和差公式与二倍角公式 习题 难
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。
如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。
1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。
两角和与差和二倍角公式辅助角公式
两角和与差和二倍角公式、辅助角公式上课时间上课教师上课重点：两角和与差公式的正确运用，凑角方法的运用上课规划：解题技巧以及凑角方法的灵活掌握—一两角和与差公式1、cos79°cos34°sin79 °sin34°（）2、已知cos 4，（亍），则cos（）（）5 2 43、已知，都是锐角，sin =3,cos =—,求sin（ + ）5 134、已知sin =-15,(冷)，求sin( +-)55、已知cos =13, ( ，2)，求sin(--)6.若sin a 睿，sin B2013、_V lQ3的值为（）=10，（3为锐角，贝Sa +基础提咼2.已知sin cos 3 .2 . ,sin cos •、2 12 2 2 2则sin( )()，sin( )=()则tan tan =(二凑角方法的运用(针对高考)1、若，为锐角，且满足cos 4，cos( )53，则sin5的值是()A 17B 3C -D 125 5 25 52、已知tan()5 ，tan( )41，那么tan(44)()1、若sin sin ,cos2cos 1，则cos(3.已知cos(4.已知sin( )T，sin(=(sin7ocosl5)sin8°cos7 sin15°sin8。
的值为sin 47° sin 17°cos30o cos17°三能力提升（二倍角公式） 1、sin 163o sin 223° si n 253° sin313(）。
A 1B -CD 乜222 22.、若 sin('6)13则 cos(23 2 )( )A. 7B1C1D793393、sin 163o ! sin 223o si n253o si n313°(）。
A 1B -CD22223、已知sincos2(0,n 兀), 贝卩sin 2=■■ 22A. 1B.C.D.122sin4、若 ----cos 2，则 tan2 —sincos2A 3344A.-B.C.D.44335.、已知cos(-)cos(—4）1， 贝卩sin4cos 4的值等于7、函数y2sin x(sin x cos x ）的最大值为（)A . 1 2B.2 1C .、2D . 2&在VABC 中，si nA cosA 的取值范围是()A ( 1, 2]B (彳,弓C ( T , 2]D ( 1, 1]A 18B 1322C 22D 13、 4.、(A )(B )(D )9、函数y sin x 3cosx在区间［0,-］上的最小值为210、函数y 2cos2 x sin 2x的最小值_______________ .四三角函数有关逻辑D既不充分也不必要条件1 ”4、sin 二一疋cos22D.既不充分也不必要条件能力提升辅助角公式、二倍角公式的综合化简1、y cos(2x n)曲x cos2x2、y 2 sin -co^^ sin2-2 2 22 x cos一 23、y (1 3 tanx)cosx 4、22cos x sin 2x1、在4 ABC中，“A>30o”是“ sinA>l ”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也必要条件2、疋cos 26A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3、 6 2k(k Z)是“ cos2A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充要条件5、y cosx cos(x )6、y 2 sin x(sinx cosx)3。
2019届高考数学第一轮专题复习测试卷第十八讲两角和与差及二倍角公式
数学试卷第十八讲 两角和与差及二倍角公式一、选择题： (本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)π47π1． 已知 cos α－ 6 ＋ sin α＝ 5 3，则 sin α＋ 6 的值是()2 3B.2 3A ．－ 554 4C ．－ 5D.5解析： ∵ cosπ＋ sin α＝ 43α－ 65∴3341 3 42 cos α＋ 2sin α＝53， 3 2cos α＋ 2 sin α＝ 5 3，π4π 43 sin 6＋α ＝ 5 3， ∴ sin 6＋ α＝5，7π4∴ sin α＋ 6π＝－ sin 6＋ α＝－ 5.答案： Cπ35 2π2．已知 cos － α＝ 3，则 cos 6π＋ α－ sin α－6 的值是 ( )6 A. 2＋ 3 2＋ 33B ．－ 3C. 2－ 3D. －2＋ 33 3解析： ∵ cos 5π6π＋ α＝ cos π－ 6－ απ 3 ＝－ cos 6－ α＝－ 3.2π2π12而 sin α－6＝ 1－ cos α－ 6 ＝1－3＝ 3，3－2＋ 3所以原式＝－2＝－ 3.3 3答案： B510 3．若 sin α＝ 5 ， sin β＝ 10 ，且 α、 β为锐角，则 α＋ β的值为( )π πA ．－4 B.4πD.πC．±34解析：解法一：依题意有cosα＝1－5 225 5＝5，cosβ＝1－10 2＝310，1010∴ cos(α＋β)＝2531051025×10－5×10＝2＞ 0.π∵ α，β都是锐角，∴ 0＜α＋β＜π，∴ α＋β＝4.5 2解法二：∵ α，β都是锐角，且 sin α＝5＜2，sinβ＝10＜2，102∴ 0＜α，β＜ππ4， 0＜α＋β＜2，∴ cosα＝1－5 2＝2 5，55102 3 10cosβ＝1－10＝10 ，5×31010×252sin( α＋β)＝510 ＋105＝ 2.π∴ α＋β＝ .4答案： B4．在△ ABC 中，若 cosA＝4， cosB＝5，则 cosC 的值是 () 5131656 A. 65 B.6516或 5616 C.65 65D．－65解析：在△ ABC 中，0＜A＜π，0＜ B＜π，cosA＝45ππ5＞ 0，cosB＝13＞ 0，得 0＜ A＜2，0＜ B＜2，从而 sinA＝3， sinB＝12，513所以 cosC＝ cos[ π－ (A＋B)]＝－ cos(A＋ B)＝ sinA ·sinB － cosA ·cosB3 1245 16＝ 5× 13－ 5×13＝65，故选 A.答案： A5．若 cos2θ＋ cos θ＝0，则 sin2θ＋ sin θ的值等于 ( )A ．0B ．± 3C ．0或 3D ．0或±3解析： 由 cos2θ＋ cos θ＝ 0 得 2cos 2θ－1＋ cos θ＝0，所以 cos θ＝－ 1 或12.当 cos θ＝－ 1 时，有 sin θ＝ 0；1 3当 cos θ＝ 2时，有 sin θ＝ ±2 .于是 sin2θ＋ sin θ＝ sin θ(2cos θ＋ 1)＝ 0 或 3或－ 3.答案： D评析： 本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．6． (2019 ·口质检海 )在△ ABC 中，已知 s in(A － B)cosB ＋cos(A － B)sinB ≥ 1，则△ ABC 是 ( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析： sin(A － B)cosB ＋ cos(A － B)sinB ＝ sin[( A － B) ＋B] ＝ sinA ≥1，又 sinA ≤ 1， ∴sinA ＝ 1， A ＝ 90°，故 △ ABC 为直角三角形．答案： A二、填空题： (本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分，把正确答案填在题后的横线上．)7.2cos10 °－ sin20 ° sin70 ° 的值是 ________．2cos(30 －°20°)－ sin20 °解析： 原式＝sin70 °2(cos30 ·°cos20 °＋ sin30 ·°sin20 )°－ sin20 °＝sin70 °3cos20 °＝＝3.cos20 °答案： 3π12π cos2α π 8．已知 cos 4－ α＝ 13， α∈ 0， 4 则 π ( α∈ 0，4 )＝ ________.sin ＋α4解析： ∵ cos2α＝cos 2α－ sin 2α2πsin 4＋ α2 (sin α＋ cos α)(cos α－ sin α)(cos α＋sin α)＝22(sin α＋cos α)π＝ 2(cos α－sin α)＝ 2sin 4－ α.πππ又 α∈ 0，4 ，则 4－α∈ 0， 4 .π 12π 5由 cos 4－α＝ 13 ，则 sin 4－ α＝13.∴ 原式＝ 1013.答案：10139． (1＋ 3tan10 )°·cos40 °＝ ________.3sin10 °解析： (1＋3tan10°)cos40°＝1＋ cos10 ° cos40 °3sin10 ＋°cos10 °＝cos10 ° ·cos40 °2sin(10 ＋°30°) ＝cos10 ° ·cos40 °＝2sin40 cos40° ° sin80 °cos10 ° ＝cos10 ＝ 1.°答案： 110．已知 α、 β均为锐角，且 cos(α＋β)＝sin( α－ β)，则角 α＝________.解析： 依题意有 cos αcos β－ sin αsin β＝ sin αcos β－ cos αsin β，即 cos α(cos β＋ sin β)＝ sin α(sin β＋ cos β)．∵ α、 β均为锐角∴ sin β＋ cos β≠ 0，必有 cos α＝ sin απ∴ α＝ 4.答案：π4三、解答题： (本大题共 3 小题， 11、 12 题 13 分， 13 题 14 分，写出证明过程或推演步骤．)11． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相2 2 5交于 A 、B 两点．已知 A 、 B 的横坐标分别为 10 ， 5 .(1)求 tan(α＋ β)的值； (2)求 α＋ 2β的值．22 5解： 由已知得 cos α＝ 10 ， cos β＝5 .∵ α， β为锐角，27 225∴ sin α＝ 1－ cos α＝10 ， sin β＝ 1－ cos β＝ 5.∴ tan α＝ 7， tan β＝1.21tan α＋ tan β7＋2＝－ 3.(1)tan( α＋ β)＝＝1－ tan α·tan β 1－ 7×121(2)∵ tan2β＝2tan β＝ 2× 2 ＝ 4， 1－ tan 2β1 2 31－ 24tan α＋ tan2β 7＋3 4＝－ 1.∴ tan(α＋2β)＝ ＝ 1－ 7×1－ tan α·tan2β 3∵ α、 β为锐角， ∴0＜ α＋ 2β＜ 3π3π2 ， ∴ α＋ 2β＝ 4 .1 ， cos(α－ β)＝ 13，且 0< β< π 12．已知 cos α＝14α< . 7 2(1)求 tan2α的值；(2)求 β的值．分析： 由已知可求 sin α，进而可求 tan α，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝ α－ (α－β)可求得cos β.1π解： (1) 由 cos α＝ 7，0<α<2，2124 3得 sin α＝ 1－ cos α＝1－ 7 ＝ 7 .∴ tan α＝ sin α 4 3 7 3.＝ × ＝ 4 cos α 7 1于是 tan2α＝ 2tan α ＝ 2×4 3 ＝－ 8 31－ tan 2α 1－ (4 3)247 .π 0<α－ β<π，得 2.(2)由 0<β<α<213又 ∵ cos(α－ β)＝14，∴ sin(α－ β)＝ 1－ cos 2(α－ β)＝3 314由 β＝α－(α－ β)，得cos β＝ cos[α－ (α－β)] ＝cos αcos(α－ β)＋ sin αsin( α－ β)1 134 3 3 3 1＝ 7××14 ＝2.14＋7所以 β＝ π3.π3 π3 ，sin3π5，求 sin( α＋ β)的值．13．已知 0<β<4<α<4π， cos 4－ α＝ 5 4 ＋ β＝ 13 π 3π 解： ∵4<α< 4 ，∴ －3π ππ π4 <－ α<－ 4，－ 2<4－ α<0.π3 π4又 ∵ cos 4－ α＝ 5， ∴ sin 4－ α＝－ 5.π3π 3π 又 ∵ 0<β<4， ∴ 4 < 4 ＋ β<π.又 ∵ sin 3π54＋β＝ 13，3π12 ∴ cos 4 ＋ β＝－ 13，π∴ sin(α＋ β)＝－ cos 2＋ (α＋β)3ππ＝－ cos4 ＋ β－ 4－ α3ππ3ππ＝－ cos 4 ＋ βcos 4－α－ sin 4 ＋ βsin 4－ α12×3 5×4＝－ －135－13－ 536 20 56 ＝ 65＋ 65＝ 65.评析： 三角函数的给值求值问题解决的关键在于把 “ 所求角 ” 用 “ 已知角 ” 表示．(1) 当 “ 已知角 ” 有两个时， “ 所求角 ” 一般表示为两个 “ 已知角 ” 的和或差的形式；(2) 当 “ 已知角 ” 有一个时， 此时应着眼于 “ 所求角 ” 与 “已知角 ”的和或差的关系， 然后应用诱导公式把 “所求角 ”变成 “已知角 ”．(3) 常见的配角技巧α1 1π π π α＝ 2·； α＝(α＋ β)－ β； α＝β－(β－ α) ； α＝ [( α＋ β)＋(α－ β)] ； β＝ [(α＋ β)－ (α－ β)] ； ＋ α＝ － － α .2 2 2 4 2 4。
第4课 两角和与差及倍角公式
第4课 两角和与差及倍角公式（二）【基础练习】1．写出下列各式的值：（1）2sin15cos15︒︒=_________； （2）22cos 15sin 15︒-︒=_________； （3）22sin 151︒-=_________； （4）22sin 15cos 15︒+︒=________．2．已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+=_________． 3．求值：（1）1tan151tan15-︒=+︒_______；（2）5cos cos 1212ππ=_________．4．求值：tan10tan 203(tan10tan 20)︒⋅︒+︒+︒=________．5．已知tan32α=，则cos α=________．6．若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+=_________． 【范例解析】例1.求值：（1）sin 40(tan103)︒︒-；（2）2sin 50sin 80(13tan10)1cos10︒+︒+︒+︒．例2.设4cos()5αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2παβπ+∈，求cos2α，cos2β．例3.若3cos()45x π+=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 【反馈演练】1．设)2,0(πα∈，若3sin 5α=，则)4cos(2πα+=__________．2．已知tan 2α=2，则tanα的值为_______，tan ()4πα+的值为___________ ．3．若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =___________． 4．若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，则tan tan αβ= ． 5．求值：11sin 20tan 40-=︒︒_________．6．已知232,534cos παππα<≤=⎪⎭⎫⎝⎛+．求⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos πα的值 第三章 三角函数B第5课 三角函数的图像和性质（一）【基础练习】1. 已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_________；初相ϕ=__________．2. 三角方程2sin(2π－x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为______________________．4. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象向右平移__________个单位． 【范例解析】例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，长度为一个周期；（Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 例2.已知正弦函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ；（2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ； （3）作出函数12()()y f x f x =+的图像的简图．第3题【反馈演练】1．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点①向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；②向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；③向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）；④向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．其中，正确的序号有___________．2．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移______个单位长度．3．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)3f =，则ω=______；ϕ=__________．4．在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为____________________． 5．下列函数： ①sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ③cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ④cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_________．6．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω （1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段时间的函数解析式．7．如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象－2 22x =8xyO第6题第5题与y 轴相交于点(03)，，且该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当032y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．第6课 三角函数的图像和性质（二）【基础练习】1.写出下列函数的定义域： （1）sin3xy =的定义域是______________________________； （2）sin 2cos xy x=的定义域是____________________． 2．函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________． 3．函数 22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）的最小正周期是_______． 4. 函数y =sin(2x +3π)的图象关于点_______________对称． 5. 已知函数tan y x ω= 在（－2π，2π）内是减函数，则ω的取值范围是______________．【范例解析】例1.求下列函数的定义域： （1）sin 2sin 1tan xy x x =++；（2）122log tan y x x =++． 例2．求下列函数的单调减区间： （1）sin(2)3y x π=-； （2）2cos sin()42xy x π=-；例3．求下列函数的最小正周期： （1）5tan(21)y x =+；（2）sin sin 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【反馈演练】1．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 _____________．yx3O PA 第7题2．设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x 在[0,2]π上的单调递减区间为___________．3．函数()sin 3cos ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是________________． 4．设函数()sin3|sin3|f x x x =+，则()f x 的最小正周期为_______________． 5．函数22()cos 2cos 2xf x x =-在[0,]π上的单调递增区间是_______________． 6．已知函数π12cos 24()πsin 2x f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）若角α在第一象限且3cos 5α=，求()f α． 7． 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x ．（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像第7课 三角函数的值域与最值【基础练习】1.函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 ．2.函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ．3.函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是___________________．4.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 ___．【范例解析】例1.（1）已知1sin sin 3x y +=，求2sin cos y x -的最大值与最小值． （2）求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值．例2.求函数2cos (0)sin xy x xπ-=<<的最小值．例3.已知函数2π()2sin 3cos 24f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．【反馈演练】 1．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于___________．2．当04x π<<时，函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是____________． 3．函数sin cos 2xy x =+的最大值为_______，最小值为________.4．函数cos tan y x x =⋅的值域为 .5．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于_________．6．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．第８课 解三角形【基础练习】1．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ .2．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是______________.3．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = ．【范例解析】例1. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，2C A =，3cos 4A =．（1）求ca的值；（2）求b 的值． 例2.在三角形ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状．例3.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β.（1）证明：sin cos 20αβ+=； （2）若AC =3DC ，求β． 【反馈演练】1．在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =_____________．2．ABC ∆的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a =，则cos B =_____．3．在ABC ∆中，若2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则ABC ∆的形状是______三角形．4．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ． 5．在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 6．在ABC ∆中，已知内角A π=3，边23BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值． 7．在ABC ∆中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆最大边的边长为17，求最小边的边长．第9课 解三角形的应用【基础练习】1．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________m ．2．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值为_______________ km ．3．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60 ，行驶4h后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15 ，这时船与灯塔的距离为 km ．4．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于B ，D ， 已知ABD ∆为边长等于a 的正三角形，当目标出现于C 时，BDCαβA例3BC D北 1B2B1A2A120 105 乙甲例1（1） 测得45BDC ∠= ，75CBD ∠=，求炮击目标的距离AC【范例解析】例 .如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？【反馈演练】 1．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45︒和30︒，而且两条船与炮台底部连线成30︒角，则两条船相距____________m ．2．有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为20︒，现要将倾斜角改为10︒，则坡底要伸长_______km ．3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是__________海里．4．把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且120ABC ∠=︒，则第三条边AC 的最小值是____________cm ．5．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=。
18 两角和差与2倍角公式(考点+解析)
1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
2．二倍角公式 αααcos sin 22sin =；2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-。
3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=。
（2）辅助角公式()22sin cos sin a x b x a b x ϕ+=+⋅+，2222sin cos b a a ba bϕϕ==++其中，。
4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
19《三角函数-两角和与差二倍角公式》
2 ,
(一)公式正用 例1、求值:
1sin555
5 2 cot 12
例2
P(53 例1)
1 2 设 . , sin , cos 2 9 2 3
50
3
求α+2β。
[点评] “给值求角”：求角的大小，常分两步 完成：第一步，先求出此角的某一三角函数 值；第二步，再根据此角的范围求出此角。 在确定角的范围时，要尽可能地将角的范围 缩小，否则易产生增解。
四.给式求值 例4:P(55例3)已知a为第二象限角,且
和sin2a+cos2a的值
5 cos sin 求 sin con 2 2 2 2 2
【作业布置】
三角函数的化简与证明
一、知识点 1、化简 （1）化简目标：项数习量少，次数尽量低，尽量 不含分母和根号 （2）化简三种基本类型： 1） 根式形式的三角函数式化简 2） 多项式形式的三角函数式化简 3）分式形式的三角函数式化简 （3）化简基本方法：用公式；异角化同角；异名 化同名；化切割为弦；特殊值与特殊角的三角函 数值互化。
一.给角求值. 例1、计算 sin 40 (tan 10
0 0
3 ) 的值。
练习:（全国高考）tan20°+4sin20°
[点评] “给角求值” 观察非特殊角的 特点，找出和特殊角之间的关系 注意特殊值象1、等，有时需将其转化 成某个角的三角函数，这种技巧在化 简求值中经常用到。
二.给值求值 例2、例2、(P(55) 已知
3 1 sin( x ) cos( x ) 4 4 4
求cos4x的值.
高中数学两角和与差,二倍角公式试卷,复习资料
1、和角、差角度公式及使用条件c o s ()αβ+= ； c o s ()αβ-= ； s i n ()αβ+= ； s i n ()αβ-= ；t a n ()αβ+= ；(,,,)2k k Z παβαβπ+≠+∈ t a n ()αβ-= ；(,,,)2k k Z παβαβπ+≠+∈2、 诱导公式s i n ()2πα-= ；c o s ()2πα- ；ta n ()2πα- ； s i n ()2πα+= ；c o s ()2πα+ ；ta n ()2πα+ ； 3s i n ()2πα-= ；3c o s ()2πα- ；3ta n ()2πα- ； 3s i n ()2πα+= ；3c o s ()2πα+ ；3ta n ()2πα+ ；以上五组诱导公式合在一起，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，即（,2k k Z πα⋅±∈）的三角函数值，当k 为偶数时，函数名不变；当k 为奇数时，函数名变为它的余名函数，符号仍是α看成锐角时原函数值的符号。
3、 辅助角公式 s i n c o s a b αα±= (0)a b ⋅≠ 1．sin 163sin 223sin 253sin 313+= 2．化简c o s()sin sin ()c o s x y y x y y +-+= 3．ta n 10ta n 203(ta n 10ta n 20)++=5．设,(0,)2παβ∈，且14ta n ,ta n 73αβ==，则αβ-=6．在A B C ∆中，已知53c o s ,c o s 135A B ==，co s C 的值为8．已知12c o s()(),c o s 61362πππααα-=<< 9．已知55sin (),sin (),1313αβαβ-=+=-且,2παβπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，3,22παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，求c o s 2β的值。
两角和与差二倍角公式求值
两角和与差二倍角公式()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαsin sin cos cos cos =±()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=± （二）倍角公式βααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα22tan 1tan 2tan -= 例1、求值() 555sin 1 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-125tan 2π 例2设,322sin ,912cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαβα,20,2πβπαπ<<<<().cos βα+求(二),公式逆用sin1630sin2230+sin2530sin3130例3 已知()(),43tan tan tan tan tan =+⋅--+βααβαβα且(),0cos >+βπ求()πβ3sin -(三).用用边角关系的公式解三角形例4、在三角形ABC 中,角A..B.C 对边a,b,c222sin():sin a b A B Cc --=证明(四)综合例5、(0,),sin sin sin 2cos cos cos ,παβγαγββγαβα++∈+=+=-求三角函数式的求值(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角例1、计算)310(tan 40sin 00-的值。
练习:（全国高考）tan20°+4sin20°“给值求值”例2、(上海高考)已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值练习:)6sin(,212tanπαα+=求已知例3、已知sin(-4πx)=135，0<x<4π，求)4cos(2cos x x +π的值。
专题22 两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切公式(解析版)
类型二、两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用
基础知识：
1．两角和与差的正切公式：tan(α±β)＝ .
2.常用和差角正切公式变形：
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；（2）tanα·tanβ＝1－ ＝ －1.
(3) ＝tan ；(4) ＝tan 。
基础题型：
1．（两角差正切公式的正用）若 ，则 =．
【答案】
【解析】 ．
2．（两角差、和正切公式的正用））tan 15°＋tan 105°等于()
A．－2 B．2＋
C．4D.
【答案】A
【解析】tan 15°＋tan 105°＝tan ＋tan ＝ ＋ ＝－2 .
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
7．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知 ，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，得 ，即 ，
解得 或 （舍去），又 ．
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题．
【答案】①.1②.
【解析】
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为 ，代入自变量 ，计算即可.
【详解】∵ ，∴ ，∴
3.（2022·浙江卷T13）若 ，则 __________， _________．
【答案】①. ②.
【解析】
【分析】先通过诱导公式变形，得到 的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出 ，接下来再求 ．
高一-三角函数的和差公式与二倍角 含答案
课程主题： 三角函数的和差公式与二倍角教学内容知识精讲知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)()βαtan tan 1∙ ； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛±4πa .4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．例题精讲题型1：三角函数的给值求值例1.已知0β<<344παπ<<，335cos(),sin()45413παπβ-=+=，求的sin(α＋β)的值． 分析：比较所要求的角和已知角，可以发现3()()()442πππβααβ+--=++或由cos()sin 4πα-=()4πα+，再由3()()()44παπβπαβ+++=++求解. 解（一）：33,,0444424ππππαππαα<<∴-<-<--<-<，又34cos(),sin().4545ππαα-=∴-=-33353120,,sin(),cos()444413413πβππβππβπβ<<∴<+<+=∴+=-.sin(α＋β)=3cos[()]cos[()()]244ππαβπβα-++=-+--33cos()cos()sin()sin()4444πππβαπβα=+--+-1235456()()13513565=--⨯-⨯-=.解（二）：cos()sin 4πα-=()4πα+35=，4,cos()2445πππαπα<+<∴+=-.33353120,,sin(),cos()444413413πβππβππβπβ<<∴<+<+=∴+=-.sin(α＋β)333sin[()()][sin()cos()cos()sin()]444444πππαπβαπβαπβ=-+++=-+++++3124556[()()]51351365=-⨯-+-⨯=.解题思路：我们在计算、化简或证明一些三角函数式时，充分所求的角和已知角之间的联系，如：()()()αβαββαβαα-+=-++=,2，33ππαα-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，244παπαπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+44πββαπα，这一点非常重要它可以有效的帮助我们解题，更重要的是它可以让许多问题变得非常简单.课堂检测如图，点P 是单位圆上的一个顶点，它从初始位置0P 开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（02πα<<）到达点1P ，然后继续沿单位圆逆时针方向运动3π到达点2P ，若点2P 的横坐标为45-，则cos α的值等于 。
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和差公式与二倍角公式习题
一、选择题（共14小题；共70分）
1. tanα=2，tanβ=3，则tan(α−β)等于( )
A. −7
B. 1
5C. −1
5
D. −1
7
2. 在△ABC中，若tanA+tanB+√3=√3tanA⋅tanB，则∠C等于( )
A. π
3B. 2
3
π C. π
6
D. π
4
3. sinαsinβ−cosαcosβ等于( )
A. sin(α+β)
B. cos(α+β)
C. sin(α−β)
D. −cos(α+β)
4. 若cosθ=1
3且270∘<θ<360∘，则cosθ
2
=( )
A. √3
3B. √6
3
C. ±√6
3
D. −√6
3
5. tan20∘+tan40∘+√3tan20∘tan40∘的值为( )
A. 1
B. √3
3
C. −√3
D. √3
6. 已知sin(α+π
6)=1
3
，π
3
<α<π，则求sin(π
12
−α)=( )
A. −4+√2
8B. −4−√2
8
C. −4−√2
6
D. −4+√2
6
7. 已知a=sin14∘+cos14∘，b=sin16∘+cos16∘，c=√6
2
，则a，b，c的大小顺序为( )
A. a<b<c
B. a<c<b
C. b<c<a
D. b<a<c
8. 已知tanα=1
2
，则cos2α=( )
A. 3
5B. 2
5
C. −3
5
D. −2
5
9. 已知sinα+sinβ+sinγ=0和cosα+cosβ+cosγ=0，则cos(α−β)的值是( )
A. 1
2B. √3
2
C. −1
2
D. −√3
2
10. 若sinθ=3
5，5π
2
<θ<3π，则tanθ
2
+cosθ
2
=( )
A. 3+√10
10B. 3−√10
10
C. 3+3√10
10
D. 3−3√10
10
11. 函数y=sinx+cosx的图象的一个对称中心是( )
A. (π
4,√2) B. (5
4
π,−√2) C. (−π
4
,0) D. (π
2
,1)
12. (1+tan18∘)(1+tan27∘)的值是( )
A. √2
B. √3
C. 2
D. √5
13. 若3cosx−√3sinx=2√3sin(x+α)，则角α在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
14. 已知 α∈R ，sinα+2cosα=√10
2
，则 tan2α= ( )
A. 4
3
B. 3
4 C. −3
4
D. −4
3
二、填空题（共4小题；共20分） 15. 化简：√2cos (x −π
4
)−sinx = ．
16. 函数 y =2sinx +sin (π3−x) 的最小值是 ． 17. sin (α+β)cos (α−β)+cos (α+β)sin (α−β)= ．
18. 已知 tanα=1
2，tan (α−β)=−2
5，那么 tan (β−2α) 的值是 ．
三、解答题（共2小题；共26分） 19. 已知 tanx =−√2，−π
2<x <0，求 sin (x −π
6) 的值．
20. 已知 α,β∈(0,π
2
) 且 sinβ=cos (α+β)⋅sinα． （1）求证：tanβ=sin2α
2+2sin 2α． （2）求 tanβ 的最大值．
第一部分
1. D
2. A
3. D
4. D
5. D
6. D 【解析】因为π
3
<α<π，
所以π
2<α+π
6
<7π
6
，
所以cos(α+π
6)=√1−1
9
=−2√2
3
，
可得
sin(π
12−α)=sin[π
4
−(π
6
+α)]
=√2
2
cos(π
6
+α)−√2
2
sin(π
6
+α)
=√2
2
(−2√2
3
−1
3
)
=−4+√2
6
.
7. B 【解析】提示：a=√2sin59∘，b=√2sin61∘，c=√2sin60∘．
8. A 【解析】由题意得：
cos2α=cos2α−sin2α
=cos2α−sin2α
cos2α+sin2α
=1−tan2α
1+tan2α
.
因为tanα=1
2
，
所以cos2α=1−1
4
1+1
4
=3
5
．
9. C 【解析】由已知得，−sinγ=sinα+sinβ, ⋯⋯①−cosγ=cosα+cosβ, ⋯⋯②
①2+②2得，1=1+1+2sinαsinβ+2cosαcosβ，
化简得cosαcosβ+sinαsinβ=−1
2
，
即cos(α−β)=−1
2
．
10. B
11. C
12. C 【解析】
(1+tan18∘)(1+tan27∘)
=1+tan18∘+tan27∘+tan18∘⋅tan27∘
=1+tan45∘⋅(1−tan18∘⋅tan27∘)+tan18∘tan27∘= 2.
13. B
14. C 【解析】方法一（直接法）：sinα+2cosα=√10
2
两边平方，
再同时除以 cos 2α，
整理得 3tan 2α−8tanα−3=0， 故 tanα=3 或 tanα=−1
3，
代入 tan2α=2tanα
1−tan 2α，得 tan2α=−3
4．
方法二（猜想法）：由给出的数据及选项的唯一性， 记 sinα=
√
10
，cosα=√10
，
这时 sinα+2cosα=
√10
2
符合要求， 此时 tanα=3，代入二倍角公式求解即可． 第二部分 15. cosx 16. −√3
【解析】
y
=2sinx +sin (π
3−x)=2sinx +√3
2cosx −1
2sinx
=3
2sinx +
√32cosx
=√3sin (x +π6).
所以最小值为 −√3． 17. sin2α 18. −1
12
第三部分 19. −
√22
−
√36
． 20. （1） sinβ=cosαsinαcosβ−sin 2αsinβ， (1+sin 2α)sinβ=cosαsinαcosβ， tanβ=sin2α
2+2sin 2α．
（2） 令 t =sin2α
2+2sin α=sin2α
3−cos2α， sin2α+tcos2α=3t ． sin (2α+φ)=
√1+t 2
，
∣∣√1+t 2∣∣=1，
解得 t =√2
4
．。