2019学年高中数学 考点39 直线的截距式方程庖丁解题 新人教A版必修2
人教A版高中数学必修2课件3.2.2直线的截距式方程课件
y0 x a b0 0a y x a x a x 1 b 0a a a a
化简得，x y 1 a 0, b 0 a b
直线的截距式方程
【典型例题】
设直线l 的倾斜角为 α =60 ° ，并且经过点 P(2,3). （1）写出直线 l的方程； （2）求直线 l在y 轴上的截距. 解：（1）由于直线l 的倾斜角为 α =60 ° ， 故其斜率为 k tan tan600 3 . 又直线经过点 P(2,3)，由直线的点斜式方程 y y0 k x x0 得直线的方程为： y 3 3 x 2 ，即 3 x y 3 2 3 0 .
知识点—— 直线的截距式方程
直线的截距式方程
【定义】
直线的截距式方程： x y 1 a 0, b 0 a b
直线的截距式方程
【公式推导】 已知直线 l与 x轴的交点为 A a, 0 ，与 y轴 的交点为 B 0, b ，其中 a ≠ 0，b ≠0 ，求 直线 l的方程. y y1 x x1 x1 x2 , y1 y2 根据直线的两点式方程： y2 y1 x2 x1 可求出该直线的方程：直线 Nhomakorabea截距式方程
【变式训练】 ∴ 该直线在x 轴上的截距a=-8, 直线在y 轴上的截距 b=-4, ∴该直线与坐标轴围成的三角形的面积为： 1 1 a b 8 4 16. 2 2 1 综上所述：该直线的斜率为 2 ，在 x轴 上的截距为 -8，在y 轴上的截距为 4，与 坐标轴围成的三角形的面积为16 .
直线的截距式方程
【典型例题】 （ 2）
3 x y 3 2 3 0, y 3 x 3 2 3
2019高中数学 考点39 直线的截距式方程庖丁解题 新人教A版必修2
考点39 直线的截距式方程1．直线的截距式方程：我们把直线与x 轴交点（a,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b ，方程1x ya b+=由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程．2．线段的中点坐标公式：若点P 1、P 2的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则线段P 1P 2的中点坐标公式为121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．【例】直线a ＋b＝1过一、二、三象限，则（ ） A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0【解题策略】直线的位置可由直线的横、纵截距共同确定：经过第一、二、三象限⇔横截距0<，且纵截距0>；经过第一、三、四象限⇔横截距0>，且纵截距0<；经过第二、三、四象限⇔横截距0<，且纵截距0<；经过第一、二、四象限⇔横截距0>，且纵截距0>．1．若直线l 在x 轴、y 轴上的截距都是负数，则（ ）A ．l 的倾斜角是锐角且l 不过第二象限B ．l 的倾斜角是钝角且l 不过第一象限C ．l 的倾斜角是锐角且l 不过第四象限D ．l 的倾斜角是钝角且l 不过第三象限【答案】B【解析】画图可知．2．直线324x y -=的截距式方程是（ ）A ．3142x y-= B ．41132x y-= C ．3142x y -=- D ．1423x y +=- 【答案】D【解析】求直线的截距式方程，必须把方程化为1x ya b+=的形式，即右边为1．左边是和的形式． 【易错易混】截距不是距离，截距可正可负，也可为零．3．已知点A (1，2)，B (3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．425x y -=B ．425x y +=C ．25x y +=D ．25x y -=【答案】A4．直线1ax by +=与两坐标轴围成的三角形面积是（ ）A ．12abB ．12ab C ．12abD ．12ab【答案】D【解析】方程化为截距式111x ya b+=，∴111122S a b ab ==． 5．经过点(2,1)，在x 轴上的截距为－2的直线方程是________．【答案】x－2＋2y ＝1，【解析】设直线方程为x －2＋y b ＝1，将(2,1)代入上式，得b ＝12，即x －4y ＋2＝0．【解题技巧】如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．6．已知在△ABC 中，点A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．（1）求点C 的坐标；（2）求直线MN 的方程．1．在x ，y 轴上截距分别是3，-4的直线的方程是（ ）A ．43120x y +-=B ．43120x y --=C ．4310x y +-=D ．4310x y -+=【答案】B【解析】由截距式得方程134x y+=-，即43120x y --=． 2．过点(2，4)可作在x 轴、y 轴上的截距相等的直线共（ ）A ．一条B ．两条C ．三条D ．四条【答案】B【解析】分过原点与不过原点两种情况共两条直线．3．过点P (1，3)，且与x y 、轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是（ ）A ．360x y +-=B ．3100x y +-=C ．30x y -=D ．380x y -+=【答案】A【解析】设方程为1x y a b +=，∴16,2131,ab a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴2,6a b =⎧⎨=⎩．4．求过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程．笛卡尔坐标系的由来关于笛卡尔创建坐标系的过程，有一个生动的小故事，据说有一天，笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此，他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来，突然，他看见屋顶上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿功夫，蜘蛛又顺着丝爬了上去，在上边左右拉丝，蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗．。
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程课件新人教A版必修2
ab
又过点 A,所以 4 + 2 =1
ab
因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以|a|=|b|
由①②联立方程组,解得
a b
6, 6,
或
a b
2, 2.
所以所求直线的方程为 x + y =1 或 x + y =1,
66
2 2
化简得直线 l 的方程为 x+y=6 或 x-y=2.
1.直线的两点式方程
(1)定义:如图所示,直线 l 经过点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2,y1≠y2),则方程
y y1 = x x1 叫做直线 l 的两点式方程,简称两点式. y2 y1 x2 x1
解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时,一般选择 直线方程的截距式,若设直线在 x 轴,y 轴上的截距分别为 a,b,则直线与坐标
上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式.
由直线方程的截距式得直线 l 的方程为 x + y =1,即 x+4y-8=0. 82
由①②可得 5a2-32a+48=0,
解得
a b
4, 3
或
a b
12 5 9. 2
,
所以所求直线的方程为 x + y =1 或 5x + 2 y =1,即 3x+4y-12=0 或 15x+8y-36=0.
则 (2)说xy 明xy:11与22坐xy22标,. 轴垂直的直线没有两点式方程.
解:由题意可设 A(a,0),B(0,b),
由中点坐标公式可得
a 0
2 2
高中数学 3223直线的方程课件 新人教版A必修2
∴M52，－3， 又 BC 边上的中线经过点 A(－3,2)． ∴由两点式得－y－3－22＝52x－－－－33， 即 10x＋11y＋8＝0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0.
规律方法 ①首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式 的要求，对字母则需分类讨论；②注意问题叙述的异同，本题 中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是 直线．
2．线段的中点坐标公式
若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设 P(x，y)是线段
P1P2
的中点，则x＝ y＝
x1＋x2 2
，
y1＋2 y2.
试一试：若已知 A(x1，y1)及 AB 中点(x0，y0)，如何求 B 点的坐 标？
提示
设 B(x，y)，则由xy11＋ ＋22 xy＝ ＝xy00， ，
【变式 1】 (2012·绍兴一中高一检测)已知△ABC 三个顶点坐标 A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
解 ∵A(2，－1)，B(2,2)， A、B 两点横坐标相同， ∴直线 AB 与 x 轴垂直，故其方程为 x＝2. ∵A(2，－1)，C(4,1)， ∴由直线方程的两点式可得直线 AC 的方程为 －y－1－11＝2x－－44， 即 x－y－3＝0. ∵B(2,2)，C(4,1)， ∴由直线方程的两点式可得直线 BC 的方程为2y－－11＝2x－－44， 即 x＋2y－6＝0.
【变式 4】 (2012·菏泽一中高一检测)已知直线 l 的方程为 3x＋ 4y－12＝0，求直线 l′的方程，l′满足 (1)过点(－1,3)，且与 l 平行； (2)过点(－1,3)，且与 l 垂直．
解 法一 由题设 l 的方程可化为：y＝－34x＋3， ∴l 的斜率为－34， (1)由 l′与 l 平行， ∴l′的斜率为－34. 又∵l′过(－1,3)， 由点斜式知方程为 y－3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y－9＝0.
数学：3.2《直线的点斜式、斜截式方程》教案（新人教A版必修2）
数学：3.2《直线的点斜式、斜截式⽅程》教案（新⼈教A 版必修2）课题：直线的点斜式、斜截式⽅程课型：新授课教学⽬标：1、知识与技能（1）理解直线⽅程的点斜式、斜截式的形式特点和适⽤范围；（2）能正确利⽤直线的点斜式、斜截式公式求直线⽅程。
（3）体会直线的斜截式⽅程与⼀次函数的关系.2、过程与⽅法在已知直⾓坐标系内确定⼀条直线的⼏何要素——直线上的⼀点和直线的倾斜⾓的基础上，通过师⽣探讨，得出直线的点斜式⽅程；学⽣通过对⽐理解“截距”与“距离”的区别。
3、情态与价值观通过让学⽣体会直线的斜截式⽅程与⼀次函数的关系，进⼀步培养学⽣数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学⽣能⽤联系的观点看问题。
教学重点：直线的点斜式⽅程和斜截式⽅程。
教学难点：直线的点斜式⽅程和斜截式⽅程的应⽤例3．如果直线l 沿x 轴负⽅向平移3个单位，再沿y 轴正⽅向平移1个单位后，⼜回到原来的位置，求直线l 的斜率.( －31)归纳⼩结：（1）本节课我们学过那些知识点；（2）直线⽅程的点斜式、斜截式的形式特点和适⽤范围是什么？（3）求⼀条直线的⽅程，要知道多少个条件？作业布置：第100页第1题的（1）、（2）、（3）和第3、5题课后记:课题：直线的两点式和截距式⽅程课型：新授课教学⽬标：1、知识与技能（1）掌握直线⽅程的两点式的形式特点及适⽤范围；（2）了解直线⽅程截距式的形式特点及适⽤范围。
2、过程与⽅法让学⽣在应⽤旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的⽐较、分析、应⽤获得新知识的特点。
3、情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学⽣⽤联系的观点看问题。
教学重点：直线⽅程两点式。
教学难点：两点式推导过程的理解1）到⽬前为⽌，我们所学过的直线⽅程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？2）要求⼀条直线的⽅程，必须知道多少个条件？作业布置：第100页第1题的（4）、（5）、（6）和第2、4题课后记:课题：直线的⼀般式⽅程课型：新授课教学⽬标：1、知识与技能（1）明确直线⽅程⼀般式的形式特征；（2）会把直线⽅程的⼀般式化为斜截式，进⽽求斜率和截距；（3）会把直线⽅程的点斜式、两点式化为⼀般式。
人教版数学必修二3.2.2《直线的两点式和截距式方程》上课课件(共18张PPT)
课前预热
思考：如何确定一条直线？ 1、已知点(x0, y0)与斜率——点斜式 y yo k(x x0 ) 2、已知斜率与纵截距b——斜截式 y kx b
3、已知两点坐标如何求直线方程？——两点式 4、已知横纵截距如何求直线方程？——截距式
一、直线的两点式方程
引入：
例1、完成下列问题：
（1）已知直线经过点 A(2,1) ，B(2,7) ，求直线的方程.
（2）已知直线经过点P1(2,3), P2(5,4) ，求直线的方程.
（3）已知直线经过点A(2,1), B(3,4) ，且点 P(3, m) 在直 线上，求m的值.
题型一：利用两点式求直线方程
例1 解：（1）因为A、B横坐标相等，所以直线方程为x=2
当
x1
x2
时，直线的斜率
k
y2 x2
y1 x1
任取P1, P2 中一点，如取 P1(x1, y1) ，由点斜式方程，
得
y
y1
y2 x2
y1 x1
(x x1)
当
y2
y1
时，可写为：y
y2
y1 y1
x x1 x2 x1
我们把该方程叫做直线的两点式方程（两点式）
一、直线的两点式方程
法2： 设 P(x, y)是异于 P1, P2 的任意一点，利
2：求过点M(－3，5)且在两坐标轴上的截距的 绝对值相等的直线方程.
3：一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴 围成的三角形的面积为1，求此直线方程.
B(－2,3)，C(2,1)，求AC边上中线所在直线的方程.
解：设AB边中点为M（x，y），则 x=4，y= -3,即M（4，-3） 根据直线两点式方程求BM方程为：
2019高中数学 考点36 直线的点斜式方程庖丁解题 新人教A版必修2
考点36 直线的点斜式方程直线方程的点斜式：过点P (x 0，y 0)，斜率为k 的直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，而过点P (x 0，y 0)，斜率不存在的直线方程为x ＝x 0．【例】过点(0,1)，且倾斜角为45°的直线方程是( ) A ．y ＝－x ＋1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝x ＋1D ．y ＝x －1【规律总结】求直线的点斜式方程的方法步骤1．直线方程可表示成点斜式方程的条件是（ ）A ．直线的斜率存在B ．直线的斜率不存在C ．直线不过原点D ．不同于上述答案【答案】A【解析】直线的点斜式方程适用的条件是直线的斜率存在． 【易错易混】斜率存在的时，才能用点斜式表示． 2．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( )A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1【答案】C【解析】直线y ＋2＝－x －1可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1． 【解题技巧】求斜率时可以由斜率的定义求解，也可以用斜率公式求解． 3．已知直线l 过点P (3,2)，且斜率为－45，则下列点不在直线l 上的是( )A ．(8，－2)B ．(4，－3)C ．(－2,6)D ．(－7,10)【答案】B4．斜率为3，与x 轴交点的横坐标为－2的直线的点斜式方程为________．【答案】y －0＝3[x －(－2)]【解析】由直线与x 轴交点的横坐标为－2，得直线过点(－2,0)．又斜率为3，所以所求直线的点斜式方程为y －0＝3[x －(－2)]．5．直线y ＝x ＋1绕着其上一点P （3，4）逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程为________．【答案】y －4＝－（x －3）【解析】由题意可知，直线l 与直线y ＝x ＋1垂直且过点P （3，4），∴k l ＝－1，直线l 的方程为y －4＝－1×（x －3）．6．已知三角形的顶点坐标是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程．【解析】直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－－＝－38，过点A (－5,0)，由点斜式得直线AB 的方程为y ＝－38(x＋5)，即3x ＋8y ＋15＝0；同理，k BC ＝2＋30－3＝－53，k AC ＝2－00＋5＝25，直线BC ，AC 的方程分别为5x ＋3y －6＝0,2x －5y ＋10＝0．的倾斜角和所经过的定点分别是( )A ．30°;(－3,4)B ．120°;(－3,4)C ．150°;(3，－4)D ．120°;(3，－4)【答案】B【解析】由点斜式方程的特点知，直线过定点(－3,4)，斜率k ＝－3，则倾斜角为120°．2．经过点（–1，1），斜率是直线y 2-的斜率的2倍的直线是（ ） A ．x =–1B ．y =1C ．y –x +1）D ．y –1=x +1）3．与直线3x –2y =0的斜率相等，且过点（–4，3）的直线方程为（ ）A ．33(4)2y x -=+B ．33(4)2y x +=-C ．33(4)2y x -=-+D ．33(4)2y x +=--【答案】A【解析】由已知直线3x –2y =0，即32y x =，得斜率为32k =，代入点斜式方程可得结论． 4．已知直线l 过点A （2，－3）．（1）若l 与直线y ＝－2x ＋5平行，求其方程； （2）若l 与直线y ＝－2x ＋5垂直，求其方程．【解析】（1）法一：∵l 与y ＝－2x ＋5平行，∴k l ＝－2，由直线方程的点斜式知l ：y ＋3＝－2（x －2）．即l ：2x ＋y －1＝0． 法二：∵已知直线方程为y ＝－2x ＋5． 又l 与其平行，则可设l 为y ＝－2x ＋b ，∵l 过点A ，∴有－3＝－2×2＋b ，则b ＝1， ∴l ：y ＝－2x ＋1， 即2x ＋y －1＝0．（2）法一：∵直线y ＝－2x ＋5的斜率为k ＝－2，l 与其垂直， ∴k l ＝12，由直线方程的点斜式知l ：y ＋3＝12（x －2），即x －2y －8＝0．弓弩如何瞄准精确夏季是打猎野鸡最好的时节，最近三利达弓弩网接到不少客户反映说出猎的时候野鸡不少，可几十只箭射出去，鸡毛倒是捡到了几根，鸡屁股却是一个也没有打中，自己的弩弓上面也安装了瞄准镜，可为什么就是打不中呢？下面就有三利达弓弩网射击专家为大家讲解弩设备射击要领．任何射击类运动学习的时候你首先要知道什么是瞄准，瞄准的概念是什么，这些在绝大多数射击者眼里是：准星、缺口、目标三点一线．这是瞄准的一个最基本概念，但实际上，这准星、缺口、目标有很微妙的关系：准星和缺口详细关系最为重要：射手单眼透过准星，将准星位于缺口中央并平齐；这时候，理论上是准星和缺口之间形成一条平线．不管是任何器械射击，瞄准镜只是起到一个辅助作用，如何在没有安装瞄准镜的情况下你能50米命中靶心，那么安装之后，你可能60或者70米射中靶心，并不是装上瞄准镜就可以射准了，要真是那样的话部队也不用整天训练打靶了．。
2019高中数学 考点38 直线的两点式方程庖丁解题 新人教A版必修2
考点38 直线的两点式方程经过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，这种形式的方程叫直线的两点式方程． 【例】光线经过点A （1，2）射到y 轴上，反射后经过点B （4，–3），则反射光线所在直线的方程为________．【答案】x ＋y –1＝01．过(x 1，y 1)和(x 2，y 2)两点的直线方程是（ ）A ．112121y y x x y y x x --=-- B ．122112y y x x y y x x --=-- C ．211211()()()()0y y x x x x y y -----=D ．211211()()()()0x x x x y y y y -----=【答案】C【解析】根据直线的两点式方程及直线方程成立的条件可知．【解题技巧】求直线的两点式方程的策略以及注意点（1）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．（2）由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．2．一直线不与坐标轴平行或重合．则它的方程（ ）A ．一定可写成两点式或斜截式B ．一定可以写成两点式或截距式C ．一定可以写成点斜式或截距式D ．可以写成点斜式或两点式、截距式中的任何一种【答案】A【易错易混】两点式方程的应用前提是12x x ≠，且12y y ≠，即斜率不存在及斜率为0时不能用两点式方程．当12x x =时，方程为1x x =；当12y y =时，方程为1y y =．3．经过点A (2，1)，B (6，–2)两点的直线方程不是（ ）A ．3124y x -=--()B ．34100x y +-=C ．110532x y += D ．216212x y --=-+ 【答案】D 【解析】由两点式得方程122162y x --=---，故D 不是直线方程． 4．如果直线l 过点(–1，–1)、(2，5)两点，点(1003，m )在l 上，那么m 的值为（ ）A ．2008B ．2007C ．2006D ．2005【答案】B 【解析】由两点式得115121y x ++=++，当1003x =时，2007m =． 5．已知A (2，–1)，B (2，2)，则AB 所在直线的方程为 ．【答案】2x =．【解析】∵A (2，–1)，B (2，2)，,A B 两点横坐标相同，∴直线AB 与x 轴垂直，故其方程为2x =．【秒杀技】根据A ，B 坐标的特点，确定方程．6．三角形的顶点分别是A (－5,0)，B (3，－3)，C (1,2)，求这个三角形三边所在直线的方程．1．已知过点A (–2，m +1)和B (m ，3)的直线与直线21y x =-+平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．–6C ．2D ．10【答案】B【解析】由两直线平行得斜率关系1322m m +-=---，解得6m =-． 2．已知直线l 过A (3，－5)和B (－2,5)，则直线l 的方程为______________．【答案】2x ＋y －1＝0【解析】因为直线l 过点A (3，－5)和B (－2,5)，由两点式方程，得(5)5(5)y ----＝x －3－2－3，即y ＋510＝x －3－5，可化为2x ＋y －1＝0．3．若两点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)的坐标分别满足113560x y -+=和223560x y -+=，则经过这两点的直线方程是______________．【答案】3560x y -+=【解析】两点确定一条直线，点A B 、均满足方程3560x y -+=4．过点P (2,3)作直线l ，使l 与点A (－1，－2)、B (7,4)的距离相等，这样的直线l 存在吗？若存在，求出其方程；若不存在，请说明理由．体育课上看两点确定一条直线上体育课时，老师检查学生队伍是不是一直线，只要看第一个学生就可以了，若还能够看到其他学生，那就不在一条直线上．你能说说为什么吗？。
2.2 直线的方程(含3课时)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几
何问题的目的。依照这种思想他创立了“解析几何学”。
情境导入
我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.这样，在平面
直角坐标系中，给定一个点P0（x0,y0）和斜率k(或倾斜角)，就能唯一确定一
(2)设两直线的斜率分别为 k3，k4，则 k3＝－1，k4＝a2－2.
a2－2＝－1，
∵两条直线互相平行，∴
4a≠4，
故当 a＝－1 时，两条直线互相平行．
解得 a＝－1.
04课堂小结
P
A
R
T
ONLeabharlann E课堂小结人教A版2019选修第一册
第 二 章 直线和圆的方程
2.2.2 直线的两点式方程
学习目标
−
ሺ
−
−
ሺ
−
− ሻ.
又因为 ≠ ，
上式可以变形为
−
−
=
−
.
−
这就是经过两点 ， 和 ， ( ≠ , ≠ )的直线方程.
≠ ሻ，
直线的两点式方程
y
O
x
直线的斜截式方程
3.写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
直线的斜截式方程
解：(1)y＝3x－3.
(2)∵k＝tan 60°＝ 3，∴y＝ 3x＋5.
注意：截距是个实数，可正，可负，也可以为0，不是距离！！
2019高中数学 考点42 恒过定点的直线庖丁解题 新人教A版必修2
考点42 恒过定点的直线含参的直线方程，大都可以改写成00()y y kx x -=-的形式，由直线的点斜式方程可知，直线必定过点00(,)x y ，利用直线恒过定点可以妙解数学问题．【例】若直线l ∶y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．【答案】30°＜α＜90°【易错易混】直线从CA 运动到CB ，是直线的斜率k ＞33，对应的倾斜角为(30°，90°)，不包括90°． 1．若k ∈R ，直线y +2=k （x –1）恒过一个定点，则这个定点的坐标为（ ）A ．（1，–2）B ．（–1，2）C ．（–2，1）D ．（2，1）【答案】A【解析】y +2=k （x –1）是直线的点斜式方程，它经过定点为（1，–2）．故选A ． 【规律方法】解含有参数的直线恒过定点的问题．方法1：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．方法2：分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为0的形式，然后含参数的项和不含参数的项分别为零，解此方程组得到的解即为已知直线恒过的定点． 2．若0a b c -+=，则直线0ax by c ++=必经过的一个定点是（ ）A ．（1，1）B ．（–1，1）C ．（1，–1）D ．（–1，–1）【答案】C【解析】由0a b c -+=，得c b a =-，故0ax by c ++=可化为()()110a x b y -++=，所以必经过的一个定点是（1，–1）．3．三条直线：0x y +=，0x y -=，3x ay +=构成三角形，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≠±B ．12a a ≠≠，C ．1a ≠-D ．1a ≠±，2a ≠ 【答案】A【秒杀技】若a =1,或a =–1则有两条直线平行，构不成三角形，选出答案A ． 4．直线y ＝mx ＋2m ＋1恒过一定点，则此点是________．【答案】(－2,1)【解析】把直线方程化为点斜式y －1＝m (x ＋2)．显然当x ＝－2时y ＝1，即直线恒过定点(－2,1)． 5．直线20ax by +-=的系数a ，b 满足341a b -=，则直线必过定点________．【答案】（6，–8）【解析】∵341a b -=，∴3144b a =-，∴312044ax a y ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭．∴4380ax ay y +--=，∴()()4380a x y y +-+=， 解方程组43080x y y +=⎧⎨+=⎩，，得68x y =⎧⎨=-⎩，．∴定点为（6，–8）．k 变化时，所有直线都通过定点（ ）A ．（0，0）B ．（0，1）C ．（3，1）D ．（2，1）【答案】C【解析】直线方程整理为k （x –3）–（y –1）=0，过定点（3，1）． 2．不论m 怎么变化，直线()()()221340m x m y m +----=恒过定点（ ）A ．（1，2）B ．（–1，–2）C ．（2，1）D ．（–2，–1）【答案】B3．两直线3ax －y －2＝0和（2a －1）x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为（ ）A ．895B ．175C ．135D ．115【答案】C【解析】直线3ax －y －2＝0过定点A （0，－2），直线（2a －1）x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135．4．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0．（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； （2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围． 【解析】（1）将直线l 的方程整理为y －35＝a （x －15），∴l 的斜率为a ，且过定点A （15，35）．而点A （15，35）在第一象限，故l 过第一象限．∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．（2）直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3．∵l 不经过第二象限，∴a ≥3．蒲丰试验一天,法国数学家蒲丰请许多朋友到家里,做了一次试验．蒲丰在桌子上铺好一张大白纸,白纸上画满了等距离的平行线,他又拿出很多等长的小针,小针的长度都是平行线的一半．蒲丰说:“请大家把这些小针往这张白纸上随便仍吧!”客人们按他说的做了．蒲丰的统计结果是：大家共掷2212次,其中小针与纸上平行线相交704次,2210÷704≈3．142．蒲丰说：“这个数是π的近似值．每次都会得到圆周率的近似值,而且投掷的次数越多,求出的圆周率近似值越精确．”这就是著名的“蒲丰试验”．。
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考点39 直线的截距式方程
1．直线的截距式方程：我们把直线与x 轴交点（a,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b ，方程
1x y a b
+=由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程．
2．线段的中点坐标公式：若点P 1、P 2的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则线段P 1P 2的中点坐标公式为
121
22x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪． 【例】直线x a ＋y b
＝1过一、二、三象限，则（ ）
A ．a ＞0，b ＞0
B ．a ＞0，b ＜0
C ．a ＜0，b ＞0
D ．a ＜0，b ＜0
【解题策略】直线的位置可由直线的横、纵截距共同确定：经过第一、二、三象限⇔横截距0<，且纵截距0>；经过第一、三、四象限⇔横截距0>，且纵截距0<；经过第二、三、四象限⇔横截距0<，且纵截距0<；经过第一、二、四象限⇔横截距0>，且纵截距0>．
1．若直线l 在x 轴、y 轴上的截距都是负数，则（ ）
A ．l 的倾斜角是锐角且l 不过第二象限
B ．l 的倾斜角是钝角且l 不过第一象限
C ．l 的倾斜角是锐角且l 不过第四象限
D ．l 的倾斜角是钝角且l 不过第三象限
【答案】B
【解析】画图可知．
2．直线324x y -=的截距式方程是（ ）
A ．3142
x y -= B ．41132x y -= C ．3142x y -=- D ．
142
3x y +=- 【答案】D 【解析】求直线的截距式方程，必须把方程化为1x y a b
+=的形式，即右边为1．左边是和的形式． 【易错易混】截距不是距离，截距可正可负，也可为零．
3．已知点A (1，2)，B (3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）
A ．425x y -=
B ．425x y +=
C ．25x y +=
D ．25x y -=
【答案】
A
4．直线1ax by +=与两坐标轴围成的三角形面积是（ ）
A ．12
ab B ．12ab C ．12ab
D ．12ab 【答案】D 【解析】方程化为截距式111x y a b
+=，∴111122S a b ab
==． 5．经过点(2,1)，在x 轴上的截距为－2的直线方程是________．
【答案】x －2
＋2y ＝1， 【解析】设直线方程为x －2＋y b ＝1，将(2,1)代入上式，得b ＝12
，即x －4y ＋2＝0． 【解题技巧】如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
6．已知在△ABC 中，点A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．
（1）求点C 的坐标；
（2）求直线MN 的方程．
1．在x ，y 轴上截距分别是3，-4的直线的方程是（ ）
A ．43120x y +-=
B ．43120x y --=
C ．4310x y +-=
D ．4310x y -+=
【答案】B
【解析】由截距式得方程134x
y
+=-，即43120x y --=．
2．过点(2，4)可作在x 轴、y 轴上的截距相等的直线共（ ）
A ．一条
B ．两条
C ．三条
D ．四条
【答案】B
【解析】分过原点与不过原点两种情况共两条直线．
3．过点P (1，3)，且与x y 、轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是（ ）
A ．360x y +-=
B ．3100x y +-=
C ．30x y -=
D ．380x y -+=
【答案】A 【解析】设方程为1x y a b +=，∴16,2131,ab a b
⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴2,6a b =⎧⎨=⎩
． 4．求过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程．
笛卡尔坐标系的由来
关于笛卡尔创建坐标系的过程，有一个生动的小故事，据说有一天，笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此，他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来，突然，他看见屋顶上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿功夫，蜘蛛又顺着丝爬了上去，在上边左右拉丝，蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗．。