1.2.1函数的概念(复合函数的定义域)
高一数学函数的概念2
的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b)；
（4）满足不等式 a x b 的实数
的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为(a,b]；
说明：
① 对于[a,b]，(a,b)，[a,b)，(a,b]都称数a和 数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右 端点，称b-a为区间长度； ② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就 有四种表示方法： 不等式表示法：3<x<7（一般不用）； 集合表示法：{x|3<x<7}； 区间表示法：(3,7)；Venn图
2．关于求定义域:
例1、（1）若函数 y
ax2 ax 1
a
的定义域是R，求实数a 的取值范围。
(2) 若函数 y f (x)的定义域为[1，1]，
求函数 y f (x 1) f (x 1)的定义域。
4
4
0
( x 0)
例2 、 已知
f
(
x)
x 1
的定义域应由不等式 a g(x) b 解出。
3．关于求值域：
例3、求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x≤1)
②f (x) 2 4 x
③y x
④y x2 4x 1, x [0,5]
x 1
；
⑤y 2x 4 1 x
例4、①已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0≤x≤1 时有最大值2，求a的值。
( x 0) ( x 0)
求f (1)、f (1)、f (0)、f { f [ f (1)]}
2．关于求定义域: （1）分母不等于零；偶次根式不小于零； 每个部分有意义的实数的集合的交集；符 合实际意义的实数集合
复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案
复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案(总15页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除复合函数一，复合函数的定义：设y是u的函数，即y=f(u),u是x的函数，即u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，那么y通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u)，u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为中间变量。
二，对高中复合函数的通解法——综合分析法1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程例1：指出下列函数的复合过程。
（1）y=√2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x (4)y=3cos√1-x2解：(１) y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2复合而成的。
（2）y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。
（3）∵y=sin3x=(sinx)-3∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。
（4）y=3cos√1+x2是由y=3cosu,u=√r,r=1+x2复合而成的。
2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。
看下例题：例２：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5) 的定义域。
经典误解１：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。
F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。
由g(x),G(x)得：u2=2x-11即：y=f(u2),u2=2x-11∵f(u1)的定义域为[1、2]∴１≤x﹤2∴-9≤2x-11﹤-6即：y=f(u2)的定义域为[-9、-6]∴f(2x-5)的定义域为[-9、-6]经典误解２：解：∵f(x+3)的定义域为[1、2]∴1≤x+3﹤2∴-2≤x﹤-1∴-4≤2x﹤-2∴-9≤2x-5﹤-7∴f(2x-5)的定义域为[-9、-7]（下转2页）注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为“中间变量”。
复合函数定义域的常见求法
复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。
答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。
例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。
答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
1.2.1函数的概念
练习1. 已知f(x)的定义域为(-3,5],求函数f(3x-2) 的定义域；
题型(二):已知f g x 的定义域, 求f ( x)的定义域
例2 :已知f 2 x 1的定义域( 1,5], 求f ( x)的定义域
例4.已知f ( x 1) x 1, 则f ( x) ________ .
练习 2.已知f ( x 1) x 2 x , 则f(x) _____.
1 x 例5.已 知f ( ) , 则f ( x ) ________ . x 1 x
四.求函数值
例1.已知函数f(x)=3x2-5x+2，则f(2)=_____.
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为[a，b] （2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间， 表示为(a，b) （3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做 半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b]
定义 {x|a≤x ≤ b} {x|a<x < b} {x|a≤x < b}
x 1, x 0 例5.已知函数 f ( x ) 2 x , x 0
则不等式f ( x ) 2的解集为 _______ .
例5. 画出函数y=|x|的图象.
x , x 0 y | x | x , x 0
y
图象如下：
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1
ax c n 方法： 把y 化为 y a 的形式 xb xm
x 1 例2.函 数y 的值域为 ________ . x 1
复合函数分析
论复合函数一、复合函数的概念一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数))(()(x g f x F y ==叫由两个函数复合而成的复合函数。
即复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.也可以说，一个x 经过u ，有唯一确定的y 与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成一种函数关系，这种函数称为复合函数.这里的x 是自变量，y 是变量，而u 是中间变量。
通常称)(x g 为内函数，)(u f 为外函数，这里写)(u f 而不写)(x f ，是为了避免内函数的自变量和外函数自变量的混淆，在处理问题的时候，是把内函数的值域作为外函数的定义域，即令)(x g u =。
例1、12+=x y .这是二次函数12+=x u 与幂函数21u y =的复合.例2、121+-=x y .这是一次函数12+-=x u 与反比例函数uy 1=的复合.例3、x x y +=.可以看成幂函数21x u =与二次函数u u y +=2的复合.例4、xx y 422-=.这是二次函数x x u 42-=与指数函数u y 2=的复合.例5、x x y +-=224.这是指数函数x u 2=与二次函数u u y 42-=的复合.例6、)2(log 22x x y +=.这是将二次函数x x u 22+=与对数函数u y 2log =的复合.例7、x x y 222log 2)log (+=这是将二次函数x u 2log =与对数函数u u y 22+=的复合注意，例4和例5，例6和例7，内外函数调换位置，得到的复合函数是不一样的.例8、1lg 2+=x y 。
这里实际上是三个函数的复合，首先是二次函数12+=x u 和幂函数21u t =的复合，然后再与对数函数t y lg =复合。
二、复合函数的定义域对于复合函数的定义域，首先要注意))(()(x g f x F =的定义域是x 的取值范围，而不是u 的取值范围。
复合函数定义域的常见求法
一、复合函数的概念如果y 是u 的函数的函数，，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数复合函数，，u 叫做中叫做中间变量。
间变量。
间变量。
注意：复合函注意：复合函数并不是一数并不是一数并不是一类新的函数类新的函数类新的函数，它只是，它只是，它只是反映某些函反映某些函反映某些函数在结构方数在结构方数在结构方面的某种面的某种面的某种特点，因此特点，因此特点，因此，，根据复合函数根据复合函数结构，将它结构，将它结构，将它折成几个简折成几个简折成几个简单的函数单的函数单的函数时，应从外时，应从外时，应从外到里一层一到里一层一到里一层一层地拆，层地拆，层地拆，注意不要漏注意不要漏注意不要漏层。
层。
另外，在研究另外，在研究有关复合函有关复合函有关复合函数的问题时数的问题时数的问题时，要注意，要注意，要注意复合函数的复合函数的复合函数的存在条件，存在条件，存在条件，即当且仅当即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交的定义域的交集非空时，集非空时，集非空时，它们的复合它们的复合它们的复合函数才有函数才有函数才有意义，否则意义，否则意义，否则这样的复合这样的复合这样的复合函数不存函数不存函数不存在。
在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 可以拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u 2 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数两个函数复合而成复合而成复合而成。
二、求复合函数的定义域：（1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范围，即为f [g ( x )]的定义域。
的定义域。
【教案】1.2.1 第2课时 函数的定义域与值域-《新课程同步进阶(人教A版必修一》第一章集合与函数概念
第2课时函数的定义域与值域[目标] 1.了解构成函数的要素，理解函数相等的概念；2.会求简单函数的定义域与值域；3.会求形如f(g(x))的函数的定义域．[重点] 函数相等的概念，求函数的值域．[难点] 求函数的值域，求形如f(g(x))的函数的定义域.知识点一函数相等[填一填]1．条件：①定义域相同；②对应关系完全一致．2．结论：两个函数相等．[答一答]1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？对应关系和值域相同呢？提示：观察下表：对于f1(x)和f2(x)，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一函数；对于f3(x)和f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一函数．知识点二函数的定义域[填一填]函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合．求函数的定义域时，一般遵循以下原则：1．f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合．2．f (x )是分式时，定义域是使分母不为0的一切实数的集合． 3．f (x )是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值的实数的集合． 4．零(负)指数幂的底数不能为零．5．对于含字母参数的函数，求其定义域时，需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论．6．由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．[答一答]2．函数f (x )＝x －1x －2＋(x －1)0的定义域为( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1}C ．{x |1≤x <2或x >2}D ．{x |1<x <2或x >2}解析：要使函数有意义，则只需⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，x －1≠0，解得1<x <2或x >2，所以函数的定义域为{x |1<x <2或x >2}．故选D.知识点三 函数的值域[填一填]求函数的值域是一个较复杂的问题，要首先明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数y ＝f (x )，其值域就是指其函数值的集合：{f (x )|x ∈A }；二是函数的定义域、对应关系是确定函数的依据．另外，在求函数的值域时，要根据所给的函数的形式，采用相应的方法．[答一答]3．已知函数y ＝x 2，x ∈{0,1,2，－1}，函数y ＝x 2的值域是什么？提示：当x ＝0时，y ＝0；当x ＝±1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝4.所以函数的值域是{0,1,4}．类型一 函数相等的判断[例1] 下列各组函数： ①f (x )＝x 2－xx ，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x； ③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2； ④f (x )＝(x ＋3)2，g (x )＝x ＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5)．其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号)． [答案] ③⑤[解析] ①不同，定义域不同，f (x )定义域为{x |x ≠0}，g (x )定义域为R .②不同，对应法则不同，f (x )＝1x，g (x )＝x .③相同，定义域、对应法则都相同．④不同，值域不同，f (x )≥0，g (x )∈R .⑤相同，定义域、对应法则都相同．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等.[变式训练1] 下列各组中两个函数是否表示相等函数？ (1)f (x )＝6x ，g (x )＝63x 3； (2)f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3；(3)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.解：(1)g (x )＝63x 3＝6x ，它与f (x )＝6x 定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数． (2)f (x )＝x 2－9x －3＝x ＋3(x ≠3)，它与g (x )＝x ＋3的定义域不同，故不是相等函数．(3)虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，故是相等函数．类型二 函数的定义域 命题视角1：求具体函数的定义域[例2] 求下列函数的定义域，结果用区间表示： (1)y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；(2)y ＝(x ＋1)0|x |－x .[解] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x 2－x －6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3，故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x <0，故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)．求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.[变式训练2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝1－x ＋1x ＋5；(2)y ＝31－1－x.解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋5≠0，解得x ≤1且x ≠－5.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠－5}．(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠0}．命题视角2：求抽象函数的定义域[例3] (1)已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． (2)已知函数f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f (x )的定义域．[分析] 在对应关系相同的情况下， f (x )中x 应与f (g (x ))中g (x )的取值范围相同，据此可解答该题．[解] (1)由已知f (x )的定义域是[－1,4]， 即－1≤x ≤4.故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32.∴f (2x ＋1)的定义域是⎣⎡⎦⎤－1，32. (2)由已知f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，即f (2x ＋1)中，应有－1≤x ≤4，∴－1≤2x ＋1≤9. ∴f (x )的定义域是[－1,9]．因为f (g (x ))就是用g (x )代替了f (x )中的x ，所以g (x )的取值范围与f (x )中的x 的取值范围相同.若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围；而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]，要求f (x )的定义域，就是求x ∈[a ，b ]时g (x )的值域.[变式训练3] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( B )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：因为f (x )的定义域为[0,2]，所以对于函数g (x )满足0≤2x ≤2，且x ≠1，故x ∈[0,1)．类型三 求函数的值域[例4] 求下列函数的值域． (1)f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)； (2)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；(4)y ＝5x －14x ＋2.[解] (1)∵x ∈[－5,2)，∴－15≤3x <6，∴－16≤3x －1<5，∴函数f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)的值域是[－16,5)． (2)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴2x ＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}． (3)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2.∵x ∈[1,5)，∴其图象如图所示， 当x ＝2时，y ＝2；当x ＝5时，y ＝11. ∴所求函数的值域为[2,11)． (4)y ＝5x －14x ＋2＝54(4x ＋2)－1－1044x ＋2＝54(4x ＋2)－1444x ＋2＝54－72(4x ＋2).∵72(4x ＋2)≠0，∴y ≠54，∴函数y ＝5x －14x ＋2的值域为{y ∈R |y ≠54}．根据函数关系式，选择恰当的方法求函数的值域.(1)对于一次函数，已知自变量的取值范围，依据简单不等式的运算，求得函数的取值范围，即为函数的值域；(2)对于二次函数，可借助图象求函数的值域；(3)通过分离常数，借助反比例函数的特征求值域.无论哪种方法求值域，都应注意定义域的限制.[变式训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}； (2)y ＝xx ＋1；(3)y ＝x 2－4x ，x ∈[1,4]． 解：(1)∵y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}， ∴y ∈{1,3,7,9}．(2)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0， ∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(3)配方，得y ＝(x －2)2－4. ∵x ∈[1,4]，∴函数的值域为[－4,0].1．函数f (x )＝x ＋1＋12－x的定义域为( A ) A ．[－1,2)∪(2，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解得x ≥－1且x ≠2.故选A.2．函数f (x )＝x 2＋1(0<x ≤2且x ∈N *)的值域是( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1} C ．{2,3}D ．{2,5}解析：∵0<x ≤2且x ∈N *， ∴x ＝1或x ＝2. ∴f (1)＝2，f (2)＝5， 故函数的值域为{2,5}．3．若函数f (x )与g (x )＝32－x －2是相等的函数，则函数f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．解析：∵2－x －2≠0，∴x ≠6，又x －2≥0，∴x ≥2，∴g (x )的定义域为[2,6)∪(6，＋∞)． 故f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．4．已知函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，则函数f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 解析：因为f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 所以－1<2x ＋1<1，解得－1<x <0.所以f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 5．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1； (2)y ＝5x ＋4x －1；(3)y ＝x －x ＋1.解：(1)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}． (2)函数的定义域为{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(3)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域为{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是y ＝t 2－1－t ＝(t －12)2－54，又t ≥0，故y ≥－54，所以函数的值域为{y |y ≥－54}．——本课须掌握的三大问题1．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应法则是否相同．因为只要定义域相同，对应法则相同，则值域就相同．2．研究函数问题必须树立“定义域优先”原则．求函数定义域一般有三种类型：(1)函数来自实际问题的定义域；(2)已知函数解析式求定义域；(3)抽象函数求定义域．3．求值域的方法有：(1)观察法：根据定义域和对应关系求出；(2)数形结合法：作出函数的图象，然后求解；(3)配方法：配方求解；(4)分离常数法：添一项、减一项，分离出常数再求解；(5)换元法：可以将无理函数转换成有理函数再求解．学习至此，请完成课时作业7 学科素养培优精品微课堂 复合函数与抽象函数开讲啦 1.复合函数的概念如果函数y ＝f (t )的定义域为A ，函数t ＝g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C ⊆A 时，称函数y ＝f (g (x ))为f (t )与g (x )在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，t ＝g (x )叫做内层函数，y ＝f (t )叫做外层函数．2．抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 3．抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点： (1)函数f (x )的定义域是指x 的取值范围．(2)函数f (φ(x ))的定义域是指x 的取值范围，而不是φ(x )的范围．(3)f (t )，f (φ(x ))，f (h (x ))三个函数中的t ，φ(x )，h (x )在对应关系f 下的范围相同． [典例] 若函数f (x )的定义域为[0,1]，求g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )(m >0)的定义域． [解] ∵f (x )的定义域为[0,1]，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )中自变量x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ＋m ≤1，0≤x －m ≤1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤x ≤1－m ，m ≤x ≤1＋m .当1－m ＝m ，即m ＝12时，x ＝12；当1－m >m ，即0<m <12时，如图1，m ≤x ≤1－m .当1－m <m ，即m >12时，如图2，x ∈∅.综上所述，当0<m <12时，g (x )的定义域为[m,1－m ]；当m ＝12时，g (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12；当m >12时，函数g (x )的定义域为∅.[对应训练] 已知函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，则函数f (2x －3)的定义域为⎣⎡⎦⎤1，112. 解析：∵函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，∴－4≤x ≤5，∴－1≤x ＋3≤8，即函数f (x )的定义域为[－1,8]．由－1≤2x －3≤8，解得1≤x ≤112.故函数f (2x －3)的定义域为⎣⎡⎦⎤1，112.。
函数的复合与反函数的概念与性质
函数的复合与反函数的概念与性质函数是数学中非常重要的概念之一，而函数的复合与反函数也是函数学习的关键内容。
本文将从函数的复合与反函数的概念和性质两个方面进行介绍，帮助读者更好地理解和掌握这两个概念。
一、函数的复合函数的复合是指通过两个或多个函数的运算得到一个新的函数。
简单来说，如果有函数f(x)和g(x)，那么将g(x)作为f(x)的自变量，就得到了f(g(x))。
这里，f(g(x))即为函数f和函数g的复合函数。
1. 复合函数的定义假设函数f(x)和g(x)都是定义在数域D上的函数，那么f(x)和g(x)的复合函数f(g(x))定义为：对于D中任意一个x，都有f(g(x))=f(g(x))。
2. 复合函数的性质（1）结合律：如果有三个函数f(x)、g(x)、h(x)，那么f(g(h(x)))和(f∘g)∘h(x)是相等的。
（2）不遵循交换律：一般情况下，f(g(x))和g(f(x))是不相等的。
这是因为函数的复合是从右向左进行运算的。
二、反函数反函数是指对于一个函数f(x)，如果存在一个函数g(x)，使得g(f(x))=x，那么g(x)就是f(x)的反函数。
1. 反函数的定义假设函数f(x)是定义在数域D上的函数，如果存在一个函数g(x)，使得对于D中任意一个x，都有g(f(x))=x，那么g(x)就是f(x)的反函数。
2. 反函数的性质（1）反函数存在的条件：函数f(x)的反函数存在的条件是，f(x)必须是一个双射函数。
即f(x)既是一对一函数，又是满射函数。
（2）反函数的性质：f(x)的反函数g(x)具有以下性质：- 如果f(x)的定义域和值域分别为D和R，那么g(x)的定义域和值域分别为R和D。
- g(f(x))=x，对于f(x)的定义域D中的任意一个x，都有g(f(x))=x成立。
- f(g(x))=x，对于g(x)的定义域R中的任意一个x，都有f(g(x))=x成立。
三、复合函数与反函数的关系复合函数和反函数有一定的关系，主要表现在以下两个方面：1. 复合函数的反函数如果函数f(x)和g(x)互为反函数，那么有以下两个结论：- f(g(x))=x，对于g(x)的定义域R中的任意一个x，都有f(g(x))=x成立。
复合函数的定义域值域
复合函数的定义域值域复合函数的定义域和值域是数学中的一个重要概念。
在学习复合函数时，理解它们的定义域和值域是极为关键的。
下面，让我们来深入探讨一下复合函数的定义域和值域。
一、复合函数复合函数是由两个已知的函数所组成的。
设f(x)和g(x)是两个函数，复合函数f(g(x))指将g(x)的输出结果作为f(x)的输入，即f(g(x))=f(g(x))。
二、复合函数定义域复合函数的定义域是指输入自变量的集合，也就是使得f(g(x))有意义的所有x的集合。
对于复合函数f(g(x))，当x属于g(x)的定义域，且g(x)的输出属于f(x)的定义域时，才有f(g(x))有意义，此时x属于f(g(x))的定义域。
示例如下：设f(x)=√x，g(x)=x+3，则复合函数f(g(x))=√(x+3)。
对于复合函数f(g(x))，要使得f(g(x))有意义，有以下两个条件：1. x+3的值不小于0，因为函数√x的定义域是[0,+∞)，所以x+3≥0，即x≥-3。
2. x+3的值在√x的定义域范围内。
由于√x的定义域是[0,+∞)，即x≥0，所以x+3≥0，且当x≥0时，x+3也属于√x的定义域范围内，所以此时f(g(x))的定义域为[-3,+∞)。
三、复合函数值域复合函数的值域是指输出因变量的集合，也就是所有f(g(x))的值构成的集合。
我们需要找到g(x)的值域和f(x)的值域，然后求它们的交集。
示例如下：设f(x)=√x，g(x)=x+3，则复合函数f(g(x))=√(x+3)。
1、由于g(x)为一个一次函数，它的值域是实数集。
2、√x的值域是[0,+∞)。
3、f(g(x))的值域是[x+3≥0]∩[0,+∞)=[3,+∞)。
因此，由函数g(x)和f(x)组成的复合函数f(g(x))的值域为[3,+∞)。
综上，复合函数的定义域和值域对我们深入理解复合函数是至关重要的。
如果我们能够熟练掌握复合函数的定义域和值域的求解方法，就能更好地解决有关复合函数的问题。
1.2.1函数的概念
故是相等函数； (2)y＝ x2定义域为 R；y＝( x)2 定义域为[0，＋∞)；故 不是相等函数． (3)y＝ x＋1· x－1定义域为[1，＋∞)，y＝ x2－1定义 域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故不是相等函数． (4)y＝ 1＋x· 1－x＝ 1－x2，故两函数对应法则相同， 又定义域都是[－1,1]，故是相等函数.
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[解析]
(1)①由 x2＋y2＝2 得 y＝± 2－x2， 因此由它不能
确定 y 是 x 的函数，如当 x＝1 时，由它所确定的 y 的值有两 个± 1. ②由 x－1＋ y－1＝1，得 y＝(1－ x－1)2＋1，所以当 x 在{x|x≥1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的 y 值与之 对应，故由它可以确定 y 是 x 的函数．
a<x<b .
数轴表示
(a，b)
[a，b)
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a≤x＜b
33
区间
(a，b] .
不等式 a＜x≤b
.
数轴表示
(－∞，b)
x＜b
(a，＋∞)
.
x＞a
－∞＜x＜＋∞ 数轴上的所有点
34
(－∞，＋∞) .
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• 区间实质上是数轴上某一线段或射线上的
所有点所对应的实数的取值集合，如{x|a＜ x≤b}＝(a，b]，{x|x≤b}＝(－∞，b]．
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• • •
总结评述：从函数的概念可知，函数有定义域、值 域、对应法则三要素，其中，定义域是前提，对应法则 是核心，值域是由定义域和对应法则确定的．因此， 1)当两个函数的定义域不同或对应法则不同，它们就不 是同一个函数．只有当定义域和对应法则都相同时它们 才是相等函数． 2)对应法则f是函数关系的本质特征，要深刻理解，准确 把握，它的核心是“法则”．通俗地说，就是给出了一 个自变量后的一种“算法”，至于这个自变量是用x还 是用t或者别的符号表示，那不是“法则”的本质，因此， 对应法则与自变量所用的符号无关．
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解得：1 x 0
f (x 1) f (x 1)
的定义域为：[1,0]
2 x 1 1 2 x 1 1
1、(1)若 f (2x)的定义域为 [1,1]，求 f (x) 的定义域
解： 1 x 1
0 x 1 2
f (x)的定义域为[0,2]
(2)若 f (x) 的定义域为 [1, 2] ，求 f (x 1) f (x 1)的定义域
解： 5 x 2
2 x 3 1
f (x)的定义域为[2,1] 要使 f (x 1) f (x 1) 有意义，则有
解得：0 x 1 f (2x 1)的定义域是[0,1]
1. f (2x 1)中的2x-1 与 f (x)中的x的范围相同；
2. f (2x 1)的定义域是指x的范围，而不是2x-1 的范围.
(2)若f (x 1)的定义域为 [1,1]，求 f (x) 的定义域
解： 1 x 1
0 x 1 2
作业
1、(1)若 f (2x)的定义域为 [1,1]，求 f (x) 的定义域。 (2)若 f (x) 的定义域为 [1, 2] ，求 f (x 1) f (x 1)的定义域。 2.求下列函数的值域：(1) f(x)＝x2-2x-1(-1≤x≤2)；
(2)f(x)＝1+x-1x; (3)f(x)＝xx+-31;
的定义域为：[1,0]
2 x 1 1 2 x 1 1
总结：
求形如f(g(x))的函数的定义域的方法： 1.已知函数f(x)的定义域为D，求f(g(x))的定义域：
由 g(x) D，求出x的范围，即得到f(g(x))的定义域。
2.已知函数f(g(x))的定义域为D，求f (x) 的定义域：
2 2x 2
f (x)的定义域为 [-5,-2] ，求 f (x 1) f (x) 的定义域
解：Q 5 x 2
6 x 1 3
f (x)的定义域为 [6, 3]
要使 f (x 1) f (x) 有意义，则有
解得：6 x 4
f (x 1) f (x)
补充
求形如f(g(x))的函数的定义域 f(g(x))叫做复合函数
例：(1)若 f (x) 的定义域为 [1,1]，求 f (2x 1)的定义域
解：令u 2x 1，则 f (2x 1) f (u)
f (x)的定义域为 [1,1]
f (u)的定义域是 [1,1] 即1 u 1 得：1 2x 11
f (x)的定义域为[0,2]
(3)若f (x 3)的定义域为[5,2] ，求 f (x 1) f (x 1)的定义域
解： 5 x 2
2 x 3 1
f (x)的定义域为[2,1] 要使 f (x 1) f (x 1) 有意义，则有
解得：1 x 0
f (x 1) f (x 1)
的定义域为：[6, 4]
6 x 1 3
6 x 3
函数值域的求法
[例] 求下列函数的值域：
(1) f(x)＝x-2 x；(2)f(x)＝1x+-1x;
(3)f(x)＝2xx+-13;
(4)f(x)＝2＋x2x2;
(5)f(x)＝1+x2x2．
[例] 求下列函数的值域： 解：(1) [-1，+∞）；(2){y|y≠1}; (3){y|y≠2};; (4) (1，+∞）; (5)[0,1)．
由x D ，求出g(x)的范围，即得到f (x) 的定义域。
(1)若 f (2x) 的定义域为 [1,1]，求 f (x) 的定义域 解：
练一练
(2)若f (x 1)的定义域为[5,2] ，求 f (x 1) f (x) 的定义域 解：
(1)若 f (2x) 的定义域为 [1,1]，求 f (x) 的定义域 解： 1 x 1