD，垂足为 E，
AE＝5，BE＝13．求圆心 O 到弦 CD 的距离
例 2：如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 12cm，圆心 O 到 AB 的距离为 8cm， 求⊙O 的半径。
- 2 -
东辛店镇中学人教版初中数学九年级教学案 练习： （1）过⊙O 内一点 P，最长的弦为 10cm，最短的弦长为 8cm，则 OP 的长为 。
（2）圆的半径为 13cm，两弦 AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求两弦 AB、 CD 的距离？
ห้องสมุดไป่ตู้
（3）在半径为 2cm 的⊙O 内有长为 2 3cm 的弦 AB，则∠AOB 为（ A 60° B 90° C 120° D 150°
）
（4）若圆的半径为 3，圆中一条弦长为 2 5 ，则此弦中点到该弦所对 劣弧中点的距离为多少？
例 3：一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度 AB 为 16 米，拱高 CD 为 4 米， 求： （1） 桥拱半径 （2） 若大雨过后，桥下河面宽度 EF 为 12 米，求水面涨高了多少？
C E M A D O F B
习
过
程
学生感悟 (教师修订)
2、弦、弧、弦心距、弓形、等圆和等弧的意义。 二、把学习目标、重难点读两遍。 三、师生互动，探究新知 （一）操作、思考 1、在圆形纸片上任意画一条直径. 2、沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来： ___________________________________________________________。 （二）思考、探索 如图，CD 是⊙O 的弦，画直径 AB⊥CD，垂足为 P；将圆形纸片沿 AB 对 折.
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆24.1.2垂直于弦的直径课件(新版)新人教版
观察右图，有什么等量关系？
AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧 BC，弧AD＝弧BD， AE＝ BE
归纳总结
垂径定理*
垂径定理 垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对的两条弧.
C
A
O
ED
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C A
DC A
DC
O
O
E DC
D
A
定理中两个条件（直径垂直于弦）缺一不可，故
MN⊥AB AM BM AN BN
AC=BC
250
五、归纳小结
数学中的一些美丽定理具有这样的特性： 它们极易从事实中归纳出来，但证明却 隐藏的极深。
――高斯
24.1.2 垂直于弦的直径
一、情境导入
你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形， 它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高（弧的中点 到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
二、探索新知
问题1 将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有 什么关系？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对 称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
前三个图均不能，仅第四个图可以！
提问（1） 一条直线满足过圆心和垂 直于弦，则可得到什么结论？
提问（2） 已知直径AB，弦CD且CE= DE，那么可得到的结论有哪些？
提问（3） 平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，为什 么不是直径?
三、巩固练习
DE
BD
AD
AC=BC AM BM AN BN
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3
24．1．2 垂直于弦的直径
一、知识点回顾：
1．圆上各点到圆心的距离都等于_________,到圆心的距离等于半径的点都在_________。
2．如右图,____________是直径,___________是弦,
____________是劣弧,________是优弧,__________是半圆。
3．圆的半径是4,则弦长x的取值范围是_______________。
4．确定一个圆的两个条件是__________和_________。
5．利用身边常见的工具,你能在操场中画一个直径是5m的圆吗？说说你的方法。
二、新知学习：
（一）．学习目标：
1-知识目标：掌握垂径定理
2-能力目标：利用垂径定理解答圆的一般问题
（二）．自学要求：P80—P81
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并平分弦所对的两条弧.
符号语言：∵AB是⊙O的直径 又∵CDAB
∴DECE
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并平分弦所对的两条弧
符号语言：∵AB是⊙O的直径 又∵DECE
∴CDAB
三、典型拓展例题：
1．你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧
的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中点到弦
的距离）为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
2．如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径。
3．如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,ABOD于D,ACOE于E.
求证：四边形ADOE为正方形。
4．如图所示,两个同心圆O,大圆的弦AB交小圆于C、D。求证：BDAC
3
5．如图所示,在⊙O中,C、D是弦AB上的两点,且BCAD.求证：ODOC
四、检测与反馈：
1．如图,在⊙O中,AB是弦,ABOC于C.
⑴若5OA,4OC,求AB的长； ⑵若6OA,8AB,求OC的长；
⑶若12AB,8OC,求⊙O的半径； ⑷若120AOB,10OAOA =10,求AB的长。
2．如图所示,在⊙O中,A、B是弦CD延长线的两点,且OBOA.求证：BDAC
3．如图,在⊙O中,AB是弦,C为的中点,若32BC,O到AB的距离为1.求⊙O的半
径.
4．如图,一个圆弧形桥拱,其跨度AB为10米,拱高CD为1米.求桥拱的半径.
5．⊙O的半径为5cm,弦cmAB6,弦cmCD8,且CDAB//.求两弦之间的距离。
3
五、畅所欲言
对这节课的内容你有新想法的地方是：_______________________________________