概率测试题答案

1、解：设事件A 表示“顾客买下该箱”，i B 表示“箱中恰好有i 件次品”，2,1=i , 则 8.0)(0=B P ，1.0)(1=B P ，1.0)(2=B P ，1)|(0=B A P ，
5
4)|(420
4
191==
C C B A P ， 19
12)|(420
4182==
C C B A P 。

(1)由全概率公式得
∑=⨯+⨯+⨯====2
94
.01912
1.0541.018.0)|()()(i i i B A P B P A P α(2)由贝叶斯公式
85.094
.01
8.0)()|()()|(000=⨯===A P B A P B P A B β。

2、解：S 为“每个部件装3个铆钉，从50只铆钉中取出三十只装满十只部件”，设i
A 表示事件“3个次品铆钉全装在了第i 个部件上”，10,,2,1 =i 。

设A 表示事件“3个次品铆钉全装在了同一部件上”。

由于从50只铆
钉中任取3只装在第i 个部件上共有3
50C 种取法，而3个次品铆钉全装在了第i 个部件上只有一种取法，因此
1960011)3
50==C A P i （ ， 10,,2,1 =i 又 1021,,,A A A 两两互不相容，因此
1960
110211021=+++=⋃⋃⋃=）（）（）（）（）（A P A P A P A A A P A P
3、解：设事件A=“从甲袋中取出一白球”，事件B=“从乙袋中取出一白球”。

)()|()()|()(A P A B P A P A B P B P +=
)
)(1(111n m N M m Mm Mn n m m N M M n m n N M M +++++=
++++++++=
4、设k A ——第k 个人取到奖票
10
,310
1)
/()/()()(10
1
10991)()/()()(101)(1111122121 =====
⨯====---k A P A A A P A A A P A P A P A A P A A P A P A P k k k k k k
10,2,110
1
)( ==
k A P k
5、（1）4104
452
C C （2）1-4
10
425252C C C +（3）41025C C
6、解：(1)由12
1=∑∞
=k k A
，得A =1；
（2）∑∑===>∞
=∞=+505161
2
121}4{k l k k X P ；
（3）,...7,5,3,21
}2
1{}{2
1==-===-k k X P k Y P k
7、解：设这批种子发芽数为X ，则)9.0,1000(~B X ，由中心极限定理得所求概率为
)1
.09.010009
.01000880(1}880{⨯⨯⨯-Φ-=≥X P
9826
.0)108.2()108.2(1=Φ=-Φ-=
8、解：设第K 户居民每天用电量为k
X 度，
则[]20,0~U X k
，所以()10=K X E ，
()12
202
=
K X D ，设
供应站需供应L 度电才能满足条件，由中心极限定理得
99
.0)12
201000101000(
}{2
1000
1=⨯
⨯-Φ=≤∑=L L X P k k
即 33.23
/10000010000
=-L ， 则L=10426度。

9、解：（1）)
()()
,cov(Y D X D Y X XY =
ρ
⎰⎰=
+=⎰⎰=
+
=101
0101
012
7)()(12
7
)()(dxdy y x y Y E dxdy y x x X E
⎰⎰=+
=
101
03
1
)()(dxdy y x xy XY E
144
1
12712731),cov(-=⨯-=∴Y X
⎰⎰=+
=
10102
2
12
5
)()(dxdy y x x X E
144
11
)127(125)()(12
5
)()(210102
2
=
-==∴⎰⎰=
+
=Y D X D dxdy y x y Y E 故11
1-=XY
ρ （2）0≠XY ρ ∴X 与Y 不独立。

10、解：（1）区域G 的面积为
6
1
)(1
02
102
=⎰-
=
⎰⎰=
⎰⎰dx x x dy dx dxdy x
x G
),(Y X 的联合概率密度为
⎩⎨
⎧<<<<=其它,0
,10,6)(2x
y x x x f
（2）X 的边缘概率密度为⎰=∞
∞-dy y x f x f X ),()(
⎩⎨
⎧<<⎰=其它,0
1
0,62
x dy x x =⎩⎨⎧<<-其它,0
1
0),(62x x x
Y
的边缘概率密度为 ⎰=∞
∞-dx y x f y f Y ),()( ⎩⎨⎧<<⎰=其它,0
10,6y dx y y =⎩⎨⎧<<-其它,010),(6y y y
（3）显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与
Y 不独立。

11、解：3
22)()(10210=⎰=
⎰⎰=
-dx
x dx
xdy X E x
x 0)()(10=⎰⎰=-dx ydy Y E x x
，⎰⎰==-100)()(x
x dx xydy XY E
0(=-=）（）（）（）、Y E X E XY E Y X COV
12、（1）023.0)24
(1}96{1}96{=Φ-=<-=≥σ
X P X P
所以 )0.2(997.0)24
(Φ≈=Φσ
进而 12=σ
)
12()12(}1212
{
}8460{σ
σσσ
μ
σ
-Φ-Φ=≤-≤
-=≤≤X P X P
6826
.08413.021)1(21)12
(2=⨯=-Φ=-Φ=σ
（2）)12,72(~2N X 所以
2~(143,24)Y N -
∞<<∞-⨯+-=y x y f Y ,}24
2)143(exp{2241
)(2
2
π
13、解：(1)
1)1(2
1
)2()(2
110=⎰+=-
+⎰=
⎰∞+∞-A dx x Axdx dx x f
1=∴A
(2)⎰=∞-x
dt
t f x F )()( ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≥<≤<≤≤⎰-+⎰⎰=221100,1,)2(,
,01100x x x x dt t tdt tdt x
x ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤--<≤≤=2,12
1,121210,20,022
x x x x x x x
14、解：X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,
0,21
)(π
ππ
x x f X ， 则
0s i n 21
)(s i n )(=⎰==-π
ππx d x X E Y E
21sin 21)(sin )(2
2
2
=⎰==-π
ππ
xdx X E Y E
5.0)]([)()(22=-=Y E Y E Y D
15、解：λ3)()(2)2()(=+=+=Y E X E Y X E U E
λ=-=-=)()(2)2()(Y E X E Y X E V E )()(4)]2)(2[()(2
2
Y E X E Y X Y X E UV E -=-+=
2
2233)]()([)]()([4λλ+=+-+=Y E Y D X E X D
λ5)()(4)()(=+==Y D X D V D U D λ3)()()(),(=-=V E U E UV E V U Cov
0.6UV ρ=
=。