垂直于弦的直径导学案

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鸡西市第十九中学初四数学组
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鸡西市第十九中学初四数学组
例 1. 你知道赵州桥吗？它是 1300 多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳 与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37.4 m ，拱高（弧 的中点到弦的距离）为 7.2 m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
例 2． 如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中 CD ，点 O 是 CD 的圆心，• 其中 CD=600m，E 为 CD 上一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF=90m，求这段弯路的半径．
C E F O D
【当堂训练】
1．圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是 ______对称图形，它的对称中心是____________________． 2．垂直于弦的直径的性质定理是_________________________________． 3．平分________的直径________于弦，并且平分___________________． 4．圆的半径为 5cm，圆心到弦 AB 的距离为 4cm，则 AB=______cm． 5． 如图， CD 为⊙O 的直径， AB⊥CD 于 E， DE=8cm， CE=2cm， 则 AB=______cm．
O A E B
D 反过来：CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦（不是直径）且 AE＝BE， 求证：CD⊥AB, 证明：
AC BC, AD BD 。
归纳总结： ★垂径定理： 弦的直径 这条弦，并平分弦所对的 . 几何符号语言：∵CD 是⊙ O 的直径 又∵ CD AB ∴ ， ， 。 推论： （不是直径）的直径 于弦，并 弦所对的两条弧 几何符号语言：∵ CD 是⊙ O 的直径 又∵ AE BE （AB 不是直径） ∴ ， ， 。
16． 已知： 如图，A，B 是半圆 O 上的两点，CD 是⊙O 的直径，∠AOD=80°，B 是 的中点． (1)在 CD 上求作一点 P，使得 AP＋PB 最短； (2)若 CD=4cm，求 AP＋PB 的最小值．
17．如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为 7.2m，拱顶高出水面 2.4m，现有一 竹排运送一货箱从桥下经过，已知货箱长 10m，宽 3m，高 2m(竹排与水面持平)．问： 该货箱能否顺利通过该桥?
10． 如图， ⊙O 的弦 AB 垂直于 AC， AB=6cm， AC=4cm， 则⊙O 的半径等于______cm． 11． 已知： 如图， AB 是⊙O 的直径， 弦 CD 交 AB 于 E 点， BE=1， AE=5， ∠AEC=30°， 求 CD 的长．
12．已知：如图
，试用尺规将它四等分．
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鸡西市第十九中学学案
2014 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
垂直于弦的直径 学习 目标 重点 难点
1.圆的对称性。2.通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的 性质。3.能运用垂径定理计算和证明实际问题。 1.通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质； 2.能运用垂径定理计算和证明实际问题。 （一）课前预习： 1.什么是轴对称图形？我们学过的图形哪些是轴对称图形？圆是轴对称图形吗？ ★ 圆是_________图形，其对称轴是_________________的直线，有 条。 （二）探究新知： 问题：如图， CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，且 CD⊥AB，垂足为 E ， 观察并猜测：⑴相等的线段： ＝______（除半径外） ⑵相等的弧_______ ＝_______, _______＝_______。 C 证明：
13．今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．(选 自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1 尺=10 寸)．
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14．已知：⊙O 的半径 OA=1，弦 AB、AC 的长分别为 2 ， 3 ，求∠BAC 的度数．
15．已知：⊙O 的半径为 25cm，弦 AB=40cm，弦 CD=48cm，AB∥CD． 求这两条平行弦 AB，CD 之间的距离．
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6．如图，⊙O 的半径 OC 为 6cm，弦 AB 垂直平分 OC，则 AB=______cm，∠ AOB=______． 7．如图，AB 为⊙O 的弦，∠AOB=90°，AB=a，则 OA=______，O 点到 AB 的距 离=______．
8．如图，⊙O 的弦 AB 垂直于 CD，E 为垂足，AE=3，BE=7，且 AB=CD，则圆心 O 到 CD 的距离是______． 9． 如图， P 为⊙O 的弦 AB 上的点， PA=6， PB=2， ⊙O 的半径为 5， 则 OP=______．